Синтез систем адаптивного управления объектами нейтрального типа с запаздыванием Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕОРИЯ СИСТЕМ

УДК 62-50

И. Б. Фуртат, А. М. Цыкунов Астраханский государственный технический университет

СИНТЕЗ СИСТЕМ АДАПТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ ОБЪЕКТАМИ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Введение

В настоящее время имеется большое количество публикаций, в которых рассматриваются задачи построения адаптивных систем управления для объектов с запаздыванием. Особое место в классе таких систем занимают технологические процессы, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом нейтрального типа. Как отмечается в [1, 2], у таких систем имеются критические случаи, когда система может стать неустойчивой, хотя при этом корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные составляющие. Задача синтеза системы управления часто усложняется из-за отсутствия датчиков для измерения всех компонентов вектора состояния.

В данной статье рассматривается построение адаптивной системы управления с эталонной моделью для линейных объектов с запаздыванием нейтрального типа, когда измерению доступны скалярные вход-выход, для чего используется метод алгоритмов адаптации высокого порядка.

Постановка задачи

Рассмотрим объект управления, динамические процессы в котором описываются уравнением

Q(p)y(0 + Р(р)у(* -т) = ^(р)и((), ру(0) = уН), 1 = 0,..., п -1, (1)

(5) = Уйо^Х 5 е[-т,0]

где и, у - скалярные вход и выход объекта; т - известное время запаздывания; Q (р), R(р), Р(р) - линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами, зависящими от некоторого вектора неизвестных параметров еН, причем |/0| < 1, где ^ - коэффициент при старшей производной оператора Р(р); Н - известное множество возможных значений вектора £,; коэффициенты при старших производных операторов Q(p) и Я(р) равны единице; уИ0(5)- начальные ограничен-

ные непрерывные функции; k - неизвестный коэффициент и k > 0; deg Q(р) = п; deg R(р) = т; ёе§F(р) = п; п -1 > т; р = d/dí - оператор дифференцирования.

Требуемое качество переходных процессов регулируемой выходной величины объекта управления задается уравнением эталонной модели

где г(^) - ограниченное задающее воздействие; Qm (р), Rm (р) - линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами такие, что полиномы Qm ^) и Rm ^) -гурвицевы, ёе§ Qm (р) = п; аее Rm (р) = т. Требуется синтезировать систему управления, обеспечивающую выполнение целевого условия

Метод решения

Представим операторы Q(p) и R(p) в виде Q(p) = Qm (p) + AQ(p), R(p) = Rm (p) + AR(p), где deg( AQ(p)) = n -1, deg( AR(p)) = m -1. Тогда из (1) получим

где 0у є Rn 1,0и є Rn !- векторы состояния фильтров; F є R(п 1)х(п :)-гурвицева числовая матрица с характеристическим многочленом Rm (5);

Qm (Р)Ут (t) = kmRm (P)r(t),

(2)

lim e(t) = lim(y(t) - Ут (t)) = 0.

(3)

t

t

Принимая во внимание (2) и (4), получим уравнение ошибки

Є = У Ут :

Далее, рассмотрим фильтры

6 и = F6u + Ь0^

0 y = F6 У + Ь0 У>

(6)

L = [1,0...0]; b0T = [0,0,...,1]. Составим вектор регрессии

гда уравнение ошибки (5) можно записать в виде

*(0 = огг)-(и + С0Т^). (7)

^ ( р)

Здесь с0 - вектор неизвестных параметров, зависящий от коэффициентов полиномов АЯ(5), АQ(s) и параметра к.

Выберем передаточную функцию Т (s), удовлетворяющую равенству

(5 + а)Т (s) = <2т (5)/ Ят (5),

где а - один из корней полинома Qm (5). Тогда уравнение (7) можно переписать как

Ф) = —— (^^-соТ™ X (8)

р + а Т (р)

_ w где вектор w =------.

Т ( р)

При формировании фильтров (6) использовалась производная выходного сигнала объекта управления. Однако в реальных случаях получить производную выходного сигнала объекта либо очень трудно, либо даже невозможно. С этой целью введем оценку производной выхода объекта.

Пусть г1 = у - у - значение ошибки между значением выхода объ-

екта и его оценкой.

Для оценок производных воспользуемся уравнением

Х і = Х2,

X 2 = Хз,

(9)

(n-m)

Xn-m = -Xl - «1X2 - «3Х3... - an-mXn-m + У,

У = Xi.

Если выполняется целевое условие

lim Zi (t) = lim (y(t) - y(t)) = 0, (10)

t t

то можно судить о возможности применения данной оценки.

Преобразуем уравнение ошибки z1 = y - у, подставив (4) и (9) в (10):

Zi (t) = -—Zi + k(T-1 (p)u - c0TW) + (p) r - ay +

ai Qm (P)

+ -(a2 y(2) +... + an_J(n-m)) + v, (ii)

«І

где V - вспомогательное управляющее воздействие; а1, ап - некоторые положительные константы. Если вспомогательное управляющее воздейст-

к ^ ( л) 1

вие зададим как V = ау—т-т----------г------(а2у(2) +... + ап—ту(п—т)), то вы-

^ (Р) а1

ражение (11) можно переписать в виде

, ч к .и т_. /•1 /<ч\

*1(0 = —ГТ~(^Т— с0 ™). (12)

р +1/а! т (р)

На основании моделей (8) и (12) и с учетом принципа непосредственной компенсации зададим закон управления в следующем виде:

и = Т (р)стШ ^), (13)

где с - вектор настраиваемых параметров.

Утверждение. Пусть заданы модели ошибок (8) и (12). Выберем нормированный асимптотически устойчивый полином а( р) степени

п — т — 2 и минимальную реализацию (с1зА,Ь) передаточной функции

а(0)/ а( р) [3]. Тогда алгоритмы адаптации

V , = ^(е + I = 1Ч,

■Л,. = (1 + Ц^Т^)(АПг + Ь У, ), ц = 3(1/ а1 + ^ а1 (Щ + \РА-1Ь\)2 . (14)

—т 4А, ^ ^

С = с1 п,

обеспечивают выполнение целевых условий (3) и (10).

Здесь к > к - верхняя оценка коэффициента к, а матрица

Р = Рт > 0 является решением уравнения АтР + РА = —21, где I - еди-

ничная матрица.

Доказательство. Аналогичное утверждение при F(р) = 0 доказано в [3-5].

Рассмотрим функцию Ляпунова следующего типа:

1 1 Ч к Ч 1

к (о=-е 2(о+-х 2 (t)TPzl (о+-х V, 2(о+-Л). (15)

2 2 г=1 2 г=1 2

При этом переменные и определены равенствами:

2, = п, + А 1Ь V,;

~ (16)

V, = С0г —¥ г.

Вычислим полную производную по времени функции (15), подставив уравнения (14) и (16):

V = -\е2 + к (в + г )£ Щ г - к (в + щст щ -

-X(1 + ум w)zi + Хzi РА bwi(е + z1)-

і=1 і-1

■А ~ 12 ^2 я 2 1 2

- k(е + ^)£ Wi ~і--------------Zl <-- е -£ Zi - — Zl -

і=1

і =1

3

3а,

я

-X

і=1

е2 - (к;\с\ + РА 1Ь )e||wi ||zi | + 2zi2

я

-X

і=1

3^2 - (kC| + РА 1Ь )|^||wг||zг| + 2zг2

< 0,

где Ц + Ц2 = Ц.

В силу того, что функция (15) является неубывающей, и из леммы Барбалата следует ограниченность всех сигналов системы и выполнение целевых условий (3) и (10) при t ^ да.

Пример

Для иллюстрации полученных результатов рассмотрим неустойчивый объект управления (1)

(р3 -1,5р2 + 0,5р)у^) + (0,7р3 +1,7р2 + 2р)у^ -1) = 3и^)

и эталонную модель, имеющие передаточные функции соответственно (р +1)3Ут ^) = г(t), г(t) = 1 + sin 0,5Г.

Закон управления и алгоритмы настройки его параметров формируются в соответствии с уравнениями (13) и (14), где ц = 110.

Результаты моделирования представлены на рисунке.

e

1--------------------1--------------------1--------------------1--------------------1-------------------г

0 20 40 60 80 100 120 140

J_____________________I___________________I____________________I____________________i____________________L

D 20 40 60 GO 100 120 140

Заключение

В данной статье решена задача построения адаптивной системы управления объектами с запаздыванием нейтрального типа, обоснована работоспособность синтезированной системы, когда измерению доступны скалярные вход-выход объекта управления. Моделирование на ЭВМ иллюстрирует, что система имеет хорошие показатели качества переходного процесса. К недостаткам следует отнести большое количество настраиваемых параметров и отсутствие методик выбора параметров алгоритма адаптации.

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Кирьянен А. И. Устойчивость систем с последействием и их приложения. -СПб.: Изд-во С.-Петербург. ун-та, 1994.

2. Колмановский В. Б., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. - М.: Наука, 1981.

3. Morse A. S. High-order parameter tuners for adaptive control of nonlinear system // Isidori A., Tarn T. J. (eds.) Systems, Models and Feedback: Theory and Applications. - Birkhauser,1992. - P. 339-364.

4. Monopoli R. V. Model reference adaptive control with an augmented signal // IEEE Trans. On Automatic Control. - 1974. - Vol. 19, N 5. - P. 474-484.

5. Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. - СПб. : Наука, 2000.

Получено 8.09.2004

THE SYSTEM SYNTHESIS OF ADAPTIVE CONTROL OF NEUTRAL TYPE OBJECT WITH DELAY

I. B. Furtat, A. M. Tsykunov

The system synthesis of adaptive control of master model for linear objects with neutral type delay when it is possible to measure scalar input/output of a control object with the use of the algorithm method of high order adaptation is considered in the work. The efficiency of the built control system is proved. Modelling on the computer illustrates that the system has good transient performance indexes.