CC BY
7II. ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ. АВТОМАТИЗАЦИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
УДК 62-506 Р.В. Зайцев1, О.Ю. Камкин2,
О.А. Ремизова3, В.В. Сыроквашин4, А.Л. Фокин5
Введение
Проблема дискретного управления технологическим процессом, который описывается в непрерывном времени дифференциальными уравнениями, чаще всего возникает в тех случаях, когда используется: цифровой контроллер в качестве регулятора, дискретно работающие датчики для получения информации о состоянии технологического процесса, дискретно работающие исполнительные механизмы.
Следует отметить, что при использовании цифровых контроллеров проблема дискретности при решении задач синтеза не возникает из-за малости периода дискретности. Поэтому задача может решаться в непрерывном времени. Но после получения непрерывного закона регулирования, он должен быть представлен в дискретном виде для программирования цифрового контроллера, что обычно не вызывает затруднений.
Иногда измерительная система работает дискретно со значительным периодом дискретности. Обычно это связано с необходимостью проведения экспресс-анализа качества продукта. Также в качестве исполнительных механизмов могут быть использованы дискретно работающие устройства с ши-ротно-импульсной (ШИМ) или частотно-импульсной (ЧИМ) модуляцией. В технологических процессах это может быть связано, например, с использованием импульсных дозаторов.
В двух последних случаях проблема синтеза системы стабилизации решается в рамках импульсных систем регулирования. Здесь необходимы подходы, позволяющие эффективно решать задачу управления при больших периодах дискретности в условиях неопределенности математического описания объекта управления и при наличии возмущений.
УЛУЧШЕНИЕ
КАЧЕСТВЕННЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК
РОБАСТНЫХ ДИСКРЕТНЫХ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ
ПРОЦЕССАМИ
Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет) 198013, Санкт-Петербург, Московский пр. д. 26
Рассматриваются современные методы дискретного управления непрерывным технологическим объектом, обеспечивающие качественную робастную стабилизацию в условиях неопределенности
Ключевые слова: неопределенность, динамическая компенсация, дискретное управление, импульсные системы управления, импульсные дозаторы.
Традиционно в теории управления такая задача решается при помощи: метода компенсации [1], метода модального управления [2], методов экспоненциальной устойчивости и качественной экспоненциальной устойчивости [3-6], методов оптимального управления [7-10].
Недостатком метода компенсации является возможность его применения только для устойчивых и минимально фазовых объектов. Недостаток модального управления, также как и метода компенсации, состоит в трудности задания желаемого движения замкнутой системы, которое обеспечит ро-бастность системы и достаточно высокие качественные характеристики, но здесь появляется возможность стабилизировать объекты с любой динамикой.
Методы качественной экспоненциальной устойчивости позволяют найти область распределения характеристических чисел замкнутой системы, в которой обеспечиваются заданные показатели сходимости собственного движения системы в пространстве состояний, но это не гарантирует качественной работы регулятора выхода, который требуется для управления технологическим процессом.
Методы оптимального управления с минимизацией квадратичного функционала не обладают робастностью [8, 10], поэтому чаще используются в качестве эталона.
Целью данной работы является получение достаточно простых методов робастного управления, которые обеспечивают качественную стабилизацию одномерных систем с дискретным регулятором выхода применительно к задачам автоматизации технологических процессов. В работе основное внимание уделено следующим качественным характеристикам системы: время регулирования, перерегулирование, характе-
1 Зайцев Роман Владимирович, аспирант каф. автоматизации процессов химической промышленности
2 Камкин Олег Юрьевич аспирант каф. автоматизации процессов химической промышленности
3 Ремизова Ольга Александровна, канд. техн. наук, доцент каф. автоматизации процессов химической промышленности, e-mail: remizova-oa@yandex.ru
4 Сыроквашин Владислав Викторович, канд. техн. наук, доцент каф. автоматизации процессов химической промышленности
5 Фокин Александр Леонидович, д-р техн. наук, профессор, каф. автоматизации процессов химической промышленности, e-mail: fokin_sa@mail.ru
Дата поступления - 14 мая 2013 года
ристики демпфирования (запасы устойчивости), характеристики грубости (Я™ -норма функции чувствительности), сложность регулятора.
Модальное управление
При решении задачи модального управления в пространстве состояний открытым остается вопрос о реализации системы с регулятором выхода. В этом отношении для систем с одним входом и одним выходом представляется перспективным простой подход, использованный в [11] для непрерывных систем.
Пусть задан объект в виде передаточной функции:
Г (*) = вт( № + ■■■ + в* + в (1)
О V ' / \ п п—1
ап () * +«„—1* + ■■■ + «1* + «0
Полиномы а„(.*), вт(*) могут быть любыми, в том числе и неустойчивыми. Коэффициенты передаточной функции могут изменяться во времени в заранее заданных интервалах так, что уравнение (1) представляет собой множество моделей.
Далее для определенности рассматривается одна из моделей заданного множества, которая считается полностью известной и называется номинальной моделью:
в (*) вт*т + - + А°* + в0 . (2) О (*) *„ + а„—1 *п—1 + - + < * + а00
Синтез системы осуществляется для номинальной модели, но с условием малой чувствительности контролируемой величины к неопределенности в объекте (1). В качестве регулятора, обеспечивающего астатизм системы, будем рассматривать передаточную функцию, которая имеет порядок, равный порядку объекта:
К (*)
W (z) = ¿
WP (z) = -
(z)
zn + an ,zn 1 + ... + a,z + a,
лп-\" .....^ ' "ü
Для обеспечения астатизма в системе передаточная функция регулятора должна иметь полюс в точке z = 1. Отсюда следует необходимость выполнения условия:
an-1 + ... + a, + a0 =-1. (4)
Характеристическое уравнение замкнутой системы (2), (3) будет:
D(z) = ln (z)« (z)+ kn (zв (z) =
+ d 2
n 2n-1
... + dnz" +... + d, z + d 0
(5)
Коэффициенты do, ..., d2„-l линейно зависят от 2п + 1 настраиваемых параметров передаточной функции регулятора
(3).
Пока оставим в стороне вопрос о выборе желаемого движения, и будем считать, что известны желаемые характеристические числа замкнутой системы: Х = (Л1,-,Л„). Это
значит, что известно характеристическое уравнение порядка 2п желаемой замкнутой системы:
вж (* )=(* — Л) —(* — к )= . (6)
2п , т 0 2п—1. . 10 . 7 О П
= г + d 2п—1 г + — + d1 г + d 0 = О
Приравнивая полиномы (5) и (6) вместе с условием
(4) получим 2п + 1 линейных уравнений для определения неизвестных коэффициентов передаточной функции регулятора (3). Например, для объекта (2) четвертого порядка п = 4, т = 3 такая система будет иметь вид:
МУ = N, (7)
где
«0 во 0 0 0 0 0 0 0 d 0 a0
а в «0 А 0 0 0 0 0 d1 \
а2 в а1 в а0 А 0 0 0 d2 a1
а3 в а2 в а1 в а0 А 0 d3 h
M = 1 0 а3 в а2 в а в А ; N = d 4 -а0 ; v = a2
0 0 1 0 а3 вз а2 в в d5 -« Ь
0 0 0 0 1 0 а3 в в d 6 -«2 a3
0 0 0 0 0 0 1 0 в d7 - a3 Ьз
1 0 1 0 1 0 1 0 0 -1 Ь _
bnzn + ... + bi z + b, .(3)
Решение системы (7) однозначно определяет передаточную функцию регулятора. Но заметим, что задание характеристических чисел замкнутой системы еще не гарантирует качества регулирования, например, по такому показателю, как перерегулирование. Это следует из сравнения (А, В, С, в) представлений для желаемого и реального движений.
Для желаемого движения собственная матрица А обычно выбирается в канонической: диагональной или жор-дановой форме. Собственные матрицы реальной системы и системы желаемого движения оказываются связанными преобразованием подобия, что гарантирует одинаковость их характеристических чисел. Но при этом любые нормы этих матриц не являются инвариантами. Как правило, норма собственной матрицы реального процесса превышает норму желаемой канонической собственной матрицы, и это приводит иногда к значительным величинам перерегулирования, так для замкнутой системы при нулевом входном воздействии справедлива формула:
х( +1) = Ах(^), х() = х0, t = 0,1,2, — (8)
При этом для нормы вектора состояния справедлива оценка сверху:
||х( + 1))<И|.||х((|<ИП|х(0|. (9)
Отсюда следует справедливость сделанного утверждения. Поэтому на практике лучше задаться областью изменения характеристических чисел замкнутой системы и попытаться найти такое распределение, которое дает минимальную норму собственной матрицы замкнутой системы внутри заданной области.
Это можно сделать любым поисковым методом с ограничением на область определения собственных чисел. Например, для экспоненциальной устойчивости с показателем 0 < X < 1 характеристические числа должны находиться внутри круга радиуса X. Можно использовать также простой перебор, но это связано с большими затратами машинного времени.
Можно усложнить задачу поиска и рассматривать второй критерий - грубость системы к неопределенности параметров в (1), который оценивается при помощи Я™ - нормы функции чувствительности системы. Тогда в качестве целевой функции процедуры поиска можно, например, рассмотреть выражение:
V +Г2 V , (10)
где у,- > 0, г = 1, 2- весовые коэффициенты, V = |А1Ь -евклидова норма матрицы А, = (у®)) — Я™ - норма
функции чувствительности замкнутой системы, которая вычисляется на основании передаточной функции по ошибке.
Увеличение параметра у2 ведет к уменьшению показателя V™ и увеличению времени регулирования. В качестве альтернативного подхода можно использовать регулятор более высокого порядка п1 > п, и тогда п1 - п коэффициентов передаточной функции регулятора могут быть задействованы в процедуре поиска минимума целевой функции (10). При этом уже можно не изменять характеристические числа желаемого движения.
Описанная методика прямого поиска позволяет определить желаемое движение с заданными свойствами и реализовать регулятор выхода.
z
Оптимальное робастное управление
Рассмотрим задачу минимизации квадратичного функционала на траекториях системы в рамках методики расширения математической модели в пространстве состояний, как это сделано в [11] для непрерывных систем. Для искусственного разделения движений в непрерывном времени используются не минимально фазовые фильтры с передаточной функцией:
Wф(p) =
1 - ТФ1P 1
1 + Тф2 P
(11)
,(13)
где 7ф1, Тф2 - настраиваемые постоянные времени.
В дискретном времени (11) соответствует передаточная функция вида:
х^) = 1 - *)-1 (12)
1 - q • z
Где а = (Тф1 + Тф2)/ Тф2, д = ехр(- Дt • ), лt - шаг дискретности, - вектор состояния исходной системы, соответствующей (2), Х1 - вектор опорной траектории.
Тогда уравнение состояния для расширенной модели
будет:
"Дх1 ( +1) х1 ( +1)
" аА0 - (а - д)1 а((0 -1) ]ГДх1 () (1 -а)А0 + (а -д) (1 -а)А0 + а1 х1 () " аВ0 (1 - а)В0
где Ал = хо -Х1, хт = [дхт х[ ] - расширенный вектор состояния х(0)т = [[ (0) 0], А0, В0 - собственная матрица и
матрица управления исходного объекта (2), и - скалярное управление.
Далее для расширенной модели (13) синтезируется закон управления позволяющий решить задачу стабилизации для исходного объекта (А0, В0), который обеспечивает максимальную взаимную компенсацию составляющих ДлО и х^) расширенного вектора состояния во время переходного процесса, что обеспечивает робастность системы, так как при этом также компенсируется влияние неопределенности.
Для этого вводится вспомогательный п вектор вида:
У, () = ^1Дх1 ()+а2х1 () = [[1 а21(](() , (14)
1 х1 (()_
где ¿1 ф ¿2 > 0 - настраиваемые коэффициенты.
И рассматривается квадратичный функционал:
<()
• = Ё(уТС)бсУ1 ()+ит()Яи()),Я > 0, 2с >0.
(15)
Р - (А)т РА + (А)т РВЯ 1 (в)т РА - 2 = 0. Далее вычисляем собственную матрицу замкнутой системы. Характеристические числа этой матрицы являются характеристическими числами желаемого движения замкнутой системы л = (Л1,.,Лп).
После этого применяется описанная выше методика модального управления для синтеза регулятора выхода. Здесь желаемое движение найдено при помощи процедуры АКОР для расширенной модели.
Качественная экспоненциальная устойчивость
Систему называют экспоненциально устойчивой [3, 4], если для вектора состояния выполнено ограничение сверху:
||х()) < р • ехр(- Ш))х(0)), (16)
где р> 1, а >0.
Неравенство (16) можно переписать в виде:
||х())<рЛ ||х(0), (17)
где Л = ехр(- а), 0 < Л < 1.
Для качественной экспоненциальной устойчивости [46] дополнительно требуется существование числа 4 < 1 + 4, чтобы выполнялось неравенство:
||х(()- х(0) < Л.РЁ Л'|х(°) =
/=п 1
1 -ЛЛ\
-л'
(18)
Рекомендуется брать 4) <1. Если задана функция Ляпунова V = хтРх, то достаточным условием качественной экспоненциальной устойчивости будет:
V(х(т +1) - (г + а)х(т)) < г2V(х(т)), (19)
где г =
Л + Л0 -1 2
, а = 1 -Л .
При этом характеристические числа системы лежат в круге радиуса г с центром в точке(г + су0). Для синтеза обратной связи по состоянию и = -Кх, обеспечивающей качественную экспоненциальную устойчивость, достаточно решить уравнение Риккати:
_ (а - ВК, )ТР(А - ВК,)-г 2Р = -2 - КогЯК0, (20) где А = А - (г + а)/, А - собственная матрица объекта,^ > 0, Я > 0
К0 = ( + ВТРВ) ВТРА ,
(21)
Далее для расширенной модели решается задача АКОР (13) - (15) с настраиваемыми параметрами Тф1, Тф2, ¿1, ¿2, 20, Я. Здесь можно доказать следующие утверждения:
- стабилизация расширенного объекта приводит к стабилизации исходного объекта,
- для минимизации (15) необходимо управление, которое обеспечивает максимальную взаимную компенсацию АЫО и х!©,
- из стабилизируемости и детектируемости исходного объекта следует стабилизируемость и детектируемость расширенного объекта.
В результате получаем решение в виде линейной обратной связи по расширенному вектору состояния и = -Кх :
К = Я(В)т РА, Я = Я + (в)т РВ, Р - решение уравнения Риккати
где В - матрица управления.
При этом предполагается управляемость пары (а, В).
Эта процедура может быть использована как для исходного объекта А = А0, В = В0, так и для расширенной модели (13). Использование расширенной модели позволяет синтезировать систему с более высокими качественными характеристиками.
Далее, вместо решения традиционной задачи АКОР, как это было сделано раньше, описанный подход (20), (21) применялся для расширенной модели (13). Это позволяет для улучшения качественных показателей системы одновременно задействовать сразу два механизма: частичную взаимную компенсацию составляющих расширенного вектора состояния и условие качественной экспоненциальной устойчивости. Для этого в соответствии с (14), (15) нужно взять:
2 = ¿20ат, ¿т =[[ а2/]. (22)
Решение расширенных задач стабилизации, описанных выше, позволяет увеличить грубость системы к неопределенности в передаточной функции (1), а, следовательно, улучшает показатели демпфирования системы. При настройке параметров расширенной модели вначале всегда оговаривается величина времени регулирования ^ и параметры Тф1, Тф2, ¿1,
х
1=0
¿2, Qо, Я, Я, Яо выбираются из условия максимальной грубости возможной для данной величины ■
Чем больше величина р тем более грубую систему где ^о . можно синтезировать. Обычно выбирается некоторый компромисс между быстродействием и грубостью системы.
Пример
Рассмотрим в качестве примера процесс сухого измельчения в двух камерной мельнице (М). Управление загрузкой первой камеры осуществляется по сигналу электроакустического датчика при помощи П закона регулирования (ui). На выходе второй камеры дискретно измеряется качество процесса (у) помола, которое контролируется по количеству остатка на сите 0.08 и составляет 8-12 %. Дискретный сигнал управления (u) суммируется с непрерывным сигналом регулятора первой камеры, как это показано на рисунке 1.
Рисунок 1. Структурная схема системы управления процесса сухого измельчения
В качестве исполнительного механизма рассмотрим импульсный весовой дозатор (ИД), который работает в режиме ЧИМ, на выходе которого имеем сигнал и*. В окрестности выбранного стационарного состояния непрерывный объект для второго контура управления может быть описан при помощи передаточной функции вида:
^р«р>=(+&<р>, (23)
где к 0 < к0 < к о , т<т<т , Т, < Тг < Тг (г = 1,2)- неопределенные параметры.
Номинальная модель для цементной мельницы 3 х 14 сухого помола, где время измеряется в минутах, была выбрана в виде:
( ) к0 ехр(- Трр) , (24)
^ (р) (р +1)р +1) где кр = 1.07, Т10 = 25, Т20 = 0.57, т0 = 20 .
Так как в работе не рассматриваются специальные методы управления для объектов с запаздыванием, то дальше вместо звена запаздывания будет использоваться аппроксимация Паде второго порядка для перехода к дробно-рациональной передаточной функции. При этом передаточная функция (24) принимает вид:
ш0(р)= к0 ((/12))2-(/2р) +1 . (25)
Ы" к0 (р +1)р +1)/12)р2 +(/2р) +1)
Выберем шаг дискретности, равным номинальному запаздыванию & = го. Тогда дискретная номинальная передаточная функция объекта (2) с фиксирующим устройством нулевого порядка примет вид:
W0 (z ) = -
0.0579z3 + 0.49 z2 + 0.052z + 3.9 • 10 -5
- 0.433z3 - 0.0047z2 - 0.0011z + 7 • 10-
(26)
A0 =
x(t +1) = A0 x(t)+ B0 u (t), y(t ) = C0 x(t), [0.0579 0.491 0.206 0.01], 0.433 0.0047 0.0044 -1.85 • 10-16"
(27)
(28)
0 0.25 0
0 0
0.0156
B0 =
Далее уравнение состояния для расширенной модели формируется в соответствии с формулой (13). Передаточная функция регулятора (3) получается из решения системы линейных уравнений (7). Зададимся временем регулирования в пределах 170-200 мин и рассмотрим систему с качественной экспоненциальной устойчивостью (п.3) (Я = 0.9, Яо = 1.05), что дает область распределения характеристических чисел в круге радиуса г = 0.475 с центром на вещественной оси в точке 0.425.
Для обеспечения частичной взаимной компенсации составляющих расширенного вектора состояния выберем следующие значения настраиваемых параметров: Тф1 = 200, Тф2 =2, ¿1 = 21, ¿2 = 20, Я = 1, Qо = ¿^{1,100,1,1}. Тогда при помощи формул (20)-(22) получаем следующие характеристические числа желаемого движения замкнутой системы: Я1 = 0.7113, Я2 = 0.425, Яз = 0.424, Я4,5 = 0.0029 ± ^0.0021, Яб = Я7 = Яв = 4.54-10-5, которые принадлежат указанной области.
При этом переходная характеристика для непрерывного объекта имеет вид, показанный на рисунке 2. Как видно, величина времени регулирования принадлежит заданному диапазону. Показатель грубости составляет V = 1.30В. Это один из наилучших качественных показателей. Временная зависимость для дискретного сигнала управления показана на рисунке 3.
Время, с
Рисунок 2. Переходная характеристика для непрерывного объекта
100
200
250
300
Этой передаточной функции соответствует (A, B, C, 0) представление:
380 400
Время, с
Рисунок 3. Временная зависимость дискретного сигнала управления
1
Здесь активны оба упомянутых механизма обеспечения качественного управления. О качестве взаимной компенсации соответствующих компонент расширенного вектора состояния можно судить на основании рисунка 4, где сплошной линией показан график для компоненты х1(0, а штриховой линией - для компоненты хб(0, которые были получены для замкнутой системы при начальном условии х(0) = [1 1 1 1 0 0 0 0]7. Видно, что качество частичной взаимной компенсации хорошее, за исключением самого начала переходного процесса. Для остальных пар (х2, хб), (хз, х), (х4, хв), сохраняется та же тенденция.
Рисунок 4. Временная характеристика компонентов и для замкнутой системы
Об активности механизма качественной экспоненциальной устойчивости можно судить по графику изменения
евклидовой нормы вектора состояния исходного объекта х0^)
полученного для тех же начальных условий х0(0) = [1 1 1 1] который показан на рисунке 5
7
Рисунок 5. График изменения евклидовой нормы вектора состояния исходного объекта
При использовании оптимального робастного управления по расширенной модели (п.2) качество системы становится более чувствительным к изменению параметров настройки, а сама настройка более трудоемкой. При величинах настройки: Тф = 40, Тф2 =6, ¿1 = 21, ¿2 = 20.5, Я = 1, 0>0 = diag{1,0.29,1,1}. получаем V = 1.343, что несколько больше, чем раньше. Здесь имеется большая чувствительность к изменению второго диагонального элемента матрицы 0>0. При этом ¿1 = -0.51, ¿2 = -0.0838, ¿3 = -0.0008, ¿4 = 0.0253, ¿5 = 0.731, Л6 = Л7 = \ = 0.49 - собственные числа желаемого движения.
Можно также решить эту задачу путем прямого поиска с целевой функцией (10) в рамках модального управления (п.1). Рассмотрим значения параметров: 71 = 1, у2 = 1. При помощи прямого перебора среди действительных характери-
стических чисел замкнутой системы были получены следующие значения: Л = (- 0.15,-0.0686,0.02,0.002,0.0286,0.2,0.486,0.95) , гР = 1300ш , V» = 1.072. Здесь большое время регулирования.
Чтобы уменьшить время регулирования гр рассмотрим параметры целевой функции (10) у1 = 1, у2 = 0.5. Тогда получим гр = 400ш , V» = 1.33,
Л = (- 0.043,-0.0357,-0.0357,-0.0286,-0.007,0.543,0.7343,0.8)
В целом этот подход достаточно трудоемок и требует большого количества машинного времени.
Использование импульсного дозатора предполагает представление сигнала управления при помощи ЧИМ. В основе методики перехода от АИМ к ЧИМ лежит равенство массы дозируемого материала в единицу времени при разных типах модуляции. Пусть и - непрерывное управление, Т - изменяющийся период в импульсной последовательности, тт - ширина импульса, Ат - амплитуда импульсов, т = Т-тт - скважность. Тогда для постоянного непрерывного сигнала и(0 = и'1(0 можно построить импульсную последовательность с равной площадью на основании формулы:
(Ат 'Тт + 0 • ^ )Т = и(Тт + ^ ) , (29)
где к - число одинаковых периодов за исследуемый отрезок времени.
Отсюда:
Ат - и,
(30)
Если сигнал управления изменяется во времени, то период Т также будет зависеть от времени. При этом в (29) берется к = 1 и в течение времени Т непрерывная информация не участвует в управлении - непрерывный сигнал управления считается постоянным на этом временном интервале. Переменная величина периода тогда может быть вычислена по формуле:
Т = гш +тп =-
Ат
, Ат > и .
(31)
Рассмотрим следующие значения параметров: Ат = 1.2, тт = 3. При использовании управления с ЧИМ переходная характеристика, представленная на рисунке 2, принимает вид кривой, изображенной на рисунке 6. Видно, что эти кривые по форме мало различаются. Соответствующая временная характеристика для сигнала управления показана на рисунке 7. Для наглядности эта кривая показана на меньшем отрезке времени.
100 180 200 250 ЗОО 350 400 450
Рисунок б. Переходная характеристика для непрерывного объекта при управлением с ЧИМ
т
т
т
и
Рисунок 7. Временная зависимость сигнала управления для непрерывного объекта при управлении с ЧИМ
Заключение
Улучшение качества регулирования связано с синтезом системы на основании расширенных моделей, так как это позволяет уменьшить амплитуды переменных состояния во время переходного процесса. Искусственное расширение модели объекта за счет использования не минимально фазовых фильтров (11), (12) позволяет представить вектор состояния технологического объекта в виде суммы двух векторов:
х0 (() = Ах1 (() + х1 ((). (32)
Далее управление выбирается таким образом, чтобы происходила частичная взаимная компенсация составляющих расширенного вектора состояния Дх1(0 и х^). Это позволяет не только увеличить грубость системы, как было описано выше, но и уменьшает время регулирования. Последнее хорошо видно из формулы (32) - при полной компенсации составляющих в правой части время переходного процесса равно нулю.
Несмотря на то, что взаимная компенсация бывает только частичная, особенно трудно она обеспечивается в начале переходного процесса, тем не менее, этот механизм улучшает показатель быстродействия системы и делает его близким к оптимальному для заданной меры грубости V» системы.
Другим важным показателем является перерегулирование. Его увеличение обычно приводит к увеличению амплитуд переменных процесса во время регулирования и к уменьшению времени регулирования. При этом снижается показатель грубости. Применение расширенной модели с последующей взаимной компенсацией движений позволяет уменьшить амплитуды переменных состояния исходной модели.
Для качественной стабилизации требуется обеспечить компромисс между увеличением времени регулирования вместе с увеличением грубости и увеличением перерегулирования вместе с уменьшением времени регулирования. Обычно в начале проектирования задаются допустимыми границами для изменения времени регулирования, а дальше выбираются настройки расширенной модели и параметры описанных выше оптимальных задач, при которых показатель грубости достигает максимального значения. Как правило, перерегулирование при этом остается в нормальных пределах.
Расширение модели является промежуточным этапом синтеза, оно не влияет на порядок синтезируемого регулятора выхода, который при использовании данной методики всегда равен порядку объекта. Расширение модели и взаимная частичная компенсация составляющих расширенного вектора состояния являются основным механизмом улучшения качества системы.
В качестве другого, дополнительного, механизма в данной работе был рассмотрен аппарат качественной экспоненциальной устойчивости. Это позволяет немного улучшить качество системы и упростить процесс настройки.
Представленная методика позволяет осуществить синтез робастной системы в рамках модального управления, робастной стабилизации с минимизацией квадратичного функционала и теории качественной экспоненциальной устойчивости с заданным временем регулирования и уровнем перерегулирования. Порядок синтезируемого регулятора совпадает с порядком объекта.
Литература
1. ИзерманР. Цифровые системы управления. М.: Мир, 1984. 541 с.
2. Бобцов А. А, Быстров С. В., Григорьев В. В, [и др.]. Синтез модальных управлений для проектирования статических регуляторов в дискретных системах с периодически изменяющимися коэффициентами // Мехатроника, автоматизация, управление. 2010. № 5. С. 23-28.
3. Бы/стров С. В., Григорьев В. В, Рабыш ЕЮ, [и др.]. Экспоненциальная устойчивость непрерывных динамических систем // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. 2011. Т. 73. № 3. С. 44-47.
4. Григорьев В.В. Качественная экспоненциальная устойчивость непрерывных и дискретных динамических систем// Изв. вузов. Приборостроение. СПб. 2000. Т. 43. № 1-2. С. 18-23.
5. Григорьев В.В, Коровьяков А.Н. Исследование качества многосвязных дискретных систем на основе метода сравнения // Автоматика и телемеханика. 1988. № 9. С. 58-66.
6. Григорьев В.В, Бы/стров С.В, Наумова А.К., [и др.]. Использование условий качественной экспоненциальной устойчивости для оценки динамических процессов // Изв. вузов. Приборостроение. 2011. Т. 54. № 6. С. 24-30.
7. Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления. М.: Наука, 1986. 616 с.
8. Стрейц В. Метод пространства состояний в теории дискретных линейных систем управления. М.: Наука, 1985. 296 с.
9. Фомин В.Н. Методы управления линейными дискретными объектами. Л.: ЛГУ, 1985. 336 с.
10. Дроздов В.Н, Мирошник И.В., Скорубский В.И. Системы автоматического управления с микроЭВМ. Л.: Машиностроение, 1989. 284 с.
11. Бороздин П.А, Сыроквашин В.В, Фокин А.Л. Робастное управление линейным инерционным объектом // Известия РАН. Теория и системы управления. 2008. № 4. С. 41-49.
