CC BY
18
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Осадчий, Е.П. Проектирование датчиков для измерения механических величин [Текст] / Е.П. Осадчий [и др.]; под общ. ред. Е.П. Осадчего. -М.: Машиностроение, 1979. -480 с.
2. Шнейдерман, А.Л. Систематические погрешности упругого элемента однокомпонентных динамометров [Текст] / А.Л. Шнейдерман // Приборы и системы управления. -1971. -№ 10. -С. 35-37.
3. Аш, Ж. Датчики измерительных систем [Текст] / Ж.Аш [и др.]; пер. с фр. под ред. А.С. Обухова. -М.: Мир, 1992. -В 2-х кн. -480 с.
4. Тимошенко, С. П. Теория упругости [Текст] / С. П. Тимошенко, Дж. Гудьер; под ред. Г.С. Шапиро; пер.
с англ. М. И. Рейтмана. -М.: Наука, 1975. -575 с.
5. Стренг, Г. Теория метода конечных элементов [Текст] / Г. Стренг, Дж. Фикс; пер. с англ. -М.: Мир, 1977. -349 с.
6. Чигарев, А.В. ANSYS для инженеров: Справ. пособие [Текст] / А.В. Чигарев, А.С. Кравчук, А.Ф. Смалюк. -М.: Машиностроение, 2004. -511 с.
7. Кирьянов, Д.В. Mathcad 12: Самоучитель [Текст]/ Д.В. Кирьянов. -СПб: БХВ-Петербург, 2004. -559 с.
8. Тетельбаум, И.М. Модели прямой аналогии [Текст] / И.М. Тетельбаум, Я.И. Тетельбаум. -М.: Наука, 1979. -383 с.
УДК 681.5.01
А.Ю. Васильев
РЕДУКЦИЯ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕСОВ ВХОДНЫХ И ВЫХОДНЫХ СИГНАЛОВ
Теория редукции служит для получения математических моделей динамических систем, отличающихся от исходных моделей более низким порядком, но при этом сохраняющих качественные характеристики и демонстрирующих отклонение количественных характеристик на допустимо малую величину [1]. Одной из ключевых методик теории редукции является уравновешенное сокращение по сингулярным числам Гажеля, ос но-ванное на фундаментальных характеристиках системы, получаемых из грамианов управляемости и наблюдаемости. Данная методика прекрасно себя зарекомендовала в отношении систем с одним входом и выходом Гв некоторых источниках они называются <^^0-системами»), обеспечивая такие преимущества, как гарантированная устойчивость редуцированной системы и априорная оценка погрешности по норме Ганкеля (максимальному сингулярному числу системы) [3]. В то же время для систем с многими входами и выходами (М1МО-системы) применение основного алгоритма уравновешенного сокращения приводит к существенным расхождениям некоторых процессов уже при понижении порядка на единицу, делая таким образом невозможной адекватную процедуру редукции. Для борьбы с этой пробле-
мой предлагается методика весов входных и выходных сигналов.
В статье рассматривается собственная линейная стационарная динамическая система
о^) = Ло(?) + Ви (?),
у(() = Со(() + Би ((),
где для каждого t е.
u (t) е Кm, x(?) е:
y (t) е:
векторы входов состоянии и выходов,
соответственно. Передаточная функция системы имеет следующий вид:
M (s)
G(s) = D + C(sI - A)-1 B =
N (s)
причем степень числителя меньше или равна степени знаменателя.
По умолчанию для оценки сигналов и векторов в статье использована евклидова норма (2-норма). В противном случае тип нормы будет специально уточнен.
В качестве многомерной модели, на примере которой будут обсуждаться процедуры редукции, использована модель объединенной энергосистемы, рассматриваемая более подробно в [2].
Математическая модель, описывающая данную систему, имеет 33-й порядок (т. е. 33 пере-
abs 300
250
200
150
100
50
0
Hankel Singular Values
- 1 II
- Пп , , ,
5 10 15 20 25 30 Order
Рис. 1. Гистограмма сингулярных чисел Ганкеля для рассматриваемой системы
менных состояния), 12 входов и 6 выходов. В качестве входных сигналов рассматриваются управляющие и возмущающие воздействия, поданные на каждый узел; выходными сигналами являются собственная частота четвертого узла и перетоки активной мощности между узлами.
Поскольку не представляется возможным отобразить в данной статье переходные функции всех связей между входами и выходами системы, графически рассматривается переходный процесс одной конкретной связи: управляющего воздействия на первом узле, влияющего на переток мощности между первым и четвертым узлом.
Методика уравновешенного сокращения по сингулярным числам Ганкеля применяется к устойчивым, управляемым и наблюдаемым системам. Впрочем, если система не удовлетворяет данным критериям, возможна ее предварительная обработка, которая позволит впоследствии осуществить процедуру редукции по всем правилам. Ниже приводится алгоритм данного метода, позволяющий редуцировать систему по сингулярным числам Ганкеля в общем случае.
Алгоритм 1. Обобщенный алгоритм уравновешенного сокращения по сингулярным числам Ганкеля [4]:
1. Решение уравнения АР + РАТ = -ВВТ относительно Р.
2. Решение уравнения ATQ + QA = -СТС относительно Q.
3. Вычисление компонент разложения Холес-ского Р = ЬрЬТр , Q = Ь/д .
4. Вычисление разложения по сингулярным числам произведения компонент USVT = LqLp, где матрица S - положительная диагональная, матрицы U, V имеют ортонормированные столбцы.
5. Вычисление уравновешивающих преобразований T = LV S-112, T-1 = S-1l2UTLT .
6. Создание уравновешенной реализации
A = T-AT, B = T-B, C = CT .
7. Определение порядка сокращенной модели и соответствующее разделение A, B, C .
8. Усечение A = Au, B = B1, C = C1, создающее редуцированную модель в пространстве состояний.
Один из привлекательных аспектов методов уравновешенного сокращения - это доступность вычисления границ ошибки. Если обозначить i-е число на диагонали матрицы S как ot, а сами числа oi расположить по порядку CTj > ст2 >... > стN, то ошибка передаточной функции сокращенной модели q-го порядка будет ограничена:
N
\\и(s) - H (s)||œ< 2 Хст .
k=q+1
Гистограмма сингулярных чисел Ганкеля (рис. 1) для заданной системы определяет порядок редукции как тринадцатый, поскольку только первые тринадцать состояний являются существенными с точки зрения внутреннего энергетического поведения системы. Игл -норма исходной передаточной функции составляет 660,09, в то время как удвоенная сумма отбрасываемых двадцати сингулярных чисел равна 2,26. В отно-
Step Response From: ln(7)
0,08
0,07
0,06
а) ■о £1 0,05
О
F о 0,04
< 1-
0,03
0,02
0,01
0
0 5 10 15 20
Рис. 2. Переходные процессы исходной (-
25 30 35 40 45
—) и редуцированной (+++) систем
при условии одного входа и выхода
сительном представлении доля отбрасываемых сингулярных чисел Ганкеля составляет 0,06 % от общей суммы. Именно такой будет разница по Их -норме между исходной и редуцированной системами.
Для демонстрации различий в результатах методики уравновешенного сокращения одномерных и многомерных систем и существенного ухудшения результатов во втором случае, необходимо для начала привести вариант редукции одномерной системы. Рассмотрим вариант заявленной выше системы, в котором оставлены только один вход и один выход. Для данной одномерной модели построим переходный процесс (реакцию на единичное ступенчатое воздействие) как исходной модели 33-го порядка, так и редуцированной до 13-го (рис. 2).
Теперь с исходным переходным процессом будет сравниваться переходный процесс многомерной редуцированной системы. Входной и выходной сигналы, определяющие связь, остаются теми же, равно как и матрица А, а также соответствующие столбец В и строка С как компоненты одномерной системы в многомерной. Но добавление остальных столбцов и строк приводит к перераспределению влияния сигналов и иной уравновешенной реализации. Особенно это заметно на
* На рис. 2 переходный процесс изображен крестами, поскольку графики настолько сливаются, что пунктир или штрих-пунктир был бы просто незаметен.
управляющих сигналах (вторая половина столбцов матрицы В), которые особенно сильно подавляются в общем алгоритме получения уравновешенной реализации возмущающими сигналами (первая половина). В результате, успешно реализованный для одномерной системы алгоритм приводит к неудовлетворительным результатам (рис. 3).
Объяснение таким существенным расхождениям в данном случае можно искать в соединении двух разных типов входных сигналов в одной системе. Нормы столбцов первой половины матрицы В, относящихся к возмущающим сигналам, превосходят нормы столбцов второй половины в среднем в 104 раз. Подобное расхождение на порядки элементов системы и приводит к сбоям в алгоритме уравновешенной реализации.
Для решения данной проблемы предлагается использовать в качестве подготовительной процедуры распределение весов на столбцы матриц В и С. В данной статье рассматривается вопрос только для матрицы В, связанной с входными сигналами.
Первый способ распределения весов рассматривает всю систему в целом, т. е. все связи между входами и выходами. Задача этого способа - усреднить влияние входных сигналов на систему, тем самым, сделав их равно влияющими на процесс редукции. Для некоторых входов это приведет к ухудшению, пусть и незначительному, соответствия переходных процессов исходной и редуцированной систем. В то же время уровень
0,08 - / ^ - - -0,07 - /
0,06 - / „ 0,05 - /
03 сч
ТО I
ё о 0,04 - / о.
< I- 0,03 -0,02 -0,01 -
о- _ _ „ _ _ __ _ ^ __ _ _ -0,01 ——-^-^———^-1]-—:-II-—:-^-^—
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Рис. 3. Переходные процессы исходной (-) и редуцированной (------) систем
при условии нескольких входов и выходов
Step Response From: ln(7)
T, с
соответствия других процессов, например, показанного на рис. 3, перейдет в разряд удовлетворительного. Ниже представлен алгоритм 2, позволяющий реализовать методику общего распределения весов.
Алгоритм 2. Алгоритм общего распределения весов между входными сигналами системы с последующей редукцией и восстановлением процессов:
1. Расчет норм столбцов матрицы В; получение массива чисел размером по числу входных сигналов.
2. Нахождение среднего арифметического значения массива полученных норм.
3. Нахождение массива весов как коэффициентов, позволяющих из исходного массива норм входных сигналов получить во всех случаях средние значения; таким образом, при перемножении коэффициентов на соответствующие им нормы в каждом случае получается найденное среднее значение.
4. Умножение каждого из столбцов матрицы В на соответствующий весовой коэффициент; получение матрицы Вк.
5. Построение новой динамической системы, в которой место матрицы В занимает матрица Вк (матрицы данной системы и ее редуцированного аналога будут иметь индекс ^).
6. Осуществление процедуры уравновешенного сокращения (алгоритм 1) в отношении новой системы; порядок редукции сохраняется.
7. Деление каждого столбца получившейся матрицы Вк на соответствующий весовой коэффициент; получение матрицы В .
8. Построение конечной редуцированной системы, матрицами которой служат Ап, В, Сп, .
Результат работы алгоритма 2 представлен на рис. 4. Приведенный выше алгоритм является достаточно грубым, но при этом результативным методом. В нем не учитывается влияние весов на остальные матрицы, которое неизбежно происходит в процессе уравновешенного сокращения. Тем не менее, представляется очевидным существенное улучшение соответствия переходных процессов.
Если имеет место значительное расхождение норм не только столбцов матрицы В, но и строк матрицы С, соответствующее распределение весов выходных сигналов производится на том же этапе, что и для входных. Аналогичные действия осуществляются при восстановлении системы.
Второй способ распределения весов служит для существенного улучшения качества редукции отдельной связи входного и выходного сигналов в рамках многомерной системы. Этот способ также будет рассмотрен только в отношении матрицы В. Конкретно, связью, для которой производится улучшение, является описанная выше связь между управляющим сигналом на первом узле и перетоком мощности между первым и четвертым узлом. Главный недостаток данного способа - ожидаемое ухудшение остальных процессов
Step Response From: ln(7)
0,08
0,07
0,06
<0 "О S 0,05
■■к о. о
Е ö 0,04
< 1-
0,03
0,02
0,01
0
Рис. 4. Переходные процессы исходной (-) и редуцированной (---
при условии распределения весов на все входные сигналы
40 45
---) систем
многомерной системы, пусть и не приводящее к неудовлетворительным результатам. Ниже представлен алгоритм 3, позволяющий реализовать методику выделения доминантного контура в многомерной системе и редуцировать систему с учетом максимальной точности в отношении доминантного контура.
Алгоритм 3. Алгоритм выделения в многомерной системе переходного процесса при помощи весового коэффициента:
1. Задание нужного сигнала, в данном случае столбца матрицы В.
2. Умножение определенного столбца на весовой коэффициент, существенно превышающий максимальную норму столбцов матрицы В (в данном случае при максимальной норме был
взят коэффициент 100 000); получение матрицы
.
3. Построение новой динамической системы, в которой место матрицы В занимает матрица В .
М'
4. Осуществление процедуры уравновешенного сокращения (алгоритм 1) в отношении новой системы; порядок редукции сохраняется.
5. Восстановление редуцированной системы путем деления нужного столбца получившейся
матрицы В№ на соответствующий весовой коэффициент; получение матрицы В .
6. Построение конечной редуцированной системы, матрицами которой служат , В, Сп, .
В зависимости от величины коэффициента в алгоритме 3 происходит приближение нужного процесса редуцированной системы к исходному и приближение или отдаление остальных. Последовательной подборкой можно установить коэффициент, удовлетворяющий требованиям, предъявляемым к поведению редуцированной системы.
Результат выполнения алгоритма 3 не приводится на рисунке, поскольку визуально он не отличается от результата, продемонстрированного на рис. 2.
Подводя итоги можно сделать следующие выводы: базовый алгоритм уравновешенного сокращения по сингулярным числам Ганкеля для многомерных систем работает не всегда удовлетворительно в отношении отдельных входо-выходных связей; две представленные методики, каждая по-своему, решают данную проблему, улучшая качество редуцированной многомерной системы в целом, либо существенно повышая качество редукции отдельного интересующего контура.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Балберин, В.В. Понижение порядка моделей: Учеб. пособие [Текст] / В.В. Балберин, Л.А. Мироновский, А.Б. Петровский. -Л.: ЛИАП, 1989. -С. 4-9.
2. Козлов, В.Н. Управление энергетическими системами. Электромеханические процессы [Текст] / В.Н. Козлов; под. ред. Ю.С. Васильева. -СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2000. -С. 8-25.
3. Glover, K All optimal Hankel-norm approximations of linear multivariable systems and their La>-error bounds [Текст] / K. Glover // International J. of Control, 1984. -№ 39 (6). -C. 1115-1193.
4. Moore, B.C. Principal component analysis in linear systems: controllability, observability, and model reduction [Текст] / B.C. Moore // IEEE Transactions on Automatic Control, 1981. -№ 26 (1). -C. 17-32.
УДК 519.8
А.В. Титов, А.А. Харьковом, В.О. Чуканов
МОДЕЛИ НАДЕЖНОСТИ ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ОТВЕТСТВЕННОГО НАЗНАЧЕНИЯ
В настоящее время все больше внимания уделяется надежности программного обеспечения, особенно в системах ответственного назначения. Любое программное средство не избавлено от ошибок при программировании и часто необходимо оценить время безотказной работы или вероятность отказа. Кроме того, тестирование программного обеспечения (ПО) требует оценки времени, которое будет затрачено на него. Таким образом, возникает необходимость в разработке методов, которые позволили бы оценить параметры надежности системы.
Анализ надежности программных средств -сложная комплексная задача, требующая использования аппарата теории вероятностей и математической статистики. В системах ответственного назначения отказы являются редкими событиями [1]. Ограниченных данных бывает недостаточно для того, чтобы найти заранее неизвестный закон распределения времени между программными сбоями. Тем не менее, если вид закона распределения известен, то его параметры могут быть оценены по имеющейся информации.
Изучена система передачи данных, функционирующая на нескольких однотипных технических объектах одновременно. В качестве наблюдаемых характеристик системы выбраны время наработки на отказ и время восстановления после отказа. Под отказом понимается сбой в работе программных средств, требующий восстановления их работоспособности [2].
В качестве основных характеристик надежности рассматриваются время наработки на отказ и время восстановления после отказа. Фиксация отказов программного средства производится в жур-
нале отказов, где указывается время отказа, время восстановления и модуль, в котором был зарегистрирован отказ. После этого производится устранение найденной ошибки в ПО. Таким образом, в системе остается на одну ошибку меньше, чем было до момента отказа.
В рамках рассмотренной структуры функционирования программного обеспечения и фиксации отказов можно предложить модель надежности данной системы с учетом ее особенностей.
Модель, предложенная Джелинским и Мо-рандой, базируется на предположении о том, что время до очередного отказа распределено по экспоненциальному закону с интенсивностью отказов, пропорциональной количеству еще не выявленных ошибок. После обнаружения ошибки в ПО происходит немедленное ее устранение, и при коррекции ошибок не происходит внесения новых ошибок. В результате коррекции число оставшихся ошибок уменьшается на одну и тестирование возобновляется [3].
Данная модель позволяет получить так называемую функцию риска или интенсивность отказов ), которая будет зависеть от двух неизвестных: числа ошибок в ПО до начала тестирования и отладки, и коэффициента в модели Джелинского-Моранды [3]. Использование такого метода расчета значительно усложняет тестирование, поскольку приходится искать решение уравнений п-го порядка для получения необходимых значений. Поэтому была разработана комплексная модель надежности изучаемого программного средства на основе моделей Джелинского-Моранды и Миллса.
