CC BY
17
могли бы решаться на более низком уровне, что уменьшает эффективность системы управления в целом.
В системах управления с нерационально распределенными функциями наблюдается увеличение плотности информационных потоков и рост объема неиспользуемой информации, особенно на верхних уровнях управления.
Нерациональное распределение функций между подсистемами и звеньями различного уровня в существующих системах управления в ряде случаев не является очевидным и может
СПИСОК Л
1. Макаров, И.М. Теория выбора и принятия решений: Учеб. пособ. [Текст]/И.М. Макаров, Т.М. Вино-градская [и др.].-М.: Наука, 1982.-328 с.
2. Теория прогнозирования и принятия решений: Учеб. пособ. [Текст]/Под общ.ред. С.А. Саркисяна.-М.: Высш. шк., 1997.-351 с.
3. Штойер, Р. Организационные структуры управления [Текст]/Р. Штойер. -М.: Радио и связь, 1992. -324 с.
4. Мушик, Э. Методы принятия технических решений [Текст]/Э. Мушик, П. Мюллер; Пер. с нем. -М.: Мир, 2000.-208 с.
5. Блекуэл, Д. Теория игр и статистических ре-
быть выявлено только в результате тщательного анализа этих систем.
Для оценки структуры системы управления ОТС, что связано со сложными взаимоотношениями человек-машина, в настоящее время разработано значительное количество методик. Однако во многих из них большое число допущений и ограничений, что снижает их ценность. В связи с этим авторами статьи предлагается в следующих выпусках журнала развить идею оценки системы управления и представить на суд читателей их взгляды на эту проблему.
ГЕРАТУРЫ
шений [Текст]/Д. Блекуэл, М. Гиршик. -М.: Наука, 1972.-327 с.
6. Юдин, Д.В. Вычислительные методы теории принятия решений [Текст]/Д.В. Юдин. -М.: Наука, 1999.-224 с.
7. Шишкин, И.Ф. Квалиметрия и управление качеством: Учебник для вузов [Текст]/И.Ф. Шишкин, В.М. Станякин.-М.: Изд-во ВЗПИ, 2002.-254 с.
8. Anderson, N.H. Foundations of information intégration theory. [Текст]/№Н. Anderson.-NY: Academic Press, 1981.-P. 112-118.
9. Реклейтис, Г. Оптимизация в технике: Кн.1 [Текст]/Г. Реклейтис, А. Рейвиндран, К Рэгсдел; Пер. с англ. -М.: Мир, 1986.-349 с.
УДК 681.3 (075.8)
Н.В. Ростов
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ЦИФРОВЫХ МОДАЛЬНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ НА ОСНОВЕ ПРЯМОГО И КОСВЕННОГО ЗОНДИРОВАНИЯ
В системах автоматического управления (САУ) с цифровыми модальными регуляторами (МР) и наблюдателями состояния объекта управления (ОУ) закон управления выглядит следующим образом:
и[п] = К^п] - КХ[п],
где g[n], и[п] - дискретные входное и управляющее воздействия; К1 - да-вектор-строка параметров МР; К^ - коэффициент передачи по входу; Хо[п] — т -вектор состояния наблюдателя. Расчет параметров МР обычно проводят алгебраически-
ми методами, основанными на желаемом размещении полюсов замкнутой САУ, либо на минимизации квадратичного интегрального критерия с заданными весовыми матрицами и решении соответствующего уравнения Риккати [1, 3, 9]. Компьютерные технологии параметрического синтеза аналоговых и цифровых МР по каноническим векторно-матричным моделям ОУ методом размещения полюсов, а также по формулам Ак-кермана и уравнениям Риккати с использованием неканонических моделей описаны в [2, 6].
Однако при неудачном размещении полюсов или задании весовых матриц синтезированная САУ может иметь неоптимальные показатели качества переходного процесса. Кроме того, на практике параметры регулятора, как правило, требуют оптимизации с учетом нелинейностей в ОУ и ограничения по уровню выхода регулятора |м[и]| < Ц . В [5] изложена методика однокри-териальной параметрической оптимизации МР, совмещенной с алгебраическим синтезом и проводимой в пространстве полюсов или элементов весовых матриц на основе итерационной минимизации интегрального критерия простого вида, оценивающего динамику САУ по ее нелинейной модели. Но такая оптимизация также сопряжена с субъективностью задания весовых коэффициентов для минимизируемого критерия и поэтому не гарантирует настройки параметров регулятора, наилучшей с технической точки зрения.
Наиболее корректным подходом к параметрической оптимизации САУ является многокритериальный подход, базирующийся на многовариантном выборе решений из области Парето-оптимальных значений [4, 8]. Выбираемым при этом настройкам регулятора соответствуют предельно достижимые динамические возможности оптимизируемой САУ. Традиционно поиск таких настроек проводят методами свертки векторного критерия, либо путем прямого зондирования на сетке значений в многомерном пространстве параметров регулятора, что требует значительных затрат машинного времени из-за большого числа циклов моделирования динамики САУ. Ниже предлагается методика МК-оптимизации цифровых МР на основе прямого и косвенного зондирования, проводимого на сетке параметров алгебраического метода синтеза, эффективность применения которой повышается за счет анализа устойчивости замкнутой САУ в узлах сетки и исключения циклов моделирования в неустойчивых узлах.
Постановка задачи МК-оптимизации
Рассматривается задача минимизации ¿-вектора частных критериев
^(Х) = [ Щ), ..., ,£(Х)]Т /] (X) ^ шт, ] = 1Д.
1 ХеВт
где X - т-вектор оптимизируемых параметров; Вт :{ДХ) <- область их допустимых значений,
задаваемая критериальными ограничениями и условиями устойчивости САУ. Область Парето-оптимальных значений параметров определяется по результатам отображения области Dm на пространство частных критериев. Оптимизируемыми параметрами МР являются элементы вектор-строкиКт, атакже вычисляемый параметр K = 1/K
* ' * * g sys
где Ksys = C](E - Ad + B/7)-1Bd - коэффициент передачи замкнутой дискретной САУ.
Конкретная постановка задачи МК-оптимизации зависит от выбора частных критериев, а эффективность ее решения - от используемого способа зондирования.
Например, векторный критерий может быть задан совокупностью интегральных оценок простого вида, вычисляемых при любом характере переходного процесса в САУ:
F(X) = [(1/N)£>2M, (1/N)X(V^x
п=0 п=0 (1)
N
х[п]/Г0)2, (1/N)X"2WL
п=О
где e[n] = g[n] - y[n] - ошибка системы; yy[n] = = y[n] - y[n — 1] - конечная разность выходной координаты; T - период дискретности. Первый частный критерий характеризует динамику процесса в целом, второй косвенно оценивает степень его колебательности, а третий определяет затраты на управление.
Можно использовать векторный критерий непосредственно из оценок прямых показателей качества САУ, таких, как время первого согласования t время переходного процесса tn и перерегулирование о:
F(X) = [ti(X), tn(X), о (X)]T, (2)
но эти показатели не всегда могут быть определены по результатам моделирования САУ.
Можно также комбинировать в векторном критерии прямые показатели качества с интегральными оценками, например, следующим образом:
F(X) = [in(X), о(Х), (l/N)f>2[n]]T.(3)
л=0
Зондирование многомерного пространства параметров может осуществляться на сетках различных типов: кубической, случайной, равномерной, а также комбинированных. Недостаток кубической сетки - затенение пробными точками друг друга (совпадение их проекций), что уменьшает общее число вариаций значений параметров. На
случайной сетке в получаемых отображениях могут появляться большие зоны, в которые не попали пробные точки. Равномерная сетка лишена недостатков кубической и случайной сеток, но имеет более сложный алгоритм расчета узлов [7].
На практике Парето-множество значений параметров регулятора определяют по оценкам частных критериев в узлах заданной сетки путем многократного моделирования динамики САУ. При этом моделирование необходимо проводить с учетом ограничения выхода регулятора, иначе оптимизация может терять практический смысл.
МК-оптимизация на основе прямого зондирования
Прямое зондирование проводится на сетке значений элементов К. в да-мерной области, заданной их ограничениями:
При числе параметров да > 3 такое зондирование сопряжено с большими затратами машинного времени на моделирование. Например, если шаг сетки каждого из параметров составляет 5 % диапазона его изменения, то общее количество узлов сетки будет равно 20да. Следовательно, для трех параметров потребуется 8 тыс. циклов моделирования.
Так как прямое зондирование не гарантирует устойчивость САУ во всех узлах, то для снижения
Рис. 1. Схема МК-оптимизации на основе прямого зондирования
затрат машинного времени целесообразно предварительно анализировать в каждом узле устойчивость САУ и проводить затем моделирование ее динамики только в узлах с заданным запасом устойчивости (рис. 1).
Наиболее эффективным с алгоритмической точки зрения является критерий устойчивости, вычисляющий норму переходной матрицы САУ. Для устойчивости цифровой системы требуется, чтобы
|А || < е < 1, (4)
где А = (Е - Лл + В К ) - матрица замкнутой дискретной САУ; = Т А/Т - число тактов (периодов дискретности Т0 ) переходного процесса; е - параметр, задающий запас устойчивости. Вычисление переходной матрицы в критерии (4) целесообразно производить по рекуррентному алгоритму ее быстрого возведения в степень:
Л2к = Л24-1 • А24-1
где к = 1, ..., М; N = шипа(1п(Тепа/То)); М^ = 2м. При асимптотической устойчивости САУ норма переходной матрицы стремится к нулю, а на границе устойчивости ее значения колеблются в диапазоне [1 ^ 2].
В качестве окончательного Парето-оптимального решения выбирается компромиссный вариант, в наибольшей степени удовлетворяющий требованиям технического задания и предпочтениям проектировщика. При отсутствии такого решения осуществляется возврат к предшествующим процедурам для изменения области зондирования, типа сетки, увеличения количества узлов или ослабления критериальных ограничений.
МК-оптимизация на основе косвенного зондирования
При косвенном зондировании (рис. 2) параметрами сетки являются вещественные и мнимые части полюсов, размещаемых в узлах, либо, при синтезе на основе решения уравнения Риккати, элементы весовой матрицы Q и весовой коэффициент г квадратичного интегрального критерия:
J =^гХ{хЧпШХ[п]+ги2[п]), (5)
л=0
где Х[п] - вектор состояния ОУ.
В первом случае задаваемые в узлах сетки полюса должны быть на комплексной плоскости внутри круга единичного радиуса, а во втором -
Рис. 2. Схема МК-оптимизации на основе косвенного зондирования
должна обеспечиваться выпуклость квадратичного критерия. В обоих случаях алгебраического синтеза целесообразно анализировать устойчивость замкнутой САУ в узлах по критерию нормы переходной матрицы.
Примеры МК-оптимизации
Осуществим поиск Парето-оптимальных настроек параметров МР для системы с ОУ 3-го порядка, имеющего передаточную функцию:
К
(Т^ + ЩТ^2 + +1)'
где К = 10; Т1 = 0,005 с; Т = 0,05 с; £ = 0,5. Период дискретности примем равным Т1 = 0,005 с, а ограничение выхода регулятора и = 10.
Пример 1. Проведем прямое зондирование параметров МР, используя векторный критерий (1) и применяя комбинацию кубической и случайной сеток с общим числом узлов, равным 432. Зададим также параметр е = 10-5, определяющий запас устойчивости в критерии (4).
На рис. 3 представлены результаты моделирования с оценками частных критериев в 67 узлах, устойчивых с заданным запасом. Тремя разными маркерами отмечены Парето-оптимальные варианты решений с минимальными значениями частных критериев (по отдельности). Этим вариантам на рис. 4 соответствуют полученные по дискретно-непрерывной модели САУ с МР и наблюдателем кривые управляющих воздействий и
0,18 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08
I I I I
•
• ► А » • • г и * • ь
▲ •• • • • % * • а : » •• 1 _| •
• 1 1
1
10 12
14
К,
600 500
<Ъ
г400 Е
<° 300
и
Л"..
* V-
■ •
\ ч •
200
0,05 0,06 0,07 зит(е2)
0,08
7 6 5
"Ъ 4
¡3 01
1 1« 1 \
•У
1 *»
V.
•• * *
1 1 1«
1 1 1 1 1 1
2 1
0,05 0,06 0,07 0,08 зит(е2)
Рис. 3. Результаты прямого зондирования
Рис. 4. Парето-оптимальные переходные процессы
переходных характеристик, обозначенные буквами А, В и С.
Пример 2. Выбрав векторный критерий вида (2), проведем косвенное зондирование параметров МР на сетке трех полюсов замкнутой системы
^еур Rey2 + Дт^, Rey2 - 71ту3} внутри круга единичного радиуса.
Результаты косвенного зондирования представлены на рис. 5, где трем выбранным вариантам размещения полюсов, отмеченным разными маркерами, соответствуют кривые управляющих воздействий и переходных характеристик, обозначенные на рис. 6 буквами А, В и С.
Для выбранных вариантов размещения полюсов получили следующие Парето-оптимальные
СТ,%
15
10
СТ,%
5 ^
15
10
0,01 0,02 0,03 0,04
Рис. 5. Результаты зондирования в пространстве полюсов
J_I_
О 5 10 15 20
8ит(и2)
Ч-И
значения параметров МР:
К^ = [9,42 0, 099 0,132]; К^ К\ = [7,918 0,100 0,134]; К^ К С = [5,492 0,0797 0,115]; К'
Пример 3. Проведем косвенное зондирование на сетке коэффициента г и диагональных элементов весовой матрицы квадратичного интегрального критерия (5)
Q = 022, 033)
с алгебраическим синтезом МР в узлах на основе решения уравнения Риккати и оцениванием частных критериев по нелинейной модели САУ.
Рис. 6. Парето-оптимальные переходные процессы
Выбранным вариантам значений весов (рис. 7) соответствуют решения уравнения Риккати, обеспечивающие Парето-оптимальные переходные процессы, представленные на рис. 8.
9,65; 8,15; 5,707.
х 1(Г
10
<Э,
22
10
X Ю"5
Таким образом, показано, что многокритериальную оптимизацию цифровых МР эффективнее проводить, осуществляя косвенное зондирование в пространстве полюсов или весовых коэффициентов с совмещенным алгебраическим синтезом в узлах. По сравнению с прямым зондированием зондирование на сетке параметров метода синтеза
.-5
х 10~
10
а
33
10
хю"5
ст,%
I
I I I I
£ □ А
I
10
20
х 10"*
а, %
ю
зит(и [п])
Рис. 7. Результаты зондирования в пространстве весов
и[п]
л1 J10
I
tT
-10
ив[п] 10
о -10
0,01 0,02 0,03
Ж
"с[п] 10
О -10
О 0,01 0,02 0,03
О 0,01 0,02 0,03 t,c
0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03
t, с
Рис. 8. Парето-оптимальные переходные процессы
проводится только в области устойчивости САУ. При этом общие затраты машинного времени дополнительно сокращаются за счет моделирования динамики САУ только в узлах, устойчивых с заданным запасом.
Для исключения в САУ статических ошибок многокритериальную оптимизацию МР следует проводить с обеспечением в них астатических свойств, используя методику синтеза, изложенную в [2, 6].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Козлов, В.Н. Теория автоматического управления [Текст]/В.Н. Козлов, В.Е. Куприянов, В.А. Троицкий [и др.].-М.: Высш. шк., 2006.
2. Козлов, В.Н. Теория автоматического управления. Компьютерные технологии: Учеб. пособ. [Текст]/ В.Н. Козлов, Н.В. Ростов.-СПб.: Изд-во Политехн. унта, 2008.
3. Куо, Б. Теория и проектирование цифровых систем управления [Текст]/Б. Куо; Пер. с англ.-М.: Машиностроение, 1986.
4. Подиновский, В.В. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач [Текст]/В.В. Подиновский, В.Д. Ногин.-М.: Наука, 1982.
5. Ростов, Н.В. Параметрическая оптимизация
цифровых модальных регуляторов [Текст]/Н.В. Ро-стов//Научно-технические ведомости СПбГПУ-2010. -№ 3.-с. 39-44.
6. Ростов, Н.В. Компьютерные технологии в науке. Синтез и оптимизация: Учеб. пособ. [Текст]/ Н.В. Ростов.-СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2008.
7. Соболь, И.М. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями [Текст]/И.М. Соболь, Р.Б. Статников.-М.: Наука, 1981.
8. Черноруцкий, И.Г. Методы оптимизации в теории управления: Учеб. пособ. [Текст]/ И.Г. Черноруцкий.-СПб.: Питер, 2004.
9. Ogata, K. Discrete-Time Control Systems: 2 ed. [Текст]/К. Ogata.-Upper Saddle River: Prentice Hall, 1995.
