ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ СТАТИЧЕСКИМ ОБЪЕКТОМ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕНОСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62-506

О.А. Ремизова1, И.В. Рудакова2, В.В. Сыроквашин3, А.Л. Фокин4, Е.В. Якимова5

Введение

Статическая оптимизация широко используется при построении АСУТП и при проектировании ХТС. В работе рассматривается задача оптимального управления при наличии неопределенности в математической модели, которая на практике всегда имеет место. Данная работа является продолжением исследования, начатого в [1]. Будем считать, что задан критерий оптимизации в виде целевой функции, для которой нужно определить наибольшее значение. Кроме этого в математическую модель входят ограничения типа равенства и неравенства, которые задаются аналитически.

Рассмотрим интервальную неопределенность при задании ограничений. Это означает, что все коэффициенты, входящие в формулы для описания ограничений могут изменяться в заранее заданных интервалах. Таким образом, наибольшее значение целевой функции ищется не для одной конкретной модели, а для параметрического множества моделей. Соответственно такая задача имеет множество оптимальных решений, которая называется областью неопределенности оптимальных решений.

Чтобы найти эту область, нужно решить все множество оптимальных задач при всех значениях параметров из заданных интервалов, что практически невозможно. Поэтому здесь, как и в [1], ставится задача минимизации размеров этой области так, чтобы можно было свести задачу к одному или нескольким решениям. Это следует еще и из того, что если даже известна вся область оптимальных решений, то все равно затем из этой области нужно выделить одно решение, которое используется на практике. Для упрощения будем считать, что неопределенные коэффициенты входят линейно в формулы для ограничений.

Для решения задачи используется номинальная модель, в качестве которой берутся полностью известные разработчику ограничения. Часто в этой роли выступают уравнения регрессии, которые определяются по экспериментальным данным. Коэффициенты номинальной модели принадлежат интервалам, в которых могут изменяться коэффициенты реальных моделей. Понятно, что условия

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ СТАТИЧЕСКИМ ОБЪЕКТОМ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕНОСТИ

Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет) 190013, Санкт-Петербург, Московский пр., д 26

Приводится методика решения задачи оптимального управления методом штрафных функций при наличии параметрической неопределенности в ограничениях типа равенства и неравенства, основанная на расширении модели процесса поиска экстремума и искусственном разделении вектора состояния на две взаимно компенсирующиеся составляющие.

Ключевые слова: Параметрическая неопределенность, грубость задачи, ограничения, номинальная модель, расширенная номинальная модель, параметры, неопределенность оптимальных решений.

функционирования объекта могут меняться, и реальная модель будет отличаться от номинальной модели. Поэтому требуется обеспечить малую чувствительность решения к влиянию неопределенности.

Метод решения задачи с неопределенностью, как и раньше, базируется на идее разделения движений в поисковой процедуре, построении расширенной номинальной модели и организации взаимной компенсации движений в расширенной номинальной модели в процессе поиска решения. Это позволяет уменьшить чувствительность процедуры поиска наибольшего значения к влиянию параметрической неопределенности, так как неопределенность одновременно действует на обе составляющие расширенной модели, а их взаимная частичная компенсация позволяет уменьшить действие фактора неопределенности на итерационную процедуру поиска для номинальной модели.

Из того факта, что итерационная процедура поиска для номинальной модели малочувствительна к действию неопределенности, следует, что полученное в результате этой процедуры оптимальное решение также имеет малую чувствительность (обладает грубостью) к изменению параметров модели. Такое решение заменяет область неопределенности оптимальных решений.

Как будет видно из дальнейшего изложения, в такой задаче появляются настраиваемые параметры, изменяя которые можно достаточно просто получить параметрическое множество грубых решений, из которого разработчик может выбрать конкретное решение, используемое в практических приложениях.

В отличии от [1] в этой работе будет использована несколько отличная постановка задачи, что позволит упростить решение. Кроме этого здесь большее внимание уделено анализу полученных результатов.

Постановка задачи

Упрощение решения оптимальной номинальной задачи связано с ограничениями типа равенства, учет которых вносит дополнительные трудности. Здесь предлагается заменить их ограничениями типа неравенства, для

1 Ремизова Ольга Александровна, канд. техн. наук, доцент каф. автоматизации процессов химической промышленности, e-mail: remizova_oa@yandex.ru

2 Рудакова Ирина Викторовна канд. техн. наук, доцент каф. автоматизации процессов химической промышленности, e-mail: rudakova@ws01.sapr.pu.ru

3 Сыроквашин Владислав Викторович канд. техн. наук, старший преподаватель каф. автоматизации процессов химической промышленности

4 Фокин Александр Леонидович, д-р техн. наук, профессор каф. автоматизации процессов химической промышленности, e-mail: fokin_sa@mail.ru

5 Якимова Евгения Владимировна, аспирант каф. автоматизации процессов химической промышленности, e-mail: kimovaz@mail.ru

Дата поступления - 15 апреля 2011 года

которых выполняется условие Слейтера. При этом ограничения типа равенства рассматриваются приближенно.

Заметим, что при наличии параметрической неопределенности и при использовании оптимального решения, полученного для номинальной модели, ограничения типа равенства в реальной модели при варьировании параметров всегда выполняются приближенно. Поскольку для получения оптимального решения используется номинальная модель, то для упрощения решения можно с самого начала отказаться от точного выполнения ограничений типа равенства. Тем более, что практически такие ограничения в ряде случаев являются математической абстракцией.

Пусть исходная оптимальная задача с неопределенностью имеет вид

{f (x )| h(x,c) = h, g1 (x,b)> 0, h s Rl, g1 s Rr, x e Rn}

где ё(х) = ё(,а0), а0 е[а,а]- номинальное значение

для вектора а < а < а, а = со1(Ь,с), а = со1(Ь,с).

Как и в [1], задача решается методом внутренней точки. Будем искать максимум функции, являющейся суммой целевой функции и штрафа, вида

" (7)

,(1)

x

где xeRn - вектор независимых переменных, f(x) eR1 -целевая функция, c,b - векторы неопределенных параметров c < c < c, b < b < b ■ Все функции предполагаются дважды дифференцируемыми, h - известный вектор.

Рассмотрим скалярное ограничение типа равенства

h (x,c) = h, i = 1,...,l, (2)

Для номинальной модели заменим его приближенным ограничением вида

|h (x,c)- hi| < в ■ h, (3)

где в относительная погрешность (например 9 = 0,05). Тогда вместо (3) можно записать два ограничения типа неравенства

g2i (x, c) = (l + в)h - h (x, c) > 0,

g3i (x,c) = h (x,c)- (l - в) > 0 ■ (4)

Величина в должна быть согласована с величинами интервалов изменения параметров, но эта зависимость неизвестна. Понятно, что чем больше величины интервалов, тем больше должна быть в. Поэтому можно назначить величину в из соображений точности, получить оптимальное номинальное решение и убедится, что при изменении параметров в заданных интервалах это решение для реальной модели не покидает области ограничений. Если это не так, то следует либо увеличить величину в, либо уменьшить величины интервалов.

Заметим также, что после описанной замены ограничений типа равенства на ограничения типа неравенства в результате решения оптимальной задачи можно получить значение целевой функции большее, чем с аналогичным ограничением типа равенства. Это улучшение связано с расширением множества, на котором ищется решение, из-за влияния погрешности в условиях типа равенства.

Если все же рассматриваются ограничения типа равенства, как это сделано в [1], то при вариации параметров в заданных интервалах при найденном номинальном оптимальном решении всегда появляется погрешность в этих ограничениях, которая зависит от величин интервалов неопределенности. Если эти погрешности выходят за допустимые значения, то нужно по аналогии уменьшить величины интервалов или увеличить величину погрешности, если это возможно.

После замены ограничения типа равенства на ограничение типа неравенства (4) вместо (1) получим

max x{f (x)| g(x,a)> 0, g e Rm, x e Rn}, (5)

где a = col (b,c), gT =[g¡ g¡ g¡ J, m = r + 21.

Соответственно для номинальной модели задача оптимального управления (5) будет иметь вид

xf (x)| g (x)> 0, g E Rm, x E Rn}, (6)

max

¥(x, A) = f (x) + АXlngi (x)

где д) компоненты вектора д, / - параметр метода.

Далее решается задача поиска максимума (7) с одновременным уменьшением чувствительности процедуры поиска к параметрической неопределенности в (1), (5). Для этого при каждом значении / применяется модифицированная итерационная процедура градиентного метода вида

= хк + аУху (хк) + у ■ а 1ук, к = 0,1,..., (8)

где а > 0 - шаг градиентного алгоритма, у > 0 - весовой коэффициент, у ^ (хк) _ градиент функции (7), veR" -

дополнительное векторное управление.

Управление V вводится дополнительно для уменьшения влияния неопределенности на итерационный процесс поиска оптимального решения. Наличие этого управления отличает представленный алгоритм от обычного подхода к решению такой задачи. Здесь можно рассматривать два решения: традиционное решение при у = 0 и решение с уменьшением чувствительности процедуры поиска к неопределенности при у > 0.

Решение задачи

Линеаризуем уравнение (8) относительно выбранного вектора х0. Для этого запишем линеаризованное представление для градиента функции (7) вида

V хХ¥ (х ) = У (х0) + Н(х°)хо, (9)

где НО0) - матрица Гессе, ха = х- х0.

Тогда линеаризованная модель будет иметь вид

х0к+1 = А0х0к + Б°ук, (10)

где А0 = I + а Н(Х°), В0 = а/, здесь всегда у = 1. Значение х0 выбирается разработчиком и может рассматриваться как настраиваемый параметр, хотя он влияет незначительно. Далее в соответствии с [2-7] рассматривается расширение модели (10). Для этого вводится система из п дискретных фильтров вида

хГ1 = q ■ хк + (1 - р). х0+1 + (р - Ц)х0, х0 = 0

, к (11) где р, ц - настраиваемые параметры, х1К - опорная траектория.

Для моделей (10), (11) расширенная модель имеет вид

~Лх1 (к +1)" х1 (к +1) "

рА0 - (р - q)I р (А0 -1) " (12) (1 - р)А° + (р - (1 - р)А° + р1

V (к)

где v(k) = /, х1 (к) = х1к - новые обозначения, введенные для удобства, Дх1 (к) = х0к - Х1к.

Управление v(k) используется для стабилизации дискретной расширенной модели (12) с одновременной взаимной компенсацией векторных компонент Дх1(к) и х1(к) расширенного вектора хт =[Ах[ х[]Т для повышения грубости процедуры поиска к наличию параметрической неопределенности, которая зависит от величины веса у в алгоритме (8). Этот параметр настраивается при проектировании.

"Д*1 (к)" " pB° '

_xi(к)_ + (l - p) _

=i

max

Для того, чтобы обеспечить частичную взаимную компенсацию вводится новая векторная переменная размерности п вида

у (к) = й1Ах1 (к) + ¿2X! (к) = йгх0 (к) + (¿2 - d1) X! (к), (13)

где & Ф & > 0, Хо (к) = Хок.

Далее решается задача аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) с минимизацией функционала

3 = 0.5£ (ут (к)$ у (к) + V т (к )Яу (к)) =

к=0 (14)

= 0.5^(X(кк) Ох (к) + ут (к)Яу (к)), к=0 ' где ят = я > о, О = 0.5йО00йт , О0 > 0 , й = [й11 d21] ,

X = [Лх[ хт ]т - расширенный вектор состояния.

Стандартное решение этой задачи не предполагает наличия ограничений, и это является причиной рассматривать процедуру поиска (8) без ограничений. Поэтому наиболее подходящими методами поиска оптимума здесь являются методы штрафных функций. В данном случае при выполнении условия Слейтера естественно использовать метод внутренней точки.

Качество взаимной компенсации зависит от настраиваемых параметров: р, &>, О°, К. Тогда управление, входящее в (8), имеет вид

V (к) = -Кх (к) = - К0Ах1 (к) - К1 х1 (к) =

= - К х0 (к)-(К1 - К )х1 (к ) =

= -К0х0 (к) - Кх1 (к), (15)

где

К' - К1 - К0

но рассчитать векторы д(х, а) во всех крайних точках многогранного множества изменения вектора а при найденном номинальном оптимальном значении вектора х*. Но это сложно.

Альтернативное решение может состоять к сведению данной задачи к т стандартным задачам линейного программирования вида

(17)

Ш1П

{(**,а)|Аа < ъ,[ = 1,...,т, а < а < а|

К = Я(в0 ) РА0, я = Я + (в0) РВ0, Р - решение уравнения Риккати

Р - (А0 )т РА0 + (А0 )т РВ0 Я (в0 )т РА0 - О = 0, (16)

где А0 - собственная матрица в расширенной модели (12), В0 - матрица управления в (12).

Вся процедура поиска оптимального решения в условиях неопределенности состоит из следующих этапов.

1. Решение задачи АКОР (12) - (14) и получение управления (15) с выбранными параметрами настройки

р, <1, <2, О0, Я.

2. Реализация итерационной процедуры поиска оптимального решения (8), (11), (15).

3. На основании полученного оптимального решения определение качества взаимной компенсации соответственных переменных в расширенной модели. Если оно не удовлетворяет разработчика, то изменяются параметры настройки и задача решается снова.

Анализ полученных результатов

Предлагаемая методика позволяет вместо определения области неопределенности оптимальных решений найти одно или несколько оптимальных решений, которые заменяют эту область. Пусть для определенности найдено одно оптимальное решение для номинальной задачи, обладающее грубостью к влиянию параметрической неопределенности. Заметим, что при решении оптимальной задачи величины интервалов изменения параметров (коэффициентов в ограничениях) не использовались. Они учитываются на этапе анализа.

Важным аспектом анализа является вопрос о том, как изменяются свойства найденного оптимального решения, полученного при номинальном значении вектора параметров, когда параметры варьируются в заданных интервалах. Прежде всего, интересно узнать, не будут ли нарушены установленные ограничения типа неравенства в (5). Если решать такую задачу путем перебора, то нуж-

где Аа < Ь - искусственное дополнительное условие с произвольной матрицей А и вектором Ь, которое выполняется всегда и введено только для возможности формального применения метода.

Так как варьируемые параметры а линейно входят в ограничения задачи (5), то для формального применения метода линейного программирования в МАТ1.АВ необходимо задать ограничения в виде линейных неравенств или в виде линейных уравнений. Но для наших целей нужно сделать активными только ограничения а < а < а . Поэтому ограничения в виде линейных неравенств Аа < Ь задаются формально и они всегда должны выполняться.

Здесь осуществляется направленный перебор крайних точек в пространстве параметров с уменьшением целевой функции при переходе от одного опорного плана задачи к другому.

В выражении (17) функция д(х*, а) линейная форма вектора а при заданном оптимальном значении вектора х*. При решении /-й задачи получается оптимальное значение линейной формы д* = д(х*, а*). Если выполняется неравенство д,- > 0, то делается переход к следующему номеру / и таким образом выполняется проверка для всех индексов. Если выполняется обратное неравенство д* < 0, то это означает, что величина интервала изменения вектора а больше допустимого значения и это является причиной нарушения ограничения типа неравенства при данном значении индекса.

Для того, чтобы определить какие именно коэффициенты выходят за допустимые границы, нужно использовать найденное оптимальное значение вектора параметров а*. Те из его компонент, которые находятся на границе заданных интервалов, могут отвечать за нарушение условия типа неравенства.

Если происходит нарушение ограничений, то следует либо уменьшить некоторые из интервалов неопределенности, либо рассмотреть возможность увеличения погрешности в условиях (3), (4), когда дело касается ограничений типа равенства.

Другим аспектом этапа анализа, который можно считать желательным, но который не является необходимым, будет установление границ области неопределенных оптимальных решений. Точками этой области служат оптимальные решения при всех вариациях параметров задачи. Если параметры входят линейно, то нужно решить оптимальную задачу (5) во всех крайних точках. Но при большом количестве коэффициентов это практически может быть невыполнимо.

Поэтому для анализа можно ограничиться двумя крайними решениями. В качестве таких решений для задачи минимизации можно использовать: во-первых, минимаксное решение, когда ищется минимум при значении наихудшего вектора параметров, доставляющем максимум целевой функции, и, во-вторых, наилучшее решение, когда ищется минимум при значении наилучшего вектора параметров, доставляющем минимум целевой функции.

Для задачи максимизации это будет: во-первых, максминное решение, когда ищется максимум при значении наихудшего вектора параметров, доставляющем минимум целевой функции, и, во-вторых, наилучшее решение, когда ищется максимум при значении наилучшего вектора параметров, доставляющем максимум целевой функции.

Таким образом, в качестве оценки меры области неопределенности использовано значение целевой функции. Преимущество предлагаемого подхода состоит в том, что здесь требуется сравнить всего два дополнительных решения. Номинальное оптимальное решение также сравнивается с двумя крайними решениями по значению целевой функции. С практической точки зрения это вполне оправдано, так как для разработчика, прежде всего, интересны значения целевой функции.

При решении сложных задач поиск минимаксного или максиминного оптимального решения также может быть весьма непростой проблемой. В таких случаях можно ограничиться только одной точкой для сравнения - наилучшим решением, которое получается в результате решения модифицированной задачи (5) и имеет вид

(18)

х, а

/ (х )| g (х, а )> 0, g е Ят, х е Яп ]

Такое решение может быть получено любым подходящим известным методом решения оптимальных задач с ограничениями.

Пример

Рассмотрим пример, приведенный в [1]. Это задача минимизации суммарного расхода охлаждающей воды в выносные теплообменники трех ступеней абсорбции при производстве формалина при заданном содержании воды и ограничении на содержание суммарной доли формальдегида и метанола в отходящих газах [8]. Задача решается методом, предлагаемым в данной работе.

Задача содержит восемь переменных: х1 - расход реакционных газов кг/с, х2 - температура реакционных газов в контактном аппарате К, х3 - температура жидкой фазы в первом абсорбере К, х4 - температура жидкой фазы во втором абсорбере К, х5 - температура жидкой фазы в третьем абсорбере К, х6 х7 х8 - расход охлаждающей жидкости в абсорберах кг/с.

Для этих переменных заданы ограничения

х1 < х1 < х, I = 1,... ,8, (19)

где х1 = 6.26 к^с , х 1 = 8.26 кг/с , х2 = 383° К , х2 = 443°К , х3 = 343°К , хз = 393°К , х4 = 303°К , х4 = 323°К , х5 = 292°К , хб = 300°К , х6 = 12кг/с , х6 = 24 кг/с , х7 = 12 кг/с , х7 = 24 кг/с , х8 = 20 кг/с , х8 = 34 кг/с.

Кроме этого имеется ограничение типа неравенства

дх(х/Ь) = Ьх- 47,85-10"2 - ЪТх - (х)тВх > 0, (20) где Ьт = [Ъ Ъг Ьз Ы Ьз 0 0 0], В = <Лад{ V Ь2 Ъ3 Ъ4 Ъз' 0 0 0}, Ьх = 0,39, , элементы вектора Ь и матрицы В могут варьироваться.

Соответствующее номинальное ограничение будет (х) = -47.85 -10-2 + 3.21 -10-3 х1 + 4.337 -10-5 х2 +

+1.083 -10-4 х3 +1.42 -10-4 х 4 -

-1.193•Ю-4х5 -1.98•Ю-4х2 + 2.69-10-8х22 -

-3.519 • 10-8х32 + 9.776• 10-8х2 -

-2.932 ■ 10-9 х2 + 0.39 > 0. (21)

Также имеется ограничение типа равенства

Н(х,с) = 1.33 + стх = К, (22)

где с7 = [с1 ... с8] - варьируемый вектор, х7 = [а1 ... а8], К = 0.72.

Соответствующее номинальное ограничение типа равенства будет

Н° (х) = 1.33 + 4.193-10-3 х1 + 5.263-10-4 х2

-6.547 -10-4 х3 - 6.329 -10-4 х4

-2 .

В соответствии с (4) можно вместо (22) рассматривать два ограничения типа неравенства вида

^ (х) = (1 + 0) К - Н° (х) > 0, gЗ (х) = Н° (х) - (1 - 0) К > 0. 2 3 (24)

В качестве минимизируемой целевой функции рассматривается суммарный расход охлаждающей жидкости

/ (х6, х7, х8) = х6 + х7 + х8. (25)

Решение, полученное по предлагаемой методике следующее: а = 0,2, у = 0,810-4, /и0 = 8, ^ = цкл /1,2, к = 0, ... 12,р = 10001, q = 2,0610-9, в = 0,05, = 47.44кг/с , х* = [8,26

383 354 323 292 15,44 12 20]т. В качестве начальной была взята точка х0 = [7,26 413 363 313 296 18 18 27]т. При этом координаты Л1, х4 находятся на верхних значениях, а координаты х2, х5, х7, х8 х2,х5,х?,х§ на нижних значениях.

Для примера на рисунке 1 показан процесс поиска оптимального решения по координатам х2, х3. Пунктирная линия соответствует компоненте х3, а обычная - компоненте А2.

При этом происходит частичная взаимная компенсация компонент векторов Дх1(А) и х1(к), что обеспечивает уменьшение чувствительности итерационного процесса поиска оптимального решения на основании номинальной модели к параметрической неопределенности при задании ограничений. Для примера на рисунке 2 приведены временные зависимости для температуры жидкой фазы в первом абсорбере х . Здесь пунктирная линия

соответствует компоненте х13, а обычная - компоненте Дх13, которые взаимно компенсируются в процессе поиска, как это видно из рисунка 2.

¡1 о а; в а и,

(23)

Далее следует анализ полученного решения, который состоит в проверке выполнения ограничений при варьировании вектора с, входящего в (5) относительно номинального значения с° в (6). Для этого достаточно решить две задачи линейного программирования вида (17). В качестве матрицы А рассмотрим блочную матрицу, которая зависит от координат полученного оптимального решения х* вида

-1.829-10-3хп -1.94 • 10-3х0 = 0.72

-3 .

A =

- x 0

0 x *

(26)

где

>=[ X1* x* x3* x4 x* (X1* )2 (X2 )2 (x* )2 (x4 )2 (x5* )2 Вектор b в (17) выбран так, чтобы всегда выполнялось условие Aa<b. Он, например, составляет b = [103 103]7. Предполагается, что вектор a варьируется относительно своего номинального значения aна величину ±SéТо есть, выполняется неравенство

| a - a6\<S¿?, (27)

где а = col (c,b ,b') , вектор c задан в (22),

ъ = [ъ1 Ъ2 ъз Ъ4 Ъ5 Г , ъ = [ъ1 ъ2 ъ3 ъ4 ъ5 Г -

векторы из выражения (20).

Далее при ограничениях Ла<Ь и (27) рассматриваются две задачи минимизации линейных форм: /1 = [х* 0]а и /2 = [0 х*д]а В результате решения первой задачи определяется факт выполнения условий типа равенства с заданной точностьюв:

Г1т]п < (1 + в) 0,72 - 1,33, Г1т]п > (1 - в) 0,72 - 1,33. (28)

При этом одновременно вычисляются погрешности выполнения ограничений типа равенства

Д1 = (/1™ + 1,33 - 0,72)/0,72-100. (29)

В результате решения второй задачи определяется факт выполнения условия типа неравенства

Итт <0,39 - 47,85^10"2. (30)

Пусть, для примера, при в = 0,05 допустимый интервал для всех коэффициентов в ограничениях (20), (22) составляет ±10% (8 = 0,1) от номинальных значений, указанных в формулах (21), (23). Тогда решение задач линейного программирования показывают, что ограничения (20) типа неравенства выполняются при всех вариациях параметров, а ограничения типа равенства (22) выполняются приближенно только с точностью 9.6% (в = 0,096), что превышает изначально заявленную точность их выполнения в = 0,05 или 5%.

Если, например, уменьшить возможный разброс параметров в ограничениях и задать допустимый интервал изменения коэффициентов, равным ±5% (8 = 0,05) от номинальных значений, то погрешность при выполнении ограничений типа равенства составит всего 2.33%, что допустимо.

Увеличивая величину 5 в (27) и решая описанные задачи линейного программирования, нетрудно получить максимальную величину для допустимого интервала изменения параметров в ограничениях при в = 0.05. Он составляет 6.8%.

Заключение

В работе представлено решение задачи оптимального управления при наличии неопределенности в ограничениях, полученное на основании известной разработчику номинальной модели ограничений. Малая чувствительность оптимального решения к варьированию коэффициентов реальной неопределенной модели обеспечивается за счет уменьшения чувствительности итерационной процедуры поиска оптимального решения, которая предлагается для номинальной задачи.

При этом может быть использован любой известный итерационный алгоритм безусловной оптимизации, модифицированный в соответствии с требованиями роба-стного управления. Здесь предполагается, что итерационная процедура поиска экстремума рассматривается как дискретная динамическая система, и ставится задача обеспечения грубости этой системы к наличию неопределенности параметров. Это задача, которая за последние 20 лет стала традиционной для теории управления.

Так как задачи робастного управления чаще всего рассматриваются без ограничений, то это накладывает дополнительное условие на выбор процедуры поиска -она также не должна содержать ограничений. В противном случае будет потеря грубости по отношению к неоп-

ределенности параметров. Поэтому для поиска удобно использовать методы штрафных функций.

Таким образом, модификация итерационной процедуры поиска осуществляется в соответствии с выбранным методом робастной стабилизации. В данном случае использована методика, основанная на разделении движений на две составляющих и организацией взаимной компенсации этих составляющих в процессе поиска. Это увеличивает грубость процедуры поиска, а достигается за счет введения дополнительного управления.

В результате вместо множества оптимальных решений получается одно решение, которое может быть использовано разработчиком при условии, что при варьировании неопределенных коэффициентов в ограничениях задачи полученное оптимальное решение остается внутри допустимой области решений.

Этот факт устанавливается на этапе анализа. В работе предложено решение такой задачи при условии, что неопределенные параметры линейно входят в аналитическое описание для ограничений. Проверка осуществляется при помощи решения вспомогательной задачи линейного программирования.

Если при варьировании параметров в заданных интервалах происходит нарушение ограничений, то нужно уменьшить величины некоторых интервалов варьирования. В случае, когда это невозможно, нужно пересмотреть полученное оптимальное номинальное решение. Для этого существует ряд настраиваемых параметров, варьируя которые можно попытаться обеспечить выполнение всех ограничений.

В качестве практического примера рассмотрена задача минимизации суммарного расхода охлаждающей воды в выносные теплообменники трех ступеней абсорбции при производстве формалина при заданном содержании воды и ограничении на содержание суммарной доли формальдегида и метанола в отходящих газах. При варьировании параметров полученное решение удовлетворяет исходным ограничениям.

Литература

1. Ремизова О.В., Рудакова И.В., Сыроквашин В.В., ФокинА.Л. Оптимальное управление в условиях неопределенности // Известия СПбГТИ(ТУ). 2010. №9. С. 82-88.

2 ФокинА.Л. Метод разделения движений и синтез робастной системы регулирования // Известия вузов. Приборостроение. 2002. №4. С. 11-6.

3. Бороздин П.А., Сы/роквашин В.В., Фокин А.Л. Синтез робастной системы управления методами прямого поиска экстремума // Известия вузов. Приборостроение. 2007. №5. С. 25-34.

4. Бороздин П.А., Сы/роквашин В.В., Фокин А.Л. Робастное управление линейным инерционным объектом // Известия РАН Теория и системы управления. 2008. №4. С. 41-49.

5. Ремизова О.А., Рудакова И.В., ФокинА.Л . Синтез робастной системы стабилизации на основе квадратичной теории // Известия СПбГТИ(ТУ) 2009. №6. С. 71-75.

6. Климов А.П., Ремизова О.А, Рудакова И.В., Фокин А.Л. Уменьшение чувствительности И2 - оптимальной системы к влиянию неопределенности модели объекта // Известия РАН Теория и системы управления. 2010. №3. С. 27-32.

7. Климов А.П., Ремизова О.А, Рудакова И.В., Фокин А.Л. Достижение робастности системы стабилизации, синтезированной на основе квадратичной теории // Известия вузов. Приборостроение. 2010. №7. С. 18 - 26.

8. Кондрашов Н.А. Разработка и исследование алгоритмов управления производством формалина: дис. ... канд. техн. наук. Пермь, ПГТУ, 1994.