УДК 62-506
О. А. Ремизова1, И. В. Рудакова2, А. Л. Фокин3
x = A"x + B nu + Vn,
Xltn 1= X"
(1)
У = Сх + Уя, (2)
где Vo, Vн — гауссовы белые шумы, х° — гауссова случайная величина; Vo, Vн и х° не коррелированы и имеют следующие характеристики:
М[х0]= х0, М[(х0 - х°)(х° - х°)т]= Р„ М[УМ = О, М\у^)¥0т()| = Q!>(t)¡¡ (- У), М[кя(Ф О, м\ун (Т)У/ (С)|= ко(0$ ((- у), где М - операция математического ожидания.
Пара (А0,В) - управляема, пара (А0,С) наблюдаема Минимизируемый функционал имеет вид
(3)
СИНТЕЗ РОБАСТНОИ СИСТЕМЫ СТАБИЛИЗАЦИИ НА ОСНОВЕ КВАДРАТИЧНОЙ теории
Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет) Санкт-Петербург, Московский пр., 26
Рассмотрена методика уменьшения чувствительности линейной системы, с законом регулирования, полученным в результате минимизации интегрального квадратичного функционала, к параметрической неопределенности модели объекта.
Ключевые слова: Неопределенность, интегральный квадратичный функционал, случайные возмущения, линейная теория, белый шум, номинальная модель, расширенная модель, характеристический полином, демпфирование, точность, параметры.
Введение
Применение квадратичной теории для синтеза оптимальных систем стабилизации известно с конца 50-х годов прошлого века и связано с именами Р. Калмана и Р. Бьюси, A.M. Летова. Эти системы хорошо зарекомендовали себя, поскольку позволяли решать задачу оптимальной стабилизации для многомерных линейных объектов. Предложенные методы не потеряли своей актуальности и в настоящее время при разных предположениях о характере, действующих на объект возмущений.
Но практическое применение таких алгоритмов управления показало, что полученные системы обладают одним недостатком — высокой чувствительностью регулируемой величины к неточности задания коэффициентов модели объекта управления и характеристикам возмущений [1]. Эти системы не являются грубыми к указанным видам неопределенности и могут потерять устойчивость в тех случаях, когда априорная информация об объекте и внешней среде известна не точно, а лишь с некоторой достоверностью.
Поэтому актуальна задача уменьшения чувствительности контролируемой величины к влиянию неопределенности. Эта проблема обычно решается в рамках теории линейного ро-бастного управления [2-4]. Данная работа является продолжением этой тематики, а предлагаемая методика опирается на идею разделения движений в объекте на две составляющие с последующим выбором управления осуществляющего их взаимную компенсацию во время переходного процесса [5-8], что обеспечивает робастность.
В рамках линейной теории управления при синтезе регулятора обычно рассматривают одну из трех задач минимизации интегрального квадратичного функционала: задача аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР), линейная квадратичная гауссова задача (ЛКГ), H2 -оптимальное управление.
В ЛКГ задаче объект управления задан в виде [9]
J = M
I [xT (t)Qx(t) + uT (t)Ru(t)]dt
(4)
где R,Ro - положительно определенные матрицы, - положительно полуопределенные матрицы.
При решении задачи АКОР рассматривают аналогичную детерминированную постановку с известным вектором состояния. Закон управления имеет вид линейной обратной связи вида
и(^ = - Кх(, (5)
где, К = № (В)т Р, Р = Р> 0 решение матричного уравнения Риккати
(An)TP + PAn - PBnR-l(B°)TP + Q = П .
(6)
Оптимальное управление ЛКГ задачи аналогично выражению (5), но вместо вектора состояния х() используется его оптимальная оценка х (I), которая определяется с помощью фильтра Калмана-Бьюси
x = Anx + Bnu + Kn(y- Cnx), x(tn) =
где
(7)
(8) (9)
K=L(C0)TR-1 4 = > 0 решение матричного уравнения Риккати
А"L + L(А°)т - L(C°)тК0 С0L + Q0 = О. Оптимальное управление теперь будет
и (¿) = - Кх( (), (10)
где К = Я1(В°)тР
Заметим, что уравнение Риккати (6), решение которого используется в формулах (5), (10) для получения управления, в обеих задачах одинаково. Это важно для дальнейшего.
Рис. 1. Структурная схема системыуправления
1 Ремизова Ольга Александровна, канд. техн. наук, доцент кафедры автоматизации процессов химической промышленности e-mail: remizova-oa@yandex.ru
2 Рудакова Ирина Викторовна, канд. техн. наук, доцент кафедры автоматизации процессов химической промышленности e-mail: rudakowa@ws01.sapr.pu.ru
3 Фокин Александр Леонидович, д-р техн. наук, профессор кафедры автоматизации процессов химической промышленности e-mail: fokin_sa@mail.ru
n
Дата поступления - 24 июня 2009 года
Задаче Н2 оптимального управления соответствует структурная схема, показанная на рис. 1. На входе системы действует возмущение \л/(). Это может быть белый шум или окрашенный случайный шум. Рассмотрим уравнение модели объекта стандартного вида
(11) (12) (13)
При этом должны выполняться следующие свойства
а) Пара (А0,Б1°)- стабилизируема, пара (А°,С°)-детектируема,
б) Пара (а0,Б20)- стабилизируема, пара (а°,С°)-детектируема
в) (А°2)г С0 ]= [О /], (14)
x = A0 x + B0 w + B20u0, z0 = CO x + Ц°2ы, y = C2x + D21w .
г)
Bi0 dO
(D0,)r
(15)
Задача синтеза Н2 оптимального регулятора состоит в нахождении регулятора, который минимизирует Н2 норму передаточной функции замкнутой системы 2
\\т,„
22 = j tr \tJ (t)Tw(t)]dt = 2P j tr [tJ (- jw )T„ (jw ))dw (16)
Здесь, как и в ЛКГ задаче, нужно решить два уравнения Риккати
°, (17)
/ /)0чт л0 r>0rr>0\T rs-O^T /-t 0
(A ) x2 + x2 A - x2 B2 (B2 ) x2 + (Cj ) Cj :
0 (0) =
Cio xo,
где x0 e Rn -
u e Rm
(22)
(23)
(24) вектор
у0 = С20 х0 + ПУ,
вектор состояния, управления, w0 е ^ - вектор возмущения в объекте, пг е Rr - помеха измерения, г° е R' - вектор контролируемых переменных, Ао, Во, В20 — , номинальные значения матриц, ДА, ДВ^ ДВ2 — параметрическая неопределенность модели.
Для уменьшения чувствительности H2 - оптимального управления к параметрической неопределенности матриц Ao, B10, B20 расширим модель объекта (22) — (24) за счет пропускания всех компонент вектора состояния ао через не минимально фазовый фильтр [5, 6]
xi (p)= W,(p)xo(p)= ^-T^xo(p), (25) 1 + TF 2P
где t, 1; t, 2 - постоянные времени фильтра.
Тогда расширенная номинальная модель объекта будет иметь вид
x = Ax + B1W0 + B2U , x( 0)= \(x00 )T z = Mdx,
o]T,
y:
C2x+ nY,
(26)
(27)
(28)
A =
где
ß Ao - T,-1/ ß Ao TI! (1 - T, lAo ) - T,2T, lAo
T, 2T, 1B10
ßB2o , x = A x1
. - T, 2T, 1B20 , x1 _
тор состояния расширенной модели
d. t d 2,
ß = 1 + t,- !t, 1, d =\d.i d2i],
M = diag {mi
— век-
объекта,
d.,d2 > 0,
A x. = xo x.
C2 = \C20 C20] .
A0y2 + y2(A0)T - y2(C20)TC20y2 + BiO(B0)T = 0 . (18) Вычисляя матрицы
F2 = - (B0)Tx2, l2 = - y2(C20)T, A2 = A + B0F2 + L2C 0 ,(19) получаем единственное H2 - оптимальное решение, которое имеет вид
x = A2 x - L2y, (20)
u(t) = F2t). (21)
Этому (A2,- L2, F2,0) представлению соответствует передаточная функция регулятора Wp(p), которая может быть определена, например, в среде MATLAB.
Заметим, что уравнение Риккати (17) для формирования управления совпадает с уравнением Риккати (6), которое также служит для получения управления, если выполняются условия: B0R-1 (b0) = B2°(b2O) , Q = (c°) Ci0, а матрицы R и Q в уравнении (6) выбираются разработчиком. Это обстоятельство позволяет применить методики расширения модели объекта за счет искусственного разделения движений с последующей взаимной компенсацией составляющих расширенного движения для всех рассмотренных выше задач, так как во всех случаях для получения управления необходимо решать одно и тоже уравнение Риккати.
Увеличение грубости H — оптимальной системы
Пусть модель объекта управления имеет вид
xo = (Ao + A A) xo + (B10 + A B1)wo + (B2o + A B2)u,
В расширенной модели вместо контролируемой переменной (23) рассматривается другая векторная контролируемая переменная z вида (27) размерности п, которая получена при помощи диагональной матрицы наблюдения М, но примененной к преобразованному вектору состояния сСх размерности п, представляющему собой взвешенную сумму составляющих расширенного вектора состояния Дх(^ и х(0 с не равными положительными весами. С1,с2> 0
В [6, 7] показано, что решение задачи стабилизации для расширенной модели приводит к решению задачи стабилизации для исходной модели, а также, что при минимизации квадратичного интегрального функционала, зависящего от вектора (27), происходит взаимная частичная покомпонентная компенсация векторных составляющих Дх(^ и х^) расширенного вектора состояния х(().
При этом в задаче появляются настраиваемые параметры 7ф1, 7ф2, сС, с2, т, I = 1,..,п, , варьируя которые можно находясь в классе робастных систем изменять другие кроме грубости качественные показатели системы. Можно показать, что для расширенной модели объекта (26) — (28) выполняется следующее утверждение.
Утверждение. Пусть в исходной модели (22) — (24) пары (Ао,йо) и (Ао,Во) стабилизируемы, а пары (А, Сю) и (Ао,С>о) детектируемы. Тогда в расширенной модели пары (А,В) и (А,В) стабилизируемы, а пары (Ао,МсС) и (А,С2) детектируемы.
Для решения задачи Н2 - оптимального управления необходимо от (26) — (28) перейти к стандартному виду (11) — (15). Для этого дополнительно расширим вектор z, как это сделано в [4], добавив к нему управление так, что
новая переменная будет ( z 0)т =
Bf = \B1;0], B20 = B2, C20 = \C
уп
4. 1
Тогда получим
20 , C20
, D01 =\ 0, I],
C10 =
Md 0
D0 =
U19
(29)
Для матриц, входящих в (29) выполняются свойства (14) — (15). Поскольку справедливо сформулированное выше утверждение, то для получения оптимального управления решаются уравнения Риккати (17), (18). Тогда управление получают при помощи формул (2о), (21). В результате получается регулятор порядка 2п.
Увеличение грубости при решении ЛКГ задачи управления
Исходная модель объекта по аналогии с (22) - (24) задается в виде
х° = (А° + Д А)х° + (Б20 + Д Б)и + У0, х°(0) = х0 , (3о)
B
B2 =
U
w
Z
z
0
z 0 =
w =
n
z
u
2
x
x
z
0
у0 = С20 х0 + УН
М[хО]=
М[(хО - хо0)(хО - хо0)т|= Ро ТУТ , '
(31)
М[Уо(/)]= 0, м|Уо(ОУОТ(г')] = Qo(г)5 (г- г'), (32)
М[Ун(г)] = О, М[Ун(г)У/(г')] = Яо(0(г- г'), Соответствующая расширенная номинальная модель порядка 2п по аналогии с (26) - (28) будет
х = А0 х + В 0и + уо , х( 0)=[( х00 )т о]т, (33) у = Уо = С0 х + Ун , (34)
где Уо =
т- 1т I
1 Ф 21 Ф 1.
У0, А0 = А, В = В2, С0 = С, а
величина Ь и матрицы А,В2,С2 - такие же, как в формулах (26) — (28).
Статистические параметры для расширенной модели задаются формулами (3) при значениях ковариационных матриц размерности 2п х 2п вида
Qo =
/и
- ТФ 2ТФ I1
Qo [Ь1 - Тф 2Тф II], Ро =
(35)
Минимизируемый квадратичный функционал для расширенной ЛКГ задачи будет иметь вид
J = М{[ \ут(г)е1 у(г)+ ит(г)Ли(фг} = М{[ [хт(г)вх(г)+ ит(г)Ли(фг}
О 0 , (36)
где бТ = 61 = diag}"= 1 > 0, ЛТ = Л > О, б = .
Решение совпадает с формулами (5) - (10) при А0 = А, В0 = В>, С = С. В результате получается регулятор порядка 2п. Варьируя параметры задачи: 7ф1, 7фг, сС, с2, т,, /' = 1, .., п можно изменять свойства системы стабилизации.
Увеличение грубости при решении задачи АКОР
Исходная модель объекта управления задается уравнениями (30), (31) при У0 = УН = 0. Расширенная модель совпадает с (33), (34) при отсутствии возмущений в объекте и в канале измерения. Интегральный квадратичный функционал задается формулой (36). Решение в виде линейной обратной связи получаем в соответствии с формулами (5), (6).
Собственная матрица синтезированной замкнутой системы будет
А 0 = а0 - В0 К, К = Л -1 (В0 )ТР, (37)
где Р - решение уравнения (6).
Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид
Gz (р)= det{ р1 - А0 }= р2п + gi- 1р2п-1 + ... + gl0p + g0 = 0 . (38)
Коэффициенты этого уравнения известны, и далее оно будет использовано в качестве желаемого при синтезе робастного регулятора выхода. В качестве закона регулирования для системы с одним входом и одним выходом будем рассматривать передаточную функцию
ШР(Р)= К(Р)! Р1п-1(Р), (39)
где кп(р), 1п. 1(р)-ветственно.
Если полиномы 1п-1 (р) и « 0 (р) нормированы так, что коэффициент при старшем члене равен единице, то передаточная функция регулятора содержит 2п неизвестных параметров. Такая передаточная функция обеспечивает астатизм в системе как по отношению к заданию, так и по отношению к возмущению на входе объекта. Пусть номинальная передаточная функция объекта, которой соответствуют уравнения (30), (31), имеет вид
шо (р)=ь т (р)/« О (р), (40)
где Ь т (р),« П ( р)- известные полиномы степени т и п
(т < п ) соответственно.
Тогда характеристический полином замкнутой номинальной системы с регулятором (39) будет иметь вид
^ р )= рп 1( р )« о (р)+кп (р )ь т (р)= (41)
= Р 1П + g 2п- 1 Р 1П' 1 + . + gl Р + g0 = 0 , (41)
где да, д, да, ... дп-1, - коэффициенты, которые линейно зависят от 2п неизвестных коэффициентов полиномов числителя и знаменателя регулятора (39).
Приравнивая полиномы (38) и (41), получим линейную систему из 2п уравнений с 2п неизвестными коэффициентами полиномов кп(р), 1п_1 (р). Решая эту систему линейных уравнений, получим конкретную передаточную функцию регулятора (39) порядка п. Свойства полученной системы зависят от параметров расширенной задачи АКОР: 7ф1, Тф2, сС,, с2, т, / = 1,.., п.
Характеристики качества системы
Для удобства использования качественные показатели системы разделим условно на две группы: показатели точности и показатели демпфирования. К первой группе можно отнести следующие параметры.
Минимизируемая величина Н2 - нормы передаточной функции (16) по каналу возмущение на входе объекта - регулируемая величина на выходе системы ™ ® г, которую обозначим как Т(р)
П 2 = \ТгК (р)||
112 ■ (42)
Величина Н- нормы передаточной функции Тт(р), которая показывает реальное ослабление энергии действия возмущения \л/() на контролируемую величину )
П¥= ||Т^ ( р . (43)
Среднеквадратичное отклонение выходной величины системы 00 при действии на входе объекта случайного возмущения типа белый шум с интенсивностью, равной единице. Также для окрашенного шума - о1 для возмущения с корреляционной функцией К(т)=ех?(-0.3|т|), о- для возмущения с корреляционной функции К(т)=вхр(-0.061т1) и 03- для возмущения с корреляционной функцией К(т)=вх?(-0.3|т|). В первом случае время спада составляет 10м/ин, во втором 50мин, а в третьем 100мин.
Максимальное отклонение выходной величины 1т при действии единичного ступенчатого сигнала в качестве возмущения на входе объекта. Заметим, что эта величина является также и показателем демпфирования.
Ко второй группе можно отнести следующие параметры.
Величина Н - нормы функции чувствительности, которая оценивает грубость системы к незнанию передаточной функции объекта. Для системы с одним входом и выходом она вычисляется по формуле
п = и р)||
1
(44)
1 + Ш (р)
где W(p) передаточная функция разомкнутой системы. Кроме этого сюда условно относятся: время регулирова-полиномы степени п и п - 1 соот- ния гР, перерегулирование а, запас устойчивости по амплитуде h, запас устойчивости по фазе р, максимальное по модулю отклонение управления ит, которое оценивает энергетические затраты на стабилизацию.
Пример
В качестве примера рассмотрим задачу стабилизации температуры в реакторе синтеза аммиака [10]. Передаточная функция объекта управления имеет вид
ш( ) 0.325
шо (р)=(бргт)3 ■ (45)
О
Так как в дальнейшем предполагается построение регулятора выхода, то для обеспечения астатизма системы дополнительно введем интегратор, который структурно относиться к регулятору. В результате получим для номинальной передаточной функции (45) (Ао,Вго,С>о,о) представление, которое соответствует номинальной модели в формулах (22) - (24)
х0 = А° х° + Б20и , (46)
У о = С 20 х°, (47)
' 0 1 0 0 0 '
0 0 1 0 0
где А° = 0 0 0 1 , Б20 = 0
0 - 0.0046 - 0.083 - 0.5 ё 0.0015_
С20 = [1 0 0 о] .
Таблица 1. Показатели качества оптимальных систем
Таблица 2. Показатели качества оптимальных систем
Вначале рассмотрим Н2 - оптимальное управление для исходной задачи (46), (47). В исходной модели (22) - (24) примем Во= Во, Со= С>о,. Далее выполняется переход к стандартному виду (11) - (15) и решение осуществляется в соответствии с формулами (17) -(21). Это удобно сделать в среде МА7АВ.
Передаточная функция оптимального регулятора имеет пятый порядок. Она будет
^ (р)= k (р)/(р1 (р)), (48)
где к (р)= 0.2793р3 + 0.1443р 2 + 0.02522р + 0.0015, /(р) = р4 + 0.8086р3 + 0.2853р2 + 0.05744р + 0.0069
Качественные характеристики системы представлены в табл. 1, 2. При анализе систем для Н2 - оптимального управления и для ЛКГ задачи использовались только возмущения в объекте, а возмущение наблюдения отсутствовало. Это сделано, чтобы можно было сравнивать полученные результаты с характеристиками систем, синтезированных в рамках задачи АКОР.
Далее рассмотрим Н2 - оптимальное управление для расширенной задачи (26) - (28). Перейдем к стандартному виду (11) - (15) с учетом формул (29). В качестве вектора настраиваемых параметров будем рассматривать вектор
а = [Тф 1 Тф 2 й 2 ]. (49)
Остальные параметры настройки не изменяются т = 1, I =1,.,п. При значении параметра (49), равном а1 = [3оо,5,5,4,7],, получим передаточную функцию оптимального регулятора девятого порядка вида (48) с передаточными функциями числителя и знаменателя
к(р)=2р7+2.63р+1.47р5+о.453р4+о.о82р3+ + о.оо88р2+о.ооо5р+1.13-Ю-5, l(P))=ps+2.03p7+1.93p6+1.134p5+0.44p4+0.116pэ+ (5о) + о.о187р2+о.оо167р+6.29-Ю-5. Теперь рассмотрим оптимальную ЛКГ задачу для исходной модели объекта (1) - (3) при условии, что на входе объекта действует скалярное возмущение типа белового шума с интенсивностью, равной 1. Тогда
у°М= б%И , Qo = б0(б°) . в качестве помехи наблюдения рассматривается белый шум с единичной интенсивностью, поэтому поэтому И, = 1. Матрицы системы будут В = В2о, С = Со, а их конкретные значения задаются формулами (46), (47).
Решение дается формулами (5) - (1о). В качестве регулятора выхода рассматривается передаточная функция, которая соответствует (а2. к ко) представлению при.А = Ао - В К - КС.
Оптимальная передаточная функция регулятора пятого порядка имеет вид (48) с полиномами числителя и знаменателя
к(p)=0.095pэ+0.0483p2+0.00826p+0.000476, 1(р)=р4+о.726р3+о.22р2+о.о37р+о.оо35. (51) Далее рассмотрим решение ЛКГ задачи для расширенного объекта (33) - (35). Решение получаем по формулам (5) - (Ю). Были рассмотрены два вектора настроечных параметров (49): а = [1оо,1,5,4], аэ = [3оо,2,5,4.75], которые достаточно сильно отличаются друг от друга. Для вектора а2 получаются несколько лучшие показатели. Передаточная функция регулятора (48) тогда имеет девятый порядок с полиномами числителя и знаменателя вида
к(р)=о.587р+2.635р+4.718р+4.256р4+2.о14р+ + о.478р2+о.о524р+о.оо19, 1(р)=р+5р7+1о.49р6+12р+8.3р4+ (52)
+3.646р+ 1.о36р2+о.18р+о.1488. В заключение рассмотрим задачу АКОР для исходного объекта. Здесь рассматривается модель объекта (46), (47). Далее решается задача (5), (6). При этом получим желаемый характеристический полином замкнутой системы (38) четвертого порядка, а это значит, что в качестве регулятора (39) может быть использован только интегральный закон регулирования, что сильно ограничивает множество возможных регуляторов.
Поэтому для увеличения порядка регулятора введем в рассмотрение наблюдатель вида (7), но не в виде фильтра Калмана-Бьюси, а в произвольном виде. Характеристические числа наблюдателя выберем несколько левее характеристических чисел объекта, равных - 1/6. Возьмем их одинаковыми и равными -о.2. При этом вектор К наблюдателя (7) будет
К0 = [0.928 0.038 - 0.006 - 0.0005 - 0.774 - 0.026 0.0058 0.0004]
Решение, как и для ЛКГ задачи, дается формулами (5) - (1о). В качестве регулятора выхода рассматривается передаточная функция, которая соответствует(А2,К,Ко) представлению при А2 = Ао -В К - КС. Оптимальная передаточная функция регулятора пятого порядка имеет вид (48) с полиномами числителя и знаменателя
к(р)=о.1р3+о.о55р2+о.оо92р+о.ооо5, 1(р)=р4+о,918р3+о.329р2+о.о57р+о.оо48 (53) Качественные характеристики системы представлены в табл. 1, 2.
Далее рассмотрим решение задачи АКОР для расширенного объекта. Здесь появляется специфика в плане представления исходной модели. Так как регулятор априори ищется в виде (39), то вместо модели (46), (47) четвертого порядка нужно рассмотреть модель третьего порядка (без введенного интегратора) того же вида с матрицами
Вид оптимальной задачи п-(ед) П2(ед) Zm(ед) по(ед) П1(ед) <ь(ед) аз(ед)
Н2 Исходная модель о,348 о,С64 о,2 о,о66 о,15 о,587 о,158
а1 о,219 о,о48 о,162 о,о49 о,1 о,4 о,114
ЛКГ Исходная модель о,367 о,о642 о,23 о,о61 о,17 о,73 о,22
а2 о,256 о,о53 о<2 о,о57 о,124 о,52 о,17
аз о,27 о,о55 о,19 о,о5 о,135 о,53 о,16
АКОР Исходная модель о,361 о,о62 о,23 о,о61 о,169 о,61 о2
«4 о,289 о,о54 о<2 о,о54 о,13 о,55 о,17
<Х5 о,Ю5 о,о267 о,о87 о,о28 о,о62 о,22 о,о65
Вид оптимальной задачи л(ед) ^(мин) а(%) ЩдБ) <р(град) и„
Н2 Исходная модель 2,о14 55 21 6,44 51,8 5,4
а1 1,525 55 о 1о,6 73,8 6,4
ЛКГ Исходная модель 1,65 55 5 8,93 61,4 3,7
а2 1,47 55 о 11 79,2 3,9
аз 1,58 55 о 9,56 69,9 4,6
АКОР Исходная модель 1,46 55 о 11,9 66,2 3,2
04 1,25 55 о 2о,2 73,5 3,1
аэ 1,38 55 о 16,3 75 52
О 1 О
А0 =0 0 1
- 0.0046 - 0.083 - 0.5 0 '
В™ = 0 , (54)
0.0015
С20 = [1 0 0].
Передаточная функция объекта (45) в общем виде (40) может быть записана следующим образом
Шо (р) =
Ь О
3 0 2 0 О
р3 + а ? р2 + а 0 р + а ?
(55)
где /¡0,«),а1,«2 известные параметры, которые легко определяются из сравнения (53) и (45).
Далее решается задача АКОР (5), (6) для расширенного объекта и определяется желаемый характеристический полином (38) замкнутой расширенной системы вида
Gz (р) = р6 + §0 р5 + gОр4 + §0р3 + §0р2 + gl0р + go0.
На основании этого полинома синтезируется регулятор выхода третьего порядка, передаточная функция которого (39) в общем виде будет
Шр (р) =
3 2
р + v3р + v2р + v1 р + ^ р + v6 р
(56)
Для определения коэффициентов передаточной функции этого регулятора после приравнивания коэффициентов полиномов (38) и (41) решается линейная система уравнений
(57)
Решение системы линейных уравнений (57) полностью определяет параметры передаточной функции регулятора (56). Были рассмотрены два вектора настроечных параметров (49):,«4 = [300,8,5,4.8], а5 = [300,3,5,4]. Для вектора параметров 04 была получена передаточная функция регулятора (56) вида
Ь 0 0 0 0 0 0 0 § 0
0 Ь 0 0 0 0 0 0 §0
0 0 Ь 0 0 0 0 0 0 0 § 2
0 0 0 Ь 0 0 0 0 0 § 0 -0 ?
0 0 0 0 1 0 0 § 4? -0 0
0 0 0 0 0 1 § 0 -0 0
Шр (р) =
1.615 р3 + 0.757 р2 + 0.122 р + 0.0067 р3 + 0.39 р2 + 0.053 р '
(58)
Для вектора параметров а5 была получена передаточная функция регулятора (56) вида
шр ( р) =
52.9 р3 + 26.53 р2 + 3.96 р + 0.1232 р3 + 1.128 р2 + 0.468р '
(59)
Это связано с эффектом частичной взаимной покоординатной компенсации составляющих Ах^) и х^) расширенного вектора состояния х((). Для примера на рис. 2 показаны графики изменения во времени первой и четвертой компоненты расширенного вектора состояния х(£), которые участвуют в процессе взаимной компенсации.
\
\ 5
\ /
- — — -- -- --
Как видно из таблиц 1, 2, полученные системы сильно отличаются по своим показателям (особенно по параметру ит) не смотря на не очень большую разницу в задании векторов «4 и 05. Вообще настройка параметров (49) в задаче АКОР является наиболее чувствительной и гибкой. Здесь в интерактивном режиме достаточно легко получить системы с разными свойствами.
Несколько хуже настраивается оптимальная система в рамках ЛКГ задачи. Наиболее трудна настройка Н2 - оптимального регулятора для расширенной модели.
Для корректного сравнения полученных результатов различных оптимальных систем выбрано одинаковое время регулирования, равное 55мин. Из табл. 2 видно, что для всех видов оптимальных квадратичных задач существует настройка параметров (49), позволяющая для расширенной модели объекта уменьшить величину п и, как следствие, повысить грубость системы к наличию неопределенности передаточной функции объекта. При этом время регулирования не увеличивается, а остальные качественные показатели улучшаются.
Рис. 2. Временные характеристики для первой (сплошная линия) и четвертой (штриховая линия) составляющих расширенного вектора состояния в задаче АКОР
Заключение
В работе были рассмотрены основные оптимальные задачи с квадратичным функционалом. Показано, что расширение модели объекта позволяет увеличить грубость оптимальной системы к неопределенности модели объекта для всех рассмотренных задач за счет увеличения энергии затрачиваемой на управление. При этом происходит одновременное улучшение остальных качественных показателей системы. Предлагаемая методика позволяет проектировать робастные системы управления в рамках решения задачи АКОР, ЛКГ задачи управления и задачи Н2 - оптимального управления, качественные показатели которых могут изменяться в широких пределах.
Литература
1. Янушевский Р.Т О грубости решения задачи аналитического конструирования регуляторов // Автоматика и телемеханика. 1960. №3. С. 18-25.
2. Бахилина И.М., Степанов С.А. Синтез грубых линейных квадратичных гауссовских регуляторов // Автоматика и телемеханика. 1998. №7. С. 96-106.
3. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Трудные задачи линейной теории управления. Некоторые подходы к решению // Автоматика и телемеханика. 2005. №5. С. 7-46.
4. Методы робастного, нейро-нечеткого и адаптивного управления / Под ред. Н.. Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана. 2002.
5. Фокин А. Л. Метод разделения движений и синтез ро-бастной системы регулирования// Изв. вузов. Приборостроение. 2002. №4. С. 11-16.
6. Бороздин ПА, Сыроквашин В.В., (Фокин АЛ. Синтез ро-бастной системы управления методами прямого поиска экстремума // Изв. вузов. Приборостроение. 2007. №5. С. 25-34 .
7. Бороздин ПА, Сыроквашин В.В, Фокин АЛ. Робастное управление линейным инерционным объектом // Изв. РАН Теория и системы управления. 2008. №4. С. 41-49.
8. Фокин АЛ., Сыроквашин В.В, Бороздин ПА, Рудакова И.В. Синтез робастных систем стабилизации технологических процессов на основе расширенной модели динамики. СПбГТИ(ТУ) СПб., 2008. 264 с. Деп. в ВИНИТИ 21.02.08, № 150-В2008.
9. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т. 2: Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы. 2- е изд. испр. и доп. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. 440с.
10. Сыроквашин В.В, Фокин АЛ.. Управление реактором синтеза аммиака // Тезисы докладов XIX Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (ММТТ-19). Воронеж: изд-во ВГТУ. 2006. Т. 10. С. 92-93.