Многокритериальная оптимизация цифровых последовательных регуляторов высокого порядка методами прямого и косвенного зондирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

-►

Проблемы передачи и обработки информации

УДК 681.3 (075.8)

Н.В. Ростов

многокритериальная оптимизация цифровых последовательных регуляторов высокого порядка методами прямого и косвенного зондирования

В микропроцессорных САУ наряду с типовыми ПИ-, ПД- и ПИД-регуляторами широкое применение находят последовательные регуляторы (ПР) высокого порядка (рис. 1), в передаточной функции которых В() = / Н(г) полиномы

т т-1

О(г) = Xи Н(г) = ИУ-1 имеют

'■=1 /=1 степень (т — 1), где т - порядок модели объекта

управления (ОУ). Процедуры синтеза таких регуляторов алгебраическим методом размещения полюсов рассмотрены в [1, 2]. Но на практике синтезированные параметры , И.} часто не обеспечивают желаемых показателей качества замкнутой системы из-за их зависимости не только от полюсов, но и от нулей, а также от нелиней-ностей, присущих реальным САУ.

В [4] предложены технологии оптимизации ПР итерационными методами по скалярным интегральным критериям, оцениваемым по нелинейной дискретно-непрерывной модели САУ с учетом ограничения выхода регулятора \и[п]\ < и^. Так как число параметров регулятора (2т — 1) достаточно велико и их значения варьируются в широких пределах, было рекомендовано проводить оптимизацию в пространстве полюсов замкнутой САУ, совмещая ее с алгебраическим син-

тезом. Однако однокритериальная оптимизация сопряжена с субъективностью задания весовых коэффициентов интегрального критерия, поэтому получаемые настройки регулятора могут оказываться не лучшими с технической точки зрения. Более корректным является многокритериальный (МК) подход к оптимизации, позволяющий осуществлять Парето-настройку параметров регулятора с учетом предельно достижимых динамических возможностей САУ.

Ниже предлагается методика МК-оптими-зации цифровых ПР высокого порядка методами зондирования с применением генетического алгоритма. При этом основное внимание уделяется повышению эффективности процесса оптимизации за счет совмещенного алгебраического синтеза и анализа устойчивости замкнутой САУ в генерируемых узлах сетки с целью исключения циклов моделирования в узлах с неустойчивой и нежелательной динамикой.

Постановка задачи векторной оптимизации

Конкретные постановки задач МК-опти-мизации определяются выбором частных критериев. Например, векторный критерий может быть совокупностью интегральных квадратичных оце-

Рис. 1. САУ с цифровым ПР

нок, вычисляемых при любом характере переходного процесса в САУ:

N N

^(0) = [(1/ N)Xе2[п], (1/ N)Xи2[п]], (1)

п=0 п=0

где 0 = ^,..., gm, \,..., )т - вектор оптимизируемых параметров регулятора; е[п] = g[n\ -- .У[п] - ошибка системы; и[п] - управляющее воздействие. Первый частный критерий характеризует динамику процесса в целом, а второй - оценивает энергозатраты на управление.

Можно также использовать прямые показатели качества САУ, такие, как время переходного процесса tП и перерегулирование о:

р(0) = Рп (0), а(0)]т, (2)

но они не всегда могут быть определены по результатам моделирования.

В общем случае можно комбинировать в векторном критерии интегральные оценки с прямыми показателями качества:

Р(0) = ^£е'[п] ЛЕи2[п], ^,о)т. (3)

^ п=0 ™ п=0

На практике МК-оптимизацию рекомендуется проводить, используя два векторных критерия разных типов. Критерий вида (1) из квадратичных оценок целесообразно использовать в качестве рабочего при зондировании для генерирования узлов в окрестности искомой Парето-границы. По критерию вида (2), составленному из прямых показателей, также оцениваемых в процессе зондировании, следует осуществлять отбор альтернативных вариантов Парето-решений. Выбор окончательного варианта Парето-решения необходимо производить по обоим критериям с учетом требований технического задания и предпочтений лица, принимающего решение (проектировщика).

Эффективность проведения МК-оптимизации во многом зависит от используемых методов поиска Парето-решений. Наиболее часто применяют методы свертки векторного критерия [3, 6], либо зондирование на сетке значений в пространстве параметров регулятора. Однако прямое зондирование неэффективно по затратам машинного времени и не гарантирует устойчивости САУ в узлах. Совмещенное с синтезом зондирование в пространстве полюсов может осуществляться в области устойчивости САУ. При косвенном зондировании по условию устойчивости цифровой САУ узлы-полюса следует формировать на

комплексной плоскости внутри круга единичного радиуса. При этом должны варьироваться и вещественные, и мнимые части полюсов.

Зондирование можно проводить на многомерных регулярных или случайных сетках, выделяя узлы, образующие Парето-границу в пространстве частных критериев, и определяя соответствующие Парето-множества полюсов и значений параметров регулятора. Оценивание частных критериев при зондировании следует осуществлять по результатам анализа динамики цифровой САУ по ее дискретно-непрерывной модели, учитывающей ограничение выхода регулятора и другие нелинейности, присущие реальным системам, иначе МК-оптимизация может терять практический смысл.

Зондирование с применением генетического алгоритма и анализом устойчивости

Прямое зондирование на сетке в (2т — 1)-мер-ной области значений параметров регулятора, заданной их ограничениями _____

{gimm < g, < &тах> * = Ъ т Ь

{himln < Ь< ^тах ' * = 1' т - 1 }

сопряжено с большими затратами машинного времени на моделирование. Например, если шаг сетки каждого из параметров составляет 10 % диапазона его изменения, то общее количество узлов сетки будет равно 102т-1. Следовательно, для пяти параметров (при т = 3) потребуется сто тысяч циклов моделирования. Значительно более эффективно зондирование (рис. 2) с использованием генетического алгоритма (ГА), направленное на построение Парето-границы [7].

Рис. 2. Схема процесса МК-оптимизации с прямым зондированием

Рис. 3. Схема процесса МК-оптимизации с косвенным зондированием

При косвенном зондировании (рис. 3) узлами сетки являются вещественные и мнимые части полюсов, общее количество которых также равно (2т — 1). Однако если совмещенный алгебраический синтез проводить по специальным методикам, описанным в [4], то пространство размещаемых полюсов можно сократить до т.

С алгоритмической точки зрения наиболее эффективным критерием анализа устойчивости результатов синтеза в узлах зондирования является критерий нормы переходной матрицы замкнутой системы [1, 5]. Для цифровой (дискретной) САУ устойчивость обеспечивается, если

<\\А-

< в< 1 < 1

(4)

где Лзам - матрица замкнутой САУ; Мепа = = / Т0 - число тактов (периодов дискретности Та) переходного процесса; еш1п, ешгк - параметры, задающие запасы устойчивости.

Вычисление переходной матрицы в критерии (4) целесообразно производить по рекуррентному алгоритму быстрого возведения в степень:

Л2 =Л2 -л2 ,

где к = 1, ..., N; N = ш^Ч^Я;)); Мепй = 2м.

При асимптотической устойчивости норма переходной матрицы стремится к нулю, а на границе устойчивости ее значения колеблются в диапазоне от 1 до 2. Невыполнение неравенс тв (4) будет происходить в случаях переходного гфо-

цесса в САУ со слишком малым или чрезмерно большим запасом устойчивости.

Многовариантный выбор настройки параметров регулятора осуществляется из узлов, которым соответствует Парето-граница в пространстве частных критериев. Выбираемое решение должно в наибольшей степени удовлетворять требованиям технического задания и предпочтениям проектировщика. При отсутствии таких решений осуществляется возврат к первому этапу для расширения области зондирования и повторения процедур на последующих этапах.

Генетический алгоритм является стохастической эволюционной процедурой, поэтому генерируемые узлы в окрестности Парето-границы неоднозначны, а затраты машинного времени на ее выделение обычно оказываются довольно значительными. Анализ устойчивости, совмещенный с процедурой ГА, позволяет существенно сократить общее число циклов моделирования САУ.

Вычисление матрицы замкнутой системы

При анализе устойчивости по критерию (4) необходимо многократно вычислять в узлах зондирования матрицу замкнутой цифровой САУ, которая в случае ОУ т-го порядка и регулятора (т-1)-го порядка имеет следующий вид:

^т п Г<Т

Л =

Л1 - БхБгст -В2С1Т

В1С2

где Л1 - тхт-матрица; В1 — т-вектор-столбец; С1т — т-вектор-строка дискретной канонической векторно-матричной модели ОУ в форме управляемости (см. рис. 1); Л2 - (т - 1) х (т - 1)-матрица; В2 — (т - 1)-вектор-столбец; С2т — (т - ^-вектор-строка; О2 — скалярный параметр канонической векторно-матричной модели последовательного регулятора, соответствующей его дискретной передаточной функции О (г).

В частности, для ОУ третьего порядка и регулятора с передаточной функцией второго порядка

О ( г ) =

gзz + ^ + &

г2 + И2г + И

имеем:

а 1 а 1

Л = а а 1

V-а1 - а 2 - аз у

В =

Г а ^

V 1 У

; Ст = (¿1 Ь2 Ь3) ;

=

Г 0 1 ^

-h2 у

A =

; B =

Г о ^

V1У

с2т = (gl - gз\ Я2 - ЯзА = g3. При этом матрица замкнутой САУ принимает следующий вид:

0 0 0 ^ 1 0 0

-g3b 1 -а1 ~8зЬ 2 -a2 ~8зЬ 3 -a3 gl - g 3 h1 g2 - g 3 h2

0

-b

0

-b.

0

-b

0

-hi

1

-h

где (а. , ¿.) - коэффициенты полиномов знамена- делирования Т А = 0,3 с и значения параметров теля и числителя дискретной передаточной функ- 5тп = 0,01; 8шгк = 0,99, определяющих желаемые ции объекта управления Щх). запасы устойчивости.

Пример 1. Прямое зондирование 5-мерного пространства параметров проведем в ограни-Осуществим оптимизацию по критериям (1) ченной области, включающей в себя точку с наи (2) цифровой следящей системы с Оу третьего чальными значениями параметров, найденными порядка методом размещения полюсов, при которых пере-

^ (я) =_—__ходный процесс в САУ имеет довольно большое

(Г2 52 + 2 Г5 + 1) 5

Примеры векторной оптимизации

где К = 50; Т = 0,05 с; £ = 0,707 . Период дискретности Г0 = 0,005 с, а ограничение выхода регулятора и = 10. Зададим также время мо-

sum(u2)

0,032 0,03 0,028 0,026 0,024

fs

U

''•f+Sb-. <

•¿-Л* '>

ч ••

перерегулирование:

0 = [15 -37 19 0,35 -1,5];

min L ? ? J ?

0 = [18 -34 22 0,60 -0,9].

max l 5 5 j

o, % 20

15

0,075 0,08 0,085 0,09 0,095

sum(e2)

• •

| • I • • • • • • • ■ • • с • • 1 | • •

I I I I

| • ; • 1 :»..: • • •

V • i • • ••• - » • -L----- ---« -#■ м* - -

0,1 0,15 0,2 0,25 (п.

Рис. 4. Парето-оптимальные процессы, полученные при прямом зондировании

В процессе зондирования из 466 узлов, сгенерированных генетическим алгоритмом, было проведено только 171 циклов моделирования САУ с оценками критериев, представленными на рис. 4. Тремя разными маркерами отмечены Парето-оптимальные по критерию (1) варианты решений, которым соответствуют кривые переходных характеристик и управляющих воздействий, обозначенные буквами А, Б и В. Для этих вариантов параметры регулятора имеют следующие значения:

Я1 §2 §3 Ы И2

А: 16,3662 -36,5683 20,4316 0,5448 -1,2400;

Б: 16,7801 -36,5694 20,0579 0,4821 -1,0425;

В: 16,7362 -36,5923 20,0925 0,5446 -1,1892.

Заметим, что по критерию (2) выбранные варианты не являются Парето-оптимальными.

Пример 2. Косвенное зондирование проведем внутри круга единичного радиуса в пространстве пяти полюсов

{Кеу^еу2 + ] 1ту3^еу2 - ] 1ту3,Кеу4 + + 71т у 5Де у 4 - у 1т у5}

в ограниченной области их вещественных и мнимых частей:

0 = [ 0,75 0,75 0 0,75 0];

min L ' ' ' J'

0 = [0,95 0,95 0,2 0,95 0,2].

max L ' ' ' ' 'J

В процессе зондирования с совмещенным синтезом из 466 сгенерированных генетическим алгоритмом узлов было проведено 359 циклов моделирования САУ с оценками критериев, представленными на рис. 5. Тремя разными маркерами отмечены Парето-оптимальные по критерию (2) варианты решений, которым соответствуют кривые переходных характеристик и управляющих воздействий, обозначенные буквами A, Б и В. Для этих вариантов параметры регулятора имеют следующие значения:

g1 g2 g3 hi h2

А: 2,7374 -5,8819 3,1741 0,5668 -1,4708;

Б: 2,9444 -6,3424 3,4308 0,5624 -1,4626;

В: 4,3456 -9,3597 5,0616 0,5216 -1,3920.

Заметим, что по критерию (1) выбранные варианты также являются Парето-оптимальными.

sumfu2)

г •

• А

V •

--Р4 ••• ч;

ytf) 0.6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

О

о, % 20 -

0,12 0,14 0,16 0,18 0,2

•

? 1 • • • •

4 v • • • •

» «"• >■ ■

i .а. • HitHtili 1 S >-fr- «ItMtMMt

sum(e )

0,1

0,15

0,2 0,25

0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

f с 0 0,05 0,1

f,C

Рис. 5. Парето-оптимальные процессы, полученные при косвенном зондировании

Таким образом, показано, что МК-оптимизацию цифровых ПР высокого порядка можно эффективно проводить с использованием ГА, осуществляя прямое зондирование или косвенное зондирование в пространстве полюсов с совмещенным алгебраическим синтезом в узлах. В обоих случаях рекомендовано анализировать устойчивость в узлах зондирования по критерию нормы переходной матрицы и исключать модели-

рование САУ в узлах с заведомо нежелательной динамикой. При этом затраты машинного времени на проведение зондирования значительно сокращаются.

Для исключения статических ошибок в САУ с последовательными регуляторами их МК-оптимизацию следует проводить с обеспечением астатизма, используя соответствующую методику алгебраического синтеза, изложенную в [1].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Козлов, В.Н. Теория автоматического управления. Компьютерные технологии: Учеб. пособие [Текст] / В.Н. Козлов, Н.В. Ростов. - СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2008. - 332 с.

1. Куо, Б. Теория и проектирование цифровых систем управления [Текст] / Б. Куо; пер. с англ. -М.: Машиностроение, 1986. -448 с.

3. Подиновский, В.В. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач [Текст] / В.В. Подиновский, В.Д. Ногин. -М.: Физмалит, 2007. -256 с.

4. Ростов, Н.В. Синтез и компьютерная оптимизация цифровых последовательных регуляторов высокого порядка [Текст] / Н.В. Ростов // Научно-технические ведомости СПбГПУ Сер. Информатика. Телекоммуни-

кации. Управление. -2010. -№ 4. -С. 53-58.

5. Ростов, Н.В. Технологии многокритериальной оптимизации цифровых модальных регуляторов [Текст] / Н.В. Ростов // Сб. науч. тр. XIV Междунар. науч.-практ. конф. Системный анализ в проектировании и управлении, Ч. 2. - СПб.: Изд-во Политехн. унта, 2010. -С. 187-190.

6. Черноруцкий, И.Г. Методы оптимизации в теории управления: Учеб. пособие [Текст] / И.Г. Черноруцкий. -СПб.: Питер, 2004. -256 с.

7. Deb, K. Multiobjective Optimization using Evolutionary Algorithms [Текст] / K. Deb. -John Wiley & Sons, Ltd, Chichester, England, 2001.