Модифицированный алгоритм адаптации высокого порядка для систем с запаздыванием по состоянию Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕОРИЯ СИСТЕМ

УДК 62-50

И. Б. Фуртат, А. М. Цыкунов Астраханский государственный технический университет

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ АЛГОРИТМ АДАПТАЦИИ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА ДЛЯ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПО СОСТОЯНИЮ

Введение

Классическая теория управления рассматривает объект как детерминированную систему, т. е. когда математическая модель объекта с достаточной точностью описывает поведение реальной системы. Однако ввиду отсутствия точной информации о параметрах объекта, векторе состояния, производных входных и выходных сигналов, применение методов классической теории становится крайне затруднительным. В связи с этим возник особый интерес к задачам адаптивного и робастного управления по слежению за эталонным сигналом [1-10].

Настоящая статья посвящена решению задачи слежения за эталонным сигналом в условиях априорной неопределенности без измерения переменных состояния и производных входного и выходного сигналов с помощью модифицированного алгоритма адаптации высокого порядка, предложенного ниже.

Алгоритмы адаптации высокого порядка были предложены в [2], где для их работоспособности строятся оценки производных от вектора настраиваемых параметров с помощью специальных наблюдений. В [3, 4] предложены другие варианты алгоритмов. Однако по сложности они не очень сильно отличаются от первоначальных.

В данной статье предлагается идеология [2-5], но реализация алгоритма упрощается, и порядок замкнутой системы понижается на 2п(п - т -1) + (2п - 1)(п - т), где т , п - порядки полиномов соответственно числителя и знаменателя передаточной функции объекта.

Постановка задачи

Рассмотрим объект управления, динамические процессы в котором описываются уравнением

й(р)у() + Р(р)у(г - И) = кЯ(р)(ы(Г) + /(*)). (1)

Здесь Q(р), Я(р), Р(р) - дифференциальные операторы с постоянными неизвестными коэффициентами, причем Q(р) и Я(р) - нормированные; к > 0 ; И - известное время запаздывания; у(^) - регулируемая скалярная переменная; и(^) - скалярное управляющее воздействие; / ^) -возмущающее воздействие; р = & / & - оператор дифференцирования.

Эталонная модель задана уравнением

рУт К) = -атУт К) + ктГ К) , (2)

где ат > 0; кт > 0; г^) - ограниченное задающее воздействие.

Формируется стандартная задача управления с эталонной моделью по выходу с требованием построить систему управления, обеспечивающую для любых начальных условий ограниченность всех сигналов системы, а также выполнение целевого условия

Шп| в(г )| = Шп| у(^) - Ут (^)| <5, (3)

? —¥ £

где 5 - некоторое, достаточно малое число, которое может быть уменьшено за счет закона управления. Поставленная задача является стандартной постановкой для синтеза адаптивных систем управления с эталонной моделью для линейного объекта по выходу [1, 2, 4, 5].

Предположения:

А1. Известны порядки нормированных полиномов Q(1), Я(1),

и Р(1) deg Q(р) = п , deg Я(р) = т , deg Р(р) < п -1, п -1 > т, где 1 -

комплексная переменная в преобразовании Лапласа; у = п - т - относительная степень объекта.

А2. Полином Я(1) - гурвицев.

А3. ат > 0; кт > 0 ; к > 0 .

тт

А4. Задающее г(^) и возмущающее /(^) воздействия являются ограниченными функциями времени.

А5. Измерению доступны величины и(^), у(^), ут ^), г ^). Использование производных этих величин в системе управления не допускается.

Синтез адаптивного алгоритма в случае измеримости производных входного сигнала

Рассмотрим, как можно было бы построить систему управления, если бы допускалось измерение п - т -1 производных входной величины.

Зададим и(^) в виде

и() = Т (рМО, (4)

где ) - новое управляющее воздействие; Т (р) - линейный дифференциальный оператор порядка п - т -1, причем полином Т(1) - гурвицев.

Тогда уравнение (1) преобразуем к виду

Q(р)у(*) + Р(р)у(Г - И) = кЯ(р)(Т(р№) + /(Г)). (5)

Разложим операторы Я(р), Q(р) на слагаемые Я(р) = Ят (р) + ДЯ(р), Q(р) = Qm (р) + ДQ(р), где Ят (р), Qm (р) - операторы с известными коэффициентами такие, что полиномы Ят (1) и Qm (1) - гурвицевы и имеют порядки т и п соответственно. Тогда ДЯ(р), ДQ(р) - операторы с неизвестными коэффициентами порядков т -1 и п -1 соответственно. Выберем Ят (р), Qm (р) и Т(р) так, что Ят (р)Т(р)/ Qm (р) = 1/(р + ат), тогда, используя процедуру «операторного деления», уравнение (5) можно преобразовать к виду

Т — ру(*) + ату(0 = к(уЦ) - С0 w(t) + -т г^) + ф(0 + 5(*)), (6)

к

где 5^) - экспоненциально затухающая функция времени, т. е. 5(^)е Ь2;

ф(/) =---Я((/) - ограниченная величина в силу гурвицевости полинома

кТ (р)Ят ( р)

Т(1)Ят (1) и предположения А4; w(t) = [у(/), у(/ - И), 0у ^), 01(/), 0у Ц), г(0]Т -вектор регрессии; 0 у е Яп-1, 0у е Ят, 01 е Яп-1 - векторы состояния фильтров

0у (о=р00у (о+0у (о=Р010у (о+*0у(^), 01 (^)=0у т - и),

0 у (0) = 0, 0у (0) = 0,

где Р0, Р01 - гурвицевы матрицы в форме Фробениуса с характеристическими многочленами Т(1)Ят (1) и Ят (1) соответственно; Ь0 = [0, ..., 0, 1]Т . Выберем закон управления в виде

у(( ) = сТ (Г )м>(^, (8)

где с - вектор настраиваемых параметров. Тогда уравнение ошибки с учетом (2) примет вид

(р + ат)е(г) = к(с(0 - С0 )Т w(t) + кф) + к). (9)

Утверждение 1. Пусть выполнены условия предположений А1-А5

и полином Т(1) - гурвицев порядка п - т -1. Тогда существуют числа р > 0, а > 0 такие, что алгоритм адаптации

С^) = -рв^ ) -ав2^ )с^) (10)

с фильтрами (7) и законом управления (8) обеспечивают выполнение целевого условия (3) и все сигналы в замкнутой системе являются ограниченными.

Доказательство утверждения 1. Рассмотрим функцию Ляпунова вида

V Ц) = Ивк (c(t) - С0)Т (c(t) - С0),

Р1

где И1 > 0 , р = Ир1 , р1 > 0 , и вычислим полную производную в силу уравнения (12):

V <-2amИ1в2(t)-2ак(c(t)-с0)Тв2(0Ф) + 2И1kв(t)ф(t). (11)

Р1

Воспользовавшись оценкой 2вкИф^) < 51в2 + (кИ1)2 5-1 Л и тождеством -2(с -с0)Тс(0 = -(с -с0)Т (с -с0) -СТС + ||с0||2, из (11) получим

Т> < 2,0 , ак|| II2 £. + (кИ1)2 |ф| , .

V <-в (2атИ-------С0 -61) +---(12)

р1 61

Если выбрать И, р1 из условия атИ — ак ||с II2 -61 > 0, то целевое ус-1 т р1 0 1 ловие (3) будет выполнено. И если известны максимальные значения величин ||ф^)|| и ||с0||, то выбором числа 61 можно получить заданное значение 6.

Теперь необходимо показать, что все переменные в (7) являются ограниченными функциями.

Учитывая, что матрицы Р0 и Р01 гурвицевы, и принимая во внимание условия А2, А4 и неравенство (12), ясно, что (с^) - с0)^ ® 62 при t ® ¥, где 62 - малое число. Значит, векторы 0у, 01 и 0у ограничены. Рассмотрим второе уравнение фильтра (7):

0у = ^01 + Ь0С0Т1 )0у + Ь0(С - С0)Т W +

к

+ Ь (С02у^) + 4,0у + С04у^ - И) + 4Д +-тг^)),

к

где неизвестные коэффициенты с01 , с02 , с03 , с04 , с05 получены при соот-

кт

с01, С02 , с03, С04 , С05 , к .

Матрица F01 + Ь0с(^1 имеет характеристический многочлен Я(1), который, в соответствии с А2, гурвицев, а, значит, 0у ^) - ограниченный вектор, т. е. весь вектор w(t) ограничен. А из функции Ляпунова V и изложенного выше следует ограниченность векторов W(t) и С(^. Это значит, что если система начинает работать из некоторой области начальных значений 0.0, то существует область

Т

ветствующем разложении полиномов, т. е. с0 =

£ = {е(У), ), е(1[), ), с(^ : )| < к, \е^)| < к2, )| < к3, |с(0| < к4 }

с некоторой областью притяжения £1, для которой справедливо целевое условие (3).

Синтез алгоритма адаптивного управления без измерения производных выходного сигнала

Ввиду отсутствия информации о производных входного и выходного сигналов сформируем закон управления следующим образом

А

) = %Т (р) v(t), v(t) = ст (* )й^), (13)

где с > 0 - коэффициент, предназначенный для повышения точности слежения выхода объекта управления (1) за эталонным сигналом (2); для оценки переменной V и ее производных используем любой из наблюдателей, например [6-8]. Воспользуемся схемой, предложенной в [7, 8].

А

Х(о=едо+в0т - ^о), =нх(о, (14)

где Хе Я7 '; Со =

А й2 ^у-1

17_2 - единичная матрица порядка (7 _ 2);

Во =

т ’ т25 т71

00

т

, причем йх, ... ,й7-1 выбираются из условия

гурвицевости матрицы О = О0 _ ВН , где В = [й1, й2, ... ,й7-1 ]; Н = [1,0, ... ,0]; т - достаточно малая величина. В этом случае в (10) будут использованы переменные с наблюдателя (11), а, значит, в условиях неизмеряемости производных входного и выходного сигналов закон управления (10) является технически реализуемым, т. к. содержит измеряемые и известные величины. Преобразуем уравнение (1) с учетом (4), (5), (6) и (10):

(Р + ат) у(Г) = кс((ф) _ с )т ) + ^(Г) _ v(t)) + ктг (Г) + + 5(0),

ск с

а уравнение ошибки примет вид

А

(Р + ат )^) = к%(с^) _ С0 )т w(t) + kx(v(t) _ v(t)) + кф^). (15)

Введем в рассмотрение вектор отклонений ц = Г_ (Х _ 0), где

г={ т7_2, т7_', ... , т, 1}, 0=[v(t), v(t), ... , v7_1(t)].

Уравнение отклонения с учетом уравнения (11) примет вид

А

) = v(t) _ v(t) = т7_2Нл(0 .

Продифференцировав вектор отклонений, получим

h(t) =1 Оц^) + hTv(7 ^).

т

А

Преобразуем уравнение отклонения и вектор отклонения в эквивалентное уравнение относительно выхода ):

ц^) =1 Оц^) + hTV(t), г^) = т7_2Нц^), (16)

т

где матрица О гурвицева и удовлетворяет уравнению Ляпунова

ОТЫ + N0 = _31,

где 1 - единичная матрица [9].

Преобразуем уравнение (15), принимая во внимание (10) и (13):

е = _атв + кс(с _ С0)Тй + кст 2 7_2Нц^) + кф^), (17)

Утверждение 2. Если выполнены предположения А1-А5 и полином Т(1) - гурвицев порядка п _ т _ 1, то существуют число т0 и алгоритм адаптации вида (10) такие, что при т < т 0, р> 0 и а> 0 система управления (7), (10), (13), (14) и (17) диссипативна, если движение системы начинается в некоторой области £0 и при этом выполнено целевое условие (3).

Доказател ьство утверждения 2. Запишем уравнения (16) и (17) в виде

е = _ате + к%(с _ С0)т й + кст 2 7_2Нц(t) + кф^),

Т (18)

т1ц=т 2н 1>+Оц,

где т1 = т2 = т, и воспользуемся леммой [10].

Лемма [10]. Если система описывается уравнением х = /(х, т1, т2), х е Я6'1, т = со1(т1, т 2) е Я6'2, где / (х, т1, т2) - непрерывная функция, лип-шицева по х , и при т2 = 0 имеет ограниченную замкнутую область диссипа-тивности £1 = {х|Р( х) < С}, где Р(х) - непрерывная кусочно-гладкая, положительно-определенная функция в Я61, то существует т0 > 0 такое, что при т2 < т0 исходная система имеет ту же область диссипативности £1, если для некоторых чисел С1 > 0 и т1 > 0 при т2 = 0 выполнено условие

8ир

|т, |<т

—\Т

ЭР( х)п

Эх

, / (х, р( х) = с

<- с, (19)

при Р(х) = С .

Возьмем функцию Ляпунова для уравнения (16) в виде У2^) = цт (t) ), тогда, учитывая уравнения (18), получим

V (t) = _—цт ^)йц(0 при т2 = 0.

т1

Таким образом, при т2 = 0 получаем исходную систему уравнений (7), (9), к которой добавляется независимое уравнение цц^) = Оц(0 с асимптотически устойчивой переменной ц^). И для нее имеем область дисипативности О с областью притяжения П1.

Очевидно, условие леммы выполнено, а следовательно, система (18) имеет область диссипативности О. Однако область притяжения может оказаться другой, поэтому рассмотрим функцию Р(х) и в качестве нее возьмем функционал Ляпунова - Красовского

Р = Ъ2е) + к (с^) _ С0 )т (с^) _ С0) + от ^ жеу «) +

р у у

0

+ ет (t )Я20У (t) + | ет (6)Я301 фЖ + цт ^) Nц(t),

_н

где Я1, Я2, Я3, N - положительно-определенные симметричные матрицы. Выберем число С так, чтобы ограниченная замкнутая поверхность Р(х) = С, где хт (0 = [е,цт, 0у, 0У, 01], находилась в области О по переменным x(t), а поскольку множество притяжения О1 лежит в открытой области V(х) < С и система диссипативна, то переменные х(0 будут стремиться к области притяжения О1 , а следовательно, существует число С1, для которого выполнено (19). И только переменные ц^) и их скорость сходимости к нулю зависят от выбора т1 . Таким образом, в соответствии с леммой [10], существует число т0 > 0 такое, что при т<т0 областью диссипативности системы (7), (13), (16), (17) остается область О .

Пусть в (18) т1 = т2 = т0. Будем считать, что движение системы начинается в начальном множестве начальных условий О0, а следовательно, все траектории системы будут находиться в области диссипативности О .

Рассмотрим функцию Ляпунова V = У1(е, с _ с0) + V2 (ц) для замкнутой системы вида

V = Н1е2 +цт^ + к(с _с0)т (с_с0).

1 р1 0 0

Вычислим полную производную от функции Ляпунова на траекториях системы (18):

V = _1атН1е2 + 2ек%Н1 (с _ с0)т й + 2е%Н т0 7_1Нц + 26^ ф^) +

+ 2цтЖ(стй + стй ) + цт — (0TN + МО)ц + —ст (с _ с0). (20)

т р1

Воспользуемся следующими оценками:

2е%л1т0 у~1иц < 2| е\х^о7-1 Ы,

2ыТ^(С Tw + сТ ^) < 2|ыО1)|К0,

где К0 = |Лй|(к4к + к2к3).

Последняя оценка следует из ограниченности вектора регрессии, функции ф(^) и вектора настраиваемых параметров, а также их производных. Подставив все оценки в (20), получим

V <-е 2(1)(ат\ -^Щ2 -62)|л(0|2 - (-^ |л(0| К о)2 +

Р1 Ц0 д/Цо

+ “0К02 - (аИе2 - 2|е|х\Ьт0-1 Ы + ~Ы2) + (к/?16 ^ .

“ 0 62

1

Выбрав “0 < ( 2т )27 1 , получим X ^

Т> < („ 1„ &к\\п ||2 6 чп2^\ , “ г^2 , (к^1) |ф(0|

^&< (ат\ ||С0|| 62)е (^) +“0К 0 + 5 .

р1 62

Видно, что, меняя И1, р1 и 62, можно варьировать величину 6 в целевом условии (3).

Для иллюстрации работоспособности предложенного в статье алгоритма управления рассмотрим пример.

Пример

Рассмотрим неустойчивую систему (1) следующего вида:

Р(Р -1)(Р - 2)у(0 - (5Р2 + 4р + 3)у(г - 5) =

= 4(и^) +1 + 2 + 0,1) + 8т(0^ + 0,5))

и эталонную модель (2), заданную следующим уравнением:

(Р + 1) Ут 0) = Г 0),

где г(^) = 2 + 2 8т 2t + 0,5 8т(0^ + 0,2).

Рассчитаем сигнал управления и(^) в соответствии с выражением (10),

выбрав линейный дифференциальный оператор вида Т ( р) = р 2 + 0,1 р +1:

А А А А

и = х(Р2 + 0,1 Р +1) V = %(у+ 0,1у+ V), где х = 100.

В алгоритме оценки (14) параметры выберем следующими: di = 10, / = 1,2; т = 0,01.

На рисунке приведены результаты моделирования переходных процессов при следующих значениях параметров: у(0) = у (0) = &&(0) = 1, все остальные начальные значения в системе нулевые; р = 10 ; а = 7 .

Заключение

В работе для линейного объекта, заданного в форме вход-выход с неизвестными параметрами и доступными измерению скалярными входом и выходом, но не их производными, рассмотрено построение модифицированных алгоритмов адаптации высокого порядка. Предложенный подход позволяет сократить порядок замкнутой системы на 2n(n — m — 1) + (2n — 1)(n — m) по сравнению с традиционными алгоритмами адаптации высокого порядка, что дает малый по размерности алгоритм управления и простоту реализации. Моделирование на ЭВМ показывает хорошие результаты. К недостаткам можно отнести некоторые сложности, возникающие при расчете коэффициентов регулятора, обеспечивающих устойчивость замкнутой системы.

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Схемы адаптивного управления с расширенной ошибкой // Автоматика и телемеханика. - 1994. - № 9. - С. 3-22.

2. Morse A. S. High-order parameter tuners for adaptive control on nonlinear system // Isidori A., Tarn T. I. (eds). Systems, Models and Feedback: Theory and Applications. - Birkhanser, 1992. - P. 339-364.

3. Nikiforov V. O. Robust high-order tuner of simplified structure // Automatica. -1999. - Vol. 35, N. 8. - P. 1409-1417.

4. Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. - С.-Пб.: Наука, 2000. - 549 с.

5. Feuer A., Morse A. S. Adaptive control of single input, single-output linear systems // IEEE Trans. on Automat. Control. - 2000. - Vol. 45, N 3. - P. 490-494.

6. Khalil H. K. Universal integral controllers for minimum-phase nonlinear systems // IEEE Trans. on Automat. Control. - 2000. - Vol. 45, N 3. - P. 490-494.

7. Khalil H. K. Adaptive output feedback control of nonlinear systems represented by input-output models // IEEE Trans. On Automatic Control. - 1996. - Vol. 41, N 2. -P. 177-188.

8. MahmoudN. A., KhalilH. K. Robust control for a nonlinear servomechanism problem // Int. J. Control. - 1997. - Vol. 66, N 6. - P. 779-802.

9. Фрадков А. Л. Синтез адаптивной системы стабилизации линейного динамического объекта // Автоматика и телемеханика. - 1974. - № 12. - С. 96-103.

10. Брусин В. А. Об одном классе сингулярно возмущенных адаптивных систем // Автоматика и телемеханика. - 1995. - № 4. - С. 119-127.

Получено 19.09.05

MODIFIED ALGORITHM FOR ADAPTATION OF HIGH ORDER IN SYSTEMS WITH LAGGING ON STATE

I. B. Furtat, A. M. Tsykunov

There is considered the problem of adaptive governing yielding linear object with lagging state, unknown parameters and in state of perturbation and parametrical infinity. It is supposed that the governing object is given in «input-output» form with numerator gurvitsev. The problem is solved using new modified algorithm for adaptation of high order, which helps to decrease the order of the closed system and to receive simpler practical governing pattern - both technical and analytical. The efficiency of the new algorithm has been substantiated. The results of modeling have been demonstrated.