СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРА ИНДИКАТОРНОГО ГИРОСТАБИЛИЗАТОРА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КРИТЕРИЯ ВЫШНЕГРАДСКОГО Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 531.383

DOI: 10.24412/2071-6168-2022-11-99-110

СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРА ИНДИКАТОРНОГО ГИРОСТАБИЛИЗАТОРА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КРИТЕРИЯ

ВЫШНЕГРАДСКОГО

А.С. Сырчина, А.В. Кулешов

Предложен способ аналитического определения параметров регулятора в контуре обратной связи системы стабилизации индикаторного гиростабилизатора с использованием критерия устойчивости Вышнеградского. Приведены полученные аналитические зависимости для расчета параметров регулятора и методика синтеза регулятора на примере реального гиростабилизатора.

Ключевые слова: индикаторный гиростабилизатор, устойчивость, регулятор, постоянные времени регулятора, диаграмма Вышнеградского, критерий Вышнеград-ского.

Формирование контура обратной связи системы стабилизации в индикаторном гиростабилизаторе (ГС), направленное на достижение требуемых точностных и динамических характеристик, помимо обязательных задач по обработке сигналов чувствительного гироскопического датчика, их преобразования и создания момента стабилизации включает в себя задачу синтеза регулятора, которая в большинстве своем направлена на выбор параметров регулятора, а не на изменение его структуры. Наиболее часто такой регулятор содержит в своем составе набор форсирующих и апериодических корректирующих звеньев первого порядка, а его синтез проводится определением постоянных времени корректирующих звеньев на основе анализа логарифмических частотных амплитудной и фазовой характеристик (ЛАФЧХ) [1-5].

Для исследования возможности аналитического определения параметров регулятора индикаторного ГС введем следующие ограничения на процесс синтеза регулятора в виде заданной структуры ГС, неизменных значений некоторых его параметров (например, момента инерции стабилизируемой платформы, параметров привода и т.д.), а также выполнения требований по точности и частоте среза.

Под синтезом регулятора в данном случае будем понимать процесс определения параметров регулятора известной структуры, обеспечивающего при заданных точности и частоте среза близкий к оптимальному переходной процесс [6].

Функциональная схема одного канала, рассматриваемого ГС показана на рис. 1.

Указанные ранее ограничения позволяют принять следующее: инерционные параметры объекта стабилизации и демпфирующие свойства двигателя стабилизации принимаем постоянными и заданными, в качестве чувствительного элемента (ЧЭ) примем трехстепенной гироскоп, влиянием нутационных колебаний которого, а, следовательно, и быстродействием на

канал стабилизации можно пренебречь, как и быстродействием двигателя. Единственным ограничением быстродействия ГС примем заданную частоту среза. В этом случае основными варьируемыми параметрами схемы можно считать параметры регулятора в контуре обратной связи.

Рис. 1. Функциональная схема ГС

Синтез регулятора в контуре обратной связи для обеспечения устойчивости и требуемого качества регулирования в ГС достаточно просто реализуется стандартными методами исследования систем автоматического регулирования по ЛАФЧХ. Для построения ЛАФЧХ необходимо составить передаточную функцию гиростабилизатора на основании уравнений движения ГС:

- а + Ву - а + Ку -а = Ыу

используя операторную форму записи:

3у • ^2 • а(*) + Ву • ^ • а(£) + Ку • а(*) = Ыу (*), (2)

где 3у - осевой момент инерции ГС; Ву - коэффициент демпфирования

по оси у ; Ку - коэффициент усиления в контуре стабилизации по оси у ;

у

Ыу - суммарный внешний возмущающий момент, действующий по оси у .

Обозначим ось стабилизации 0Y, считая нутационную частоту трехстепенного гироскопа значительно превышающей частоту среза рассматриваемого гиростабилизатора, представим структурную схему на рис. 2.

Передаточная функция разомкнутой системы имеет следующий

вид:

Жу (*) =

К

у

• Ж

3у • * 2 + Ву • * рег

На рис. 3 представлен стандартный вид ЛАФЧХ нескорректированного ГС, т.е. при Ж = 1. При стремлении получить высокую точность

рег

стабилизации в нескорректированной системе неминуемо происходит снижение запаса устойчивости по фазе, а вместе с этим повышается вероятность потери устойчивости и ухудшается качество регулирования: растут перерегулирование и время переходного процесса.

Рис. 2. Структурная схема одного канала стабилизации

РЗ ч

яГ ^

н я

ч а

Е <

га

О

Частота, Гц

Рис. 3. ЛАФЧХиндикаторного ГС без коррекции

Как уже было сказано ранее, регулятор, обеспечивающий устойчивость системы, чаще всего состоит из набора двух или четырех форсирующих и апериодических звеньев, передаточные функции которого имеют вид:

^рег\(5)

1 + Т • 5

^рег 2^

1 + Т • 5 1 + Т3 • 5

1 + Т2 • 5 1 + Т4 • 5

(3)

(4)

где Тр Т^, Т3, Т4 - постоянные времени регуляторов [3, 8].

В передаточных функциях обоих регуляторов устойчивость ГС обеспечивается форсирующим звеном с постоянной времени Т^, продолжительность действия которого в частотной области ограничивается апериодическим звеном с постоянной времени Т2. Применение дополнитель-

ных звеньев с постоянными времени Т3 и Т^ позволяет при необходимости

обеспечить уменьшение частоты среза нескорректированной системы. Ограничимся изучением регулятора с передаточной функцией (3).

Суждение о правильности выбора постоянных времени регулятора обычно осуществляется по нескольким параметрам: по запасам устойчивости, по виду и качеству переходного процесса.

Уравнение движения ГС по оси стабилизации в операторной форме записи (2) с учётом корректирующего звена вида (3) можно представить так:

2 1 + Т • * у

2 • а (*) + Ву ■ * • а (*) + Ку ■ —Т--а (*) = Ыу (*).

1 + Т2

При использовании регулятора с передаточной функцией (3) характеристическое уравнение ГС определяется полиномом третьей степени, в следующем виде:

3у-Т2 •я3 + (Ву-Т2 + )• *2 + (КуТ1 + Ву)• * + Ку = 0 (5)

Для исследования устойчивости рассматриваемого ГС воспользуемся графическим критерием Вышнеградского, позволяющим судить об устойчивости и качестве регулирования системы, описываемой полиномом третьего порядка.

Указанный критерий был предложен профессором Вышнеградским в 1876 году. Кроме устойчивости системы данный метод также позволяет судить о расположении корней характеристического уравнения на комплексной плоскости, а следовательно, о виде переходного процесса. [7, 9].

Рассмотрим полином третьего порядка:

3 2

Оо* + ¿1 + а^ + «3 = 0.

Введём следующую замену 9=' 3

¿0

—^, тогда получим:

а3

д3 + Лд2 + Бд +1 = 0, (6)

а1 а2

где Л = . ; Б = . 2 - параметры Вышнеградского.

а0а32

На координатной плоскости А0В (плоскости Вышнеградского) построим кривые СЕ, CF и CD, разбивающие плоскость на несколько областей (рис. 4):

СЕ и CF: Л2Б2 - 4(Л3 + Б3) +18ЛБ - 27 = 0, (7)

CD: 2Л3 - 9ЛБ + 27 = 0, при Л < 3. (8)

Анализ кривых (7), (8) на полученной диаграмме Вышнеградского, показанной на рис. 4, позволяет судить об устойчивости и качестве регулирования ГС.

1 2 3 4 5 6 7 8

А

Рис. 4. Диаграмма Вышнеградского

Границей устойчивости системы является условие: АВ = 1 при А > 0, В > 0 - гипербола, асимптотами которой являются координатные оси.

3

В точке С(3,3) уравнение (6) принимает вид (д +1) = 0, следовательно, корни уравнения имеют следующее значение д 2 3 =_1.

Рис. 5. Виды переходного процесса на диаграмме Вышнеградского

103

В общем случае кубическое уравнение имеет три корня, которые могут: 1) все быть действительными (область III); 2) два корня быть комплексно-сопряжёнными, а один - действительным. Второй случай также имеет два варианта: 2.1) комплексно-сопряжённые корни могут быть ближе к мнимой оси, чем действительный (область I); 2.2) действительный корень может быть ближе к мнимой оси, чем комплексно-сопряжённые (область II).

В зависимости от значений корней кубического полинома, т.е. от расположения параметров Вышнеградского на плоскости А0В, можно судить о виде переходного процесса системы, описываемой данным полиномом (рис. 5).

Рассмотрим методику синтеза регулятора индикаторного ГС с использованием диаграммы Вышнеградского для заданной точности и ограничения по значению частоты среза, часто встречающегося в практике разработки гиростабилизаторов. Приведём уравнение (5) к виду (6) и получим следующую зависимость для параметров Вышнеградского от параметров гиростабилизатора:

= РГТ2 + Зу = Т,-Кг + Ог

3 ЗУ ■ Т2 ' КУ 3 ЗУ ' Т2 ' К}

-2 Т

Передаточная функция разомкнутой системы с регулятором имеет следующий вид:

^,)=—К-—ЙТ^.

} + Ву-* 1 + Т2 ' *

Построение ЛАЧХ выполняется по следующей формуле:

с

20^Ь = 20^ -

К}'у

Т2 'Ю2 +1 1 ср

' ю ' л/Т2 ' Ю2 +1' Л Т22 ' Ю2 +1 У У ср у У ср у 2 ср у

(9)

Зу

где Ту = —--постоянная времени платформы, Юс - требуемая частота

ВУ

среза.

При пересечении графиком ЛАЧХ оси абсцисс, т.е. при ю = ю ,

ср

выполняется следующее равенство:

20^Ь = 0 Ь = 1. (10)

Выразив зависимость между постоянными времени Т^ и Т^ из (9) с условием (10), получим:

Т2 • ю2 +1 в2 ' Ю2 ' (Т2 • Ю2 +1) 1 ср = у ср 4 у ср 7 (11)

9 9 9 . (11)

Т22 • ю2 +1 к}

2 ср У

Таким образом, имея известные параметры ГС и задавая желаемую частоту среза, можно получить набор параметров Вышнеградского, а следовательно, кривую равных частот среза, пересекающую диаграмму Вышнеградского.

На рис. 6 показаны кривые равных частот среза на плоскости Вышнеградского для диапазона частот среза от 45 до 70 Гц, имеющих место в реальных разработках.

Рис. 6. Кривые равных частот среза

На основании соответствия переходных процессов каждой из областей диаграммы Вышнеградского можно выбрать желаемые значения параметров Вышнеградского. Постоянная времени Т2 вычисляется через параметр Вышнеградского А из кубического уравнения:

• Т23 + (3 • в] • Зу - А3 • з] • Ку) • Т22 + 3 • Ву • з] • Т2+ ^ = 0.(12)

Для реальных индикаторных гиростабилизаторов демпфирование, определяемое коэффициентом Ву, создается в двигателе стабилизации и

обычно на практике имеет малые значения, что позволяет пренебречь составляющими уравнения (12), пропорциональными этому коэффициенту демпфирования.

В этом случае для вычисления постоянной времени Т2 можно воспользоваться упрощенной формулой:

Т

у

1

Ку • А3

ср

.и

где ®ср - частота среза нескорректированной системы.

Подставив корни уравнения (12) или определенное по упрощенной формуле значение постоянной времени Т2 в формулу (11), получим значение постоянной времени Т:

Т =

вУ -ю2 • (ТУ -ю2 +1) • (Т22 •ю2 +1) - К2 У ср у У ср ; к 2 ср ;

У

1 1

или с учетом малости Ву

ку • ю2

(13)

ср

Т = 1 к

у

ю

у

ср

^ юс2р +1) =

ю

ср

ю

н ср

И • ю^р +1).

В качестве примера рассмотрим индикаторный ГС со следующими

параметрами, близкими к параметрам реальных гиростабилизаторов: мо-

2

мент инерции относительно оси у: Зу = 75 сН^см^с ; коэффициент демпфирования по оси у: Ву = 13.37 сНхсм*с; суммарный внешний воз-

гУ

мущающий момент: Му = 750 сН*см; угол статической ошибки по оси у:

а = 0.8'; коэффициент усиления в контуре ОС по оси у: ст

у

Му Нхм Кт = —— = 322.3-; желаемая частота среза: юср = 57 Гц.

у

а

ст

рад

Для заданных параметров ГС диаграмма Вышнеградского и кривая равных частот среза для частоты 57 Гц примут вид, показанный на рис. 7.

Рис. 7. Кривая равных частот среза при юср = 57 Гц на диаграмме Вышнеградского

Значения параметров Вышнеградского для выбранных трех характерных точек, соответствующих значениям параметра А равным 1, 3 и 9, постоянные времени регулятора, рассчитанные по формулам (12), (13) или их упрощенным выражениям, а также полученные в результате введения регулятора с рассчитанными постоянными времени значения запаса устойчивости по фазе и параметров переходного процесса приведены в таблице.

Результаты расчета параметров регулятора

А В ^ ^ [с] Запас по фазе Дф, град Перерегу-ли- рование, % Время регулирования, с

1 3.403 Т1 = 0.016417 Т2 = 0.004830 20.4° - 0.0568

3 3.991 Т = 0.008327 Т2 = 0.000929 53.1° - 0.0197

9 4.897 Т = 0.007871 Т2 = 0.000179 66.8° 1.06% 0.0184

Результаты расчета регуляторов в виде ЛАФЧХ и переходных процессов скорректированной системы приведены на рис. 8 и 9 соответственно. Голубым цветом показаны графики, соответствующие первой точке на рис. 7 (1, 4.403), оранжевым - второй точке (3, 3.991), фиолетовым - третьей (9, 4.897).

Частота, Гц

Рис. 8. ЛАФЧХ скорректированной системы

107

Время, с

Рис. 9. Переходные процессы в скорректированной системе

Анализ полученных данных и графиков позволяет сделать вывод, что все графики соответствуют устойчивым системам, поскольку выбранные точки на кривой равных частот среза лежат правее границы устойчивости на диаграмме Вышнеградского. Как и следовало ожидать, наиболее близким к оптимальному является переходной процесс системы, параметры которой были определены для параметра Вышнеградского, А=3. Для такой системы частота среза скорректированной системы попадает на пик фазовой характеристики, что соответствует переходному процессу без перерегулирования.

С уменьшением параметра А характерная точка на кривой равных частот среза приближается к границе устойчивости, что приводит к снижению запасов устойчивости и к ухудшению качества регулирования. Это обусловлено большим значением постоянной времени Т2, при котором частота среза скорректированной системы превышает частоту пика фазовой характеристики. В результате большое значение Т2 увеличивает длительность переходного процесса, а малый запас устойчивости - колебательность.

Увеличение параметра А отдаляет характерную точку на кривой равных частот от границы устойчивости, но переводит ее в зону I диаграммы Вышнеградского, в зону колебательного переходного процесса, что приводит к росту перерегулирования, в данном случае незначительному, поскольку кривая остается в верхней части зоны I.

Таким образом, использование критерия Вышнеградского позволяет аналитически рассчитать параметры регулятора в контуре обратной связи системы стабилизации индикаторного ГС, гарантирующие обеспечение достаточного запаса устойчивости по фазе, удовлетворительного качества

108

регулирования, и обеспечить при этом требуемую частоту среза. Это говорит о возможности применения данного метода обеспечения устойчивости для оптимизации параметров регулятора.

Список литературы

1. Индикаторные гиростабилизаторы бортовых оптических приборов / В.В. Козлов, А.В. Кулешов, А.В. Полынков, В.В. Фатеев // Оборонная техника. 2020. №1. С. 25 - 44.

2. Fateyev V.V., Polynkov A.V., Kuleshov A.V. Long-focus optoelectronic systems for Earth remote sensing // AIP Conference Proceedings. 2021. Т. 2318. №.1. С. 170001.

3. Кулешов А.В., Фатеев В.В. Погрешности двухосного индикаторного гиростабилизатора оптического прибора при качке носителя / Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2017. № 12. С. 7-13.

4. Козлов В.В., Кулешов А.В., Фатеев В.В. Гироскопические стабилизаторы съемочной аппаратуры. Опыт разработки // Авиакосмическое приборостроение. №12. 2013. С. 27-42.

5. Гироскопические системы. Проектирование гироскопических систем. Ч. II. Гироскопические стабилизаторы: пособие для вузов / под ред. Д.С. Пельпора. учеб. М.: «Высшая школа», 1977. 223 с.

6. Фатеев В.В., Козлов В.В. Квазиоптимальный синтез регулятора индикаторного гиростабилизатора. М.: Изд-во. МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1987.

7. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. 4-е изд., перераб. и доп. СПб: Изд-во «Профессия», 2004. 752 с.

8. Бесекерский В.А., Фабрикант Е.А. Динамический синтез систем гироскопической стабилизации. Ленинград: Судостроение, 1968.

9. Щепетов А.Г. Об оптимальных формах переходного процесса и амплитудно-частотной характеристики линейной динамической системы. Пробл. управл. 2008. № 3. С. 30 - 36.

Сырчина Анна Сергеевна, студентка, sheeseramail. ru, Россия, Москва, Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана,

Кулешов Александр Викторович, канд. техн. наук., доцент, kuleshova hmstu.ru, Россия, Москва, Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана

SYNTHESIS OF THE INDICATOR GYROSTABILIZER CONTROLLER USING THE VYSHNEGRADSKII CRITERION

A.S. Syrchina, A.V. Kuleshov

A method is proposed for the analytical determination of the parameters of the controller in the feedback loop of the stabilization system of the indicator gyrostahilizer using the Vyshnegradsky stability criterion. The obtained analytical dependences for calculating the parameters of the controller and the method of synthesis of the controller on the example of a real gyrostahilizer are presented.

Key words: indicator gyrostabilizer, stability, controller, controller time constants, Vyshnegradsky diagram, Vyshnegradsky criterion.

Syrchina Anna Sergeevna, student, sheeser@,mail. ru, Russia, Moscow, Moscow Bau-man State Technical University,

Kuleshov Alexander Viktorovich, candidate of technical sciences, docent, kule-shov@,bmstu.ru, Russia, Moscow, Moscow Bauman State Technical University