Параметрическая оптимизация цифровых модальных регуляторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

-►

Системный анализ и управление

УДК 681.3 (075.8)

Н.В. Ростов

ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ЦИФРОВЫХ МОДАЛЬНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ

В микропроцессорных системах автоматического управления (САУ) объектами высокого порядка, содержащими, например, упругие связи, широкое применение находят модальные регуляторы (МР) с наблюдателями (Н). Синтез таких регуляторов осуществляют по линеаризованным моделям САУ методом размещения полюсов или путем решения уравнений Риккати [1, 2, 4, 8-10]. Однако на практике результаты синтеза часто требуют оптимизации численными методами с учетом ограничений и нелинейностей, присущих реальным системам.

Закон управления в таких системах (рис. 1) выглядит следующим образом:

u[n] = Kg[n] - KTX0[n],

где g[n], u[n] - дискретные входное и управляющее воздействия; X(t), Xo[n] - m-вектор состояния дискретного наблюдателя (observer); KT -m-вектор-строка параметров МР; Kg - коэффициент передачи по входу.

Оптимизируемыми параметрами МР являются элементы KT и параметр K =1/ K , где Ksys = CdT (E- Ad + Bf T) Bd - коэффициентпере-дачи замкнутой дискретной системы.

Синтез цифровых МР

Синтез САУ рассматриваемого класса методом размещения полюсов проводится в три этапа (рис. 1):

1) синтезируют дискретный наблюдатель m-го порядка, где m - порядок модели ОУ;

2) синтезируют замкнутую дискретную систему m-го порядка с МР, но без наблюдателя;

3) моделируют непрерывно-дискретную систему 2т-го порядка с наблюдателем для проверки полученных результатов синтеза.

Могут использоваться наблюдатели с различными структурами (базисами переменных состояния), имеющими разное количество параметров. Если структура наблюдателя соответствует структуре дискретной модели ОУ с матрицей Лл , все элементы которой могут быть ненулевыми даже при сильно разреженной матрице ОУ, то количество параметров наблюдателя (число выполняемых операций умножения) может достигать значения (т х т + 3т). При использовании наблюдателя с канонической структурой, соответствующей дискретной модели ОУ в форме наблюдаемости с матрицей Ло и векторами Во и Ь , общее количество параметров наблюдателя равно 3т. Кроме того, при синтезе канонического наблюдателя методом размещения полюсов его параметры рассчитываются значительно проще, без составления и решения алгебраической системы.

Рассмотрим этапы компьютерного синтеза цифровых САУ рассматриваемого класса (рис. 1).

На этапе 1.1 осуществляется дискретизация модели ОУ и каноническое преобразование полученной дискретной модели с помощью соответствующей матрицы Р :

= P1 AP ; B = P1 B ;

o d o o o d7

CT = CTP .

o do

На этапе 1.2 выбирается эталонный характеристический полином Q*o(z) т-й степени с желаемым размещением корней (полюсов замкнутого дискретного наблюдателя) внутри круга единичного радиуса на комплексной ¿-плоскости.

На этапе 1.3 вычисляется вектор Ьо = (Ь Ь2о, ..., Ь )т, от значений элементов которого зависят

7 то' 7 А

собственные числа матрицы Ло - ЬСО наблюдателя и его динамические свойства. Поскольку матрица Ло имеет каноническую форму, то характеристический полином наблюдателя выглядит

0

следующим образом:

ео(г) = det(zE - Ло + ЬС] ) = = zm + (а + I Ът-1 + ... + (а„ + Ц )z + а + Ь .

4 т то' 4 2 2о' 1 1о

Из условия равенства коэффициентов характеристических полиномов

№ = №)

(1)

получаем выражения для определения параметров дискретного наблюдателя:

Ь = а * - а; I = 1,

, т,

где а* - коэффициенты его эталонного полинома.

При синтезе дискретного наблюдателя с неканонической структурой для определения его параметров требуется решить систему алгебраических уравнений, соответствующую условию (1). Также можно воспользоваться формулой Аккер-мана [9, 10], принимающей в рассматриваемом случае следующий вид:

Ьх =<р(Д,)

СТ А Ст А2

ГТ дт-1

где матрица наблюдаемости формируется из матрицы Ла и вектора-строки Сйт, а матрица ф(Лй) соответствует эталонному характеристическому полиному наблюдателя:

ф(Л ,) = Лт + а* Лт-1 + ... + а* Л, + а* Е.

т 4 а' а то а 2о а 1о

На этапе 2.1 в целях упрощения синтеза МР строится каноническая дискретная модель ОУ в форме управляемости. Для этого с помощью соответствующей матрицы Г можно преобразовать дискретную модель ОУ, либо преобразовать дискретную каноническую модель, используя матрицу Тос:

Л = Т 1 Л Т ; В = Т 1 В ; Ст = Ст Т .

ос с осу

На этапе 2.2 для дискретной САУ, замкнутой через МР, выбирается эталонный характеристический полином в*^) т-й степени с желаемым размещением корней (полюсов системы) внутри круга единичного радиуса на комплексной 2-плоскости.

На этапе 2.3 для дискретной системы с канонической моделью ОУ в форме управляемости вычисляются элементы вектора-строки

Рис. 1. Этапы синтеза цифровых МР

КС = (К1с, К2с, ..., Ктс) обратных связей МР, от значений которых зависят собственные числа матрицы Лс - Вс Кст замкнутой дискретной системы и ее динамические свойства. Поскольку матрица Л имеет каноническую форму, то характеристический полином системы выглядит следующим образом:

ва(?) = det(zE - Лс + В К) =

= zm + (а + К ^т-1 + ... + (а + кп )z + а + К .

4 т тс' 4 2 2с' 1с 1с

Из условия равенства коэффициентов характеристических полиномов

в»=в » (2)

получаем выражение для определения параметров дискретного МР

К = а* - а.; I = 1, ..., т,

1С 1С Р 7 7 7

где а*с - коэффициенты эталонного полинома дискретной системы.

Но, поскольку в обратной связи реальной системы используется вектор состояния наблюдателя X, а не модели объекта управления X, параметры регулятора необходимо пересчитать по формуле:

Кт = Кт Т-1,

С оС

где ТоС - матрица прямого преобразования дискретной модели из формы наблюдаемости в форму управляемости, вычисленная на этапе 2.1.

Если синтез проводится с использованием неканонической модели ОУ, то для определения параметров МР необходимо составить и решить систему алгебраических уравнений, соответствующую условию (2). Также можно воспользоваться формулой Аккермана, принимающей в данном случае следующий вид:

кт = [° 0 ... 0 л Вл Л2Вл ... Л;-1 ВлГфЛХ

где [ВаЛаВа Л2В^ ... ЛГ Ва] - матрица управляемости дискретной модели ОУ; ф(Ла) - матрица,

удовлетворяющая эталонному характеристическому полиному дискретной системы

ф(Л.) = Лт + а* Лт-1 + ... + а* Л, + а* Е.

т 4 а' а тс а 2с а 1с

На 3-м этапе проводится верификация результатов синтеза наблюдателя и МР путем компьютерного моделирования вначале дискретной, а затем непрерывно-дискретной САУ с проверкой ее показателей качества. При этом анализируется влияние собственной динамики дискретного наблюдателя на динамику САУ в целом, а также ее грубость и робастность. При неудовлетворительных результатах осуществляется возврат к предыдущим этапам, на которых уточняется размещение корней эталонных характеристических полиномов наблюдателя и МР внутри круга единичного радиуса на комплексной 2-плоскости.

Изложенная методика предлагалась в [7] для синтеза цифровых электроприводов мобильных роботов, содержащих упругие связи в механических передачах.

Рассмотрим постановки и решения задач оптимизации цифровых САУ с МР на основе минимизации интегральных критериев, косвенно оценивающих динамические показатели системы.

Оптимизация цифровых МР

На практике могут выбираться критерии следующих видов [3, 6, 11]:

Jl(e,X) = \- т{е2[п]+с(Уе[п]/Т0)2+ ги2[и]); (3)

N п=о

12(Х[п],Х) = ±-"±\хт[пШ [п]+ги2[п]), (4)

N п=о

где е[п] = g[n] - у[п] - ошибка между ступенчатым входным воздействием и выходом системы; Уе[п] = е[п] - е[п - 1] - конечная разность ошибки; и[п] - управляющее воздействие; (с, г) - весовые коэффициенты; Х[п] - вектор состояния объекта управления; Q - симметрическая положительно полуопределенная весовая матрица.

Интегральные критерии (3) и (4) можно оценивать (вычислять) при любом характере переходных процессов в САУ. Однако такая оптимизация сопряжена с субъективностью выбора весовых коэффициентов критерия. При неудачном задании их получаемые настройки параметров регуляторов могут оказаться не самыми оптимальными, с технической точки зрения.

Минимумам 3 и в общем случае соответствуют экстремали (переходные характеристики ^[п]) с перерегулированием. Для его снижения или полного исключения следует увеличивать значения весовых коэффициентов (с, г) или элементов матрицы Q. Критерий 32 используется также при алгебраическом синтезе МР на основе решения уравнения Риккати [2, 5].

Оба критерия можно применять для оптимизации САУ с нелинейными моделями ОУ, модальными и любыми другими типами регуляторов. При оптимизации МР для вычисления критерия 32 в качестве вектора состояния Х[п] нелинейного ОУ, который не измеряется, можно использовать вектор состояния линейного наблюдателя X [п].

Оптимизацию итерационными численными методами можно более эффективно проводить не в пространстве параметров регулятора, а в пространстве параметров используемого метода синтеза.

На схеме такой оптимизации (рис. 2) процедуры синтеза МР и анализа динамики САУ вложены в общий итерационный процесс оптимизации по выбранному критерию. При этом компьютерный синтез МР осуществляется целенаправленным образом, а не методом проб и ошибок. При анализе динамики САУ в ее модели может учитываться ограничение на амплитудные значения выхода регулятора |и[п]| < и .

Рис. 2. Схема оптимизации МР, совмещенной с синтезом

Чувствительность динамики САУ и, следовательно, критериев к непосредственным вариациям параметров МР процедурой применяемого итерационного метода оптимизации обычно оказывается высокой. При этом устойчивость САУ не гарантируется. Чувствительность же критериев к вариациям параметров метода синтеза может быть ниже, а процедура синтеза может регуляри-зировать процесс оптимизации. Кроме того, на варьируемые параметры метода синтеза проще накладывать прямые ограничения по устойчивости САУ и другим условиям.

В методе размещения полюсов число варьируемых параметров т равно количеству параметров МР. При этом итерационную оптимизацию, совмещенную с синтезом, можно проводить в пространствах комплексных или только вещественных полюсов. При оптимизации МР на основе решения уравнения Риккати параметрами метода синтеза являются коэффициент г и элементы матрицы Q в квадратичном критерии (4). При задании матрицы Q диагонального вида размерность пространства параметров метода синтеза можно снизить до (т + 1). Но при вариациях весовых коэффициентов в процессе оптимизации устойчивость САУ будет обеспечиваться алгебраическим методом синтеза лишь при условии сохранения выпуклости квадратичного критерия.

Примеры оптимизации

Для ОУ 3-го порядка с передаточной функцией

Щ5) =

К

(7> + 1)(Г252 + 2^75+1)

векторно-матричная модель имеет следующую

структуру:

{ \

г \ О

0 1 0

1 1

т гр 2

1

0 0

т У

о £

Т

ч-чу

я,=

Л

;С£=(1 0 0).

Задав значения К = 100, Т1 = 0,005 с, Т = 0,05 с, £ = 0,5 с и приняв период дискретности Т0 = 0,01 с, осуществим дискретизацию модели и преобразуем ее к канонической форме наблюдаемости:

'0 0 -аЛ

А. =

где

1 0 -а2

ч0 1 -я3у

■>в0 =

\.Ьз;

;с* = (о о 1),

а1 = -0,1108; а2 = 1,06; а3 = -1,9179;

Ь1 = 0,0276; Ъ2 = 0,203; Ь3 = 0,0818.

При синтезе наблюдателя с канонической структурой зададим для его эталонного характеристического полинома вектор трех полюсов

P = [0,05; 0,1 + 0,5 /'; 0,1 -0,5 /]

и определим значения вектора обратных связей и коэффициент передачи наблюдателя:

LTo = [0,0978; -0,7900; 1,6679];

K = Cт (Е - A + LC T)-1B = 0,3103.

о о 4 о о о' о ^

Моделированием можно проверить, что при подключении синтезированного наблюдателя к ОУ ошибка наблюдения имеет малые значения.

При предварительном синтезе МР зададим для эталонного характеристического полинома замкнутой дискретной системы такой же вектор полюсов Р, как и при синтезе наблюдателя, и найдем значения векторов обратных связей регулятора и коэффициент передачи системы:

Кт = [0,0978 -0,7900 1,6679];

Кт = К1 То-1 = [2,0953 4,9294 7,4503];

К = Ст (Е - А + ВКт)В = 0,3103;

sys с4 с с с' с '

К = 1/К = 3,2231.

g sys '

Однако моделирование синтезированной цифровой САУ показывает, что ее переходная характеристика имеет достаточно большое перерегулирование. Поэтому проведем оптимизацию МР по критерию Ох, задав весовые коэффициенты (с = 0,5Е - 3; г = 2,0Е - 3), при которых переходный процесс в системе не будет иметь перерегулирования.

Пример 1. В качестве оптимизируемых параметров примем вещественный полюс р1, вещественную р2 и мнимую р3 части пары комплексно-сопряженных полюсов системы:

Р = [р1; р2 + р3*/'; р2 - р3*/'].

Задав начальный вектор Pimt = [0,05; 0,1 + 0,5/; 0,1 - 0,5/] и используя для расчетов параметров МР функцию acker из библиотеки Control System пакета MATLAB, с помощью функции fminsearch через 30 итераций найдем оптимальный вектор полюсов

Popt = [0,0570; 0,1362 + 0,2107i; 0,1362 - 0,2107/] и оптимальные параметры регулятора KTopt = [2,7336 4,8479 6,4651]; Kg opt = 2,3859.

На рис. 3 представлены кривые переходной характеристики и управляющего воздействия, полученные по дискретно-непрерывной модели оптимизированной САУ.

Пример 2. Проведем оптимизацию МР по тому же критерию J, но используя в качестве варьируемых параметров три вещественных полюса замкнутой системы:

Р = [p1; p2; p3].

Задав начальный вектор из трех полюсов Р = [-0,2; -0,2; -0,2] и используя функцию acker для расчетов параметров МР, с помощью функции fminunc через 10 итераций получим оптимальный вектор вещественных полюсов

Popt = [-0,2544 0,1535 -0,0062] и оптимальные параметры регулятора KTOpt = [2,6925 6,1135 8,6759]; К opt = 3,4198.

Кривые переходной характеристики и управляющего воздействия, полученные по дискретно-непрерывной модели оптимизированной САУ, представлены на рис. 4.

Метод размещения полюсов позволяет алгоритмизировать этапы синтеза цифровых МР, при

Рис. 3. Результаты оптимизации в пространстве комплексных полюсов

Рис. 4. Результаты оптимизации в пространстве вещественных полюсов

этом наиболее эффективно синтез проводится по каноническим векторно-матричным дискретным моделям ОУ.

Алгебраический синтез цифровых МР целесообразно осуществлять не традиционным способом проб и ошибок, а совмещая его с итерационной параметрической оптимизацией по критериям различного вида, при этом процедуры синтеза, анализа динамики и оценивания показателей цифровой САУ включаются в общий цикл оптимизации.

Итерационную оптимизацию цифровых САУ, совмещенную с синтезом регуляторов, целесообразно проводить в пространстве полюсов или весовых коэффициентов (параметров метода синтеза), размерность которого не превышает количества параметров регулятора.

Для исключения в САУ статических ошибок, синтез и оптимизацию цифровых МР следует проводить с обеспечением в них астатических свойств по методике, изложенной в [3, 6].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Изерман, Р. Цифровые системы управления [Текст]/Р. Изерман; пер. с англ. -М.: Мир, 1984.

2. Козлов, В.Н. Теория автоматического управления [Текст]/В.Н. Козлов, В.Е. Куприянов, В.А. Троицкий [и др.]. -М.: Высш. шк., 2006.

3. Козлов, В.Н. Теория автоматического управления. Компьютерные технологии: учеб. пособие [Текст]/ В.Н. Козлов, Н.В. Ростов. -СПб.: Изд-во Политехн. унта, 2008.

4. Куо, Б. Теория и проектирование цифровых систем управления [Текст]/Б. Куо; пер. с англ. -М.: Машиностроение, 1986.

5. Методы классической и современной теории автоматического управления: учеб. в 3 т. [Текст]/Т. 2: Синтез регуляторов и теория оптимизации систем автоматического управления; под ред. Н.Д. Егупова. -М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.

6. Ростов, Н.В. Компьютерные технологии в науке. Синтез и оптимизация: учеб. пособие [Текст]/Н.В. Ростов. -СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2008.

7. Ростов, Н.В. Методика компьютерного синтеза цифровых электроприводов мобильных роботов с наблюдателями состояния [Текст]/Н.В. Ростов, А.М. Щепановский//Экстремальная робототехника: Матер. X науч.-техн. конф. -СПбГТУ, 1999.

8. Franklin, G.F. Feedback Control of Dynamic Systems: 4 ed [Текст]Ю.Е Franklin, J.D. Powell, A. Emami-Naeini. -Upper Saddle River: Prentice Hall, 2002.

9. Ogata, K. Discrete-Time Control Systems: 2 ed [Текст]/К. Ogata.-Upper Saddle River: Prentice Hall, 1995.

10. Ogata, K. Modern Control Engineering: 4 ed [Текст]/К. Ogata.-Upper Saddle River: Prentice Hall, 2002.

11. Rostov, N.V. Computer-Aided Design of Digital Control Systems [Текст]/№У Rostov, S. Chae, Y.S. Oh. -St. Petersburg: SPbSTU Publishing Center, 2001.