УВЕЛИЧЕНИЕ ГРУБОСТИ ОПТИМАЛЬНЫХ ПО КВАДРАТИЧНОМУ КРИТЕРИЮ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 62-506

О.А. Ремизова1, И.В. Рудакова^, В.В. Сыроквашин3, А.Л. Фокин4

УВЕЛИЧЕНИЕ ГРУБОСТИ ОПТИМАЛЬНЫХ ПО КВАДРАТИЧНОМУ КРИТЕРИЮ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет), 190013, Санкт-Петербург, Московский пр., д. 26

Рассмотрена методика уменьшения чувствительности линейной системы, с законом регулирования, полученным в результате минимизации интегрального квадратичного функционала к параметрической неопределенности модели объекта с запаздыванием.

Ключевые слова: неопределенность, запаздывание, динамическая компенсация, случайные возмущения, линейная теория управления, белый шум, окрашенный случайный шум, грубость системы, номинальная модель, расширенная модель, демпфирование, точность, параметры.

Введение

Задача повышения грубости системы возникает тогда, когда математическая модель объекта управления задана с неопределенностью. В данной работе рассматривается параметрическая неопределенность, связанная с неточным заданием коэффициентов дифференциальных уравнений модели. Так как предполагается рассмотреть модель с запаздыванием по управлению, то дополнительно возникает неопределенность при задании величины запаздывания. Далее предполагается, что все параметры модели заданы внутри определенных интервалов и могут изменяться во времени.

Под грубостью системы понимается малая чувствительность выходной величины к влиянию фактора неопределенности. Эта работа является продолжением исследований [1-6], которые были посвящены решению классической проблемы увеличения грубости оптимальной по квадратичному критерию системы без запаздывания. В данной работе к затронутой ранее теме добавляется еще одна классическая проблема теории управления - синтез системы управления с запаздыванием.

При автоматизации технологических процессов очень часто приходится учитывать запаздывание в объекте управления. Это всегда вносит дополнительные трудности в процедуру синтеза, а также ухудшает показатели качества системы. Здесь важно отметить, что присутствие запаздывания всегда сильно уменьшает грубость системы по отношению к параметрической неопределенности.

Традиционно при наличии запаздывания используются методы прогнозирования запаздывания: упредитель Смита, регулятор Ресвика, которые обеспечивают отсутствие запаздывания в характеристическом уравнении замкнутой системы [7, 8]. К этой же группе методов можно отнести регуляторы, кото-

рые используют прогнозирующую модель (предикторы) [9, 10].

Для работоспособности системы величина запаздывания должна быть известна, так как звено запаздывания непосредственно входит в передаточную функцию регулятора. Если запаздывание задано с неопределенностью, то использование таких методов бывает затруднительно.

В данной ситуации более перспективными могут оказаться системы, использующие традиционные П, ПИ, ПИД законы регулирования, для которых точность в определении величины запаздывания может быть меньшей, так как величина запаздывания в передаточную функцию регулятора входит только как параметр. Для этой группы известно достаточно большое количество методов настройки параметров регуляторов, которые, как правило, отличаются достаточной сложностью, что затрудняет их использование для синтеза робастной системы.

В данной работе предполагается широкое исследование в этой связи применения метода динамической компенсации [11-14]. На этом пути можно получить достаточно простые расчетные формулы для регуляторов и синтезировать системы, обладающие достаточной грубостью к наличию параметрической неопределенности, в том числе и к неопределенности в определении запаздывания.

Целью данной работы является использование этих методов совместно с разработанными ранее [3-6] методами увеличения грубости для оптимальных по квадратичному критерию систем без запаздывания. Таким образом, решается задача оптимального управления при наличии запаздывания.

Декомпозиция задачи управления объектом с запаздыванием

Рассмотрим одномерный линейный объект управления с запаздыванием вида

1 Ремизова Ольга Александровна, канд. техн. наук, доцент каф. автоматизации процессов химической промышленности, e-mail: remizova_oa@yandex.ru

2 Рудакова Ирина Викторовна канд. техн. наук, доцент каф. автоматизации процессов химической промышленности, e-mail: rudakova@ws01.sapr.pu.ru

3 Сыроквашин Владислав Викторович канд. техн. наук, старший преподаватель каф. автоматизации процессов химической промышленности, email:

4 Фокин Александр Леонидович, д-р техн. наук, профессор каф. автоматизации процессов химической промышленности, e-mail: fokin_sa@mail.ru Дата поступления - 23 декабря 2010 года

^ (р) = К ■ В^^ехр(-тр) > К (Р)

(1)

где Вт(р), Ап(р) — произвольные (в том числе и неустойчивые) полиномы степени т, п соответственно (т<п, Вт(0) = Ап(0) = 1), коэффициенты полиномов Вт(р), Ап(р) могут изменяться в заданных интервалах,

к < к < к , Т<Т<Т. 20 — Ло — Ло ' — _

Наряду с реальной передаточной функцией объекта рассмотрим номинальную передаточную функцию

^ (2)

^(р) = ко0 ■ ЩгА^ ехр(-ТоР)'

А (р)

ко Р

где ас = 0.343/т0 — частота среза интегратора ^/р .

Там показано, что использование закона регулирования (4) при стабилизации звена чистого запаздывания позволяет обеспечить астатизм и максимальную степень устойчивости системы в классе апериодических переходных процессов. При аппроксимации Паде первого порядка получается система, оптимальная по критерию апериодической устойчивости [7]. Это позволяет обеспечить значительную грубость системы к неизвестным вариациям величины запаздывания. В [11] доказано, что для асимптотической устойчивости системы необходимо и достаточно выполнение условия

т0 > 0.218 ■ т ■ к0!к00 . (5)

Это условие определяет границы интервалов изменений реальных значений параметров к0, т при выбранных номинальных значениях к00,т0 . Видно, что при

точном знании коэффициента передачи объекта к0 = к„ ошибка в задании номинального значения за-

и запас устойчивости по амплитуде, равный примерно / = 13 дБ.

При этом передаточная функция разомкнутой системы будет

Ж, (р)=Ю ехр(р), (6)

Р

а передаточная функция замкнутой системы

Ф, (р) =

Юс ехР(-Трр) р + Юс ехР(-т0 р)

(7)

где к0 — номинальные значения коэффициента передачи и запаздывания, в° (р),А0 (р) — номинальные полиномы числителя и знаменателя.

Здесь предполагается, что пары реальных и номинальных полиномов в (р),в° (р) и А„ (р),А0 (р) являются одновременно устойчивыми или неустойчивыми, или находятся на границе устойчивости. В случае их неустойчивости они имеют одинаковое число неустойчивых корней.

В дальнейшем синтез регулятора осуществляется для номинальной передаточной функции (2) с условием обеспечения малой чувствительности системы к наличию неопределенности. Рассмотрим декомпозицию передаточной функции (2) на инерционную часть и запаздывание. На первом этапе синтеза рассматривается управление звеном чистого запаздывания вида

^(р) = к0 ехр(-Т)р) . (3)

В работах [11, 12] для управления этим объектом предлагается использовать интегральный закон регулирования вида

Ю (4)

Из последней формулы видно, что характеристическое уравнение замкнутой системы содержит звено запаздывания. Поэтому здесь можно говорить только о приближенной компенсацией запаздывания. Следствием этого является увеличение времени регулирования по сравнению с точными методами компенсации запаздывания (регуляторы Смита и Ресвика).

На втором этапе рассматривается исходная номинальная передаточная функция объекта (2) при условии, что для компенсации влияния звена запаздывания применяется интегральный регулятор (4). Поэтому при синтезе регулятора второго этапа нужно рассматривать передаточную функцию с запаздыванием вида

"с вК

, ч юс в° (р) ^ (>) = — ■ ^гт) ■ ехр(-Т0р). р АО (р)

(8)

Дальше процедура синтеза становится приближенной, так как передаточная функция (8) рассматривается без запаздывания. В [11] показано, что в средней области частот это не приводит к большим отклонениям. Кроме того, это может быть дополнительно скорректировано на втором этапе синтеза. Итак, она имеет вид

#2 (р)АШ .

(9)

паздывания в сторону увеличения т > т не приводит к потере устойчивости. При ошибке в задании номинального значения запаздывания в сторону уменьшения граничное значение т = 0.218 т может быть почти в пять раз меньше, чем истинное значение запаздывания т.

Таким образом, система имеет практически неограниченный запас возможных вариаций при задании величины запаздывания. Кроме того, полученная система не зависимо от величины запаздывания т0 имеет запас устойчивости по фазе, равный примерно с/\ = 71°

р А0 (р)

Результатом синтеза будет промежуточная передаточная функция регулятора Ид(р), которая может быть получена любым известным методом синтеза системы без запаздывания, в том числе для не минимально фазовых и неустойчивых объектов. Но при этом должны соблюдаться два условия:

1. ю'с<Юс , (10)

2. к, > 13^^ , ^ " 71° , (11) где ю - частота среза системы без запаздывания с

передаточной функцией в разомкнутом состоянии Ир2(р) И2(р), Лг, ^2 - запасы по амплитуде и по фазе для этой системы.

При выполнении необходимого условия (10) обе процедуры синтеза первого и второго этапов дополняют друг друга, так как целью обоих этапов является повышение качества системы примерно в одной и той же области частот, поскольку при логарифмировании произведению передаточных функций соответствует их сложение.

Условие (11) позволяет получить систему, не уступающую по качеству системе первого этапа с передаточными функциями (6), (7). Это условие, в отличии от условия (10), не является необходимым и обусловлено приближенным характером синтеза регулятора на втором этапе. Оно позволяет устранить последствия замены точной передаточной функции (8) ее приближенным аналогом (9) и вносит дополнительный элемент коррекции.

В результате двухэтапной процедуры синтеза получается регулятор с передаточной функцией вида

Р (р) = Жр1 (р)Шр2 (р) = ЮЮ-Гр2 (р). (12) к0 р

Использование метода динамической компенсации

Будем рассматривать передаточные функции объекта (1) и (2) в предположении, что полиномы

Вт(Р),В1 (р) и Ап(р),Л°п (Р), входящие в числитель и

знаменатель передаточных функций реальной и номинальной инерционной части, строго устойчивые. Тогда для инерционной части объекта применим метод динамической компенсации.

На практике также часто встречается случай, когда передаточная функция инерционной части находится на апериодической границе устойчивости. Например, когда в качестве исполнительного механизма используется электрический двигатель. Тогда для интегратора возможна аппроксимация

1

1

Г

1 !

у = — >> 1, £<< 1 ' £

, ...... ... (13)

Р Р +£ у-Р +1

После такой замены можно применить метод динамической компенсации и в этом случае.

Для применения метода компенсации необходимо задаться желаемым движением системы. Рассмотрим в качестве желаемой динамики передаточные функции (6), (7). Тогда на втором этапе синтеза получим регулятор

шр2 (р) =

А0 (Р) .

вт (р)

(14)

Условия (10), (11) в этом случае выполняются автоматически. Заметим, что для передаточной функции (14) не выполняются условия физической реализуемости, так как т <п. Но этот этап носит промежуточный характер и поэтому здесь это допустимо.

Искомый регулятор (12) теперь будет иметь вид

Ш (р) = С__лШ_, (15)

ЛР' кр вт(р)(тер+г™-1

где те - малая постоянная времени, введенная дополнительно для обеспечения правильности передаточной функции. При п = 1, т = 0 получается ПИ закон регулирования, при п = 2, т = 0 получим ПИД закон.

При этом вместо передаточных функций желаемого движения (6), (7) получим соответственно

тс ехр(-т0р) , (16)

Ш (р) =

Фг (Р) =

Р(ТЕР + 1)-т-1

СОс ехр(-Т0 Р)

Р(ТЕР + 1)-т-1 +Сс ехр(-Тор)

(17)

При большом значении относительной степени п-т передаточные функции желаемого движения (16), (17) могут значительно отличаться от передаточных функций (6), (7) из-за влияния малой постоянной времени ТЕ.

Это первый недостаток метода компенсации. Другим недостатком являются значительные величины управляющих воздействий при больших значениях п-т, так как здесь управляющий сигнал кроме задачи стабилизации решает дополнительно задачу компенсации динамики инерционной части.

Достоинствами данного подхода являются простота выбора передаточной функции регулятора (15), а также робастность получаемого решения.

Использование оптимальных по квадратичному критерию регуляторов

Здесь решается более общая задача, так как рассматриваются произвольные полиномы вт (р), В ° (р)

и Л (р),А° (р) в передаточной функции инерционной

части (1), (2).

Квадратичный подход является наиболее востребованным при решении задач стабилизации в рамках линейной теории. Он позволяет уменьшать энергию на управление. Так как задачей настоящей работы является решение проблемы увеличения грубости системы, то на втором этапе синтеза могут быть использованы методы построения робастных систем, полученных на основании квадратичной теории, описанные в работах [3-6].

Эти методы основаны на искусственном расширении исходной модели объекта и разделении движений в объекте на две составляющие. Управление на втором этапе декомпозиции решает две задачи: стабилизацию исходной модели объекта и обеспечения взаимной компенсации составляющих движения модели. Решение второй задачи обеспечивает робастность системы.

Кроме грубости промежуточный регулятор второго этапа должен обеспечивать заданные качественные показатели системы {И£(р), 1Ур2(р)}. В частности, выполнение условий (10), (11). Это достигается настройкой параметров специально поставленной оптимальной задачи.

В качестве исходной модели объекта управления рассматривается описание в пространстве состояний, соответствующее передаточной функции (9). В наиболее сложном случае при постановке задачи н2 -оптимального управления оно имеет вид

о (о)= xg, (18)

. .. . (19)

У о = с20 хо + "у , (20)

где х0 еР - вектор состояния, иеРт - вектор управления, ще Р - вектор возмущения в объекте, пу е Р1 -помеха измерения, г0 еР -вектор контролируемых переменных, А0, В10, В20 - номинальные значения матриц.

При расширении модели вводится система фильтров для получения опорной траектории в пространстве состояний, вида

(Р) = Шф(р)хо (р) = ЬТ^Хо (р), (21) 1 + Тф2 Р

где ТФ1, ТФ2 - постоянные времени фильтра.

Относительно этой опорной траектории рассматривается сигнал рассогласования

Ах^) = ХоС) -x1(t). (22)

После этого вводится новая регулируемая переменная

z(t) = dlAХl(t) + d2Хl(t), (23)

где d1 ф d2, d1, d2 > 0 - настраиваемые параметры.

В расширенном пространстве состояний хт = [[ хТ]т модель (18) - (23) имеет вид

Х = Ах + В^о + В2и , х(о) = [([) о]], (24)

г = Мс1х, (25)

у = С2Х + Пу, (26)

х о = Аохо + Б1отео + В2ои'

^ = Сю хо ,

где

A =

B =

B2 =

■ pA - T-2I PA0 T-2 (I - Tm a ) - т-тФ14

PBW

- T _1T B

1 Ф 21 Ф1^10

pB20

Т4>2ТФ1^

"Ax,

— вектор состояния расширенной модели объекта,

в= 1 + Т-Х, й = [[I й2I], м = [гп; }},

С 2 =[ 20 С 20 ].

Далее для расширенной модели решается задача Н2 -оптимального управления. В [3, 5] доказано что решение существует и что при этом осуществляется частичная взаимная компенсация сигналов Ах^) и х^), которая обеспечивает робастность синтезированной системы. Для обеспечения заданных качественных показателей системы используется настройка в пространстве параметров: ТФ1, ТФ2 б1, о2, т /' = 1,..., п

Как показывает практика проектирования таких систем, при настройке определяющим качественным показателем является время регулирования и связанная с ним частота среза. Заданному значению времени регулирования может соответствовать целое множество точек в пространстве настраиваемых параметров. Чем больше желаемое время регулирования, тем большее множество точек в пространстве параметров ему отвечает.

Обычным требованием к системе является уменьшение времени регулирования. При этом обычно ухудшаются показатели демпфирования и показатели грубости системы, но улучшаются показатели точности. Поэтому всегда выбирается компромиссное решение. В данном случае ставится задача получить робастную систему с временем регулирования не превышающим время регулирования системы для звена чистого запаздывания (6), (7), которое зависит от номинальной величины запаздывания. Улучшение показателей грубости связано с увеличением запаса устойчивости по амплитуде.

При более тонкой настройке параметров, когда время переходного процесса, показатели точности, демпфирования и грубости примерно определены, также существует не одна, а некоторое множество настроек, при которых эти свойства достигаются. Это сильно облегчает процесс настройки в интерактивном режиме.

Процесс настройки зависит также и от решаемой задачи. Наиболее легкая процедура настройки сопутствует задаче АКОР, а наиболее трудная - Н2 оптимальной задаче управления.

Управление качеством битумных материалов

Рассмотрим задачу стабилизации качества битумных материалов при действии на процесс стохастических возмущений. Битумные смеси производятся на основании нефтяного битума и наполнителей: мел, слюда, асбест, окись кальция, полимерные добавки. Все компоненты перемешиваются сначала в дискретном смесителе, а затем в непрерывном смесителе, который является объектом управления, где усредняются по составу. Затем каландрируются в листовой материал, который охлаждается в водяной ванне, покрывается клеевыми и антиадгезионными материалами, сушится, нарезается на заготовки и упаковывается.

В качестве управления рассматривается относительное значение дозировки битума, регулируемой переменной является композитный коэффициент потерь (КПП), неконтролируемыми возмущениями являются изменение реакционной способности битума и активных наполнителей, а также изменение вязкости и расхода смеси на выходе дискретного смесителя.

ККП - безразмерная величина, ее номинальное значение составляет 0.12. На входе основными составляющими являются: мел (56%), битум (28%), а остальное составляют прочие добавки. Расход смеси на входе смесителя обычно измеряется в килограммах в час, но управлением является относительная величина расхода.

Модель процесса приведена в работе [15]. При решении задачи стабилизации была использована номинальная модель процесса в виде передаточной функции

*о(р) = О.З^-^, (27)

(ТоР +1)

где Т0 = 2 час.,.т0 = 1 час. Передаточная функция (9) примет вид

#0(р) = ^-, 1 ц , юС = 0.343/т0 . (28) Р (о Р +1)2

Матрицы исходной номинальной модели (18) - (20 имеют вид

Ao =

0 - 0.25 - 2

' B10 = B20 =

" 0 0

0.0858

Cw = C20 =[2 0 0].

Описание расширенной модели объекта дается формулами (24) - (26). Решение задачи H - оптимального управления для расширенной модели описано в работах [4-6].

В данном случае основная трудность процесса настройки параметров заключается в обеспечении заданного времени регулирования, которое соответствует частоте среза шС = 0.343/ т0 системы, синтезированной методом компенсации. Это требуется для сравнения методов. К сожалению, удалось получить максимальное значение частоты среза несколько меньше этого значения. Но условие (10) при этом выполнено. Рассмотрим следующие значения настраиваемых параметров: ТФ1 = 2000 ч, ТФ2= 150 ч, d1 = 500, d2 = 250, m1 = 100, m2 = 0.1, m = 0.1. Тогда передаточная функция регулятора (12) в системе с запаздыванием будет

WP(p) = ^fV (29)

pl (p)

где k (p) = 6.3-206p5 + 7.277-206p4 + 2.323-206p3 + + 3.087-20V + 111.6p + 0.044, l (p) = p6 + 297.7p5 + + 4.429-20У + 3.299-106p3 + 6.557-104p2 + 434.5p + 0.9596. Переходная характеристика системы показана на рисунке.

Рисунок. Переходная характеристика оптимальной системы с запаздыванием

Основные качественные характеристики данной системы приведены в таблицах 1 и 2 в строке 1. В таблице 1 рассматриваются показатели быстродействия:

x =

x

20

время регулирования (:р), частота среза (шС), перерегулирование (о).

Таблица 1. Сравнительный анализ систем 'показатели быстродействия и точности)

0 < к/ ко < km

(32)

№ юс О V« V 2 О0 О1 кф Um

(час) (час4) (%) (ед) (ед) (ед) (ед) (ед) (ед)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 6.8 0.3 4 0.359 0.148 0.146 0.027 1.66 0.28

2 6 0.342 0 0.315 0.142 0.145 0.025 1.7 0.28

3 5.5 0.403 2 0.244 0.1 0.105 0.018 2.4 0.32

Таблица 2. Сравнительный анализ систем (показатели демпфирования и грубости)

№ h Ф П km Тт кзо Тзо Tm Тзо Um

(дБ) (гр) (ед) (ед) (ед) (ед) (ед) (ед) (ед) (ед)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 15.6 64.1 1.314 6 4.7 2.6 2.4 0.247 0.265 1

2 12 66.5 1.44 3.95 4.38 2 2.1 0.33 0.37 1

3 59.4 77.3 1.0 925 — 500 — 5.6 2.25 1.4

Также рассматриваются показатели точности, принятые в ИГ - теории: ИТ - норма передаточной функции замкнутой системы по возмущению на входе объекта (уГ), Иг - норма той же передаточной функции

ы.

Также используются показатели точности, принятые в теории стохастических систем: среднеквадратичное отклонение (СКО) выходной величины системы при действии на входе объекта случайного возмущения типа белый шум(при аппроксимации Паде третьего порядка) с интенсивностью, равной единице (о0), СКО для окрашенного шума с корреляционной функцией К(т) = ехр(—0.3|т|), для которого время спада составляет 10 час.. Для получения окрашенного шума используется формирующий фильтр вида

'.Ы-тО^+г (30)

3.33 р +1

Коэффициент передачи фильтра выбран таким образом, чтобы наиболее вероятная амплитуда сигнала помехи находилась в интервале [- 0.5 0.5], а постоянная времени зависит от времени спада корреляционной функции. На вход фильтра поступает белый шум с интенсивностью, равной единице.

Кроме этого приводится показатель эффективности работы системы

(31)

¿ф =-

где о„ - СКО регулируемой величины при действии на ее входе окрашенного шума и при отсутствии обратной связи, о/ - та же величина, но при наличии обратной связи (кФ > 1).

Также максимальное отклонение управления ит при действии на входе объекта окрашенного шума после фильтра (30), которое определяет энергию необходимую для компенсации случайного возмущения. В таблице 2 рассматриваются показатели демпфирования: запасы устойчивости по амплитуде (Л) и по фазе (ф). Кроме этого здесь приведена величина Я° -нормы функции чувствительности, которая является универсальным показателем грубости системы к наличию неопределенности в Я° - теории управления (п).

Для оценки грубости системы в таблице 2 также используются относительные максимально возможные величины запаздывания, коэффициента передачи и постоянной времени в объекте, при которых система остается устойчивой. Они определяются по формулам

где к00 = 0.5 - номинальное значение коэффициента передачи объекта, km - максимальное относительное значение возможного увеличения коэффициента передачи объекта к0,

0 < т/ То < Тт, (33)

где т0 = 1 час - номинальное значение запаздывание в объекте, тт - максимальное относительное значение возможного увеличения запаздывания т в объекте.

Tm < T/To или T/To < Tm, (34)

где T0 = 2 часа - номинальное значение постоянной времени T, Tm - минимальное или максимальное относительное значение возможного уменьшения или увеличения постоянной времени T в объекте.

Интервалы изменения параметров (32), (33), (34) определяются при условии, что остальные параметры принимают номинальные значения.

Также для оценки области рабочих режимов использовались интервалы, аналогичные (32), (33) и (34), но при условии, что при этом перерегулирование а не превосходит величины 30%. Соответствующие формулы имеют вид

0 < ко/ ко0 < кзо,, (35)

0 < Т/ То < Т30, (36)

73о < T/To или T/To < Тзо, (37)

где к30, Т30, 730 - относительные значения параметров объекта, которые определяют границы интервалов при условии а < 30%.

Кроме этих параметров в столбце 11 таблицы 2 рассматривается максимальное значение амплитуды управления Um при действии на входе объекта единичного ступенчатого сигнала, которое используется исключительно для сравнения систем по затратам на управление и является детерминированным аналогом амплитуды um, рассмотренной ранее в таблице 1. Так как сигнал возмущения на входе объекта и управление рассматриваются в относительных единицах, то это позволяет дать оценку степени затрат на управление по отношению к действующему возмущению.

В строке 2 таблиц 1 и 2 приведены соответствующие показатели для системы, синтезированной методом компенсации с передаточной функцией ПИД регулятора

^wfe+r <38)

Из сравнения показателей качества для рассмотренных систем видно, что метод компенсации имеет лучшие показатели точности и быстродействия, но уступает по показателям демпфирования и грубости. При этом в обоих случаях затраты на управление одинаковы. Обычно в методе компенсации это значение не меньше, чем в оптимальной системе. Чтобы показать, что полученные результаты являются достаточно хорошими, в строке 3 таблиц 1 и 2 приведены показатели качества для передаточной функции объекта (27), но без элемента запаздывания. Эти данные получены для системы оптимального управления, синтезированной по расширенной модели при значениях параметров: ТФ1 = 2000 ч., 7ф2 = 200 ч., d1 = 5000, d2 = 500, m1 = 100, m> = 0.1, m3 = 0.1. Передаточная функция регулятора имеет вид (29) с полиномами числителя и знаменателя следующего вида

k(p) = 1.6-10У + 1.88-10У + 6.376-10У + + 6,267-105p2 + 1579p + 0.078, i(p) = p6 + 797.3p5 + 3.159-105p4 + 6.261-107p3 +

+ 9.36-105p2 + 4664p + 7.748. Видно, что время регулирования здесь минимально, а частота среза принимает максимальное значение (здесь не обязательно выполнение условия (10)). Несколько улучшаются показатели точности и весьма значительно показатели демпфирования и грубости (h, П, кт, к30). Это следствие отсутствия запаздывания в

объекте и увеличения потерь на управление. При отсутствии запаздывания управление может иметь большие амплитуды.

Заключение

В работе рассмотрена актуальная проблема увеличения грубости оптимальной по квадратичному критерию системы для объекта с запаздыванием. Для обеспечения грубости системы также и к возможным изменениям величины запаздывания вместо точной компенсации звена запаздывания рассматривается ее приближенный аналог на основе интегрального звена. Показано, что полученная таким образом система обладает значительной грубостью к вариациям запаздывания, что достигается за счет увеличения времени регулирования.

Грубость по отношению к неопределенности параметров инерционной части передаточной функции объекта достигается за счет использования расширенной модели объекта, разделения движений в объекте и выбора управления, позволяющего кроме стабилизации решить задачу взаимной компенсации разделенных движений, что обеспечивает малую чувствительность вектора состояния объекта к наличию параметрической неопределенности.

Для минимально фазового и устойчивого объекта решение такой задачи может быть также получено методом динамической компенсации, описанным в работе. Сравнение этих методов на примере Л - оптимальной системы производства битума показало, что система, синтезированная методом компенсации, обеспечивает несколько лучшие показатели качества стабилизации, но уступает оптимальной системе по показателям демпфирования и грубости.

Чтобы показать, что оба описанных подхода к синтезу робастной системы позволяют получить достаточно хорошее качество регулирования, для того же примера была решена задача Л - оптимального управления без запаздывания. Сравнение показывает, что характеристики быстродействия и точности вполне соизмеримы.

Одновременно характеристики грубости и демпфирования у системы без запаздывания улучшаются достаточно сильно, но это как раз и есть прямое следствие отсутствия запаздывания, так как именно эти характеристики наиболее чувствительны к наличию запаздывания в передаточной функции объекта. Этот факт еще раз показывает актуальность рассматриваемой темы, так как работа посвящена именно задаче получения данных характеристик в приемлемых диапазонах для систем с запаздыванием. Эта проблема и решена в работе.

Литература

1. Янушевский Р.Т. О грубости решения задачи аналитического конструирования регуляторов // Автоматика и телемеханика. 1960. №3. C. 18-25.

2. Бахилина И. М., Степанов С.А. Синтез грубых линейных квадратичных гауссовских регуляторов // Автоматика и телемеханика. 1998. №7. С. 96-106.

3. Бороздин П.А., Сыроквашин В.В., Фокин А.Л. Робастное управление линейным инерционным объектом // Изв. РАН Теория и системы управления. 2008. №4. С. 41-49.

4. Ремизова О.А., Рудакова И.В., Фокин А.Л. Синтез робастной системы стабилизации на основе квадратичной теории // Изв. СПбГТИ(ТУ) 2009. №6 С. 71-75.

5. Климов А. П., Ремизова О.А., Рудакова И. В., Фокин А.Л. Уменьшение чувствительности И - оптимальной системы к влиянию неопределенности модели объекта // Изв. РАН Теория и системы управления. 2010. №3. С. 27-32.

6. Климов А.П., Ремизова О.А., Рудакова И.В., Фокин А.Л. Достижение робастности системы стабилизации, синтезированной на основе квадратичной теории // Изв. вузов. Приборостроение. 2010. №7. С. 1826.

7. Гурецкий Х. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием. М.: Машиностроение, 1974. 328 с.

8. Ротач В.Я. Теория автоматического управления: учебник для вузов. М.: изд-во МЭИ, 2004. 400 с.

9. Camacho E.F., Bordons С. Model Predictive Control // Springer-Verlag. 1999. 327 p.

10. Бобцов А.А., Колюбин С.А., Пыркин А.А. Компенсация неизвестного мультигармонического возмущения для нелинейного объекта с запаздыванием по управлению // Автоматика и телемеханика. 2010. №11. С. 136-148.

11. Фокин А.Л., Харазов В.Г. Управление линейным объектом с запаздыванием // Автоматизация и современные технологии. 2002. № 5. С. 13-17.

12. Афлятунов Р.М., Джарагян М.А., Фокин А.Л. Робастное управление линейным инерционным объектом с запаздыванием // Автоматизация и современные технологии. 2004. № 10. С. 36-43.

13. Яковис Л.М. Простые способы расчета типовых регуляторов для сложных объектов промышленной автоматизации // Автоматизация в промышленности. №6. 2007. С. 51-56.

14. Яковис Л.М, Спорягин К.В. Расчет регуляторов для инерционных объектов с запаздыванием // Автоматизация в промышленности. 2009. №12. С. 2125.

15. Калюжный А.А. Система управления качеством битумных вибродемпфирующих материалов: дис. ... канд. техн. наук. СПб., 2009. 153 с.