CC BY
27
МАТЕМАТИКА
УДК 62-50
А. М. Цыкунов Астраханский государственный технический университет
УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТОМ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ УПРАВЛЕНИЕМ ПО ВЫХОДУ В УСЛОВИЯХ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Введение
Задача управления объектами с запаздыванием в управлении в условиях априорной неопределённое™ их параметров занимает особое место в теории управления. Это обусловлено тем, что устойчивость и качество переходных процессов в замкнутой системе зависят от величины запаздывания. Вследствие этого для улучшения качественных показателей замкнутой системы часто используют различные прогнозирующие устройства [1, 2]. Однако это не снимает всех проблем, а именно таких, как требования к устойчивости разомкнутой системы. Хорошо известно [3], что для неустойчивого объекта управления можно построить систему управления только в том случае, когда запаздывание по сравнению с доминирующей постоянной времени объекта управления является малой величиной. Эта проблема усугубляется в случае априорной неопределённости параметров.
В настоящее время имеются опубликованные работы по построению адаптивных систем управления для объектов с запаздывающим управлением с использованием адаптивных прогнозирующих устройств [1, 2, 4]. В [5] была сделана попытка построить адаптивную систему управления без прогнозатора, когда относительная степень объекта меньше или равна двум. Однако выбранная структура закона управления является структурно неустойчивой, поэтому в процессе настройки параметров управляющего устройства имеется опасность, что система станет неустойчивой.
В данной работе предлагается одна из возможных схем построения адаптивной системы управления без прогнозирующего устройства в сочетании с хорошо известной схемой расширенной ошибки.
Постановка задачи
Рассмотрим объект управления, динамические процессы в котором описываются дифференциальным уравнением с запаздывающим аргументом
где Q(р), Я(р) — нормированные линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами; у(V) — скалярная регулируемая переменная; и(^) — скалярное управляющее воздействие; р = & / & — оператор дифференцирования; к > 0 ; к — постоянное время запаздывания. Эталонная модель задана уравнением
где ут (V) — выход модели; г(V) — задающее воздействие; кт > 0, Qm (р), Ят (р) — нормированные линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами.
Требуется построить систему управления, обеспечивающую выполнение целевого условия
Q(р)у(0 = кЯ(р)ы(* — к), и (у) = 0,5 е [—к, 0),
(1)
Qm (р)Ут ({) = ктКт (р)г(* — к\
(2)
Нш(у(^) — Ут (V)) = 0
(3)
при следующих ограничениях:
Предположения: 1. Полиномы О(1), От(1), Л(1), Ят(1) - гурвицевы, где 1- комплексная переменная в преобразовании Лапласа. 2. Коэффициенты полиномов О(1), ^(1) и величина к зависят от вектора неизвестных параметров X. Известны порядки полиномов О(1), Qm (1), Л(1), Ят (1) - п, п, т, т соответственно, п -1 > т .
Метод решения
Преобразуем уравнение (1) к виду
у(і) = к?тМ. ( ОтМ. И(, - И) + ЩРЩтМ. и(( - И) ^ От (Р) I О(Р) К (Р)О(Р)
+ 8(і). (4)
Здесь 5^) — экспоненциально убывающая функция, зависящая от начальных условий. Выделим в выражении Qm (р) / Q(р) целую часть, т. к. deg Qm = п, deg Q = п . Тогда получим
у({) = к^ (р) Ги(^ — к) — А£(р1и(^ — к) + М(P)Qm (р) — к)1 + 5(0, (5)
От (Р) I О(Р) ^т (Р)О(Р)
У
где АQ(р) = Q(р) — Qm (р), deg АQ = п — 1.
Если все параметры объекта управления известны, то закон управления
н^) = ^(р) и(0 — А^(1ШЛр1 н(1) + ^г(0 (6)
Q(P) ^т {рШр) к
обеспечивает следующий вид уравнения замкнутой системы:
У(0 = кт*т (р) г(V — к) + 5(0, (7)
Qm (р)
т. е. переходные процессы в замкнутой системе после затухания составляющей 5(^) будут такие же, как в эталонной модели.
Так как параметры объекта управления неизвестны, то возьмем настраиваемый фильтр
состояния (&и (О = ^тСн (О + Ьи (V) + *рг (ОС и (V), где £ и е Яп ; ЬТ = [0, ..., 0, 1]; Ат — гурвицева матрица в форме Фробениуса с характеристическим многочленом Qm (1); Р(^) — настраиваемый вектор.
Так как матрица Ат задана в форме Фробениуса, то существует вектор Р0 такой, что матрица Ат + будет иметь характеристический полином Q(1). Поэтому уравнение фильтра преобразуется к виду
£ и (V) = (Ат + ЬЬТ )£н (V) + МО + ¿(Р(0 — Ь0)Т £ и (V), (8)
Ц(() = дТ £и (V) + ^0С и» (V),
где £и (V) е Яп; д, д0 — коэффициенты полинома Qm (1), £ит (V) — производная п -й компоненты вектора £и (V). Если (Р(^) — Р0)Т £и (V) будет стремиться к нулю при V , то в пределе
си (() =
1 Рп-1
-и(і),...,---------------и (і)
, ^(і) = От (Р) и (і). Тогда первая составляющая в законе управ-О( Р)
_ Q(p) ^(р)
ления (6) может быть реализована в виде 0Т(0Си(V), где 0^) — настраиваемый вектор параметров. Для формирования второй составляющей возьмём фильтр
£ (V) = Щ) + Ьф), (9)
где £(0 е Ят ; ^ — матрица в форме Фробениуса, с характеристическим полиномом Ят(1). Тогда имеем
Г (t) =
u(t) pm lu(t)
Rm (P)Q(PV" ’ Rm (P)Q(P)
что позволяет реализовать вторую составляющую в (6) в виде (t)v(t), где m(t) - настраивае-
мый вектор. Возьмём следующий закон управления:
u(t) = 0T (t)Zu (t) + (t)v(t) + a(t)r(t), (10)
где a(t) — настраиваемый параметр. Тогда из уравнения (5) получим
y(t) = kRm-(P) ((0(t—h)—0o)T Z u (t—h)+(m(t—h)—mo )T V(t—h)+
Qm (P)
+ (a(t — h) — a0 )r (t — h) + a 0r (t — h)) + 5(t), (11)
где вектор 0o составлен из коэффициентов полинома DQ(l), а вектор m0 - из коэффициентов
полинома DR(l) с противоположными знаками, записанными в обратном порядке; a0 = km /k .
В идеальном варианте вектор b(t) должен стремиться к b0, а вектор 0(t) - к 00, но b0 = —00, поэтому будем настраивать вектор 0(t), а вектор b(t) в (8) будем брать b(t) = —0(t). Тогда уравнение фильтра (8) примет вид
z u (t) = Am Zu (t) + bmT (t )v(t) + ba(t )r (t), (12)
h(t) = qT Zu (t) + q0Z um (t).
В результате все фильтры оказались независящими от неизвестных параметров объекта управления, а следовательно, они реализуемы.
Введем векторы CT (t) = [0T (t), mT (t), a(t)] , c0 = [0T , m0 , a0] , WT (t) = [ZT (t), XT (t), r(t)] и из уравнений (3) и (11) получим уравнение ошибки e(t) = y(t) — ym (t) без учета экспоненциально убывающей функции d(t) .
e(t) = kRm(P)(c(t — h) — C0 )T w(t — h) . (13)
Qm (P)
Получили обобщенный настраиваемый объект, для которого применима любая известная схема расширения [6], например следующая:
Є1 (t) = T (P)Rm( P) (g (t — h)t(t) —ceP (t )JT (t — h)J(t — h))
Qm (P) ,
g (t) = (cT (t)T-1 (P) — T-1 (P)cT (t)) J(t), T(P) J (t) = w (t), (14)
где t(t) - настраиваемый параметр, c > 0. Уравнение расширенной ошибки
eP (t) — e(t) + ej (t) будет иметь вид
eP (t) = W (P)(k (c(t — h) — C0 )T J(t — h) + (t(t) — k) g (t — h) —
— Cep (t)JT (t — h)J(t — h))
T( p)R ( p)
Выберем полиномы T(p), Rm (p), Qm (p) так, чтобы передаточная функция m
^( р)
имела вид —1—, где а > 0 . Тогда уравнение для расширенной ошибки запишется следующ
1 + а
образом:
ep (t) = ~aep (t) + (k(c(t - h) - c0 )T J(t - h) + (r(t) - k)g(t - h) -
-Xep(t)JT(t -h)J(t -h)). (15)
Утверждение. Пусть выполнены условия предположений и алгоритмы настройки имеют вид
ep (t)J(t - h) t(t) _ _ Pep (t)g(t - h)
i+e2 (t) , T _ i+e2 (t)
¿(t)_- p/ , t(t)_- Г , (i6)
где р > 0, Г = ГТ > 0 . Тогда выполнены целевые условия (3) и все сигналы в замкнутой системе ограничены.
Доказательство утверждения. Проинтегрируем первое уравнение в (16) на отрезке ‘ * (5)Щ5 — к)
[t - h; t] c(t) _ c(t - h) - I —----^------ds . Тогда уравнение (15) можно записать в виде
Л 1 + e:(s)
T г ep (s)PJ(s - h) T
e, (t) _-aep (t) + (kc(t)T J(t - h) + t(t) g (t - h) - J p\’ ' ds-cep (t)JT (t - h)J(t - h)), (17)
Л 1 + e2(s)
t-h
где c (t) _ c(t) - c0, t(t) _ t(t) - k .
Возьмём функционал Ляпунова - Красовского
V(t) _ ln(1 + ep(t)) + kcT(t)r-1c(t) +112(t) + p P
0 t
+ Jdv J s(s)ep (s)JT (s - h)rj(s - h)ds, c(t) _ 1/(1 + e2 (t))
-h t+v
и вычислим полную производную на траекториях системы (16), (17):
V(t) _ -2ac(t)e2 (t) + 2c(t)ep (t) JT (t - h) J s(s)ep (s)J(s - h)ds
t-h
t
- hs(t)ep (t) JT (t - h)rj(t - h) - J a(s)e2 (s)JT (s - h)J(s -
t-h
Ce p (t)JT (t - h)J(t - h). (19)
p
Выделив полный квадрат и учитывая неравенство o(t) £ 1, получим
t
V(t) - 2c(t)e2 (t)(a + JT (t - h)(ßI - rh)J(t - h)) - J gT (s, t)Г-1 g(s, t)ds,
t-h
где g (s, t) _ (ep (t)JT (t - h)r- e (s)JT (s - h)r). Тогда, выбрав c и Г из условия %I - hr> 0,
JT (t — h)G-ep (- *T‘
получим V(t) < — ac(t)ep , откуда следует lim ep (t) = 0 . Далее доказательство того, что выполнено
целевое условие (3), полностью аналогично доказательству в [6] и поэтому здесь не приводится.
Пример. Уравнения объекта управления и эталонной модели имеют вид: (p3 + 2p2 + 2p + l)y(t) = 4u(t-5), (p3 + 3p2 + 3p +1)ym(t) = 2r(t-5). В фильтре (12) Zu G R3, Zu(t) = A,Zu (t) + (t)h(t) + ¿a(t)r(t), h(t) = qTZu (t) + qoZuffl (t), матрица 4m имеет характери-
стический полином l3 + 3l2 + 3l +1, wT (t) = [Z U (t), h(t), r(t)]. Схема расширения имеет вид
e (t) = Tp\ (g (t - h) x(t) - Cep (t )JT (t - h) J(t - h)), g (t) = (cT (t )T-1 (p) - T-1 (p)cT (t ))Jt),
Qm ( p )
T(p)J (t) = w; (t) , где T(p) = p2 + 2p +1. На рисунке приведены графики переходных процессов в системе при нулевых начальных условиях, когда параметры системы управления имели значения: Г = diag{0,3 0,3 0,3 0,3}, р = 0,5, % = 20 .
0,6
0,4
0,2
-0,2
11(f) n
/Т
J
; t, С
100 200 300
Переходные процессы в системе СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Паршева Е. А., Цыкунов А. М. Адаптивное управление объектом с запаздывающим управлением со скалярными входом-выходом // Автоматика и телемеханика. - 2001. - № 1. - С. 142-149.
2. Цыкунов А. М. Адаптивное управление с компенсацией влияния запаздывания в управляющем воздействии // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2000. - № 4. - С. 78-81.
3. Колмановский В. Б., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем
с последействием. - М.: Наука, 1981. - 448 с.
4. Фуртат И. Б., Цыкунов А. М. Адаптивное управление объектами с запаздыванием по выходу // Изв.
вузов. Приборостроение. - 2005. - Т. 48, № 7. - С. 15-19.
5. Niculescu S. I., Annaswamy A. M. An adaptive Smith - controller for time delay systems with relative degree
n £ 2 // Systems and Control Letters. - 2003. - Vol. 49, N 5. - P. 347-358.
6. Narendra K. S., Annaswamy A. M., Singh R. P. A general approach to the stability analysis of adaptive sys-
tems // Int. J. Control. - 1985. - Vol. 41, N 1. - P. 193-215.
Статья поступила в редакцию 1.10.2006
MANAGEMENT OF AN OBJECT WITH TIME-DELAY MANAGEMENT ON OUTPUT IN CONDITIONS OF PARAMETRICAL UNCERTAINTY
A. M. Tsykunov
The problem of construction of an adaptive control system for an object with time-delay management and unknown parameters is considered in the paper. The initial model is transformed, and algorithms of management are synthesized by means of augmented error method.
