СИНТЕЗ РОБАСТНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ С ТИПОВЫМИ РЕГУЛЯТОРАМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62-A.L. Fokin

THE SYNTHESIS OF ROBUST CONTROL SYSTEMS OF TECHNOLOGICAL PROCESSES WITH STANDARD REGULATORS

St. Petersburg State Institute of Technology (Technical University) Moskovsky Pr. 26, St Petersburg, 190013, Russia e-mail: fokin_sa@mail.ru

A new method has been developed for the construction of robust controllers that implement traditional and the associated control laws for Li-nanih systems with a delay. In the proposed method the criterion aperiodic stability and dynamic compensation method is used. The transfer function of the regulator is determined analytically based on the transfer function of the object of regulation. The proposed method is aimed at increasing the coarseness of the systems with respect to the parametric uncertainty model of the object and the amount of the delay subject to the requirements of the performance and ease of implementation of the regulator.

Key words: traditional laws regulation, performance, cushioning, accuracy, resentment, rudeness system, stability, hysteresis, inertial part, time constant

Введение

При управлении технологическими процессами, несмотря на появление новых методов управления, часто используются традиционные законы регулирования (П, ПИ, ПИД, ПД). Существует большое количество методов настройки типовых регуляторов, использующих эти законы регулирования, которые позволяют получить заданные качественные показатели системы.

Так например, в работе [1] насчитывается 154 правила настройки ПИ закона и 256 правил параметризации ПИД регулятора. В более поздней работе [2] собрано 443 метода синтеза ПИД закона, а в [3] уже 1731 способ. Вместе с тем непрекращающийся поток публикаций [4, 5] по настройке типовых регуляторов свидетельствует об актуальности этой темы.

Популярность этого направления исследований связана с хорошим качеством регулирования при применении традиционных законов регулирования и эволюцией требований к промышленным системам, особенно при автоматизации технологических процессов. Рассмотрим основные характеристики качества систем регулирования. Их можно разделить на следующие категории.

1. Требования к быстродействию (время регулирования, частота среза, степень устойчивости).

2. Показатели демпфирования (запасы устойчивости по фазе и по амплитуде, показатель колебательности, перерегулирование, колебательность).

3. Требования точности (астатизм, величина статической ошибки, величина модуля максимального отклонения по ошибке, различные виды норм сигнала ошибки или нормы передаточной функции по ошибке).

506

А.Л. Фокин1

СИНТЕЗ РОБАСТНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ С ТИПОВЫМИ РЕГУЛЯТОРАМИ

Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет), Московский пр., д. 26, Санкт-Петербург, 190013, Россия e-mail: fokin_sa@mail.ru

Разработана новая методика построения робастных регуляторов, которые реализуют традиционные и связанные с ними законы управления для линейных систем с запаздыванием. За основу в предлагаемой методике приняты критерий апериодической устойчивости и метод динамической компенсации. Передаточная функция регулятора определяется аналитически на основании передаточной функции объекта регулирования. Предлагаемый метод ориентирован на увеличение грубости систем по отношению к параметрической неопределенности модели объекта и величины запаздывания при соблюдении требований быстродействия и простоты реализации регулятора

Ключевые слова: традиционные законы регулирования, быстродействие, демпфирование, точность, возмущения, грубость системы, устойчивость, запаздывание, инерционная часть, постоянная времени.

4. Требования к подавлению возмущений (Н™ -норма передаточной функции, связывающей возмущение и контролируемую величину в замкнутой системе, отношение: полезный сигнал - помеха).

5. Показатели грубости системы (Н™ - норма функции чувствительности, интервалы изменения параметров, при которых выполняются заданные качественные ограничения).

6. Требования к реализации (порядок регулятора, величина модуля максимального отклонения управления).

В данной работе основное внимание уделяется построению методики, позволяющей при соблюдении прочих условий учитывать требования грубости (п. 5), которые являются относительно новыми. Кроме этого, важным условием здесь является простота самой методики синтеза.

В качестве модели объекта обычно используется передаточная функция, в виде линейного инерционного звена и звена запаздывания. При этом предполагается, что параметры передаточной функции и величина запаздывания могут варьироваться в заданных интервалах.

Динамика инерционного звена при автоматизации технологических процессов обычно устойчива. Порядок инерционной части обычно не превосходит трех. Также возможно наличие интеграторов в передаточной функции объекта регулирования.

Работа ориентирована на создание простой с точки зрения использования методики синтеза ПИД - за-

1 Фокин Александр Леонидович, д-р техн. наук, профессор каф. автоматизации процессов химической промышленности, , e-mail: fbkin_sa@mail.ru Fokin, Aleksandr L. Dr Sci (Eng.), Professor, Chemical Engineering Control Department, e-mail: fbkin_sa@mail.ru

Дата поступления - 23 ноября 2014 года Received November, 23 2014

конов регулирования для проектирования робастных систем управления объектом с запаздыванием при управлении технологическими процессами.

В основе методики лежит метод динамической компенсации [6-8], который обеспечивает простоту процедуры синтеза, и может быть применим к объектам из указанного класса. Вначале рассматривается объект запаздывания, для которого получены основные результаты. Затем при помощи метода компенсации они распространяются на объекты с инерционной частью.

Синтез робастного регулятора для звена запаздывания

Пусть передаточная функция объекта имеет вид

Wo(Р )= hexP(-V>)

(1)

где ко - коэффициент передачи, к0 < к0 < к0 , т -запаздывание т<т<т. _

Для синтеза регулятора используется номинальная передаточная функция объекта

Wo0 (p) = к o0exp(-To p)

(2)

где _к00 - номинальный коэффициент передачи, к0 < к0 < к0, т0 - номинальное значение запаздывания^^ < т .

Далее предполагается решение задачи синтеза, обеспечивающее апериодический характер переходных процессов для номинальной системы. Здесь рассматривается управление по апериодическому критерию устойчивости [9], который предполагает наличие доминирующего вещественного собственного числа замкнутой системы с максимально возможной кратностью.

Справедливо следующее утверждение.

Утверждение 1. Решение задачи оптимального по апериодическому критерию устойчивости управления для объекта чистого запаздывания (1), грубого по отношению к вариациям величины запаздывания и коэффициента передачи, достигается при применении интегрального (И) закона регулирования вида

WP (p) =

(3)

где Ыс = 0.343/То - частота среза. При этом для асимптотической устойчивости системы необходимо и достаточно выполнения условия

к

Т0 > 0.218-0т. (4)

к

Доказательство

Передаточная функция разомкнутой системы будет

W0 (p )= WP (p)Wo (p) =

к 0®C

к 0 Р

Ф(-Тр).

(5)

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

Д(p ) = т0 p + 0.343 ехр(-тр) к J k00 = 0

(6)

Умножив обе части этого уравнения на exp(ip) получим F (p, e p )=т0 p exp(-p) + 0.343 к0/ к00 = 0.

Так как этот квазиполином имеет старший член [9], то необходимое условие устойчивости выполняется. При p = jrn получим

F(jш, ехр(у'су)) - Р{ш) + JQ(m),

где Р'(ш) = -г0 (sin шт + шт cos шт), Q'{üt)= r0(cos üjt-üjtsm шт).

На основании теоремы Понтрягина об устойчивости рассмотрим неравенство

Р{ш)д '(ш) - Р '(ш)д(ш) > 0, (7)

где производные Р'(ш) = -гДвт шт+штсоъшт),

<2'{ш)= т0(соьшт-шт$т шт). ■

Так как нули Р(ш), д(ш) являются действительными, то для асимптотической устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно выполнение одного из трех условий: неравенство (7) выполняется хотя бы для одного значения частоты ш; для каждого нуля Р(ш) выполняется (7); для каждого нуля д(ш) выполняется (7).

Поскольку р(0) = 0.343 к0/к00, Р'(0) = д(0) = 0, д'(0) = т0, то для ш = 0 выполняется первое условие. Оно имеет вид 0.343т0 к0/к0 > 0. Рассмотрим также третье условие. Определим нули 0(ш) из уравнения гй7со8йтг = 0. Тогда получим

ш0 = 0, w к+1 =П2 + кп, к = 0,1,2,...

(8)

Для ш0 = 0 выполнение неравенства (7) уже было проверено. Теперь проверим его для остальных нулей шк+1. В соответствии с третьим условием на основании (8) получим неравенства

(0.343 к 0/ к 00 - (л/ 2 + кп) т0 /т)(- 1)т0 (П 2 + кп)> 0 , к = 0,1,2,...

При к = 0 отсюда получим 0.343к0/к0-(П2)т0/т< 0. Таким образом, асимптотическая устойчивость системы имеет место, если выполняется неравенство

0343:2. % т=0.218 % т

п к0 к0

(9)

Это неравенство совпадает с (4), что и требовалось доказать.

Если использовать аппроксимацию Паде для звена запаздывания, то можно показать, что при управлении (3) замкнутая номинальная система имеет полюс кратности два в точке р± = Р2 = -0.828/То. Это обеспечивает максимальную степень устойчивости и оптимальность по апериодическому критерию устойчивости.

Условие (4) определяет границы интервалов изменений реальных значений параметров к0,т при выбранных номинальных значениях к00,т0. При точном знании коэффициента передачи к00 = к0 ошибка в задании номинального значения запаздывания в сторону увеличения То > т вообще не приводит к потере устойчивости. При ошибке в задании номинального значения запаздывания в сторону уменьшения граничное значение То = 0.218-т может быть почти в пять раз меньше, чем истинное значение запаздывания т. Это показывает, что система имеет практически неограниченный запас возможных вариаций при задании величины запаздывания. Аналогично при точном знании величины запаздывания То = т относительное увеличение коэффициента передачи ограничено сверху величиной к0/к00 < 10.218 = 4.587, что показывает большую грубость системы к вариациям коэффициента передачи.

Кроме перечисленного полученная номинальная система независимо от величины запаздывания т0 имеет запас устойчивости по фазе, равный примерно 71 ° и запас устойчивости по амплитуде, равный примерно 13дБ, что свидетельствует о достаточно хорошем демпфировании системы.

Таким образом, реальная система (1), (3) имеет практически неограниченную грубость по отношению к параметрической неопределенности задания параметров

т„ >

к,

0

ко, т в модели объекта (1). Номинальная система (2), (3) имеет достаточно хорошие демпфирующие свойства, которые не зависят от величины запаздывания.

Недостатком такого управления является завышенное время регулирования, что связано с применением интегрального (И) закона регулирования (3). Оно составляет примерно шесть величин запаздывания. Такое управление можно использовать, если для системы не вводятся ограничения по быстродействию, а модель плохо определена и имеет большую интервальную параметрическую неопределенность.

Для увеличения быстродействия системы при условии сохранения первого порядка передаточной функции регулятора можно вместо (и) закона регулирования применить пропорционально-интегральный (ПИ) закон регулирования. Тогда передаточная функция регулятора будет иметь вид

К (Р) = ^к кп

сос - Тр р +1

(10)

где кр, Тр - настраиваемые параметры (дополнительный коэффициент передачи и постоянная времени регулятора).

Увеличение быстродействия связано с уменьшением грубости системы. При использовании закона регулирования (10) трудно получить простое условие устойчивости вроде формулы (4). Поэтому здесь лучше воспользоваться моделированием. Этот подход позволяет уменьшить время регулирования до трех-четырех величин запаздывания. _

В частном случае параметры кр, тр могут быть выбраны из условия апериодической устойчивости для номинальной системы (2), (10). При этом характеристическое уравнение для замкнутой номинальной системы будет иметь вид

1 г трр + 1 1 + апК —

ехр(- т0 р) = 0 .

(11)

тве желаемого движения рассматривается одна из двух систем для объекта (1) с регуляторами (3), (10).

Пусть передаточная функция объекта имеет вид

К (р) = ко • • ехр(-тр), Ап (Р )

(15)

где Вт{р), Ап(р) - произвольные устойчивые полиномы степени т, п соответственно (т < п, Вт(0) = Дп(0) = 1), коэффициенты полиномов Вт{р),_Ап{р) могут изменяться в заданных интервалах, к0 < к0 < к0, т < т < т.

Наряду с реальной"передаточной функцией объекта рассматривается номинальная передаточная функция

К (р) = к0 • • ехр(-Т0р),

А° (Р )

(16)

где к00,т0 - номинальные значения коэффициента передачи и запаздывания, Б°т (р), А0 (р) - номинальные полиномы числителя и знаменателя.

Здесь предполагается, что пары реальных и номинальных полиномов Бт(р),Б°т(р) и Ап(р),А-0(р) являются одновременно устойчивыми или находятся на апериодической границе устойчивости.

В последнем случае для интегратора возможна аппроксимация

р + с у'р+\

1

у » I, е« I.

е

(17)

После такой замены можно применить метод динамической компенсации.

Передаточные функции робастных регуляторов, соответствующие формулам (3), (10), будут иметь вид

Кр (р ) = •

А0 ( р )

к00 р б: (р )те р+1)п

(18)

Так как имеем два настраиваемых параметра, то получим второе уравнение, продифференцировав (11) по p.

(1 + т0 (тр р + 1)Р) ехР(- т0 Р) = 0.

(12)

Из условия + 1)p = 0 находим наиболее

удаленный от мнимой оси действительный корень. При этом выполняется условие Т0 = 4Tp, откуда получим оптимальное значение постоянной времени

Тр =^/4.

(13)

При этом степень устойчивости увеличивается по сравнению с управлением (3), теперь мы имеем действительный корень кратности два pl = p2 = -2/ Т0. Подставив это значение вместе с (13) в (11), получим значение коэффициента передачи

, = 4ехР(- 2) = 1.578з .

(14)

При настройках (13), (14) время регулирования изменяется в пределах от 3Т0 до 3.5Т0. Грубость системы уменьшается незначительно, что будет видно из примера.

Синтез робастного регулятора с учетом динамики инерционной части

Здесь рассматривается либо устойчивая динамика инерционной части, либо наличие нулевого собственного числа произвольной кратности для передаточной функции объекта. Синтез регулятора удобно осуществить при помощи метода динамической компенсации. В качес-

кр (р) = кс • к/р

к,\

г тр р +1

а0 (р)

р б: (р)(те р+1)-

(19)

где TE - малая постоянная времени, введенная искусственно для обеспечения правильности передаточных функций регуляторов.

Введение малой постоянной времени не вносит больших изменений в динамику желаемой системы, если передаточная функция инерционной части не превосходит трех.

При этом замкнутая система является системой с согласованными полюсами [10], поэтому устойчивая динамика компенсируемой части всегда присутствует в динамике замкнутой системы и проявляется при ненулевых начальных условиях.

Использование методики для синтеза систем

Для иллюстрации применения методики рассмотрим наиболее часто используемые передаточные функции объектов.

Инерционная часть первого порядка

Вначале рассмотрим самую простую и самую востребованную номинальную модель объекта в виде апериодического звена первого порядка с запаздыванием

к* ехр(- тр)

Тр + \ ' )

К [Р) =

Регулятор (18) будет иметь вид

Это ПИ закон регулирования, так как выполняется соотношение

,(22)

где кр - коэффициент передачи ПИ закона регулирования, Те - постоянная времени изодрома.

На основании равенства (22) легко определить параметры настройки ПИ закона

ТЁ = Т , кр =аст/к00 .

Регулятор (19) будет иметь вид

(23)

(24)

Это реальный ПИД закон регулирования, так как выполняется соотношение

где Т0 - постоянная времени дифференцирова-

ния.

На основании равенства (25) справедливы соот-

ношения

ТЁ Т + ТЕ ) = ТрТ, ТЁ + ТЕ = Тр + т, кр/ Т, = 0.343/ к 0т.

(26)

Так как Те << То, то параметры настройки ПИД закона будут

ТРТ , 0.343(тр + Т)

Тз = ТР + Т , Тп = —Р—, кР = v р '

т„ + т

кТ

(27)

В обоих случаях характеристическое уравнение замкнутой системы содержит корень который является полюсом инерционной части передаточной функции (20).

Инерционная часть второго порядка

Здесь возможны разные виды номинальных передаточных функций объекта. Во-первых, рассмотрим передаточную функцию (20) вместе с интегратором, который может описывать исполнительный механизм типа электрического двигателя, который воздействует на перемещение заслонки, изменение проходного сечения клапана и т. д

к* ехр(- тр)

р{Тр +1)

(28)

Обычно считается, что если время полного перемещения регулирующего органа много меньше постоянной времени т, то интегратором в передаточной функции (28) можно пренебречь, и тогда получаем передаточную функцию (20).

Передаточная функция (28) находится на апериодической границе устойчивости и поэтому, чтобы воспользоваться методом динамической компенсации, нужно для интегратора применить аппроксимацию (17). Тогда получим

, Ч ехр(- тр)

(29)

где у = (10-100)-тах(т,т).

Воспользовавшись формулами (18), (19), получим передаточные функции робастных регуляторов

Формула (30) структурно подобна формуле (24) и представляет собой ПИД закон регулирования, а формула (31) в рамках традиционного подхода может трактоваться как последовательное соединение ПИД и пД законов регулирования.

В качестве следующего примера рассмотрим случай, когда инерционная часть номинального объекта с запаздыванием описывается колебательным звеном

К (-) =

к0° ехр(- тр) Т2 р2 + 2Тф +1

(32)

где Т - постоянная времени колебательного звена, £ - параметр затухания (0 < £ < 1).

Регулятор (18) реализует реальный ПИД закон регулирования

кр (р) = кР |1+-!_+

Тп р

Тз р ТеР +1

а>с Т2 р + 2ТСр +1

~к[ р(Те Р +1)

(33)

На основании равенства (33) справедливы соот-

ношения

я

тз (тп + ТЕ) = Т2, Тз + ТЕ = 2ТС, кРТз = 0.343/к0т

(34)

Так как ТЕ < Тп, стройки ПИД закона будут

Те < Тз

то параметры на-0.686ТС. (35)

вид

1 Т

Тз = 2ТС, тп =--, кР =

3 Ь п 2 С Р Кт

Передаточная функция регулятора (19) имеет (Тр р + 1)(Т2 р + 2Тф +1). (36)

К (р) = %гкР к 0Г

р(те р +1)2

Инерционная часть третьего порядка

Здесь рассматриваются номинальные передаточные функции второго порядка с интегратором, описывающим исполнительный механизм. Например, для колебательного процесса такая передаточная функция имеет вид

к (-)= ^е^ ,, •

р(Т р + 2Тф + 1)

После аппроксимации интегратора выражением (17) получим

К (р) к^ГР^ ). (38)

^ (ур + 1)(Т 2р2 + 2Тф + 1)

(37)

Передаточные функции регуляторов (18), (19) будут иметь вид

К (р)= С{гР + 1)(Т2Р2 + 2ТР +1), ^ = О р(Те Р +1)2

(39)

Другим показателем грубости может служить величина интервала возможного увеличения коэффициента передачи объекта, или времени запаздывания относительно их номинальных значений, при которых не происходит потери устойчивости

К Р) = ?£-кр (ТрР + ^ + 1)(т2Р2 + ТР +1) .(40)

0 < < кт , 0 </// <

(41)

к 0г

р(те Р +1)3

Пример

В качестве примера рассмотрим синтез регуляторов для объекта с номинальной передаточной функцией (28) со значениями параметров^0 = 2, Т = 15 мин, Т0 = 10 мин. Передаточные функции регуляторов представлены выражениями (30), (31). Выберем значение параметров: у = 800, Те = 0.1 мин, значения тр, кр вычисляются по формулам (13), (14), сс = 0.343/т0.

Переходные характеристики по заданию на входе показаны на рисунке 1 (а, б). Передаточной функции регулятора (30) соответствует кривая у^), показанная на рисунке 1а, а передаточной функции регулятора (31) соответствует кривая у2©,, показанная на рисунке 1б.

Для 5 % зоны время переходного процесса для передаточной функции регулятора (30) будет 55 мин, то есть составляет 5.5т. Для передаточной функции регулятора (31) оно составляет 3.2т и равно 32 мин.

Увеличение быстродействия связано с потерей грубости системы по отношению к неопределенности модели объекта. В качестве показателя грубости использовалась Н™ - норма функции чувствительности. Для системы с регулятором (30) она составляет 1.369, а для системы с регулятором (31) увеличивается до 1.514.

где кт, тт - предельно допустимые относительные изменения параметров передаточной функции объекта.

Для системы (28), (30) они составляют: кт = 4.5, тт =4.5, а для системы (28), (31) они ухудшаются до значений: кт = 3.3, тт =3.1.

Кроме неравенств (41) можно рассмотреть интервалы

0 <к0/к° <к3

0 < г/ т0 < г3

(42)

где к30, т30 - относительные изменения параметров, при которых перерегулирование не превосходит 30 %.

Для системы (28), (30) получим: к30 = 2.3, тю =2.2, а для системы (28), (31) будет: к30 = 1.8, тю =1.6.

Система также обладает значительной грубостью по отношению к вариациям постоянной времени Т. Ошибка в задании номинального значения в сторону уменьшения относительно реального значения не приводит к потере устойчивости. При ошибке в сторону увеличения для регулятора (30) устойчивость не теряется, если номинальная постоянная времени больше, чем реальная в 5 раз, а для регулятора (31) только в 3.7 раза.

Заключение

В работе предложена новая методика синтеза традиционных законов регулирования (ПИ, ПИД) для объектов с запаздыванием и связанных с ними более сложных законов регулирования. Методика ориентирована на проектирование робастных регуляторов, которые обеспечивают грубость системы к параметрической неопределенности передаточной функции объекта.

УК»

Переходная характеристика

20 30 40 50 60

Рисунок. Переходные характеристики синтезированных номинальных систем

Литература

1. O'Dwyer A. A summary of PI and PID controller tuning rules for processes with time delay. Part 1: PI tuning rules // Preprints of Proceedings of PID '00: IFAC Workshop on Digital Control. - Terrassa. - Spain. - April 2000. - P. 175180.

2. O'Dwyer A. Handbook of PI and PID controller tuning rules, 2nd Edition. London: Imperial College Press, 2006

3. O'DwyerА. Handbook of PI and PID controller tuning rules, 3 nd Edition. London: Imperial College Press, 2009.

4. PID Control for Multivariable Processes. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2008. 264 p.

5. Александров А.Г., Паленов М.В. Состояние и перспективы развития адаптивных ПИД - регуляторов // Автоматика и телемеханика. 2014. № 2. С. 16-30.

6. Фокин А.Л., Харазов В.Г. Управление линейным объектом с запаздыванием // Автоматизация и современные технологии. 2002. № 5. С. 13-17.

7. Ремизова О.В., Рудакова И.В., Сыроквашин В.В., Фокин А.Л. Увеличение грубости оптимальных систем с запаздыванием // Известия СПбГТИ(ТУ). 2011. № 10. С. 46-51.

8. Косарев Д.А., Ремизова О.В., Сыроквашин В.В., Фокин А.Л. Робастное управление многомерным линейным объектом с запаздыванием// Известия СПбГТИ(ТУ). 2012. № 17 С. 77-82.

9. Гурецкий Х. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием. М.: Машиностроение. 1974. 328 с.

10. Гайдук А.Р. Теория и методы аналитического синтеза систем автоматического управления (полиномиальный подход). М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012. 360 с.