Многокритериальная идентификация в компьютерном проектировании систем автоматического управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

-►

Системный анализ и управление

УДК 681.3 (075.8)

Н.В. Ростов

многокритериальная идентификация в компьютерном проектировании систем автоматического управления

Адекватные модели объектов управления (ОУ), необходимые для достоверного проектирования САУ, могут определяться лишь путем идентификации, предполагающей выбор структуры и оценивание параметров модели по экспериментальным данным - числовым массивам измеряемых входных/выходных величин. В теории управления постановкам и методам решения задач идентификации посвящены специальные разделы. Большое внимание этим вопросам уделяется на симпозиумах, проводимых Международной федерацией по автоматическому управлению (ШАС).

Методы идентификации в частотной и временной областях хорошо разработаны [2-4, 7, 8], но ими в основном оцениваются параметры линейных моделей ОУ. На практике часто требуется проводить нелинейную идентификацию ОУ по временным диаграммам - переходным, импульсным и другим характеристикам. Сложным САУ, таким, как исполнительные системы роботов, присущи многомерность и взаимосвязанность каналов электромеханических ОУ, наличие в них упругостей и существенных нелинейностей, а также действие различного рода внешних и внутренних возмущений. Параметрами, трудно определяемыми расчетным путем, являются моменты инерции на валах двигателей, коэффициенты жесткости упругих элементов, параметры нелинейных моделей трений и др. Оценивание параметров нелинейных моделей по частотным характеристикам затруднительно [1].

На рис. 1 приведена общая классификация задач идентификации ОУ, которые могут формулироваться как задачи либо скалярной, либо векторной минимизации в многомерном пространстве параметров.

При скалярной (однокритериальной) идентификации параметры модели ОУ оцениваются алгебраическими или итерационными методами. Многокритериальный (МК) подход основывается на поиске Парето-оптимальных оценок параметров для сформированного векторного критерия идентификации [5, 6]. При этом поиск Парето-решений обычно проводят методами свертки векторного критерия либо по результатам прямого зондирования в многомерном пространстве идентифицируемых параметров, что связано со значительными затратами машинного времени из-за большого числа циклов моделирования ОУ.

Ниже описываются технологии решения задач линейной и нелинейной идентификации ОУ в векторных постановках, позволяющие сокращать затраты машинного времени на локализацию Парето-области за счет косвенного зондирования на начальных этапах методами скалярной идентификации и прямого зондирования на заключительном этапе в ограниченной, достаточно малой подобласти пространства параметров модели ОУ, в т. ч. с применением для построения Парето-границы генетического алгоритма.

Рассмотрим вначале вопросы, связанные с выбором структур моделей ОУ и методов решения задач идентификации в скалярных постановках.

Параметрическая идентификация ОУ

Векторная

3. Поиск Парето-оценок методами свертки

4. Поиск областей Парето методами зондирования

Рис. 1. Варианты задач идентификации

Скалярная

1. Оценивание параметров алгебраическими методами

2. Оценивание параметров итерационными методами

Выбор структур моделей ОУ

Для проектирования САУ необходимы модели динамики ОУ различных видов [2, 4]. При идентификации в общем случае оцениваются не только параметры модели ОУ, но и ее порядок, а также время чистого запаздывания. Кроме того, могут строиться модели внешних возмущений и шумов.

Синтез регуляторов (аналоговых и цифровых) обычно проводят с использованием линейных непрерывных и дискретных моделей ОУ в форме передаточных функций W(s) и W(z) или в виде уравнений состояния. Параметры линейных моделей для проведения синтеза могут оцениваться по результатам компьютерного моделирования нелинейных ОУ.

Оптимизацию САУ следует осуществлять по нелинейным непрерывным моделям ОУ, параметры которых должны оцениваться по реальным экспериментальным данным. Для верификации результатов компьютерного проектирования САУ требуются структурные и виртуальные модели, позволяющие наиболее адекватно воспроизводить (имитировать) динамические процессы, протекающие в реальных ОУ.

Скалярная идентификация ОУ

Линейную идентификацию динамических объектов во временной области наиболее часто формулируют как линейную задачу наименьших квадратов

N

J (0) = у e 2[n ] ^ min, (1)

П=0 0R

где e[n] = ,yM[n] - ;y[n] - ошибка между выходами модели ОУ и реального объекта в дискретные моменты времени; 0 - вектор оцениваемых параметров. Иными словами, в пространстве параметров линейной дискретной модели ОУ необходимо найти решение, доставляющее минимум среднеквадратичному критерию (1).

Если задача (1) решается алгебраическими методами, например, регрессионным методом, то идентификация сводится к решению переопределенной системы линейных алгебраических уравнений A • 0 = b, где матрица прямоугольной формы A и вектор b составляются по экспериментальным данным. Однако на практике матрица ATA псевдорешения 0 = (ATA)—1ATb часто оказывается плохо обусловленной, и поэтому для нахождения приближенного решения применяют

численные методы с факторизацией и регуляризацией.

В нелинейной задаче наименьших квадратов используют критерий

N

J(0) = ||F(0)||2 =ХF2(0) ^min, (2)

,=1 0eRm

включающий N-вектор невязки F(0) = (e[n0 ], e[n0 +1], ... , e[n0 + N — 1])Т, составляемый по выборке значений ошибки в различные моменты времени. При решении задачи (2) применяют специальные итерационные методы безусловной минимизации - Гаусса-Ньютона или Левенберга-Марквардта. Однако минимизация критерия (2) может быть сопряжена с трудностями при сложном виде поверхности этого критерия в пространстве параметров модели ОУ, наличии на ней оврагов и множества локальных минимумов [7].

Если цель идентификации - получение линейной непрерывной модели ОУ для проведения синтеза аналоговых регуляторов, то осуществляется континуализация, т. е. преобразование построенной линейной дискретной модели ОУ в эквивалентную непрерывную модель.

Идентификация нелинейных непрерывных моделей ОУ в виде системы нелинейных ОДУ или нелинейной структурной Simulink-модели, используемых затем при оптимизации и верификации САУ, осуществляется итерационными методами минимизации критерия, подобного (1), но в непрерывном времени, что сопряжено со значительно большими затратами машинного времени.

В случаях, когда на значения оцениваемых параметров накладываются прямые и функциональные ограничения, определяющие область их допустимых значений, задачи идентификации (1) и (2) решаются методами условной минимизации. Однако учет ограничений непосредственно в критерии (например, в функции Лагранжа со штрафными составляющими) обычно приводит к проявлению овражных свойств модифицированного скалярного критерия [7].

Формирование векторных критериев идентификации

В многокритериальных задачах идентификации минимизируется вектор частных критериев F(0) = [/1(0), . ., /(0)]T в области значений параметров, заданной прямыми и критериальными ограничениями:

fj (0) ^ min; Dm :{f (0) < fo}, j = 1, L . (3)

ее D m J J

В качестве частных критериев, определяющих близость экспериментальных и модельных характеристик (выходных и внутренних координат объекта yj (t) и модели у M (t)) могут использоваться интегральные квадратичные критерии

J (0) = 2 е] t) ^ min,

! ^^ J „ ^m

(4)

где ер) = y.(t) - yjM(t),

и критерии максимальных по модулю ошибок

Jm (9) = max |е (i )| ^ min. (5)

j 0eRm

Выбор координат y (t), по которым технически возможно проводить идентификацию, связан с наличием в САУ штатных датчиков и возможностью установки дополнительных датчиков. При идентификации во временной области могут использоваться любые временные диаграммы. Например, для оценивания параметров моделей трения удобны характеристики процессов, получаемые при гармонических воздействиях, т. к. эллипсы нагрузок имеют характерные искажения на участках изменения знака скоростей.

Критерии (4) оценивают различие характеристик в целом на интервале моделирования, но не определяют сходство их форм, т. к. они нечувствительны к локальным выбросам. Критерии (5) гарантируют, что расхождение характеристик не превышает их величин, т. е. содержат информацию о близости форм. Поэтому целесообразно использовать критерии обоих видов совместно.

Известно, что параметры ОУ по-разному проявляют себя на разных участках переходного про-

цесса. Моменты инерции в основном влияют на его среднечастотную часть, коэффициенты жесткости упругих элементов - на колебательность в низкочастотной зоне, малые постоянные времени - на высокочастотную часть. Другие параметры ОУ определяют его статический коэффициент передачи. Параметры же нелинейных элементов более сложным образом влияют на переходные и установившиеся процессы в ОУ. В связи со сказанным выше, имеет смысл вычислять частные критерии (4) и (5) на трех подынтервалах переходного процесса

f. (9) = [Унч, JC4, JB4, JH4, JC4, JB41 T,

' ' L ej ' ej ' ej ' mj ' mj ' mj J

Рис. 2. Этапы линейной МК-идентификации

а также при различных типах входных воздействий, увеличивая тем самым размерность векторного критерия.

Сценарии векторной идентификации

Полная размерность критерия (3) может оказываться высокой, а его частные критерии в пространстве параметров модели ОУ могут иметь самые разные функциональные свойства (быть противоречивыми и непротиворечивыми, гладкими и негладкими, с поверхностями овражного и неовражного вида, с множеством локальных минимумов и седловых точек). Поэтому важное значение приобретают методики-сценарии решения задач многокритериальной идентификации на основе их поэтапной декомпозиции, выбора и комбинирования наиболее эффективных методов решения соответствующих подзадач.

Идентификацию линейных операторных моделей типа «вход-выход» и векторно-матричных моделей одномерных ОУ с большим числом оцениваемых параметров целесообразно проводить по сценарию (рис. 2), выделяя четыре этапа.

На первом этапе параметры модели ОУ оцениваются предварительно алгебраическими методами, а при необходимости дополнительно уточняются итерационными методами по интегральному квадратичному критерию на втором этапе. Это дает возможность проведения на третьем этапе косвенного зондирования на сетке весовых коэффициентов аддитивного критерия, соответствующего выбранному векторному критерию, в зоне адекватности реальных и моделируемых процессов. В каждом узле сетки осуществляется скалярная минимизация аддитивного критерия и тем самым локализуется искомая область Парето-решений. При невысокой размер-

k=0

Рис. 3. Этапы нелинейной МК-идентификации

ности векторного критерия затраты машинного времени на косвенное зондирование будут приемлемыми. На четвертом, заключительном этапе из построенного Парето-множества в качестве окончательного решения выбирается вариант с учетом предпочтений проектировщика.

Идентификацию нелинейных моделей одномерных и многомерных ОУ с относительно небольшим числом уточняемых параметров целесообразнее осуществлять по иному сценарию (рис. 3).

Предварительно на первом этапе проводится скалярная идентификация по квадратичным интегральным критериям вида (4) только для выходных координат. На втором, промежуточном этапе идентификации минимизируется аддитивный критерий, составленный из частных критериев с заданными весовыми коэффициентами, и тем самым определяется одна из точек Парето-решений. На третьем этапе в небольшой окрестности относительно решений, полученных на первом и втором этапах, проводится прямое зондирование с применением генетического алгоритма, направленное на построение Парето-границ в пространствах уточняемых параметров и частных критериев [9]. Поскольку генетический алгоритм является стохастической эволюционной процедурой, затраты машинного времени на такое зондирование могут оказываться весьма существенными. На четвертом, заключительном этапе выбирается одно из решений, принадлежащее построенной Парето-границе.

Однако оперирование на последних двух этапах сценариев одним векторным критерием высо-

кой размерности вызывает очевидные трудности, поэтому рекомендуется использовать принцип двух векторных критериев меньшей размерности, предполагающий введение в рассмотрение:

основного крumерuяFосн(0), формируемого из противоречивых частных критериев, желательно квадратичного вида, вычисляемых на третьем этапе при генерировании множества вариантов решений с последующей локализацией Парето-границы, соответствующей этому критерию;

дополнительного критерия Рдоп (0), составляемого из других частных критериев (включая непротиворечивые и неквадратичные), также оцениваемых на третьем этапе, но используемых проектировщиком на четвертом этапе при сравнении альтернативных Парето-решений, определяемых по основному критерию, в качестве дополнительной информации для задания обоснованных предпочтений при принятии окончательного варианта.

Примеры векторной идентификации

Рассмотрим нелинейный электромеханический ОУ, включающий в себя силовой преобразователь, двигатель постоянного тока, а также датчики скорости двигателя и тока якоря. Входные/выходные данные для идентификации получим путем компьютерной имитации, подавая на вход Simulink-модели ОУ требуемого типа воздействие с добавлением интенсивного шума, а также небольших измерительных шумов на выходах датчиков. Поставим целью провести Парето-оценивание параметров линейной дискретной и нелинейной непрерывной моделей ОУ по разным векторным критериям.

Пример 1. Выберем линейную модель пятого порядка с временным запаздыванием на два такта, учитывающим влияние нелинейностей,

У( 2) = 2

_2 Ь3 2 + Ь2 2 + Ь1 23 + а322 + а2 2 + а1

и( 2);

вектор параметров которой размерности т = 6 представим в виде

0 = (а1, а2, а3,Ь1, Ь2, Ь3)т.

Числовые данн^1е для линейной идентификации получим при ступенчатом входном воздействии, а начальные значения параметров определим функцией агх пакета MATLAB, реализующей регрессионный метод. Сформируем векторный критерий для выходной координаты (выхода датчика скорости):

Р (0) = [-4(0), Jml(0)]

(6)

1,0595 1,059 1,0585 $ 1,058 1,0575 1,057

•« • m I • 4 *£l . i i • • i

• * ÍV**!.'.' •-J «KV -JS.* • • % « s • • •

* • i i • i ^ -

-0,1068 -0,1068 -0,1068 -0,1067 -0,1067

а1

0,0405 0,04 0,0395 0,039

-1,933 г

-1,934

-1,935

Я-1,936

-1,937

• •

% >•¿•1 • ГГ-

• 1Ч • A , • I» % • 1 • '•A' A'. • •

•

я

_Е

® 0,0385 0,038 0,0375 0,037 =

•

• • •

• •

• •H

£ •• 0 1 • •

•

• > • • •

-- f * 1 •

вит е

-0,1068 -0,1068 -0,1068 -0,1067 -0,1067

а1

Рис. 4. Зондирование в пространстве параметров линейной модели

1,059 : 1,0585

см

СО

- L -1 • 1 1 m

L

1 1 9

0,039

0,0385

-0,1068 -0,1068 -0,1068 -0,1067 -0,1067

а1

-1,9345 -1,935 -1,9355 -1,936 -1,9365

-0,1068 -0,1068 -0,1068 -0,1067 -0,1067 а1

Рис. 5. Парето-оценки для линейной модели

0,0375

8 9

X 10

sume

Результаты линейной идентификации представлены на рис. 4-6, где круглыми, квадратными и треугольными символами отмечены три варианта Парето-оценок А, Б и В.

Пример 2. Включим в непрерывную Simulink-модель ОУ два нелинейных элемента -зону нечувствительности (падение напряжения на щетках двигателя) и релейную характеристику (момент сухого трения). Вектор уточняемых параметров размерности т = 3 представим в виде

0 = ( О, dU, М ст)т,

з-----------■ -------------

2,51--------/ -\------------I------------

Эксперимент Вариант А Вариант Б

Вариант В

11— у-------1-----------н------- —

0,5---/-------------------1------------

0 ---------!------------1------------

-0,5!-1-1-

О 0,05 , 0,1 0,15

С

Рис. 6. Результаты линейной идентификации

m 1,5

ш

Г)" тз

2,5 2 1,5 1.

• • • ! . 1 • • • • • ъ

• • • • / • • •

• " -V • л • • •

• • • •

Л, кгм

6 8

2

X 10

10

6

0,03

0,025

г

X 0,02

, к

2

0,015

0,01

• •

•• • • 1

» 4 е- у? • •• • •

• 1 1 1

см см Ш

0,25 0,2 Е 0.15 0,1 0,05

0,3

_1 0,2 О)"

1 1 1 1 _1 •

1 1 1 • 1 1 1

1 1 1 • 1 1 1

• 1 1

1 ' •• • • • \ 1 1

0 0,05 0,1 0,15 0,2

2

вит е

4 6 8 .2

ю

.-в

0,1 о

•

• • • «

1- - Г*^ г и

0,05 0,1 0,15 0,2 |е1'тах

«У, КГМ х 10"

Рис. 7. Зондирование в подпространстве параметров нелинейной модели

где О - момент инерции на валу двигателя; ёи - воздействии, а начальные значения уточняемых падение напряжения на щетках; М - момент су- параметров зададим на 100 % отличающимися от

хого трения.

Числовые данные для нелинейной иденти-

истинных.

Сформируем векторные критерия для коор-

фикации получим при синусоидальном входном динат ОУ (выходов датчиков скорости и тока):

1,9 1,88

т

■О

_____• 9

1,84 ^--------11,82 ¡--------«

1,8 4,9

см см ф

Е

из

0,095 0,09 0,085 0,08 0,075 0,07

" 1 т

о

• Парето

о ВариантА

□ Вариант Б

Л Вариант В

А ..

4,95

и, кгм

х 10

О 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025

эите^

4,9

4,95

0,02 0,04 0,06 0,08

Л, КГМ х 10"6

Рис. 8. Парето-оценки для нелинейной модели

'тах

Рис. 9. Результаты нелинейной идентификации

^осн(б) = [Ое1(6), О2(в)] т; (7.1)

^Доп(6) = Л, 02)] т. (7.2)

Результаты нелинейной идентификации представлены на рис. 7-9, где круглыми, квадратными и треугольными символами отмечены три варианта Парето-оценок А, Б и В.

Приведенные примеры показывают, что предложенные методики-сценарии поэтап-

ной МК-идентификации позволяют находить Парето-оптимальные оценки параметров линейных и нелинейных моделей ОУ с различными структурами при относительно невысоких затратах машинного времени. Методики носят достаточно общий характер и, в частности, могут эффективно использоваться для уточнения параметров нелинейных электромеханических ОУ исполнительных систем роботов с упругими связями [6].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бурдаков, С.Ф. Идентификация механических систем [Текст] / С.Ф. Бурдаков / -СПб.: Изд-во Поли-техн. ун-та, 2008. -139 с.

2. Козлов, В.Н. Теория автоматического управления. Компьютерные технологии: Учеб. пособие [Текст] / В.Н. Козлов, Н.В. Ростов. -СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2008. -332 с.

3. Льюнг, Л. Идентификация систем. Теория для пользователя [Текст] / Л. Льюнг; Пер. с англ.; Под ред. Я.З. Цыпкина. -М.: Наука, 1991. -432 с.

4. Ростов, Н.В. Компьютерные технологии в науке. Моделирование и идентификация: Учеб. пособие [Текст] / Н.В. Ростов. -СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2007.-146 с.

5. Ростов, Н.В. Компьютерная технология многокритериальной идентификации динамических объектов во временной области [Текст] / Н.В. Ростов //

Матер. науч.-техн. конф. Фундаментальные исследования в технических университетах. -СПб.: СПбГТУ, 1997. -137 с.

6. Ростов, Н.В. Компьютерная технология идентификации упругих электромеханических систем роботов [Текст] / Н.В. Ростов, А.М. Щепановский // Матер. VIII науч.-техн. конф. Экстремальная робототехника. -СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1997, -С. 78-87.

7. Черноруцкий, И.Г. Методы оптимизации в теории управления: Учеб. пособие [Текст] / И.Г. Черноруцкий. -СПб.: Питер, 2004. -256 с.

8. Эйкхофф, П. Основы идентификация систем управления [Текст]/П. Эйкхофф. -М.: Мир, 1975. -685 с.

9. Deb, Kalyanmoy. Multiobjective Optimization using Evolutionary Algorithms [Text] /Kalyanmoy Deb. -John Wiley & Sons, Ltd, Chichester, England, 2001.