CC BY
25
УДК 681.5.01
А.Ю. Васильев, В.Е. Куприянов
синтез регуляторов по выходу для линейных объектов
При управлении линейными непрерывными стационарными многомерными объектами основная проблема заключается в необходимости выбора управляющих воздействий на основе ограниченной информации лишь о выходных переменных, доступных измерению. Традиционные методы управления [1] предполагают для ее решения построение наблюдателей состояния и формирование управляющих воздействий в функции от восстановленных координат состояния. Такой метод управления может использоваться лишь при точной информации о математической модели объекта и неизменности ее параметров в процессе эксплуатации системы управления. Синтез робастных регуляторов с использованием методов Н "-теории [2] гарантирует устойчивость систем, но приводит к значительному росту порядка системы управления. Кроме того, на практике часто требуется реализовать управление в линейной зависимости от выходных координат (так называемые типовые регуляторы). К числу задач, подлежащих решению, в работе [2] отнесена задача стабилизации объектов регулятором заданной структуры. Разработке одного из возможных способов решения таких задач посвящена данная статья.
Пусть математическая модель объекта управления определена соотношениями [ х(?) = Лх(?) + Ви (?), [ у(?) = СхЦ),
где х е Я", у е Ят, и е Яг - векторы состояния, выхода и управления. Предполагается, что объект (1) вполне управляем и наблюдаем. Ставится задача стабилизации вектора выходных переменных.
Предлагаемый метод синтеза регулятора по выходу осуществляется в два этапа.
На первом этапе осуществляется редукция математической модели (1) объекта управления до порядка, определяемого размерностью вектора выхода т. Для этого предлагается использовать метод уравновешенного сокращения по сингулярным числам Ганкеля [3]. Особенность его использования - заранее выбранная размерность редуцированной модели " = т, обеспечивающая
(1)
равенство числа координат состояния редуцированной модели числу координат вектора выхода.
Второй этап заключается в построении регулятора, осуществляющего стабилизацию системы управления. В связи с равенством размерностей вектора состояния редуцированной модели и вектора выхода, для решения задачи синтеза могут использоваться такие методы, как синтез модальных регуляторов, синтез регуляторов по интегральному квадратичному критерию. Завершение процедуры синтеза предполагает проверку устойчивости и качества системы управления при использовании исходной, не сокращенной модели объекта.
В качестве примера, иллюстрирующего возможность использования предлагаемого метода, рассмотрим задачу синтеза системы автоматического управления перетоком активной мощности для энергообъединения «энергосистема - шины бесконечной мощности» [4]. Такому объекту можно сопоставить математическую модель: [ х(?) = Лх(?) + В1и (Г) + В2 w(?), [ у(?) = СхЦ),
где хеЯ5 - вектор состояния объекта; иеЯ1 -управляющее воздействие, направленное на изменение генерируемой мощности энергосистемы; w е Я — внеплановое возмущение, приведенное к валу энергосистемы; у е Я — вектор выходных переменных, в качестве которых используются переток активной мощности по ЛЭП и отклонение частоты. Параметры объединения определяются элементами матриц:
(2)
Л =
0
0,1
0
0
-47,619 -0,12857 47,619 0
0 0 -11
0 -0,017 0 -1
0 0 0 0
В1 =
0 0 0 1
-0,5
" 0 " 0
0 -47,619
0 , В2 = 0
0 0
0,05 0
Г1 о о о о
с =
0 10 0 0
Задача управления заключается в стабилизации перетока активной мощности по межсистемной ЛЭП.
На рис. 1 приведена гистограмма сингулярных чисел Ганкеля для заданного объекта. На основе гистограммы видно, что наиболее целесообразным с точки зрения минимизации погрешности приближения является сокращение размерности модели с пяти до четырех. Однако желание сократить число координат вектора состояния до размерности вектора выхода пр = т приведет к существенной погрешности аппроксимации модели. Использованием процедуры уравновешенного сокращения по сингулярным числам Ганкеля (с учетом методики распределения весов [3]) получена редуцированная модель требуемой размерности, определяемая матрицами:
A =
В =
C =
-0,0001905 -2,2353 -0,4854 -6,7866 0,30382 0,37871
2,2305 -0,037233 0,009939 -0,02245 -0,01696 6,7866
Первый столбец матрицы Вг редуцированной модели соответствует управляющему воздействию, второй - возмущающему.
Для выполнения второго этапа решения задачи выбран синтез оптимальных параметров с использованием для оценки качества квадратичного функционала:
да
3(и) = |(уТг(}уг + иТи) Л .
При Q =
после подстановки
25 0 0 2,5
уг = Сгхг можно получить квадратичный функционал стандартного вида
J (u) = J ( xTQxr + u u )
dt
где Q = CQ C =
386,77 -9,4481 -9,4481 8,0748
LQR-синтез оптимального регулятора обеспечивает получение оптимальных коэффициентов к г = [15,75 -7,2361] линейного регулятора при управлении по состоянию иор (?) = -кг ■ хг (?). Учитывая то, что требуется формировать управление в функции от выходных переменных, линейно связанных с координатами состояния через матрицу С , можно получить параметры регулятора при управлении
800
Hankel Singular Values
3
Order
Рис. 1. Гистограмма сингулярных чисел Ганкеля для исходной модели
2
4
5
по выходным переменным u(t) = -Ку^), где K = kr • (Сг)-1 = [12,211 -1,286]. Пропорциональный регулятор с такими параметрами предлагается использовать для исходного полномерного объекта (1). Анализ собственных значений матрицы замкнутой системы
Аг = A - В,КС ,
подтверждает ее устойчивость.
Для оценки качества полученной системы произведено ее сравнение с системой синтезированной методом «алгоритмического конструирования оптимальных регуляторов» (АЛКОР) [5]. Методом АЛКОР при использовании того же функционала для оценки качества получены оптимальные параметры регулятора K = [14,204 -2,0799]. На рис. 2 представлены графики переходных процессов при отработке ступенчатого воздействия w = 0,1. Сплошной ли-
нией отображен процесс при выборе параметров регулятора, определяемых вектором K, пунктирной — вектором K.
Для оценки запаса устойчивости САУ будем использовать матрицы замкнутых систем и оценивать нормы минимальных возмущений, приводящих к потере устойчивости. С этой целью удобно применять сингулярное разложение матриц A = USVT , где U, V — унитарные матицы, S = diag(<Jj,ст2, ..., стп) и <ст — i-е сингулярное число A .
Известно [6], что норма минимального аддитивного возмущения А, приводящего к потере устойчивости, определяется соотношением
min {IIAll | rank(A + А) < n} = ст (A). (3)
AEC™ 11 112 n
Оценка запаса устойчивости будет осуществляться для обеих рассмотренных выше систем. Параметры систем:
A = A - BlKC -
A2 = A - BjKC =
" 0 0,1 0 0 0
-47,619 -0,12857 47,619 0 0
0 0 -1 1 0
0 -0,017 0 -1 1
-0,61055 0,0643 0 0 -0,5 _
" 0 0,1 0 0 0
-47,619 -0,12857 47,619 0 0
0 0 -1 1 0
0 -0,017 0 -1 1
-0,7102 0,104 0 0 -0,5_
Анализ устойчивости полученных систем подтверждается приведенными ниже векторами собственных чисел:
-0,13849 + 2,2626/" -0,13849 - 2,2626/ Ц А1) = -1,9596
-0,19599 + 0,69768/ -0,19599 - 0,69768/ -0,18973 + 2,3088/ -0,18973 - 2,3088/ А,( А2) = -2,0822
-0,083476 + 0,71328/ -0,083476 - 0,71328/ Сингулярные значения матриц:
" 67,349 " " 67,349 "
1,7082 1,7136
0,85406 и ст( A2) = 0,84938
0,54167 0,59644
0,099361 0,098566
ст( 4) =
Для оценки запаса устойчивости используем относительную величину норм минимальных аддитивных возмущений и Д2:
Yi =-
и Y 2 =
IML 1 tT
СТ1( A1)
INL 1 2A
IA2II2 СТ1( A2)
=0,0014753
= 0,0014635.
Близость полученных процессов и оценок под-
Step Response
„"0,5
-1,5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 ис
Рис. 2. Графики переходных процессов при ступенчатом воздействии
тверждает возможность использования предлагаемой методики для проектирования регуляторов по выходу. При этом параметры синтезируемых регуляторов близки оптимальным значениям.
Это позволяет рекомендовать к использованию данную процедуру для выбора настроек типовых (промышленных) регуляторов и в других случаях синтеза систем управления заданной структуры.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Козлов, В.Н. Теория автоматического управления: Учеб. пособие [Текст] / В.Н. Козлов, В.Е. Куприянов, В.Н. Шашихин; Под ред. В.Н. Козлова // Управление энергетическими системами. Ч. 1. -СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2006. -316 с.
2. Поляк, Б.Т. Робастная устойчивость и управление [Текст] / Б.Т. Поляк, П.С. Щербаков. -М.: Наука, 2002. -303 с.
3. Васильев, А.Ю. Редукция многомерных систем на основе распределения весов входных и выходных сигналов [Текст] / А.Ю. Васильев // Научно-технические ведомости СПбГПУ -2011. -№ 2 (120) -С. 118-123.
4. Козлов, В.Н. Управление энергетическими системами. Электромеханические процессы [Текст] / В.Н. Козлов; под. ред. Ю.С. Васильева. -СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2000. -256 с.
5. Козлов, В.Н. Вычислительные методы синтеза систем автоматического управления [Текст] / В.Н. Козлов, В.Е. Куприянов, В.С. Заборовский. -Л.: Изд-во ЛГУ, 1989. -224 с.
6. Dahleh, M. Lectures on dynamic systems and control [Текст] / M. Dahleh, M.A. Dahleh, G. Verghese. - Department of Electrical Engineering and Computer Science, Massachusetts Institute of Technology, 2003. -382 с.
УДК 004.8, 004.8.032.26
Е.Н. Бендерская
перспективные концепции разработки интеллектуальных систем
С самого момента зарождения научного направления «искусственный интеллект» (ИИ) оно уже было одним из направлений, образовавшихся на пересечении многих наук и объединивших в себе сразу множество различных научных дисциплин [1]. Наверное, можно считать, что именно с началом формирования и становления теории
«искусственного интеллекта» началось движение в сторону взаимного проникновения и интеграции наук, в некотором смысле обратного по отношению к тому, что наблюдалось ранее только в виде дифференциации отдельных наук, их от-почковывания от «философии» и т. д.
Термин «ИИ» в последнее время в русско-
