СИНТЕЗ РОБАСТНОЙ СИСТЕМЫ СТАБИЛИЗАЦИИ НА ОСНОВЕ КВАДРАТИЧНОЙ ТЕОРИИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62-506

О. А. Ремизова1, И. В. Рудакова2, А. Л. Фокин3

x = A"x + B nu + Vn,

Xltn 1= X"

(1)

У = Сх + Уя, (2)

где Vo, Vн — гауссовы белые шумы, х° — гауссова случайная величина; Vo, Vн и х° не коррелированы и имеют следующие характеристики:

М[х0]= х0, М[(х0 - х°)(х° - х°)т]= Р„ М[УМ = О, М\у^)¥0т()| = Q!>(t)¡¡ (- У), М[кя(Ф О, м\ун (Т)У/ (С)|= ко(0$ ((- у), где М - операция математического ожидания.

Пара (А0,В) - управляема, пара (А0,С) наблюдаема Минимизируемый функционал имеет вид

(3)

СИНТЕЗ РОБАСТНОИ СИСТЕМЫ СТАБИЛИЗАЦИИ НА ОСНОВЕ КВАДРАТИЧНОЙ теории

Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет) Санкт-Петербург, Московский пр., 26

Рассмотрена методика уменьшения чувствительности линейной системы, с законом регулирования, полученным в результате минимизации интегрального квадратичного функционала, к параметрической неопределенности модели объекта.

Ключевые слова: Неопределенность, интегральный квадратичный функционал, случайные возмущения, линейная теория, белый шум, номинальная модель, расширенная модель, характеристический полином, демпфирование, точность, параметры.

Введение

Применение квадратичной теории для синтеза оптимальных систем стабилизации известно с конца 50-х годов прошлого века и связано с именами Р. Калмана и Р. Бьюси, A.M. Летова. Эти системы хорошо зарекомендовали себя, поскольку позволяли решать задачу оптимальной стабилизации для многомерных линейных объектов. Предложенные методы не потеряли своей актуальности и в настоящее время при разных предположениях о характере, действующих на объект возмущений.

Но практическое применение таких алгоритмов управления показало, что полученные системы обладают одним недостатком — высокой чувствительностью регулируемой величины к неточности задания коэффициентов модели объекта управления и характеристикам возмущений [1]. Эти системы не являются грубыми к указанным видам неопределенности и могут потерять устойчивость в тех случаях, когда априорная информация об объекте и внешней среде известна не точно, а лишь с некоторой достоверностью.

Поэтому актуальна задача уменьшения чувствительности контролируемой величины к влиянию неопределенности. Эта проблема обычно решается в рамках теории линейного ро-бастного управления [2-4]. Данная работа является продолжением этой тематики, а предлагаемая методика опирается на идею разделения движений в объекте на две составляющие с последующим выбором управления осуществляющего их взаимную компенсацию во время переходного процесса [5-8], что обеспечивает робастность.

В рамках линейной теории управления при синтезе регулятора обычно рассматривают одну из трех задач минимизации интегрального квадратичного функционала: задача аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР), линейная квадратичная гауссова задача (ЛКГ), H2 -оптимальное управление.

В ЛКГ задаче объект управления задан в виде [9]

J = M

I [xT (t)Qx(t) + uT (t)Ru(t)]dt

(4)

где R,Ro - положительно определенные матрицы, - положительно полуопределенные матрицы.

При решении задачи АКОР рассматривают аналогичную детерминированную постановку с известным вектором состояния. Закон управления имеет вид линейной обратной связи вида

и(^ = - Кх(, (5)

где, К = № (В)т Р, Р = Р> 0 решение матричного уравнения Риккати

(An)TP + PAn - PBnR-l(B°)TP + Q = П .

(6)

Оптимальное управление ЛКГ задачи аналогично выражению (5), но вместо вектора состояния х() используется его оптимальная оценка х (I), которая определяется с помощью фильтра Калмана-Бьюси

x = Anx + Bnu + Kn(y- Cnx), x(tn) =

где

(7)

(8) (9)

K=L(C0)TR-1 4 = > 0 решение матричного уравнения Риккати

А"L + L(А°)т - L(C°)тК0 С0L + Q0 = О. Оптимальное управление теперь будет

и (¿) = - Кх( (), (10)

где К = Я1(В°)тР

Заметим, что уравнение Риккати (6), решение которого используется в формулах (5), (10) для получения управления, в обеих задачах одинаково. Это важно для дальнейшего.

Рис. 1. Структурная схема системыуправления

1 Ремизова Ольга Александровна, канд. техн. наук, доцент кафедры автоматизации процессов химической промышленности e-mail: remizova-oa@yandex.ru

2 Рудакова Ирина Викторовна, канд. техн. наук, доцент кафедры автоматизации процессов химической промышленности e-mail: rudakowa@ws01.sapr.pu.ru

3 Фокин Александр Леонидович, д-р техн. наук, профессор кафедры автоматизации процессов химической промышленности e-mail: fokin_sa@mail.ru

n

Дата поступления - 24 июня 2009 года

Задаче Н2 оптимального управления соответствует структурная схема, показанная на рис. 1. На входе системы действует возмущение \л/(). Это может быть белый шум или окрашенный случайный шум. Рассмотрим уравнение модели объекта стандартного вида

(11) (12) (13)

При этом должны выполняться следующие свойства

а) Пара (А0,Б1°)- стабилизируема, пара (А°,С°)-детектируема,

б) Пара (а0,Б20)- стабилизируема, пара (а°,С°)-детектируема

в) (А°2)г С0 ]= [О /], (14)

x = A0 x + B0 w + B20u0, z0 = CO x + Ц°2ы, y = C2x + D21w .

г)

Bi0 dO

(D0,)r

(15)

Задача синтеза Н2 оптимального регулятора состоит в нахождении регулятора, который минимизирует Н2 норму передаточной функции замкнутой системы 2

\\т,„

22 = j tr \tJ (t)Tw(t)]dt = 2P j tr [tJ (- jw )T„ (jw ))dw (16)

Здесь, как и в ЛКГ задаче, нужно решить два уравнения Риккати

°, (17)

/ /)0чт л0 r>0rr>0\T rs-O^T /-t 0

(A ) x2 + x2 A - x2 B2 (B2 ) x2 + (Cj ) Cj :

0 (0) =

Cio xo,

где x0 e Rn -

u e Rm

(22)

(23)

(24) вектор

у0 = С20 х0 + ПУ,

вектор состояния, управления, w0 е ^ - вектор возмущения в объекте, пг е Rr - помеха измерения, г° е R' - вектор контролируемых переменных, Ао, Во, В20 — , номинальные значения матриц, ДА, ДВ^ ДВ2 — параметрическая неопределенность модели.

Для уменьшения чувствительности H2 - оптимального управления к параметрической неопределенности матриц Ao, B10, B20 расширим модель объекта (22) — (24) за счет пропускания всех компонент вектора состояния ао через не минимально фазовый фильтр [5, 6]

xi (p)= W,(p)xo(p)= ^-T^xo(p), (25) 1 + TF 2P

где t, 1; t, 2 - постоянные времени фильтра.

Тогда расширенная номинальная модель объекта будет иметь вид

x = Ax + B1W0 + B2U , x( 0)= \(x00 )T z = Mdx,

o]T,

y:

C2x+ nY,

(26)

(27)

(28)

A =

где

ß Ao - T,-1/ ß Ao TI! (1 - T, lAo ) - T,2T, lAo

T, 2T, 1B10

ßB2o , x = A x1

. - T, 2T, 1B20 , x1 _

тор состояния расширенной модели

d. t d 2,

ß = 1 + t,- !t, 1, d =\d.i d2i],

M = diag {mi

— век-

объекта,

d.,d2 > 0,

A x. = xo x.

C2 = \C20 C20] .

A0y2 + y2(A0)T - y2(C20)TC20y2 + BiO(B0)T = 0 . (18) Вычисляя матрицы

F2 = - (B0)Tx2, l2 = - y2(C20)T, A2 = A + B0F2 + L2C 0 ,(19) получаем единственное H2 - оптимальное решение, которое имеет вид

x = A2 x - L2y, (20)

u(t) = F2t). (21)

Этому (A2,- L2, F2,0) представлению соответствует передаточная функция регулятора Wp(p), которая может быть определена, например, в среде MATLAB.

Заметим, что уравнение Риккати (17) для формирования управления совпадает с уравнением Риккати (6), которое также служит для получения управления, если выполняются условия: B0R-1 (b0) = B2°(b2O) , Q = (c°) Ci0, а матрицы R и Q в уравнении (6) выбираются разработчиком. Это обстоятельство позволяет применить методики расширения модели объекта за счет искусственного разделения движений с последующей взаимной компенсацией составляющих расширенного движения для всех рассмотренных выше задач, так как во всех случаях для получения управления необходимо решать одно и тоже уравнение Риккати.

Увеличение грубости H — оптимальной системы

Пусть модель объекта управления имеет вид

xo = (Ao + A A) xo + (B10 + A B1)wo + (B2o + A B2)u,

В расширенной модели вместо контролируемой переменной (23) рассматривается другая векторная контролируемая переменная z вида (27) размерности п, которая получена при помощи диагональной матрицы наблюдения М, но примененной к преобразованному вектору состояния сСх размерности п, представляющему собой взвешенную сумму составляющих расширенного вектора состояния Дх(^ и х(0 с не равными положительными весами. С1,с2> 0

В [6, 7] показано, что решение задачи стабилизации для расширенной модели приводит к решению задачи стабилизации для исходной модели, а также, что при минимизации квадратичного интегрального функционала, зависящего от вектора (27), происходит взаимная частичная покомпонентная компенсация векторных составляющих Дх(^ и х^) расширенного вектора состояния х(().

При этом в задаче появляются настраиваемые параметры 7ф1, 7ф2, сС, с2, т, I = 1,..,п, , варьируя которые можно находясь в классе робастных систем изменять другие кроме грубости качественные показатели системы. Можно показать, что для расширенной модели объекта (26) — (28) выполняется следующее утверждение.

Утверждение. Пусть в исходной модели (22) — (24) пары (Ао,йо) и (Ао,Во) стабилизируемы, а пары (А, Сю) и (Ао,С>о) детектируемы. Тогда в расширенной модели пары (А,В) и (А,В) стабилизируемы, а пары (Ао,МсС) и (А,С2) детектируемы.

Для решения задачи Н2 - оптимального управления необходимо от (26) — (28) перейти к стандартному виду (11) — (15). Для этого дополнительно расширим вектор z, как это сделано в [4], добавив к нему управление так, что

новая переменная будет ( z 0)т =

Bf = \B1;0], B20 = B2, C20 = \C

уп

4. 1

Тогда получим

20 , C20

, D01 =\ 0, I],

C10 =

Md 0

D0 =

U19

(29)

Для матриц, входящих в (29) выполняются свойства (14) — (15). Поскольку справедливо сформулированное выше утверждение, то для получения оптимального управления решаются уравнения Риккати (17), (18). Тогда управление получают при помощи формул (2о), (21). В результате получается регулятор порядка 2п.

Увеличение грубости при решении ЛКГ задачи управления

Исходная модель объекта по аналогии с (22) - (24) задается в виде

х° = (А° + Д А)х° + (Б20 + Д Б)и + У0, х°(0) = х0 , (3о)

B

B2 =

U

w

Z

z

0

z 0 =

w =

n

z

u

2

x

x

z

0

у0 = С20 х0 + УН

М[хО]=

М[(хО - хо0)(хО - хо0)т|= Ро ТУТ , '

(31)

М[Уо(/)]= 0, м|Уо(ОУОТ(г')] = Qo(г)5 (г- г'), (32)

М[Ун(г)] = О, М[Ун(г)У/(г')] = Яо(0(г- г'), Соответствующая расширенная номинальная модель порядка 2п по аналогии с (26) - (28) будет

х = А0 х + В 0и + уо , х( 0)=[( х00 )т о]т, (33) у = Уо = С0 х + Ун , (34)

где Уо =

т- 1т I

1 Ф 21 Ф 1.

У0, А0 = А, В = В2, С0 = С, а

величина Ь и матрицы А,В2,С2 - такие же, как в формулах (26) — (28).

Статистические параметры для расширенной модели задаются формулами (3) при значениях ковариационных матриц размерности 2п х 2п вида

Qo =

/и

- ТФ 2ТФ I1

Qo [Ь1 - Тф 2Тф II], Ро =

(35)

Минимизируемый квадратичный функционал для расширенной ЛКГ задачи будет иметь вид

J = М{[ \ут(г)е1 у(г)+ ит(г)Ли(фг} = М{[ [хт(г)вх(г)+ ит(г)Ли(фг}

О 0 , (36)

где бТ = 61 = diag}"= 1 > 0, ЛТ = Л > О, б = .

Решение совпадает с формулами (5) - (10) при А0 = А, В0 = В>, С = С. В результате получается регулятор порядка 2п. Варьируя параметры задачи: 7ф1, 7фг, сС, с2, т,, /' = 1, .., п можно изменять свойства системы стабилизации.

Увеличение грубости при решении задачи АКОР

Исходная модель объекта управления задается уравнениями (30), (31) при У0 = УН = 0. Расширенная модель совпадает с (33), (34) при отсутствии возмущений в объекте и в канале измерения. Интегральный квадратичный функционал задается формулой (36). Решение в виде линейной обратной связи получаем в соответствии с формулами (5), (6).

Собственная матрица синтезированной замкнутой системы будет

А 0 = а0 - В0 К, К = Л -1 (В0 )ТР, (37)

где Р - решение уравнения (6).

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

Gz (р)= det{ р1 - А0 }= р2п + gi- 1р2п-1 + ... + gl0p + g0 = 0 . (38)

Коэффициенты этого уравнения известны, и далее оно будет использовано в качестве желаемого при синтезе робастного регулятора выхода. В качестве закона регулирования для системы с одним входом и одним выходом будем рассматривать передаточную функцию

ШР(Р)= К(Р)! Р1п-1(Р), (39)

где кп(р), 1п. 1(р)-ветственно.

Если полиномы 1п-1 (р) и « 0 (р) нормированы так, что коэффициент при старшем члене равен единице, то передаточная функция регулятора содержит 2п неизвестных параметров. Такая передаточная функция обеспечивает астатизм в системе как по отношению к заданию, так и по отношению к возмущению на входе объекта. Пусть номинальная передаточная функция объекта, которой соответствуют уравнения (30), (31), имеет вид

шо (р)=ь т (р)/« О (р), (40)

где Ь т (р),« П ( р)- известные полиномы степени т и п

(т < п ) соответственно.

Тогда характеристический полином замкнутой номинальной системы с регулятором (39) будет иметь вид

^ р )= рп 1( р )« о (р)+кп (р )ь т (р)= (41)

= Р 1П + g 2п- 1 Р 1П' 1 + . + gl Р + g0 = 0 , (41)

где да, д, да, ... дп-1, - коэффициенты, которые линейно зависят от 2п неизвестных коэффициентов полиномов числителя и знаменателя регулятора (39).

Приравнивая полиномы (38) и (41), получим линейную систему из 2п уравнений с 2п неизвестными коэффициентами полиномов кп(р), 1п_1 (р). Решая эту систему линейных уравнений, получим конкретную передаточную функцию регулятора (39) порядка п. Свойства полученной системы зависят от параметров расширенной задачи АКОР: 7ф1, Тф2, сС,, с2, т, / = 1,.., п.

Характеристики качества системы

Для удобства использования качественные показатели системы разделим условно на две группы: показатели точности и показатели демпфирования. К первой группе можно отнести следующие параметры.

Минимизируемая величина Н2 - нормы передаточной функции (16) по каналу возмущение на входе объекта - регулируемая величина на выходе системы ™ ® г, которую обозначим как Т(р)

П 2 = \ТгК (р)||

112 ■ (42)

Величина Н- нормы передаточной функции Тт(р), которая показывает реальное ослабление энергии действия возмущения \л/() на контролируемую величину )

П¥= ||Т^ ( р . (43)

Среднеквадратичное отклонение выходной величины системы 00 при действии на входе объекта случайного возмущения типа белый шум с интенсивностью, равной единице. Также для окрашенного шума - о1 для возмущения с корреляционной функцией К(т)=ех?(-0.3|т|), о- для возмущения с корреляционной функции К(т)=вхр(-0.061т1) и 03- для возмущения с корреляционной функцией К(т)=вх?(-0.3|т|). В первом случае время спада составляет 10м/ин, во втором 50мин, а в третьем 100мин.

Максимальное отклонение выходной величины 1т при действии единичного ступенчатого сигнала в качестве возмущения на входе объекта. Заметим, что эта величина является также и показателем демпфирования.

Ко второй группе можно отнести следующие параметры.

Величина Н - нормы функции чувствительности, которая оценивает грубость системы к незнанию передаточной функции объекта. Для системы с одним входом и выходом она вычисляется по формуле

п = и р)||

1

(44)

1 + Ш (р)

где W(p) передаточная функция разомкнутой системы. Кроме этого сюда условно относятся: время регулирова-полиномы степени п и п - 1 соот- ния гР, перерегулирование а, запас устойчивости по амплитуде h, запас устойчивости по фазе р, максимальное по модулю отклонение управления ит, которое оценивает энергетические затраты на стабилизацию.

Пример

В качестве примера рассмотрим задачу стабилизации температуры в реакторе синтеза аммиака [10]. Передаточная функция объекта управления имеет вид

ш( ) 0.325

шо (р)=(бргт)3 ■ (45)

О

Так как в дальнейшем предполагается построение регулятора выхода, то для обеспечения астатизма системы дополнительно введем интегратор, который структурно относиться к регулятору. В результате получим для номинальной передаточной функции (45) (Ао,Вго,С>о,о) представление, которое соответствует номинальной модели в формулах (22) - (24)

х0 = А° х° + Б20и , (46)

У о = С 20 х°, (47)

' 0 1 0 0 0 '

0 0 1 0 0

где А° = 0 0 0 1 , Б20 = 0

0 - 0.0046 - 0.083 - 0.5 ё 0.0015_

С20 = [1 0 0 о] .

Таблица 1. Показатели качества оптимальных систем

Таблица 2. Показатели качества оптимальных систем

Вначале рассмотрим Н2 - оптимальное управление для исходной задачи (46), (47). В исходной модели (22) - (24) примем Во= Во, Со= С>о,. Далее выполняется переход к стандартному виду (11) - (15) и решение осуществляется в соответствии с формулами (17) -(21). Это удобно сделать в среде МА7АВ.

Передаточная функция оптимального регулятора имеет пятый порядок. Она будет

^ (р)= k (р)/(р1 (р)), (48)

где к (р)= 0.2793р3 + 0.1443р 2 + 0.02522р + 0.0015, /(р) = р4 + 0.8086р3 + 0.2853р2 + 0.05744р + 0.0069

Качественные характеристики системы представлены в табл. 1, 2. При анализе систем для Н2 - оптимального управления и для ЛКГ задачи использовались только возмущения в объекте, а возмущение наблюдения отсутствовало. Это сделано, чтобы можно было сравнивать полученные результаты с характеристиками систем, синтезированных в рамках задачи АКОР.

Далее рассмотрим Н2 - оптимальное управление для расширенной задачи (26) - (28). Перейдем к стандартному виду (11) - (15) с учетом формул (29). В качестве вектора настраиваемых параметров будем рассматривать вектор

а = [Тф 1 Тф 2 й 2 ]. (49)

Остальные параметры настройки не изменяются т = 1, I =1,.,п. При значении параметра (49), равном а1 = [3оо,5,5,4,7],, получим передаточную функцию оптимального регулятора девятого порядка вида (48) с передаточными функциями числителя и знаменателя

к(р)=2р7+2.63р+1.47р5+о.453р4+о.о82р3+ + о.оо88р2+о.ооо5р+1.13-Ю-5, l(P))=ps+2.03p7+1.93p6+1.134p5+0.44p4+0.116pэ+ (5о) + о.о187р2+о.оо167р+6.29-Ю-5. Теперь рассмотрим оптимальную ЛКГ задачу для исходной модели объекта (1) - (3) при условии, что на входе объекта действует скалярное возмущение типа белового шума с интенсивностью, равной 1. Тогда

у°М= б%И , Qo = б0(б°) . в качестве помехи наблюдения рассматривается белый шум с единичной интенсивностью, поэтому поэтому И, = 1. Матрицы системы будут В = В2о, С = Со, а их конкретные значения задаются формулами (46), (47).

Решение дается формулами (5) - (1о). В качестве регулятора выхода рассматривается передаточная функция, которая соответствует (а2. к ко) представлению при.А = Ао - В К - КС.

Оптимальная передаточная функция регулятора пятого порядка имеет вид (48) с полиномами числителя и знаменателя

к(p)=0.095pэ+0.0483p2+0.00826p+0.000476, 1(р)=р4+о.726р3+о.22р2+о.о37р+о.оо35. (51) Далее рассмотрим решение ЛКГ задачи для расширенного объекта (33) - (35). Решение получаем по формулам (5) - (Ю). Были рассмотрены два вектора настроечных параметров (49): а = [1оо,1,5,4], аэ = [3оо,2,5,4.75], которые достаточно сильно отличаются друг от друга. Для вектора а2 получаются несколько лучшие показатели. Передаточная функция регулятора (48) тогда имеет девятый порядок с полиномами числителя и знаменателя вида

к(р)=о.587р+2.635р+4.718р+4.256р4+2.о14р+ + о.478р2+о.о524р+о.оо19, 1(р)=р+5р7+1о.49р6+12р+8.3р4+ (52)

+3.646р+ 1.о36р2+о.18р+о.1488. В заключение рассмотрим задачу АКОР для исходного объекта. Здесь рассматривается модель объекта (46), (47). Далее решается задача (5), (6). При этом получим желаемый характеристический полином замкнутой системы (38) четвертого порядка, а это значит, что в качестве регулятора (39) может быть использован только интегральный закон регулирования, что сильно ограничивает множество возможных регуляторов.

Поэтому для увеличения порядка регулятора введем в рассмотрение наблюдатель вида (7), но не в виде фильтра Калмана-Бьюси, а в произвольном виде. Характеристические числа наблюдателя выберем несколько левее характеристических чисел объекта, равных - 1/6. Возьмем их одинаковыми и равными -о.2. При этом вектор К наблюдателя (7) будет

К0 = [0.928 0.038 - 0.006 - 0.0005 - 0.774 - 0.026 0.0058 0.0004]

Решение, как и для ЛКГ задачи, дается формулами (5) - (1о). В качестве регулятора выхода рассматривается передаточная функция, которая соответствует(А2,К,Ко) представлению при А2 = Ао -В К - КС. Оптимальная передаточная функция регулятора пятого порядка имеет вид (48) с полиномами числителя и знаменателя

к(р)=о.1р3+о.о55р2+о.оо92р+о.ооо5, 1(р)=р4+о,918р3+о.329р2+о.о57р+о.оо48 (53) Качественные характеристики системы представлены в табл. 1, 2.

Далее рассмотрим решение задачи АКОР для расширенного объекта. Здесь появляется специфика в плане представления исходной модели. Так как регулятор априори ищется в виде (39), то вместо модели (46), (47) четвертого порядка нужно рассмотреть модель третьего порядка (без введенного интегратора) того же вида с матрицами

Вид оптимальной задачи п-(ед) П2(ед) Zm(ед) по(ед) П1(ед) <ь(ед) аз(ед)

Н2 Исходная модель о,348 о,С64 о,2 о,о66 о,15 о,587 о,158

а1 о,219 о,о48 о,162 о,о49 о,1 о,4 о,114

ЛКГ Исходная модель о,367 о,о642 о,23 о,о61 о,17 о,73 о,22

а2 о,256 о,о53 о<2 о,о57 о,124 о,52 о,17

аз о,27 о,о55 о,19 о,о5 о,135 о,53 о,16

АКОР Исходная модель о,361 о,о62 о,23 о,о61 о,169 о,61 о2

«4 о,289 о,о54 о<2 о,о54 о,13 о,55 о,17

<Х5 о,Ю5 о,о267 о,о87 о,о28 о,о62 о,22 о,о65

Вид оптимальной задачи л(ед) ^(мин) а(%) ЩдБ) <р(град) и„

Н2 Исходная модель 2,о14 55 21 6,44 51,8 5,4

а1 1,525 55 о 1о,6 73,8 6,4

ЛКГ Исходная модель 1,65 55 5 8,93 61,4 3,7

а2 1,47 55 о 11 79,2 3,9

аз 1,58 55 о 9,56 69,9 4,6

АКОР Исходная модель 1,46 55 о 11,9 66,2 3,2

04 1,25 55 о 2о,2 73,5 3,1

аэ 1,38 55 о 16,3 75 52

О 1 О

А0 =0 0 1

- 0.0046 - 0.083 - 0.5 0 '

В™ = 0 , (54)

0.0015

С20 = [1 0 0].

Передаточная функция объекта (45) в общем виде (40) может быть записана следующим образом

Шо (р) =

Ь О

3 0 2 0 О

р3 + а ? р2 + а 0 р + а ?

(55)

где /¡0,«),а1,«2 известные параметры, которые легко определяются из сравнения (53) и (45).

Далее решается задача АКОР (5), (6) для расширенного объекта и определяется желаемый характеристический полином (38) замкнутой расширенной системы вида

Gz (р) = р6 + §0 р5 + gОр4 + §0р3 + §0р2 + gl0р + go0.

На основании этого полинома синтезируется регулятор выхода третьего порядка, передаточная функция которого (39) в общем виде будет

Шр (р) =

3 2

р + v3р + v2р + v1 р + ^ р + v6 р

(56)

Для определения коэффициентов передаточной функции этого регулятора после приравнивания коэффициентов полиномов (38) и (41) решается линейная система уравнений

(57)

Решение системы линейных уравнений (57) полностью определяет параметры передаточной функции регулятора (56). Были рассмотрены два вектора настроечных параметров (49):,«4 = [300,8,5,4.8], а5 = [300,3,5,4]. Для вектора параметров 04 была получена передаточная функция регулятора (56) вида

Ь 0 0 0 0 0 0 0 § 0

0 Ь 0 0 0 0 0 0 §0

0 0 Ь 0 0 0 0 0 0 0 § 2

0 0 0 Ь 0 0 0 0 0 § 0 -0 ?

0 0 0 0 1 0 0 § 4? -0 0

0 0 0 0 0 1 § 0 -0 0

Шр (р) =

1.615 р3 + 0.757 р2 + 0.122 р + 0.0067 р3 + 0.39 р2 + 0.053 р '

(58)

Для вектора параметров а5 была получена передаточная функция регулятора (56) вида

шр ( р) =

52.9 р3 + 26.53 р2 + 3.96 р + 0.1232 р3 + 1.128 р2 + 0.468р '

(59)

Это связано с эффектом частичной взаимной покоординатной компенсации составляющих Ах^) и х^) расширенного вектора состояния х((). Для примера на рис. 2 показаны графики изменения во времени первой и четвертой компоненты расширенного вектора состояния х(£), которые участвуют в процессе взаимной компенсации.

\

\ 5

\ /

- — — -- -- --

Как видно из таблиц 1, 2, полученные системы сильно отличаются по своим показателям (особенно по параметру ит) не смотря на не очень большую разницу в задании векторов «4 и 05. Вообще настройка параметров (49) в задаче АКОР является наиболее чувствительной и гибкой. Здесь в интерактивном режиме достаточно легко получить системы с разными свойствами.

Несколько хуже настраивается оптимальная система в рамках ЛКГ задачи. Наиболее трудна настройка Н2 - оптимального регулятора для расширенной модели.

Для корректного сравнения полученных результатов различных оптимальных систем выбрано одинаковое время регулирования, равное 55мин. Из табл. 2 видно, что для всех видов оптимальных квадратичных задач существует настройка параметров (49), позволяющая для расширенной модели объекта уменьшить величину п и, как следствие, повысить грубость системы к наличию неопределенности передаточной функции объекта. При этом время регулирования не увеличивается, а остальные качественные показатели улучшаются.

Рис. 2. Временные характеристики для первой (сплошная линия) и четвертой (штриховая линия) составляющих расширенного вектора состояния в задаче АКОР

Заключение

В работе были рассмотрены основные оптимальные задачи с квадратичным функционалом. Показано, что расширение модели объекта позволяет увеличить грубость оптимальной системы к неопределенности модели объекта для всех рассмотренных задач за счет увеличения энергии затрачиваемой на управление. При этом происходит одновременное улучшение остальных качественных показателей системы. Предлагаемая методика позволяет проектировать робастные системы управления в рамках решения задачи АКОР, ЛКГ задачи управления и задачи Н2 - оптимального управления, качественные показатели которых могут изменяться в широких пределах.

Литература

1. Янушевский Р.Т О грубости решения задачи аналитического конструирования регуляторов // Автоматика и телемеханика. 1960. №3. С. 18-25.

2. Бахилина И.М., Степанов С.А. Синтез грубых линейных квадратичных гауссовских регуляторов // Автоматика и телемеханика. 1998. №7. С. 96-106.

3. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Трудные задачи линейной теории управления. Некоторые подходы к решению // Автоматика и телемеханика. 2005. №5. С. 7-46.

4. Методы робастного, нейро-нечеткого и адаптивного управления / Под ред. Н.. Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана. 2002.

5. Фокин А. Л. Метод разделения движений и синтез ро-бастной системы регулирования// Изв. вузов. Приборостроение. 2002. №4. С. 11-16.

6. Бороздин ПА, Сыроквашин В.В., (Фокин АЛ. Синтез ро-бастной системы управления методами прямого поиска экстремума // Изв. вузов. Приборостроение. 2007. №5. С. 25-34 .

7. Бороздин ПА, Сыроквашин В.В, Фокин АЛ. Робастное управление линейным инерционным объектом // Изв. РАН Теория и системы управления. 2008. №4. С. 41-49.

8. Фокин АЛ., Сыроквашин В.В, Бороздин ПА, Рудакова И.В. Синтез робастных систем стабилизации технологических процессов на основе расширенной модели динамики. СПбГТИ(ТУ) СПб., 2008. 264 с. Деп. в ВИНИТИ 21.02.08, № 150-В2008.

9. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т. 2: Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы. 2- е изд. испр. и доп. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. 440с.

10. Сыроквашин В.В, Фокин АЛ.. Управление реактором синтеза аммиака // Тезисы докладов XIX Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (ММТТ-19). Воронеж: изд-во ВГТУ. 2006. Т. 10. С. 92-93.