Многокритериальное нормирование эталонных моделей в задачах синтеза систем автоматического управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

W (х, у, р) = 12-

61,85 -1

1

(17)

61,85 61,85 W(х,у,р) = 12-[0,985 - 0,0161 • V2].

Используя полученную передаточную функцию, построим расширенные частотные характеристики разомкнутой системы управления.

Как видно из графиков (рис. 5), замкнутая система будет устойчива, а запасы устойчивости по

модулю и по фазе у разомкнутой системы не менее заданных.

Разработанная методика позволяет рассчитывать настройки распределенного регулятора, реализующего пропорциональный закон управления, по заданному значению показателю колебательности, а следовательно, и с требуемой степенью затухания переходного процесса.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дудников, Е.Г. Основы автоматического регулирования тепловых процессов: Учеб. пособие для вузов [Текст] / Е.Г. Дудников. -М., -Л.: Госэнергоиз-дат, 1956. -264 с

2. Ляшенко, А.Л. Частотный анализ объектов с распределенными параметрами с помощью расширенных частотных характеристик [Текст] / А.Л. Ляшенко // Матер. VI науч. конф. Управление и информационные

технологии. -СПб.: ОАО «Концерн «ЦНИИ Электроприбор», 2010. -С. 65-70.

3. Першим, И.М. Анализ и синтез систем с распределенными параметрами [Текст] / И.М. Першин. -Пятигорск: РИА на КМВ, 2007. -244 с.

4. Рапопорт, Э.Я. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределенными параметрами [Текст] / Э.Я. Рапопорт. -М.: Высш. школа, 2003. -299 с.

УДК 681.3 (075.8)

Н.В. Ростов

МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЕ НОРМИРОВАНИЕ ЭТАЛОННЫХ МОДЕЛЕЙ В ЗАДАЧАХ СИНТЕЗА СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Синтез линейных САУ с регуляторами различных типов обычно проводится с использованием явных или неявных эталонных моделей (ЭМ). Такими моделями могут быть желаемая передаточная функция (ПФ) или ЛАХ разомкнутой системы, желаемое размещение полюсов и нулей ПФ замкнутой системы или интегральный квадратичный критерий с заданными матрицами весовых коэффициентов. Параметрическая оптимизация линейных и нелинейных САУ итерационными методами также часто осуществляется по ЭМ, задающей желаемые показатели качества проектируемой САУ.

Однако из-за субъективности выбора ЭМ динамические возможности синтезированной системы могут оказываться не полностью использованными, либо задаваемая эталонной моделью динамика может быть недостижимой для реальной системы из-за энергетических ограничений, влияния нелинейностей или недостаточных запа-

сов робастности при действии внешних возмущений и отклонениях параметров объекта управления (ОУ) от расчетных значений. В связи с этим важное значение имеет оптимизация выбора ЭМ, представляемой в нормированном виде.

В теории автоматического управления разработаны методы нормирования ЭМ по критериям, оценивающим быстродействие, степень устойчивости, колебательность и другие показатели САУ [1, 2]. На практике требуется выбирать ЭМ одновременно по совокупности показателей, следовательно, необходимо многокритериальное (МК) нормирование. При этом векторные критерии, по которым осуществляется нормирование, и структура ЭМ должны соответствовать классу (целевому назначению) САУ и структурным особенностям объекта управления и регулятора.

Ниже предлагается метод МК-нормирования, позволяющий определять Парето-оптимальные значения параметров операторных и векторно-

матричных ЭМ, которым соответствуют наилучшие показатели ЭМ по заданной совокупности критериев.

Известные методы нормирования

Рассмотрим теоретические методы нормирования ЭМ замкнутых систем в форме Вышне-градского с оператором д = а оя, где ао - параметр, масштабирующий время.

При нормировании ПФ в классе низкочастотных фильтров Баттерворса WЭМ (д) = 1 / Qn (д) их переходные характеристики имеют перерегулирование не более 20 % и относительное время переходного процесса тп = ?пю0 = 10 + 20. Характеристические полиномы с рекомендуемыми нормированными коэффициентами имеют следующий вид:

Q2(g) = д2 + 1,4142д +1 ;

Qз(д) = (д + 1)(д2 + д +1 ); Q4 (д) = (д2 + 0,7654д + 1)(д2 +1,8478д +1 );

Q5(д) = (д + 1)(д2 + 0,6180д + 1)(д2 + 1,6180д +1 ).

Значения коэффициентов для полиномов более высокой степени до п = 10 приведены в [1].

При нормировании ЭМ замкнутых систем, представляемых в виде

г (д)=_4д2 + а2 д + Л_

ЭМ(д) дп + Адп-1 +... + Агд + Л,,

параметры А. связаны с коэффициентами характеристического полинома

Qn (••) = sn + ап5п-1 +... + а2 •• + а1 выражениями

А1 = а1 / ап, =1;

Л2 = а2/ га^ ..., Ап = ап / ао.

Для ПФ без нулей (Л2 = 0 и А3 = 0 в числителе) задание параметров знаменателя А. в виде коэффициентов бинома Ньютона обеспечивает равные (кратные) отрицательные вещественные полюса и переходную характеристику ЭМ без перерегулирования. Для получения минимального времени переходного процесса значения А должны обеспечивать комплексные полюса. Для ПФ с одним нулем (А3 = 0 в числителе) рекомендуется задавать параметры знаменателя такими, чтобы полюса имели одинаковые отрицательные вещественные части и мнимые части, образующие арифметическую прогрессию. Для ПФ

с двумя нулями - геометрическую прогрессию. При этом влияние нулей ослабляется, и переходные процессы в ЭМ имеют перерегулирование не более 20 %.

Таблицы значений параметров для таких ПФ с порядком п = 2 + 10 приведены в [2]. Масштаб по времени для нормируемых процессов определяется выбираемым параметром ао = .

По нормированным ПФ замкнутых систем (без нулей, с одним нулем и с двумя нулями) могут определяться эталонные ПФ разомкнутых систем с астатизмом первого, второго и третьего порядка соответственно: щраз/- ^эм(<?) _1_.

эм 9 " " +Л<Г2 +...+4)'

г-(а^ -_+ 1_

Таблицы значений параметров А для таких ПФ с порядком п = 2 + 10 приведены в [2].

Однако значения нормированных параметров ЭМ, определяемые данными методами по условиям желаемого размещения полюсов, по совокупности других важных для САУ показателей могут быть неоптимальными, имеющими лишь рекомендательный характер.

Канонические формы представления ЭМ

Параметры нормированной и используемой при синтезе ПФ вида

Впдп-1 + Вп-хдп-2 +... + В2д + В. .

гэМ(д)=■

дп + Апдп-1 +... + А2 д + А1

ь ••п-1 + ь ,••п-2 +...+М +Ъ

(1)

(2)

связаны следующими выражениями:

А = а / ап = 1;

11 о ' А2 = а2/ ®п-1 ..., Ап = ап / ао ;

В = Ь / а", В, = Ь2 / ..., В = а / а .

1 1 о' 2 2 о ' п п о

Более общими, чем операторная модель (1), являются векторно-матричные ЭМ в формах управляемости и наблюдаемости:

X с = 4 X + Вс О; у = Сс Хс; (3)

X о = Ао Xо + ВО; у = СХо, (4)

где Xc и Xo - векторы переменных состояния в данных канонических базисах; y - скалярный выход ЭМ; G - вектор внешних воздействий; Ac, Bc, Ao, Bo - матрицы; Cc, Co - вектор-строки нормируемых параметров канонических моделей.

В отличие от операторной модели с одним входом, вектор G в векторно-матричных ЭМ (3) и (4) включает в себя также воздействия по переменным состояния, дающие возможность оценивать показатели инвариантности - ошибки при ступенчатых возмущениях для получения более полной информации о динамических возможностях ЭМ.

Нормированные ЭМ можно составлять с обеспечением требуемого порядка астатизма разомкнутой системы, необходимыми условиями которого являются: B1 = Л1 = 1 - для астатизма первого порядка; B1 = Л1, B2 = Л2 - для астатизма второго порядка; B1 = Л1, B2 = Л2, B3 = Л3 - для астатизма третьего порядка. В зависимости от учитываемых параметров B. нормированные ЭМ могут быть без нулей, если только B1 ф 0 ; с одним нулем, если B1 ф 0, B2 ф 0 ; с двумя нулями, если B1 ф 0, B2 ф 0, B3 ф 0 и т. д.

Таким образом, количество нормируемых параметров в различных вариантах ЭМ n-го порядка не превышает m = 2{n -1).

Общая постановка задачи МК-нормирования

Рассматривается задача минимизации вектора частных критериев

F(9) = [/1(9), ... , f (9)] T; fj(9) ^ min ;

J 6e D m

в области значений нормируемых параметров 9 = (Л2, ..., Лп,B2, ..., Bn)T, заданной прямыми и критериальными ограничениями

Dm : {fj (9) < fO }, j = \L.

При этом векторный критерий может быть совокупностью интегральных квадратичных оценок

= ^ÉiLiOL (5)

Nti N

вычисляемых по переходной характеристике ЭМ

произвольного вида, где еэм(i„) = g(tn)~ y3M{tn) и •

УэмЮ - ошибка и производная выхода ЭМ. Первый частный критерий косвенно оценивает быстродействие ЭМ, а второй - ее колебательность.

Частными критериями могут быть прямые показатели качества - относительное время пере-

ходного процесса и перерегулирование:

^(0) = [тп, с] т, (6)

но они не могут быть определены в случаях сильно колебательной или расходящейся переходной характеристики ЭМ.

Векторный критерий может включать показатели инвариантности ЭМ - динамическую и статическую ошибки:

"ОГ. (7)

оцениваемые при действии ступенчатого внешнего возмущения, и точностные показатели ЭМ -добротности по скорости и ускорению:

^(0) = [Кг, К ] т, (8)

вычисляемые по временной диаграмме при гармоническом входном воздействии.

Комбинации частных критериев (5)-(8) в векторном критерии должны соответствовать классам САУ, для которых нормируются ЭМ. Кроме того, к ЭМ может предъявляться требование положительности вещественной части ее АФЧХ Re{WЭМ(7ю)} > 0 для обеспечения монотонности переходных процессов или требование соответствия показателей ЭМ техническим критериям, таким, как модульный и симметричный оптиму-мы, используемым при настройке контуров тока и скорости в электроприводных системах [3].

Рис. 1. Сценарий МК-нормирования

Определение. Значения вектора нормированных параметров 9* е Ят принадлежат т-мерной области эффективных (Парето-оптимальных) значений Рт е От с Ят, где Бт - область устойчивости ЭМ, если их отображения Е(9*) в пространстве частных критериев сформированного векторного критерия лежат в е-окрестности ¿-мерной левой нижней границы отображения Е(Бт), которая является Парето-границей Е(Рт).

В случаях малости или невыпуклости получаемой Парето-границы, а также при задании

высоких приоритетов для отдельных частных критериев наряду с Парето-оптимальными могут выбираться и малоэффективные значения нормированных параметров, оптимальные по Слей-теру [6].

Поиск Парето-оптимальных параметров ЭМ

На рис. 1 представлена схема алгоритма-сценария проведения МК-нормирования.

На первом этапе выбирается вариант структуры ЭМ с требуемым для синтезируемой САУ

Рис. 2. Результаты нормирования параметров ЭМ без нулей

порядком астатизма и числом нулей. На втором этапе проводится прямое зондирование заданной ограниченной области пространства нормируемых параметров на регулярной или случайной т-мерной сетке значений параметров или целенаправленный поиск Парето-решений с использованием генетического алгоритма (ГА). На третьем в пространстве частных критериев выделяется окрестность Парето-границы и соответствующее ей множество близких к Парето-оптимальным значений нормируемых параметров. На четвертом из Парето-множества выбираются альтернативные варианты значений нормированных параметров, для которых на пятом этапе осуществляется расчет параметров ненормированной ЭМ с использованием параметра ю0, соответствующего желаемому времени переходного процесса в системе t = т /ю„

п п 0

При использовании ГА рекомендуется проводить поиск по принципу двух векторных критериев, предполагающему введение в рассмотрение:

• основного критерия Е (0) невысокой раз-

мерности, формируемого из противоречивых частных критериев квадратичного вида, вычисляемых процедурой ГА при генерировании множества решений и локализации Парето-границы, соответствующей этому критерию;

• дополнительного критерия Едоп(0), составляемого из непротиворечивых и неквадратичных частных критериев, также оцениваемых при зондировании, но используемых на четвертом этапе при отборе альтернативных вариантов Парето-решений, определяемых по основному критерию.

Выбор окончательных вариантов нормированных параметров производится по обоим критериям с учетом требований по синтезу САУ и предпочтений проектировщика (лица, принимающего решение).

Нормирование параметров ЭМ третьего порядка

Пример 1. Осуществим нормирование параметров А2 и А3 эталонной модели без нулей по векторному критерию (6).

0,05

0,04

■ 0,03

(Л

0,02

0,06 0,07 зит(е2)

0,08

25

20 £ 15

о 10

5,5

ч

6,5

1.2

0.8

0.6

0,4

0,2

¡у' __________: А''

/у ' А' : У* , ^ ..........1...Ж____IV........,

: /./ ....... ...........// ■

У/ : // ......../У--г'________________

/'У р/ |

ж ;

\ \ \ 1 1 1

Рис. 3. Результаты нормирования параметров ЭМ с одним нулем

На рис. 2 представлены результаты прямого зондирования на случайной сетке параметров и приведены переходные характеристики для четырех выбранных вариантов их значений, из которых только первые два варианта являются Парето-оптимальными.

Пример 2. Проведем нормирование параметров А2, А3 и В2 эталонной модели с одним нулем, используя при зондировании по основному векторному критерию (5) процедуру ГА.

На рис. 3 приведены переходные характеристики для выбранных четырех вариантов значений нормированных параметров:

1) А2 = 2,3662; А3= 2,6192; В2 = 2,1345;

2) А2 = 2,7402; А3 = 2,4690; В2 = 2,0514;

3) А2 = 3,3167; А3 = 2,8835; В2 = 1,8161;

4) А2 = 3,7845; А3 = 4,6922; В2 = 1,9282.

Последние три варианта являются Парето-

оптимальными и по основному, и по дополнительному критерию (6). Однако при нормировании с учетом критериев (7) и (8) предпочтительнее первый вариант ЭМ с более высоким перерегулированием.

Предложенный метод позволяет нормировать параметры операторных и канонических векторно-матричных ЭМ замкнутых САУ высокого порядка с различной степенью астатизма. Его применение способствует повышению объективности принятия решений в задачах алгебраического синтеза САУ с последовательными и модальными регуляторами по методикам, изложенным в [3].

Разработанный сценарий МК-нормирования по разным векторным критериям с применением процедур зондирования на сетках параметров или генетического алгоритма обеспечивает относительно невысокие затраты машинного времени при расчете таблиц значений нормированных параметров ЭМ замкнутых САУ.

По построенным предложенным методом эталонным моделям с Парето-оптимальными нормированными параметрами могут эффективнее решаться задачи синтеза систем стабилизации и следящих систем со статическими и астатическими ОУ и осуществляться их параметрическая оптимизация с учетом нелинейностей итерацион-

ными методами [4, 5]. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Синтез регуляторов и теория оптимизации систем автоматического управления [Текст] / Под ред. Н.Д. Егупова / Методы классической и современной теории автоматического управления: Учеб. в 3 т.; Т. 2. -М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.

2. Ким, Д.П. Линейные системы [Текст] / Д.П. Ким // Теория автоматического управления. Т. 1. -М.: Физ-матлит, 2007. -312 с.

3. Козлов, В.Н. Теория автоматического управления. Компьютерные технологии: Учеб. пособие [Текст] / В.Н. Козлов, Н.В. Ростов. -СПб.: Изд-во Политехнического ун-та, 2008. -332 с.

4. Ростов, Н.В. Параметрическая оптимизация цифровых модальных регуляторов [Текст] / Н.В. Ростов // Научно-технические ведомости СПбГПУ Сер. Информатика. Телекоммуникации. Управление. -2010. -№ 3 -С. 39-45.

5. Ростов, Н.В. Синтез и компьютерная оптимизация цифровых последовательных регуляторов высокого порядка [Текст] / Н.В. Ростов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Сер. Информатика. Телекоммуникации. Управление. -2010. -№ 4. -С. 53-58.

6. Черноруцкий, И.Г. Методы оптимизации. Компьютерные технологии [Текст] / И.Г. Черноруцкий. -СПб.: БХВ-Петербург, 2011. -384 с.