Последовательная многокритериальная параметрическая оптимизация регуляторов нелинейных систем автоматического управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Федоров, Ю.Н. Основы построения АСУТП взрывоопасных производств.-М.: СИНТЕГ, 2006.-Т. 2.-632 с.

2. Чепайкин, А.А. Система контроля и регистрации параметров индукционной плавильной установки [Текст]/А.А. Чепайкин, Н.Р. Закиров, А.В. Никтин, [и др.]//Изв. Академии инженерных наук имени А.М. Прохорова; Под. ред. Ю.В. Гуляева.-М.-Н. Новгород: НГТУ, 2005.-Т. 15.-С. 102-105.

3. Калявин, В.П. Надежность и диагностика электроустановок: Учеб. пособие [Текст]/В.П. Калявин, Л.М. Рыбаков.-Йошкар-Ола: Мар. гос. ун-т, 2000.-348 с.

4. Костюкова, А.П. Компьютерная термографическая система для неразрушающего мониторинга индукционных тигельных печей [Текст]/А.П. Ко-стюкова//Информационные технологии в науке и

образовании: Междунар. науч.-практ. Интернет-конф.: Сб. науч. тр.-Шахты: ГОУ ВПО «ЮРГУС», 2009.-С. 108-111.

5. Гузаиров, М.Б. Построение информационных моделей измерений в задачах идентификации и диагностики электрических плавильных элементов [Текст]/ М.Б. Гузаиров, А.П. Костюкова//Проектирование инженерных и научных приложений в среде МАПЪАВ: IV Всерос. науч. конф.: Сб. науч. тр.-Астрахань: 2009.-С. 589-590.

6. Гузаиров, М.Б. Мониторинг и диагностика как элементы систем управления техногенными рисками при эксплуатации многосвязных плавильных элементов [Текст]/М.Б. Гузаиров, А.П. Костюкова//Информа-ционные технологии в науке, образовании и производстве ИТНОП-2010: Матер. IV Междунар. науч.-техн. конф.-Орел: ОрелГТУ, 2010.-Т. 3.-С. 152-159.

УДК 681.3 (075.8)

Н.В. Ростов

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНАЯ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ РЕГУЛЯТОРОВ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Синтез систем автоматического управления (САУ) с линейными регуляторами обычно проводят по линеаризованным моделям частотными или алгебраическими методами. Но после синтеза параметры регуляторов часто приходится корректировать с использованием нелинейных моделей САУ, учитывающих ограничения, присущие реальным системам. САУ с нелинейными регуляторами (релейными, квазиоптимальными по быстродействию и др.), как правило, требуют

оптимальной настройки параметров итерационными численными методами.

Задачи оптимизации нелинейных САУ могут формулироваться как задачи однокритериальной (скалярной) либо многокритериальной (векторной) оптимизации (рис. 1).

Наиболее просто настройка параметров регуляторов осуществляется методами скалярной оптимизации, но более корректным является применение многокритериального подхода, базирующегося на

Параметрическая оптимизация САУ

Рис. 1. Варианты задач оптимизации

поиске Парето-оптимальных настроек регуляторов, которым соответствуют предельно достижимые динамические возможности САУ [2, 4, 8].

Поиск Парето-решений обычно проводят методами свертки векторного критерия, либо по результатам прямого зондирования на сетке в многомерном пространстве параметров регулятора, что связано со значительными затратами машинного времени из-за большого числа циклов моделирования динамики САУ.

Целью предлагаемой ниже методики последовательной (поэтапной) МК-оптимизации является сокращение затрат машинного времени за счет локализации Парето-области путем проведения на начальных этапах скалярной оптимизации и зондирования на заключительном этапе векторной оптимизации в ограниченной, достаточно малой области многомерного пространства параметров.

Скалярная оптимизация САУ

При оптимизации с использованием эталонной модели (ЭМ) желаемая динамика цифровой нелинейной САУ может задаваться разностным уравнением, непосредственно переходной характеристикой или табличным способом. В качестве критерия обычно используют сумму квадратов ошибки ем[п], п = 0, N - 1 между выходами ЭМ и системы:

J JV-1

■Л(*) = тгЕ «*[«]-> min N to

(1)

где X - т-вектор оптимизируемых параметров регулятора; О™ - область допустимых значений параметров, обеспечивающих устойчивость САУ.

Задачу оптимизации по ЭМ можно так же формулировать, как нелинейную задачу наименьших квадратов с целевой функцией

N -1

J2( X) = |\F (X )||2 = Х F 2( X)

(2)

i =0

| ^ min

X eDm

использующей значения ошибки в N-векторе невязок

F(X) = (ем[0], ем[1], ..., eJN - 1])T.

Постановки (1) и (2) характерны для задач идентификации, поэтому такой подход к оптимизации можно называть идентификационным. Строго говоря, он не вполне корректен из-за субъективности и неопределенности выбора ЭМ, априорно задающей требования к проектируемой САУ без знания ее потенциальных динамических возможностей.

Интегральные критерии, в отличие от ЭМ, косвенно оценивают динамические свойства САУ. На практике могут выбираться критерии

следующих видов:

лг-1

N и=П XsD

л=0 ЛГ-1 .

= + ' (4)

N i^a ' XeD«

где e[n] = g[n] - y[n] - ошибка между ступенчатым входным воздействием и выходом системы; Ve[n] = е[п\ — е[п — 1] - конечная разность ошибки; X[n] - вектор состояния объекта управления (в общем случае нелинейного); u[n] - управляющее воздействие; {c, r} - скалярные весовые коэффициенты; Q - симметрическая положительно полуопределенная весовая матрица.

Интегральные критерии применимы для оптимизации САУ с любыми типами регуляторов. В частности, при оптимизации по критерию (4) модального регулятора в качестве вектора X[n] можно использовать не вектор состояния нелинейного ОУ, а вектор состояния линейного наблюдателя. Преимуществом интегральных критериев является возможность их оценивания (вычисления) при любом характере переходного процесса, в отличие от прямых показателей качества. Однако интегральная оптимизация сопряжена с субъективностью выбора вида критерия и его весовых коэффициентов. При неудачном их задании получаемые настройки параметров регуляторов могут оказываться далеко не оптимальными с технической точки зрения. Например, минимумам критериев (3) и (4) могут соответствовать экстремали (переходные характеристики eext[n]) с большим перерегулированием. Для его уменьшения следует корректировать значения весовых коэффициентов {c , r} или элементов матрицы Q.

Задачи скалярной оптимизации наиболее просто решаются методами безусловной минимизации, если на значения оптимизируемых параметров регулятора не накладываются ограничения. Методы условной минимизации применяют в тех случаях, когда задаются функциональные ограничения, определяющие область допустимых значений параметров [1]. Однако непосредственный учет ограничений в критерии (например, в функции Лагранжа со штрафными составляющими) приводит к проявлению овражных свойств модифицированного критерия [7].

Векторная оптимизация САУ

В многокритериальных задачах предполагается минимизация Ь -вектора частных критериев F(X) = [^(Х), ..., /Ь(Х)]т в области значений параметров регуляторов, заданной критериальными ограничениями:

/ДХ)->тт;в-:{/.(X)<//}, ] = ХЬ. (5)

Векторный критерий может быть совокупностью интегральных критериев, например,

= (тгЕ ^М'ТгЕ (Уе[п]/Т0)2,

-¿-¿»'[»В.

" п=0

(6)

где первый частный критерий оценивает переходный процесс в целом, второй характеризует степень его колебательности, а третий определяет энергозатраты на управление.

Часто в качестве частных критериев рациональнее использовать прямые показатели качества САУ (время первого согласования время переходного процесса tП и перерегулирование о):

^(Х) = [^(Х), tп(X), о(Х)]т. (7)

Частными критериями могут быть также прямые оценки энергетических показателей САУ в динамических режимах и точностные показатели в установившихся режимах, например, добротности при входных воздействиях линейного или гармонического вида.

При решении задач МК-оптимизации путем свертки векторных критериев используют методы с выбором главного, аддитивного или минимаксного критериев, а также метод достижения целей [2, 4, 7]. Теоретической основой свертки являются теоремы о принадлежности минимумов аддитивного и минимаксного критериев соответственно эффективным (оптимальным по Парето) и слабо эффективным (оптимальным по Слей-теру) решениям, доказательства которых приведены в [7]. При любом методе свертки исходная задача МК-оптимизации сводится к задаче скалярной минимизации, при решении которой параметры регулятора оптимизируются в области значений, неявно задаваемой ограничениями на значения частных критериев. Получаемое решение будет зависеть не только от динамических свойств САУ, но и от субъективно задаваемых проектировщиком значений нормирующих и весовых коэффициентов метода свертки.

При использовании зондирования область допустимых значений параметров задается прямыми ограничениями, а Парето-оптимальные настройки параметров регулятора выбираются из области, определяемой путем отображения области значений параметров регулятора Бт на пространство частных критериев. Для этого необходимо прямое или косвенное зондирование пространства параметров регулятора и оценивание частных критериев по результатам многократного моделирования динамики САУ. Из-за противоречивости частных критериев из Парето-области (множества) в качестве окончательного требуется выбирать компромиссный вариант решения, в наибольшей степени удовлетворяющий требованиям технического задания и предпочтениям проектировщика.

При решении задач векторной оптимизации находят также применение стохастические методы глобальной минимизации, такие, как метод имитации отжига и генетический алгоритм в разных модификациях [9].

Последовательная МК-оптимизация САУ

Существенного снижения затрат машинного времени можно добиться, осуществляя последовательную (поэтапную) оптимизацию САУ, целенаправленную на определение Парето-оптимальных настроек регуляторов по прямым показателям качества. На рис. 2 представлена схема такой оптимизации, предполагающей локализацию области Парето-решений в пространстве параметров регулятора на первых двух этапах и проведение на третьем этапе зондирования в малой области значений варьируемых параметров.

Рис. 2. Этапы МК-оптимизации САУ

На первом этапе проводится предварительная скалярная оптимизация по квадратичному интегральному критерию вида (3) с заданными весовыми коэффициентами {c, r} и одновременной оценкой значений частных критериев. Эти оценки необходимы для задания обоснованных нормирующих коэффициентов для частных критериев на следующем этапе оптимизации. Начальная точка X0 в пространстве параметров регулятора может задаваться произвольно (при этом САУ может оказаться неустойчивой), являться решением задачи синтеза или результатом оптимизации по эталонной модели.

На втором, промежуточном этапе оптимизации путем минимизации аддитивного критерия, составленного из частных критериев векторного критерия (7) или (6) с заданными весовыми коэффициентами, определяется одна из точек Парето-оптимальных решений.

На третьем этапе в небольшой окрестности относительно решений, полученных на первом и втором этапах, проводится зондирование пространства параметров регулятора, по результатам которого определяется множество точек Парето-решений. При этом затраты машинного времени на зондирование будут приемлемыми.

На четвертом, заключительном этапе оптимизации из построенного Парето-множества в качестве окончательного решения выбирается компромиссный вариант, удовлетворяющий требованиям технического задания по прямым показателям качества и учитывающий субъективные предпочтения проектировщика.

Методы зондирования

Для построения Парето-областей значений параметров регуляторов различных типов можно использовать разные способы зондирования показателей качества динамики САУ.

1. Прямое зондирование на сетке значений параметров регулятора в m-мерной области, заданной их ограничениями:

Dm = {Xtmm < X, < X,max, i = W.

Но при большом числе оптимизируемых параметров, когда m >> 1, такое зондирование сопряжено с большими затратами машинного времени. Например, если шаг сетки каждого из m параметров регулятора высокого порядка составляет 1 % его диапазона изменения, то общее количество узлов сетки будет равно 102m. Для

трех параметров потребуется 1 млн циклов моделирования.

2. Косвенное зондирование на двухмерной сетке весовых коэффициентов интегрального квадратичного критерия вида (3):

{с < c < c , r < r < r }

^ min max' min max

Этот метод рекомендуется применять при большом числе и параметров, и частных критериев (m > 3, L > 3). Однако он не гарантирует того, что все минимумы критерия (3) на сетке его весов будут принадлежать искомой Парето-области решений.

3. Генерирование точек Парето-области методами свертки векторного критерия, например, путем минимизации аддитивного критерия на Z-мерной сетке его весовых коэффициентов:

_ L

К™. < с} < cjmsa, j = 1, L}; Xе; =1.

j

Этот метод приемлем при большом числе оптимизируемых параметров (m > 3), но небольшом числе частных критериев. Важно отметить, что положение точек минимумов аддитивного критерия (или других критериев свертки) в Парето-области будет зависеть не только от его весовых коэффициентов, но и от задаваемых проектировщиком значений нормирующих параметров и ограничений для частных критериев.

Для зондирования любым из способов можно применять кубическую, случайную, равномерную или комбинированную многомерные сетки. Недостаток кубической сетки - затенение пробными точками друг друга (совпадение их проекций), что уменьшает общее число вариаций значений параметров. При использовании случайной сетки в получаемых отображениях могут появляться большие зоны, в которые не попали пробные точки. Равномерная сетка лишена недостатков кубической и случайной сеток, но имеет сложный алгоритм расчета узлов [6].

Диалоговый поиск Парето-решений

На заключительных этапах МК-оптимизации проводить зондирование, выделять из результатов зондирования точки, принадлежащие Парето-области, и из них выбирать компромиссный вариант решения наиболее удобно диалоговым методом [5], интерпретация которого дана на рис. 3.

Предполагается выполнение следующих процедур:

Х2 ф шах -

О

/2(*)

г[ Р\

\ Хуес / )

£>7

¡2 (Х\-ес)

П11П

■ 1 тах

/¿Хук)

/1«

Рис. 3. Интерпретация поиска Парето-решений

• задание области зондирования DZ в окрестности полученного на втором этапе минимума интегрального критерия Xint, а также выбор способа зондирования, типа сетки и количества пробных точек;

• моделирование динамики САУ в пробных точках и вычисление соответствующих им значений частных критериев/. (X);

• построение области (множества точек) являющейся отображением точек области

на пространство частных критериев, и выделение точек Парето-области Р;

• задание критериальных ограничений {/ °, ] = 1, Ь} и определение соответствующих им областей F(Do) и Do; проверка непустоты подобласти Р п Р0;

• выбор Парето-решения, удовлетворяющего заданным критериальным ограничениям, т. е.

Xтес С Р п Ро .

При отсутствии таких решений осуществляется возврат к предшествующим процедурам для ослабления критериальных ограничений, увеличения количества пробных точек, изменения типа сетки и расширения области зондирования.

Следует обратить внимание на то, что области DZ, Do и Р должны быть большими, чем область допусков на значения параметров регулятора, определяемых погрешностями технической реализации. Погрешности реализации должны учитываться и при выборе Парето-решения Xvec. В противном случае оптимизация теряет практический смысл.

Описанный метод поиска Парето-решений можно рассматривать как неформальную свертку векторного критерия, осуществляемую в про-

цессе диалога проектировщика с ЭВМ. При этом одной из проблем, затрудняющих поиск, является графическая визуализация получаемых многомерных отображений по результатам зондирования. На практике искомое решение приходится определять по 2D- или 3D-проекциям областей параметров регуляторов и частных критериев.

Пример МК-оптимизации

Проведем оптимизацию цифрового ПИД-регулятора системы стабилизации скорости электромеханического объекта, включающего в себя силовой преобразователь, двигатель постоянного тока, датчик скорости, а также АЦП и ЦАП. В модели системы будем учитывать падение напряжения на щетках двигателя, моменты вязкого и сухого трений, момент внешней нагрузки на валу двигателя и ограничение выхода регулятора |и[п]| < 1023 дискреты. Период дискретности регулятора Т0 = 0,002 с, а входное воздействие g[n] = 150 дискрет. Поставим целью определение Парето-оптимальной по критерию (7) настройки параметров регулятора, обеспечивающих наименьшее время переходного процесса при отсутствии перерегулирования.

Зададим начальные значения параметров регулятора

X 0 = (Кр0 = 8,°; Кю = 120,0; Км = 0,°Х при которых переходный процесс в САУ сильно колебательный.

В процессе минимизации интегрального критерия (3) с нулевыми весовыми коэффициентами {с, г} найдена точка

X«=(К м= 11,1782; К *=250,8967; К *=0,0529),

для которой выходная координата системы имеет t1 = 0,016 с, ^ = 0,026 с и о = 6,8 %. Трубка точности задавалась равной Д = 0,05.

Для аддитивного критерия /М(Х) = с^ /51 + + c2tп /52 + с3о /53 примем базовые значения и весовые коэффициенты следующими:

«1 = ^епР 52 = 0,5Теп<Р «3 = 100;

С = 0,2; С2 = 0,7; с3 = 0,1.

В результате минимизации аддитивного критерия найдена точка

Ха(М = Ка(И = 11,3265; Кш = 229,4463; К а(И = 0,0584),

для которой t1 = 0,016 с, ^ = 0,024 с и о = 2,4 %.

Проведем прямое зондирование в окрестности точки Хш на смешанной сетке (с 27 узлами кубиче-

а)

ской сетки и 27 узлами случайной сетки). Для выделения точек, принадлежащих Парето-множеству, зададим критериальные ограничения < 0,03 с; о < 1,0 %}, которым удовлетворяет точка

X = (К = 9,1740; К = 208,0089;

уес 4 р уес ' ' г уес

К = 0,0586),

ауес ' 7'

для которой t1 = 0,044 с, tп = 0,026 с, о = 0,74 %.

Результаты оптимизации представлены на рис. 4 и 5, где точки Х.п и Хш обозначены круглым и треугольным символами, а Хуес - звездочкой.

Изложенная методика последовательной МК-оптимизации нелинейных САУ носит общий характер и позволяет находить Парето-оптимальные настройки регуляторов с различными структурами при относительно малых затратах машинного времени.

Кб

0,06 0,05 0,04

10

12

V

о

Кр

г)

81дта,% 6 4 2 0

О'04 0'05 О'Об

Кб

I о 1 1 1 1 1 г ■

V 1 и . 1 1 Ф ! ■

10

12

Кр

0,02 0,025 0,03 т$ с

Рис. 4. Выбор Парето-решения

150

100

Уор,«

V]

0,05 0,1 О 0,05

Рис. 5. Результаты оптимизации

0,1

СПИСОК Л

1. Козлов, В.Н. Системный анализ, оптимизация и принятие решений: Учеб. пособие [Текст]/В.Н. Козлов. -М.: Проспект, 2010.-176 с.

2. Козлов, В.Н. Теория автоматического управления. Компьютерные технологии: Учеб. пособие [Текст]/ В.Н. Козлов.-СПб.:Изд-во Политехн. ун-та,2008.-332 с.

3. Подиновский В.В. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач [Текст]/В.В. Подиновский, В.Д. Ногин.-М.: Физматлит, 2007. -256 с.

4. Ростов, Н.В. Компьютерные технологии в науке. Синтез и оптимизация: Учеб. пособие [Текст]/ Н.В. Ростов.-СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2008. -144 с.

5. Ростов, Н.В. Многокритериальная параметрическая оптимизация систем автоматического управле-

ния на ЭВМ [Текст]/Н.В. Ростов/Исследование систем управления с помощью ЭВМ. -СПб.: СПбГТУ, 1994. -С.103-112.

6. Соболь, И.М. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями [Текст]/И.М. Соболь, Р.Б. Статников.-М.: Наука, 1981. -110 с.

7. Черноруцкий, И.Г. Методы оптимизации в теории управления: Учеб. пособие [Текст]/ И.Г. Черноруцкий.-СПб.: Питер, 2004. -256 с.

8. Censor, Y. Pareto Optimality in Multiobjective Problems [Текст]/ Y. Censor//Appl. Math. Optimiz.-1977. Vol. 4.-P. 41-59.

9. Deb, Kalyanmoy Multiobjective Optimization using Evolutionary Algorithms [Текс^/Ка^аптюу Deb. -John Wiley & Sons, Ltd, Chichester, England, 2001.

УДК 519.876

A.A. Салангин

ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ РАЗРАБОТКИ И РЕАЛИЗАЦИИ ПРОЕКТОВ СОЗДАНИЯ НОВОЙ ТЕХНИКИ

Задачи распределения ресурсов возникают при проектировании и испытаниях технических объектов, при формировании тематического плана предприятия, при обосновании программы технического перевооружения отрасли, концепции социально-экономического развития региона и т. д. В этих случаях определяющими являются способ оценки близости набора показателей к требуемым и характер зависимости значений этих показателей от предполагаемых затрат. В таблице приведены примеры частных и интегральных показателей при постановке задач распределения ресурсов.

В публикациях [1-5] сформулированы основные задачи параметрического синтеза, возникающие при формировании программы реализации технических проектов, и дано их приближенное аналитическое решение на основе вариационного подхода, которое, однако, не может быть использовано из-за больших погрешностей в исходных данных, неэффективности или нереализуемости этого решения. Актуальными остаются вопросы выбора субоптимальных(директивных) распределений при ограниченном и неограниченном вре-

мени их реализации в условиях нереализуемости или неэффективности стационарного решения.

В статье развиваются и обобщаются результаты, изложенные в [5-6]. В частности, формулируется задача разработки технического проекта развития предприятия:

• на первом уровне (внутри направления проекта или в структурном подразделении предприятия) как задача достижения таких функциональных характеристик х, у. структурного подразделения (например, относительная производительность труда и относительная численность персонала), при которых обеспечивается минимизация суммарного отклонения мощности подразделения х. у. от предельно достижимой Г. = 1 - х . у . при ограничении затрат по увеличению мощности:

в, = а;1п—-—н р, 1п —1— < в°.

1-х, 1-у,

Не умаляя общности, можно принять а. + р. < 1, где а. - коэффициент нормированных затрат на единицу оборудования; р. - коэффициент нормированных затрат на единицу персонала;

• на втором уровне (между направлениями проекта или между структурными подразделе-