ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕНОСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62-506

О. А. Ремизова1, И. В. Рудакова2, В. В. Сыроквашин3, А. Л. Фокин4

Введение

Задачи статической оптимизации играют большую роль при проектировании химико-технологических процессов. В данной работе предлагается методика решения такой задачи при наличии неопределенности в математической модели. Обычно при решении задач оптимального управления в качестве критерия задается выбранная заранее целевая функция, для которой ищется максимум или минимум в зависимости от постановки задачи. Кроме этого математическая модель задачи состоит из ряда ограничений типа равенства и неравенства, которые отражают реальные условия протекания процесса.

Ограничения типа равенства [1, 2] содержат: математическую модель технологического объекта, балансовые уравнения, условия на качественные показатели в точках баланса, фиксированные потоки. Ограничения типа неравенства содержат: ограничения на управления, условия неотрицательности для ряда переменных, ограничения на качественные показатели, модели складов, ограничения по пропускной способности, внешние ограничения по ресурсам сырья и энергии, плановые ограничения, специальные ограничения на переменные, специфические для данной задачи.

Для решения описанных задач оптимизации разработано большое количество методов, которые невозможно перечислить в рамках одной статьи. Главный недостаток этих методов состоит в том, что они предполагают точное задание всех ограничений. На практике все перечисленные ограничения всегда задаются с неопределенностью, которая возникает из-за упрощения математических моделей, неточности задания некоторых данных, неточности задания параметров математических моделей.

В данной работе будет рассматриваться интервальная неопределенность задания параметров (коэффициентов) математической модели и фиксированных переменных. Методология решения задач с неопределенностью активно развивается в по-

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕНОСТИ

Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет) 190013, Санкт-Петербург, Московский пр., д. 26

Приводится методика решения задачи оптимального управления при наличии параметрической неопределенности в ограничениях типа равенства и неравенства, основанная на расширении модели процесса поиска экстремума и искусственном разделении вектора состояния на две взаимно компенсирующиеся составляющие за счет модификации градиентного алгоритма.

Ключевые слова параметрическая неопределенность, грубость задачи, ограничения, номинальная модель, расширенная номинальная модель, параметры, неопределенность оптимальных решений.

следние годы. В работах [3, 4] приводится достаточно большое количество подходов и примеров решения подобных задач.

При наличии неопределенности вместо одной фиксированной математической модели нужно рассматривать множество моделей, которое зависит от параметров, изменяющихся в заданных интервалах. Соответственно вместо одной задачи оптимизации приходится рассматривать параметрическое множество таких задач, а вместо одного решения - множество оптимальных решений.

Поэтому вместо определенного локального минимума или максимума нужно рассматривать область неопределенности оптимальных решений, которая может быть достаточно большой. Для формирования этой области нужно решить достаточно большое количество оптимальных задач при разных заданиях вектора параметров. Таким образом, актуальна постановка задачи минимизации размеров этой области или ограничения ее некоторым конечным количеством решений достаточных для проектирования. При этом также актуальна задача минимизации вычислений.

В данной работе для решения описанных статических задач сделана попытка применить известные методы уменьшения чувствительности к наличию неопределенности, разработанные для решения задачи робастной стабилизации динамических систем [5-10]. Основная идея, лежащая в основе этих методов, состоит в разделении движений в системе на две составляющие, построении соответствующей расширенной модели и организации взаимной компенсации движений в расширенной модели в процессе поиска решения. Поскольку неопределенность одновременно действует на обе составляющие движения, то их взаимная частичная компенсация позволяет уменьшить действие фактора неопределенности на движение исходной модели.

Предлагаемый метод базируется на том, что описанный подход применим к итерационной процедуре поиска экстремума для номинальной модели,

1 Ремизова Ольга Александровна, канд. техн. наук, доцент каф. автоматизации процессов химической промышленности, e-mail: remizova-oa@yandex.ru

2 Рудакова Ирина Викторовна, канд. техн. наук, доцент каф. автоматизации процессов химической промышленности, e-mail: rudakowa@ws01.sapr.pu.ru

3 Сыроквашин Владислав Викторович, канд. техн. наук, старший преподаватель каф. автоматизации процессов химической промышленности

4 Фокин Александр Леонидович, д-р техн. наук, профессор каф. автоматизации процессов химической промышленности, e-mail: fokin_sa@mail.ru

Дата поступления - 28 сентября 2010 года

которая чаще всего представлена регрессионными уравнениями для ограничений [11]. Он позволяет сделать процедуру поиска малочувствительной к действию неопределенности, а, следовательно, и полученное оптимальное решение будет обладать грубостью к фактору неопределенности. Данный подход позволяет уменьшить размеры области неопределенности оптимальных решений.

Постановка задачи

Рассмотрим задачу оптимального управления при наличии ограничений типа равенства и неравенства

max{f(x,u)h(x,u,a) = 0, g(x,u,b)> 0, h,x e Rm,g eRr}, (1)

где u e Rn - вектор независимых управляющих переменных, x - вектор связанных переменных, f (x,u) е Rl - целевая функция, a,b - векторы неопределенных параметров а < а < а , b < b < b . Все функции предполагаются дважды дифференцируемыми.

Пусть ao,ь0 - номинальные значения параметров а0 e[a,a], b0 e[b,b]. Тогда номинальная задача оптимального управления будет иметь вид

max{f (x,u)h(x,u) = h(x, u, a0) = 0, g(x, u) = g(x, u, b0) > 0} .(2)

Для решения задачи предполагается использовать метод внутренней точки [12]. Для определенности будем далее решать задачу определения максимального значения целевой функции. Тогда максимизируемая функция в методе внутренней точки может быть представлена в виде

щ(х, U, ß) = f (x, u)+ ß ^ ln gi (x, u), (3)

i= 1

где ß - параметр метода.

При этом возникает трудность учета ограничений типа равенства, так как для ограничений задачи должно быть выполнено условие Слейтера. Поэтому далее будем предполагать, что при заданном векторе независимых переменных u ограничения типа равенства в номинальной задаче разрешимы относительно связанных переменных x, то есть существует решение

x = г'(и), (4)

которое одновременно удовлетворяет ограничению g(x,и)> 0. В противном случае эти ограничения не согласованы и задача вообще не имеет решения.

Далее решается задача поиска максимума (3) с одновременным уменьшением чувствительности процедуры поиска к параметрической неопределенности в (1). Для этого при каждом значении ß применяется модифицированная итерационная процедура градиентного метода вида

u k+1 = uk + aVup (uk) + у ■ alvk, k = 0,1,..., (5)

где а > 0 - шаг градиентного алгоритма, Y > о - весовой коэффициент,

VM^(uk) = Vu^[h-1 (uk)uk]- градиент функции (3),

v е Rn - дополнительное векторное управление.

Управление v введено дополнительно для решения задачи уменьшения влияния неопределен-

ности на итерационный процесс поиска оптимального решения. Наличие этого управления отличает представленный алгоритм от обычного подхода к решению такой задачи.

Построение исходной линеаризованной модели

Для получения управления V е Rп в соответствии с [5] - [10] проводится принудительное разделение каждого из движений хк,ик на две составляющие, а управление V выбирается так, чтобы обеспечить взаимную компенсацию этих составляющих во время процесса настройки.

Для синтеза такого управления нужно сначала рассмотреть исходную линеаризованную модель динамики. Для этого правую часть в (3) представим разложением в ряд Тейлора по и с точностью до второго порядка

^(и) = ^[(и),и] = ^(и° )+ (и - Ы° (и0 )+ (6) + 0.5(м - и0)Ни (и0) - и0) где - точка, относительно которой происходит разложение, ни(и0)- гессиан (матрица вторых производных). Пусть и0 = и - и0, тогда без учета постоянной составляющей у(и0) в (6) уравнение (5) будет иметь вид

к+1 А0 к , г,0 к (7)

и0 = А1 и0 + В1 V , (7)

где А0 = I + аНи (м0), Б? = а1 , здесь всегда

у = 1.

Полученная линеаризованная модель может быть дальше использована для обеспечения грубости процедуры поиска оптимального решения относительно параметрической неопределенности ограничений типа неравенства.

Так как в (5) используется номинальная модель для ограничения типа равенства, то неопределенность этих ограничений не учитывается. Чтобы построить соответствующую линеаризованную модель рассмотрим номинальное ограничение к(х, и) = 0 в дифференциальной форме

м(х, и) = Мх^) Дх + Мх^ Дм = 0, (8)

дх ди

где м(х,и)- первая разность вектор-функции н(х, и) на к—ом шаге итерационной процедуры, Ах , А и - соответственно первые разности для связанной и управляющей векторных переменных, дк(х'м) , дк(х'и) - (т х т) и (т х п) матрицы

дх ди

первых производных.

Это условие можно записать также для отдельной координаты й, (х,и) вектора н(х,и) . Оно

имеет вид

ух л, (х, и) ах + ^ (х, м)ам = 0,

I = 1,...,т, (9)

где у \, Уий, - градиенты скалярной функции й, (х,и).

Уравнение (8) линейно и разрешимо относительно вектора Ах, если выполнено условие

а* [д^ с

дх

Так как функция и(х,и) известна, то можно заранее определить множество точек, для которых условие (10) не выполняется, и исключить их из процедуры. Тогда вектор Ах линейно зависит от Аи и может быть получен в виде

Дх = хк+1 - хк = О(хк, и к )аи = О(хк, и к )и к+1 - и к ),(11)

д(х, и) = \дк(х'и ) 1\8к(х'и ) 1 - матрица

где

Зк(х,и) -1 дк(х, и)

дх ди

, коэффициенты которой в общем случае не-

т х п

линейно зависят от

х, и .

Первая разность Аи определяется на основании (5), поэтому (11) при у = 1 может быть записано в виде

Xм = Xк + ао(хк, и к \?и¥(и к) + IV к ], (12) Если ограничение н(х, и) = 0 линейно по всем переменным, то в (11) о(х, и) = О - (т х п) матрица с постоянными элементами. В общем случае, когда это не так, линеаризуем правую часть (12) по векторной переменной х относительно х0. Для удобства перепишем к+1

+ аф (х к, и к) + ав(х к, и к )у к,

аф(х ",и") + а^(х ",и" у", (13) где ^(х,и) = О(х,и)(и)- (т х 1) вектор. Тогда после линеаризации по х по аналогии с (7) опуская постоянные члены, получим

(14)

где х

= А20 (и к )хк0 + В0 (« к >к,

к 0 ,,01 И т , / 0 = х - х , А2 (и ) = I + афх (х , и ),

(т х т) матрица первых производных по х от вектора ф из (13), В0(ик) = ао(х0,ик).

Для линейного ограничения н(х, и) = 0 вместо (13) получим более простую формулу

х0м = х0к + аОук . (15)

Соответственно А0 (мк) = I и в0 (ик) = аО . Здесь в правой части пренебрегаем вектором аОУи^ (ик), так как нас интересует только динамика

изменения возмущенной системы, связанная с управлением у. Далее будем рассматривать номинальные уравнения (7), (14) при (м к) = А° (м0) = А°, В°(мк) = в°(м0) = В° . Тогда получим исходное линеаризованное уравнение в диагональной форме для синтеза управления V вида

(16)

к+1 ,,0 к . л0 к

г0 = А г0 + В V ,

где Ао = (и + т)- вектор.

А 0 0 А0

В0

гк = —

Построение расширенной линеаризованной модели

Для расширения линейной модели (16) в процессе поиска максимума функции (3) используется искусственное разделение вектора ^ на две

составляющие [5] - [10] путем пропускания его через дискретный фильтр вида

+1 = ц ■ г\ + (1 - р)-гко +1 + (р - ,

z10 = 0, (17)

где р,д - настраиваемые параметры, -

опорная траектория.

Расширенная модель, соответствующая исходной модели (16) будет

~Аг1(к +1)"

г1(к +1)

Д^к ) (к).

, (18)

(к)

рА0 - (р - д)1 р(А0 - /) (1 - р)А0 + (р - д)1 (1 - р)А0 + р1

рВ0 (1 - р )

где 21{к)= zf , = гк0 - , у{к) = Vк . Управление у(к) служит для решения задачи стабилизации расширенного вектора ^ = [дгт ], которая состоит в переходе из произвольной на-

чальной точки

(«: Г

о

в начало координат с од-

новременной взаимной покоординатной компенсацией векторов Дг1(к) и 21(к) за время поиска максимума, и обеспечивает уменьшение чувствительности поиска к влиянию неопределенности, которая зависит от величины веса у в алгоритме (5).

Обеспечение грубости процесса оптимизации к неопределенности

Для обеспечения частичной взаимной компенсации [5] - [10] вместо стабилизации расширенного вектора I рассматривается задача стабилизации вектора размерности п + т вида

у(к) = ^^ (к) + ¿г(к) = г(к) + (с!2 - )й1 (к), (19) где ах ф с12 > 0.

При этом одновременно решаются две задачи: исходная задача стабилизации и задача взаимной компенсации при условии, что минимизируется функционал

3 = 0.5]Г ((к )б00 у{к) + V т (к V (к)) =

к=0

= 0.5ё (((к )т &{к ) + ут (к )Яу (к)), (20)

к=0 оГ .

где я1 = я > о, д = 0.5ао0а1 , е0" > о , ё = [с!11 ё21], г = [ ]- расширенный вектор состояния.

Качество частичной взаимной компенсации векторных составляющих Аг1(к) и г1(к) расширенного вектора состояния г(к) зависит от настраиваемых параметров: д,р,, , Я .

Решением этой задачи является управление в виде линейной обратной связи по расширенному вектору состояния

V (к) = - К? (к) = -К „Д^к)- ) =

= - К„ ?о (к)- (К, - К„)?, (к) =

= - К0 2о (к)-*;*,(*), (21)

где

К' = К1 - К0 , К = Я-1 (вО )Т РА" = Я + (в? ) РВ? ,Р -решение уравнения Риккати

Р - (а0)ТРА0 + (А0)РВ0РА0 - е = 0, (22)

т

V

X

3

и

3

к

3

X

где А0 - собственная матрица в расширенной модели (18), в0 - матрица управления в (18).

Таким образом, предлагаемая процедура поиска оптимального решения с учетом неопределенности в ограничениях задачи (1) будет состоять из следующих этапов

1. Решается задача аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) (18) — (22) при заданных настраиваемых параметрах д,р,, 20, Я и выбранных постоянных значениях х0, и0, компоненты которых также могут быть отнесены к настраиваемым параметрам. Результатом этого этапа является матрица обратной связи к, входящая в (21).

2. Реализуется итерационная процедура (5) поиска максимума, в которой управление у вычисляется на основании итерационной процедуры (17) и матрицы к из формулы (21), полученной в п.1. В результате получаем искомое оптимальное решение (и *, х*) с учетом неопределенности.

3. Определение качества частичной взаимной компенсации осуществляется в интерактивном режиме, и оценивается визуально на основании графиков для каждой пары взаимно компенсирующихся компонент расширенного вектора состояния г(к), как это сделано в [5] - [10]. Для построения этих графиков нужно знать оптимальное значение (и *, х*),

полученное на предыдущем этапе. Тогда для определения качества компенсации расширенный вектор г (к) строится по разностным векторным сигналам

х0 = X - X0 при X0 = X* и и0 = и - и0 при и0 = и*. Если оно не удовлетворительно, то изменяются параметры д, р, ,¿2, , Я и вся процедура повторяется.

При управлении (21) замкнутая расширенная система (18), (21) должна быть устойчива, что зависит от выбора параметров д,р,<12, 20, Я . Область неопределенности полученных оптимальных решений зависит от указанных параметров и параметра у в (5), который выбирается из условия сходимости всей процедуры поиска.

Пример

В качестве примера рассмотрим задачу минимизации суммарного расхода охлаждающей воды в выносные теплообменники трех ступеней абсорбции при производстве формалина при заданном содержании воды и ограничении на содержание суммарной доли формальдегида и метанола в отходящих газах [13]. Эта задача при наличии неопределенности математически может быть представлена в виде (1). Номинальная задача имеет вид (2) с одним линейным ограничением типа равенства на содержание мольной доли воды в продукте

У1 = А (Х1 ж, х8) =

= 1.33 + 4.193 10-3х + 5.263 -10-4х2 -- 6.547 -10-4х3 - 6.329 -10-4х4 --5.174-10-4х5 -1.053-10-2х6 -1.829-10-3х7 - (23)

: /2 (х1 >•••> Х5 ) "

-1.94 -10-3 х8 = 0.72

и квадратичным ограничением типа неравенства на суммарную долю формальдегида и метанола в отходящих газах

У 2

= 47.85-10-2 -3.21-10"3х -4.337-10-5х2 --1.083-10-4х3 -1.42-10-4х4 + +1.193 • 10-4 х5 +1.98 • 10-4х2 - 2.69 • 10-8 х22 + + 3.519•Ю-8х32 -9.776•Ю-8х42 +

+ 2.932-10-9 х52 < СЕ = 0.39. (24)

Также имеют место ограничения на переменные задачи

х, < х, < х,, I = 1,... ,8, (25)

где х = 6.26 кг/с , XI = 8.26 кг/с , х2 = 383К , X2 = 443 К , х3 = 343К , хз = 393К , х4 = 303К , х4 = 323К , х5 = 292К , Х5 = 300К , х6 = 12 кг/с , х6 = 24 кг/с , х7 = 12 кг/с , х7 = 24 кг/с , х8 = 20 кг/с , х8 = 34 кг/с, х1 - расход реакционных газов кг/с, х2 -

температура реакционных газов в контактном аппарате К, х3 - температура жидкой фазы в первом абсорбере К, х4 - температура жидкой фазы во втором абсорбере К, х5 - температура жидкой фазы в третьем абсорбере К, х6, х7, х8 - расход охлаждающей жидкости в абсорберах кг/с, с£ - сумма массовых долей формальдегида и метанола в отходящих газах, у1 - мольная доля воды в продукте моль/моль, у2 - суммарная массовая доля формальдегида и метанола в отходящих абгазах.

Целевая функция в (2) имеет вид

У(х6 , Х7 , Х8 ) = — Х6 — Х7 — Х8 . (26)

Так как имеется всего одно линейное ограничение типа равенства (23), то в данном случае можно выразить величину Х1 через величины

х,, 1 = 2,...,8 . Это даст выражения (4), (5). После

следует поставить эту величину в (24). Тогда в качестве независимых переменных в (2) получим вектор и = [х2 ... х8]т, а в качестве зависимой переменной х = х1.

Сначала нужно рассмотреть традиционное номинальное решение этой задачи без учета влияния параметрической неопределенности в ограничениях (23), (24). Тогда в (5) будет у = о , у = 0 . Максимизация (3) осуществлялась при а = 0.3 , х0 = 7.26кг/с , ^0 = 8,

и0 = [413 363 313 296 18 18 27] . Последующие значения параметра метода внутренней точки вычисляются по формуле ^к = ^к_х/4 .

Так как величины компонент вектора и0

сильно отличаются друг от друга, то для улучшения сходимости процедуры поиска экстремума была сделана замена переменных, которая сводилась к масштабированию по заданному начальному вектору так, что в качестве нулевого вектора теперь рассматривается новый вектор, все компоненты которого одинаковы и равны значению второй составляющей 363.

Это означает, что нормирование осуществляется к значению второй компоненты начального вектора и0. При этом матрица линейного преобразования координат будет

5 = diag{363/413, 1, 363/313, 363/296,

363/18, 363/18, 363/27}. (27)

Заметим, что при текущем вычислении значения g - ограничения типа неравенства, при определении зависимой переменной (4), а также при определении конечного результата необходимо выполнять обратное преобразование координат.

Максимизируемая целевая функция (3) метода внутренней точки в данном примере имеет вид ^ = -х6 - х7 - х8 + р[1п ^ + 1п(10 - х1)+ 1п( - 4)],(28) где я = 0.39 - /2 (х ,...,х5), X! - вычисляется

на основании формулы (23).

Таким образом, ограничения (25), кроме первого, в (28) не учитываются, так как они накладываются на независимые переменные задачи. Если в процессе поиска экстремума они выходят за свои верхние или нижние значения, то им присваивается соответствующее граничное значение.

В результате восьми итераций по параметру к получим оптимальное решение

[х и1 ] = [7.2 443 393 322.95 292 16.8 18 26.2]т ,(29) при котором выполняются все ограничения задачи (23) - (25). При этом минимальное значение расхода воды составляет 61.028 кг/с. Видно, что переменные х2, х3, х4, принимают свои крайние

возможные максимальные значения, а Х5 - минимально возможное значение. Для примера на рис. 1 показан процесс поиска оптимального значения для переменной Х5 при изменении номера итерации к.

^ \

Рис. 1. Оптимизация методом внутренней точки для температуры жидкой фазы в третьем абсорбере

Таким образом, получено решение для номинальной задачи без учета действия параметрической неопределенности. Далее рассмотрим задачу с неопределенностью. Ограничения (23), (24) задачи с неопределенностью при изменении параметров имеют вид

У = /1 (х1 'к, х8) = — а ^ + Х1 + а х^ + х^ + а а х а

(30)

У 2

= /2 (х1 х5 )

= Ъ0 + Ъх хг + Ъ2 х2 + Ъ3 х3 + Ъ4 х4 +

7 2 2 2 2

+ и 5 Х5 + С~1 X1 + С2 Х2 + С3 Х3 + С 4 Х4 +

+ с5х2 < С = 0.39, (31)

Коэффициенты в представленных ограничениях могут изменяться в заранее заданных интервалах и таким образом, получается множество задач оптимального управления, которые необходимо решить. Для анализа полученного традиционного результата нужно сравнить два решения при заданных значениях коэффициентов: решение задачи с фиксированной неопределенностью при полученном

ранее для номинальной модели управлении (29) и оптимальное решение задачи с фиксированной неопределенностью при заданных векторах параметров а и Ь в (30), (31).

Для примера в качестве параметрического возмущения для простоты рассмотрим вариации на 5% коэффициентов в (30) и на 10% в (31) только перед переменной х2 так, что: а2 = (1 + 0.05)) ,

Ь2 = (1 + 0.1)0, С2 = (1 + 0.1)0. Приращения этих значений являются фиксированной неопределенностью. Это истинные значения параметров задачи, которые считаются неизвестными разработчику. Соответствующие номинальные значения а0, ¿0, с0 приведены

в формулах (23), (24). Считается, что разработчику известна только номинальная модель. Остальные коэффициенты будем считать равными их номинальным значениям.

В первом случае при использовании решения для номинальной задачи все ограничения типа неравенства выполняются, а ограничение типа равенства нарушено так, что у = 0.7433. Минимальное значение расхода воды не изменяется, так как изменились только ограничения, а целевая функция в данном случае зависит только от управлений. Во втором случае в процессе поиска было получено истинное решение

[х ит ]= [7.28 443 388.8 323 292 17 18 26.5],(32) для которого все ограничения выполняются, но увеличивается суммарный расход охлаждающей воды, он составляет теперь 61.5547 кг/с.

С точки зрения минимизации суммарного расхода охлаждающей воды это решение хуже, но зато здесь точно выполнено ограничение типа равенства, которое для номинального решения выполняется с относительной погрешностью в 3.24%. Но если допустима полученная погрешность при выполнении условий типа равенства, то оптимальное решение, рассчитанное для номинальной модели будет лучше.

Далее рассмотрим другое решение номинальной задачи с учетом неопределенности по предлагаемой в работе методике. Для этого нужно получить модель (16). При этом необходимо определить матрицы, входящие в уравнения (7), (14) или (15). Пусть, и0 = и0 = [413 363 313 296 18 18 27]т , х0 = 7.26 кг/с . Тогда условие (4) примет вид х = -145.5 - 0.13м1 + 0.156м 2 + 0.15м3 +

(33)

+ 0.12м4 + 2.5м5 + 0.44м6 + 0.46м7

Как видно из формулы (11)

О = [- 0.13 0.156 0.15 0.12 2.5 0.44 0.46]. Тогда при а = 0.3 на основании (7), (15) получим матрицы, входящие в уравнение (16)

" 1.016 - 0.02 - 0.05 0.03 0 0 0 0" - 0.02 1.025 - 0.06 0.037 0 0 0 0

- 0.05 - 0.06 1.152 0.09 0 0 0 0

0.03 0.037 0.09 1.05 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 1

0

А

в0 =

0.3 0 0 0 0 0 0

0 0.3 0 0 0 0 0

0 0 0.3 0 0 0 0

0 0 0 0.3 0 0 0

0 0 0 0 0.3 0 0

0 0 0 0 0 0.3 0

0 0 0 0 0 0 0.3

■ (34)

- 0.038 0.047 0.045 0.037 0.753 0.13 0.14 Так как при поиске экстремума используется масштабирующее преобразование координат (27), то далее вместо собственной матрицы а0 из (34) используется собственная матрица вида

5 а0 s1-1 =

5 0 0 363/7.26

А0

5-1 0 0 7.26/363

а вместо матрицы управления в0 используется матрица вида

0 Г^ о 1

Б1Б0 = . .

1 _ 0 363/7.26_

На основании этих матриц формируется расширенная модель (18), которая зависит от настраиваемых параметров р и д. Формируется функционал (20) при = Ма^уц^ }8, который зависит от па-

раметров ^, , д1 и решается задача АКОР. В результате получаем 7х1 вектор управления (21) с расширенной матрицей обратной связи к.

V (к) = - Кг(к) = - К 0 (к) - К (к), (35) где ,- 8 х 1 векторные составляющие вектора состояния расширенной модели, матрицы К0, к размерности 7 х 8, которые не выписываются

ввиду громоздкости.

Вектор г1 (к) вычисляется на основании итерационной процедуры (17) по известным значениям , а вектор (к) вычисляется как разность между

и {к). В свою очередь вектор формируется

на основании вектора независимых переменных и , участвующих в итерационной процедуре (5) и зависимой переменной Х1к, которая вычисляется на каждом шаге по формуле (33), и которая является частным случаем формулы (4). Таким образом,

(«"Г (*,'Г

Качество взаимной частичной компенсации соответствующих компонент векторов ^ (к) и 21 {к)

зависит от параметров д,р,^,(12, , / = 1,...,8, и0,

х0. Процедура настройки этих параметров описана в [5] - [10]. Для примера при значениях: д = 0.135, р = 11 , = 20 , й2 = 2 , Я = I ,

91 = 92 = 9з = 97 = 98 = 15, 9з = 94 = 9б = 1, У = 5'10 -8, а = 0.25, цк = ц^/1.1 за те же восемь итераций по

параметру к получим новое оптимальное решение для номинальной расширенной задачи

[х ит] = [7.85 383 380 322.9 292 14 18 31] -(36)

Заметим, что в данном случае последовательность значений ^убывает медленнее, чем в

предыдущем случае. Это связано с обеспечением

выполнения условия Слейтера при дополнительном действии третьего слагаемого в итерационной процедуре (5).

Минимальное значение целевой функции номинальной задачи увеличилось на 2.3% и составляет 63 кг/с. При использовании этого решения также нарушается ограничение типа равенства так, что У = 0.7403. Относительная погрешность составляет 2.8%, что на 15.7% меньше, чем в предыдущем случае.

При этом происходит частичная взаимная компенсация компонент векторов ^ (к) и {к), что

обеспечивает уменьшение чувствительности итерационного процесса поиска оптимального решения на основании номинальной модели к параметрической неопределенности при задании ограничений типа равенства и неравенства. Для примера на рис. 2 приведены временные зависимости для температуры жидкой фазы в третьем абсорбере. Здесь пунктирная линия соответствует компоненте 2 , а

обычная - компоненте Д215.

Из сравнения полученных решений видно, что теперь переменная Х2, которая раньше принимала максимально возможное значение, находится на минимальном значении. То же самое касается и переменной Хз , которая теперь находится внутри

заданной области значений, а раньше была на верхней границе области.

Рис. 2. Временные характеристики для четвертой (сплошная линия) и двенадцатой (штриховая линия) составляющих расширенного вектора состояния в задаче АКОР

Таким образом, вместо области неопределенности оптимальных решений в данном случае предлагается одно решение (36), которое является более осторожным, чем оптимальное решение (29), полученное раньше для номинальной задачи. Изменяя параметры настройки вместо одного алгоритмически достаточно просто получить множество решений, для которых гарантировано уменьшение чувствительности процесса поиска оптимального решения к наличию неопределенности. Полученная таким образом область меньше исходной области неопределенности оптимальных решений и из этого множества разработчиком может быть выбран окончательный вариант.

Заметим, что в данном примере при анализе была рассмотрена только одна конкретная параметрическая неопределенность, выбранная на удачу. Для полного анализа требуется рассмотреть все множество возможных комбинаций отклонений параметров ограничений. Такая задача может решаться в детерминированной или вероятностной поста-

к

=

0

новке, но это требует отдельного исследования и в данной работе не рассматривается.

Заключение

В работе получена итерационная процедура решения статической задачи оптимального управления при наличии параметрической неопределенности в ограничениях. Задача решается на основании известной разработчику номинальной математической модели, которая используется и при традиционном проектировании. При выбранных параметрах настройки методика позволяет получить решение, которое обладает малой чувствительностью к влиянию неопределенности.

Это достигается за счет обеспечения грубости итерационной процедуры поиска оптимального решения к влиянию неопределенности в ограничениях задачи. Изменяя параметры настройки алгоритма можно получить не одно, а множество оптимальных решений, обладающих указанным свойством, которое принадлежит области неопределенности оптимальных решений для данной задачи статической оптимизации с неопределенностью. Такой подход позволяет значительно уменьшить количество рассматриваемых решений.

В качестве практического примера рассмотрена задача минимизации суммарного расхода охлаждающей воды в выносные теплообменники трех ступеней абсорбции при производстве формалина при заданном содержании воды и ограничении на содержание суммарной доли формальдегида и метанола в отходящих газах. Полученное решение является более осторожным, чем оптимальное решение, рассчитанное традиционным способом.

Литература

1. Шенброт И.М., Антропов М.В., Ромм В.С. Оперативно-календарное планирование химических производств в автоматизированных системах управления. М.: Химия, 1977. 287 с.

2. Дудников Е.Е., Цодиков Ю.М. Типовые задачи оперативного управления непрерывным производством. М.: Энергия, 1979. 272 с.

3. Холоднов В.А., Гумеров А.М., Валеев Н.Н. [и др]. Системный анализ и принятие решений. Математическое моделирование и оптимизация объектов химической технологии. СПб.: СПбГТИ(ТУ), 2007. 340 с.

4. Холоднов В.А., Решетиловский В.П., Лебедева М.Ю., Боровинская Е.С. Системный анализ и принятие решений. Компьютерное моделирование и оптимизация объектов химической технологии в MATHCAD и EXCEL. СПб.: СПбГТИ(ТУ), 2007. 425 с.

5 Фокин А.Л. Метод разделения движений и синтез робастной системы регулирования // Изв. вузов. Приборостроение. 2002. № 4. С. 11-16.

6. Бороздин П.А., Сыроквашин В. В., Фокин А.Л. Синтез робастной системы управления методами прямого поиска экстремума // Изв. вузов. Приборостроение. 2007. № 5. С. 25-34.

7. Бороздин П.А., Сыроквашин В. В., Фокин А.Л. Робастное управление линейным инерционным объектом // Изв. РАН Теория и системы управления. 2008. № 4. С. 41-49.

8. Ремизова О.А., Рудакова И.В., Фокин А.Л. Синтез робастной системы стабилизации на основе квадратичной теории // Изв. СПбГТИ(ТУ) 2009. № 6 С. 71-75.

9. Климов А.П., Ремизова О.А., Рудакова И.В., Фокин А.Л. Уменьшение чувствительности н2 -оптимальной системы к влиянию неопределенности модели объекта // Изв. РАН Теория и системы управления. 2010. № 3. С. 27-32.

10. Климов А.П., Ремизова О.А., Рудакова И.В., Фокин А.Л. Достижение робастности системы стабилизации, синтезированной на основе квадратичной теории // Изв. вузов. Приборостроение. 2010. № 7. С. 18-26.

11. Бороздин П.А., Ремизова О.А., Фокин А.Л. Модификация градиентного метода для поиска оптимума при наличии параметрической неопределенности / Тезисы докладов XXIII Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (ММТТ-23) в 2 т.Т. 2. Псков: ППИ, 2010.

12. Первозванский А.А. Математические модели в управлении производством. М.: Наука, 1975. 615 с.

13. Кондрашов Н.А. Разработка и исследование алгоритмов управления производством формалина: дис. ... канд. техн. наук. Пермь, ПГТУ. 1994. с.