Робастное управление линейным объектом с запаздыванием с применением квадратичных методов синтеза системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

УДК 62-506

О. А. Ремизова, И. В. Рудакова, В. В. Сыроквашин, А. Л. Фокин

РОБАСТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМ ОБЪЕКТОМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ С ПРИМЕНЕНИЕМ КВАДРАТИЧНЫХ МЕТОДОВ

Синтез робастного регулятора для объекта с запаздыванием осуществляется по расширенной модели последнего, полученной вследствие искусственного разделения движений в нем, в рамках решения задачи ^-оптимального управления и задачи аналитического конструирования оптимальных регуляторов для звена чистого запаздывания.

Ключевые слова: неопределенность, интегральный квадратичный функционал, случайные возмущения, линейная теория, расширенная модель, демпфирование.

Введение. Методы синтеза, основанные на решении оптимальных задач с минимизацией квадратичного функционала, широко используются при проектировании систем управления, так как они позволяют уменьшить непроизводительные затраты энергии, вызванные действием возмущений, при работе системы управления.

Основным недостатком такой системы является чувствительность регулируемых величин к неопределенности параметров модели объекта управления [1—3]. Это приводит к существенной потере качества управления, а во многих случаях к потере устойчивости реальной системы.

Наличие запаздывания в модели объекта усложняет задачу синтеза и ухудшает качественные показатели системы, в наибольшей степени — показатели грубости. Поэтому для систем с запаздыванием особенно актуальна задача снижения чувствительности к возможным вариациям параметров, в том числе и к величине запаздывания, которое может изменяться в процессе функционирования объекта.

Будем рассматривать модель „вход—выход объекта" в виде передаточной функции в комплексной плоскости

данных интервалах: ко < ко < ко , то < то < то .

Традиционно при наличии запаздывания используется точное его прогнозирование: уп-редитель Смита, регулятор Ресвика, которые обеспечивают отсутствие запаздывания в харак-

СИНТЕЗА СИСТЕМЫ

ш { \ ( \ 1 В (р)ехр^-ТоР) ( ) Шо (Р)и(Р) = ко- , ч-и(Р),

А (Р)

Жо (р) = ко°-^ехр(-т0Р), (2)

теристическом уравнении замкнутой системы [4, 5]. К этой же группе можно отнести регуляторы, использующие прогнозирующую модель (предикторы) [6, 7].

Такая система работоспособна при известной величине запаздывания, так как звено запаздывания непосредственно входит в передаточную функцию регулятора.

В настоящей работе предлагается подход, в котором использована идея декомпозиции модели (1) на звено чистого запаздывания и инерционную часть и последовательно решена практически востребованная задача синтеза в рамках робастной квадратичной теории без привлечения методов точного прогнозирования движения системы на время запаздывания.

Основной результат. Вместе с реальной передаточной функцией объекта (1) рассмотрим номинальную

= .0 ВМ

А (Р)

где к!, тЮ — номинальные значения коэффициента передачи и запаздывания, В^ (р), А! (р) — номинальные полиномы числителя и знаменателя.

Здесь предполагается, что пары реальных и номинальных полиномов Ву(р), ВV (р) и

Ап (р), А0 (р) являются одновременно устойчивыми или неустойчивыми, или находятся на

границе устойчивости. В случае неустойчивости они имеют одинаковое число неустойчивых корней.

Задача синтеза решается при дополнительном условии уменьшения чувствительности системы к возможным вариациям параметров модели (1) и величины запаздывания относительно их номинальных значений. Это достигается за счет искусственного расширения исходной номинальной модели (2) и разделения движений в объекте на две составляющие. Управление решает две задачи квадратичной оптимизации: стабилизацию исходной модели объекта и обеспечение взаимной компенсации составляющих движения модели. Решение второй задачи, как показано в [8—11], обеспечивает робастность системы.

Первый этап синтеза. Здесь решается задача увеличения грубости по отношению к запаздыванию. Рассматривается часть передаточной функции (2), содержащая чистое запаздывание с аппроксимацией Паде

ШЛ (р) = ехр(-т0р).Ш = 144. (3)

а(р) 1 + т0 р/2

Аппроксимация Паде первого порядка вполне точно представляет динамику запаздывания в области низких и средних частот. Для увеличения точности можно рассмотреть аппроксимации второго, третьего и более высоких порядков, но в этом случае увеличивается сложность регулятора.

Для определенности условимся, что система является робастной по отношению к вариациям величины запаздывания т0, если она не теряет устойчивости при неконтролируемом

возрастании этой величины в 3—4 раза относительно номинального значения т0. Этого

вполне достаточно для практики. Тогда справедливо следующее утверждение.

Утверждение. Решение задачи оптимального управления с минимизацией интегрального квадратичного функционала для объекта чистого запаздывания, грубого по отношению к вариациям величины запаздывания, достигается в классе ПИ законов регулирования вида

р *р. = ^ (4)

I (р) р

где к (р), I(р) — полиномы, Ь0 — настраиваемые параметры регулятора.

Доказательство. Во временной области модель (4) будет

. = 2 4 Х1 - 0 х1 и1, то то

(5)

"о "о

У1 = .1 - и1 . (6)

Для робастной стабилизации такого объекта лучше всего подходит задача аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) расширенной модели [8, 9], так как это позволяет получить регулятор минимальной размерности, равной единице. Кроме того, на этом этапе задача может быть рассмотрена без возмущений.

Искусственное разделение на две составляющие достигается за счет пропускания переменной состояния .1 через фильтр вида

( ) 1 - *ф1Р ( )

(Р )- (Р ) =

(7)

+ *ф2 Р

где ^ф1, Хф2 — настраиваемые параметры фильтра.

Для синтеза оптимального регулятора состояния по расширенной модели вводится новая регулируемая переменная

¿1 - т1 А. + т2.1, (8)

где т1, т2 — настраиваемые коэффициенты (т1, т2 > 0, т1 ^ т2 ), А. - х1 - .1. Расширенное уравнение состояния имеет вид

Ах1

-2Эх/

(1 + 21 ф^То ))ф2

Т0 - 1 -1

То гф2

т

2^/Т

'ф1 / 'ф2 1°

ГАх1 + 4 " А/т0 '

[_ х1 _ tфl| ^ф2 Т°

(9)

(10)

где в1 = 1 + ф .

В качестве квадратичного функционала рассматривается выражение

3 - 1^) + ги2 () сИ,

0

где q, г — настраиваемые параметры.

Задаваясь настраиваемыми параметрами ^ ¿ф2, т1, т2, q, г, решаем задачу АКОР (9), (10), как описано в [8], и получаем управление по состоянию

и1 - А. + £2.2 . (11)

После подстановки управления (11) в модель (9) получаем замкнутую систему с известным характеристическим уравнением

-0 / ч 2 , 0 „ , „0

О0 (Р)- Р2 + Р + Е0 - 0,

(12)

где е0 , — известные коэффициенты.

Регулятор выхода в данном случае может быть получен в виде ПИ закона (4). Для системы, состоящей из объекта (3) и регулятора (4), характеристическое уравнение имеет вид

О(р) - а(Р)/(р) + Р(Р)£(Р) - Р2 + Е1Р + Е° - 0,

(13)

где коэффициенты £1, е° линейно зависят от параметров Ь°.

Приравняв полиномы (12) и (13), получим систему линейных уравнений для определения неизвестных коэффициентов Ь, Ь° вида

.

( +2/тО)

-1

«0

2т

К

ъ2

■V тО

«8

(14)

Решив систему уравнений (14), получим значения параметров регулятора (4) для задано

ного значения запаздывания тО .

Второй этап синтеза. Рассматривается исходная номинальная передаточная функция объекта (2) при условии, что для компенсации влияния звена запаздывания применяется ПИ регулятор (4). Поэтому при синтезе регулятора второго этапа теоретически нужно рассматривать передаточную функцию с запаздыванием вида

^ 2 (р ) = к° ^ Ш ехр(-тОр).

(15)

р АО (р)

Но дальше процедура синтеза становится приближенной, так как передаточная функция (15) рассматривается без запаздывания. Отсутствие запаздывания легко скорректировать в

дальнейшем. Поэтому при к^ = 1 будет

^2 (р) =

Ър + Ъо В (р)

(16)

р а! (р)

Синтез регулятора выхода осуществляется при помощи решения задачи Н -оптимального управления для расширенной модели, которая соответствует передаточной функции (16), при наличии возмущений типа белого или цветного шума. Пусть исходная модель объекта имеет вид

хо = А0х0 + В10о + В20^ х0 (0) = х0, (17)

го = Сю^ (18)

У 0 = С20 х0 + !у, (19)

где хо е Я0 — вектор состояния, и е Я1 — управление, Wо е Я1 — вектор возмущения в объекте, оу е Я1 — помеха измерения, го е Я — вектор контролируемых переменных,

А о, Вю, В 20 — номинальные значения матриц.

При расширении модели вводится система фильтров для получения опорной траектории в пространстве состояний вида

Х1 (р) = ^^ф (р) хо (р) = х0 (р) , (20)

1 + Тф2 р

где Тф1, Тф2 — постоянные времени фильтра.

Относительно этой опорной траектории рассматривается сигнал рассогласования

Ах (г ) = хо (г)- х (г). (21)

После этого вводится новая регулируемая переменная

г (г) = ё1Ах1 (г) + ё2х1 (г), (22)

где ё ^ ё2, ^2 > 0 — настраиваемые параметры.

-3

В расширенном пространстве состояний х =

х = Ах + В^ о + В 2и, х (0 ) =

т т Ах{ х{

(0 )

модель (17)—(22) имеет вид

т

0 , (23)

г = М^х,

У = с2х + пу,

(24)

(25)

где

А =

Мо - Т—2 I РА Тф2 (1 - Тф1 А) -Тф21Тф1А0

В1

В

-Тф21Тф1^10

В2

РЯ20 -Тф2Тф1В20

х =

Ах,

— вектор состояния расширенной модели объекта, в = 1 + Тф2 Тф1, d = [ й21 ], М = ё1а§ {|},

С2 =[С20 С20], г = 1,...,п.

Далее для расширенной модели решается задача Н -оптимального управления. В работе [ 10] доказано, что решение существует и осуществлена частичная взаимная компенсация сигналов Ах () и Х1 (), которая обеспечивает робастность синтезированной системы. Для достижения заданных качественных показателей системы используется настройка в пространстве параметров: Тфъ Тф2, |. Решение находится в соответствии с методикой, представленной в [9—11]. В результате получаем регулятор с промежуточной передаточной функцией

Кр2 (Р) .

Настройка параметров выполняется таким образом, чтобы соблюдались два условия:

шс2 ^ шс , (26)

¿2 ^ h1, Ф2 ~ ФЪ (27)

где «с2 — частота среза системы без запаздывания с передаточной функцией регулятора

Жр2 (р); ¿2, Ф2 — запасы по амплитуде и фазе для этой системы, , ¿1, Ф1 — соответствующие показатели, полученные для звена чистого запаздывания.

При выполнении условия (26) процедуры синтеза первого и второго этапов дополняют друг друга, так как целью обоих этапов является повышение качества системы примерно в одной и той же области частот. Условие (27) позволяет получить систему, не уступающую по качеству системе, синтезированной на первом этапе. Оно, в отличие от (26), не является необходимым и обусловлено приближенным характером синтеза регулятора на втором этапе. Оно позволяет устранить последствия замены точной передаточной функции (15) ее приближенным аналогом (16) и вносит дополнительный элемент коррекции.

В результате двухэтапной процедуры синтеза получается регулятор с передаточной функцией вида

^р (р) =

^^2 (Р).

к0 Р

Пример. Рассмотрим объект с номинальной передаточной функцией

К (р) =

(т0р+1)-

-ехр

(0 р),

где к0 = 0,325 , Т^ = 6 с, т0 = 6 с.

На первом этапе синтеза рассмотрим значения параметров: ^ = 50 с, 1ф2

(28)

(29)

= 8 с, т1 = 5

т2 = 4,9, q = 1, г = 10 . Тогда для объекта чистого запаздывания получим систему со следующими характеристиками: Н^-норма функции чувствительности: п = 1,558, запас устойчивости по амплитуде: \ = 9,05 дБ, запас устойчивости по фазе: Ф1 = 73,4°, частота среза:

= 0,0947 с 1. Для регулятора (4) следующие параметры: \ = 0,2748, Ь0 = 0,09109. Интервал изменения относительной величины запаздывания, при котором система не теряет устойчивости, будет

0 <т°/т0 < тт = 3,25. (30)

Переходная характеристика первого этапа представлена на рис. 1. Передаточная функция (16) будет иметь вид

1 V + ¿0

»2 (р) =

( р+1)3

(31)

И, у.е. 0,8 0,6 0,4 0,2 0 -0,2 -0,4

0

5

10

15

30 35

20 25 Рис. 1

Ей соответствует представление (17)—(19) с матрицами

"0 1 0 0 "

0 0 10

0 0 0 1

0 -0,0046 -0,083 -0,5

40

45 с

А0 =

В10 = в

20

в0

0 0

0,0013 -0,0002

С10 = С20 = О =[1 0 0 0].

Расширенная модель получается в соответствии с формулами (20)—(25). Далее по методике, изложенной в [9—11], решается задача Н -оптимального управления при значениях настраиваемых параметров: Гф1 = 6,9 -105 с, 7ф2 = 200 с , d1 = 5 , d2 = 4,65 . В результате получается передаточная функция регулятора вида

k ( P )

^р ^) =

Pl ^) '

(32)

где

k (p) = 21,65 p8 +18,96 p7 + 6,16 p6 + 0,91 p5 + 0,057p4 + 0,0007p3 +

+3,4 • 10-6 p2 + 5,54 • 10-9 p +1,116 • 10-13; l ^) = 0,325p8 +1,124 p7 +1,534p6 + 0,991 p 5 + 0,2 p4 + 0,0039p3 + +2,8 •Ю-5 p2 + 9,2 •Ю-8 p +1,13 •Ю-10.

Переходная характеристика приведена на рис. 2. Система имеет следующие характеристики: п = 1,719, И = 9,51 дБ , ф1 = 54,4° , шС1 = 0,0701с-1, тт = 3,25, последнее совпадает со значением на первом этапе синтеза (30).

И, у.е.

1

0,8 0,6 0,4 0,2 0 -0,2

0 20 40 60 80 100 г, с

Рис. 2

Для сравнения приведем характеристики соответствующей системы без запаздывания. При настройках Тф = 9 • 105 с, Тф2 = 200 с , ^ = 5 , ^ = 1 получим характеристики системы:

П = 1,379, И = 14,6 дБ , ф1 = 54,5°, шС1 = 0,154 с-1. Переходная характеристика представлена

на рис. 3. Сравнение показывает, что система с запаздыванием имеет достаточно хорошие показатели качества переходного процесса.

И, у.е. 1,2 1

0,8 0,6 0,4 0,2

0 10 20 30 40 50 60 70 г, с

Рис. 3

Заключение. В работе предложена методика синтеза -оптимальных систем с запаздыванием, позволяющая получить решение, которое обладает значительной грубостью к параметрической неопределенности модели объекта, в том числе и к величине запаздывания. В основе методики лежит идея декомпозиции задачи управления на подзадачи управления объектом чистого запаздывания и управления с учетом инерционности объекта. Обе задачи решаются в классе оптимальных по квадратичному критерию систем. Грубость системы достигается за счет искусственного разделения движений объекта так, что управление осуществляет их взаимную компенсацию, что позволяет сделать грубым полученное Н2-оптимальное решение.

список литературы

1. Янушевский Р. Т. О грубости решения задачи аналитического конструирования регуляторов // Автоматика и телемеханика. 1960. № 3. C. 18—25.

2. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Трудные задачи линейной теории управления. Некоторые подходы к решению // Автоматика и телемеханика. 2005. № 5. С. 7—46.

3. Бахилина И. М., Степанов С. А. Синтез грубых линейных квадратичных гауссовских регуляторов // Там же. 1998. № 7. С. 96—106.

4. Гурецкий X Анализ и синтез систем управления с запаздыванием. М.: Машиностроение, 1974. 328 с.

5. Ротач В. Я. Теория автоматического управления. М.: Изд-во МЭИ, 2004. 400 с.

6. Camacho E. F., Bordons C. Model Predictive Control. Springer-Verlag, 1999. 327 p.

7. Бобцов А. А., Колюбин С. А., Пыркин А. А. Компенсация неизвестного мультигармонического возмущения для нелинейного объекта с запаздыванием по управлению // Автоматика и телемеханика. 2010. № 11. С. 136—148.

8. Бороздин П. А., Сыроквашин В. В., Фокин А. Л. Робастное управление линейным инерционным объектом // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2008. № 4. С. 41—49.

9. Ремизова О. А., Рудакова И. В., Фокин А. Л. Синтез робастной системы стабилизации на основе квадратичной теории // Изв. СПбГТИ(ТУ). 2009. № 6. С. 71—75.

10. Климов А. П., Ремизова О. А., Рудакова И. В., Фокин А. Л. Уменьшение чувствительности ^-оптимальной системы к влиянию неопределенности модели объекта // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2010. № 3. С. 27—32.

11. Климов А. П., Ремизова О. А., Рудакова И. В., Фокин А. Л. Достижение робастности системы стабилизации, синтезированной на основе квадратичной теории // Изв. вузов. Приборостроение. 2010. Т. 53, № 7. С. 18—26.

Сведения об авторах

Ольга Александровна Ремизова — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный

технологический институт (Технический университет), кафедра автоматизации процессов химической промышленности; E-mail: [email protected] Ирина Викторовна Рудакова — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный

технологический институт (Технический университет), кафедра автоматизации процессов химической промышленности; E-mail: [email protected] Владислав Викторович Сыроквашин — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный

технологический институт (Технический университет), кафедра автоматизации процессов химической промышленности Александр Леонидович Фокин — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный

технологический институт (Технический университет), кафедра автоматизации процессов химической промышленности; E-mail: [email protected]

Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию

автоматизации процессов 15.02.11 г.

химической промышленности