Синтез распределения электростатического поля в приборах СВЧ по заданной конфигурации электронного пучка Текст научной статьи по специальности «Физика»

Секция приборов сверхвысоких частот

УДК 537.533

Л.Н. Данилов, Н.Ф. Купчинов

СИНТЕЗ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ В ПРИБОРАХ СВЧ ПО ЗАДАННОЙ КОНФИГУРАЦИИ ЭЛЕКТРОННОГО ПУЧКА

Вопросам формирования электронных пучков заданной конфигурации посвящено большое число работ, обширную библиографию которых можно найти в статьях [1-3]. Однако для ряда практических приложений математический аппарат решения можно значительно упростить, если задаться простой аналитической функцией, описывающей конфигурацию электронного пучка.

В качестве исходной системы уравнений необходимо использовать уравнения Пуассона, движения граничного электрона и непрерывности тока, которые в прямоугольной системе координат для двумерного случая имеют вид:

^+^=-р- (1)

л.2 -Ч 2 * 'А'

ду 02 е0 сРу=^ди__ {2)

т ду с!г м &

сИу) = с//ури = 0, (3)

где и - потенциал, р - плотность пространственного заряда, Е0 - диэлектрическая проницаемость вакуума, е - заряд электрона, Ш - его масса, у и 2 - координаты, и - скорость электрона, у - плотность то-

ка.

ди ди

Подстановка -------- и ----- из уравнений движения (2) в уравнение

ду дг

Пуассона (1) дает

д с12у д с/22 е р

+ ——=------(4)

ду Ж2 дг с/12 т б0

Чтобы получить связь формы электронного пучка с распределением потенциала и объемным зарядом, из уравнения (4) необходимо исключить время. Выражая временные производные от у через временные производные от 2 , можно получить уравнение (1) в виде

д_

ду

їж+

V сЬ дг

1 +

(І2

е2и

дг2

(5)

4у <*2У . ,,

где — и ------— характеризуют конфигурацию электронного пучка, а (7 ,

(І2 (І2~

ди д2и

----, ---— - значения потенциала и его производных на границе элек-

дг дг~

тронного пучка заданной конфигурации.

Нерелятивистское уравнение (5) для двумерного случая выведено без упрощающих предположений. Его можно переписать в виде интегро-дифференциального уравнения вида

2^ ік~

1 +

(іуди 'дЪ .

-и + ——+ ----------

с/у У (І2 дг { дг £І2

гдЪ , 'ср.

(в)

о ео

Согласно (3) ток в любом сечении пучка одинаков, и поэтому правую часть уравнения (6) можно представить в виде

где Цу, 2)) плотность тока в пучке; ]1[ - средняя плотность тока катода; ук - полутолщина эмитирующей части катода. Уравнение (6) при

(/ * Ип (ио потенциал на оси пучка) и при (1у/(12 « 1 превращается в общеизвестное параксиальное уравнение

с/г' дг с/г дг~

.1 кУ к

(8)

т

Для аксиально-симметричного пучка можно получить аналоги формул (5), (6) и (8) в виде

д_

дг

Ъг—и

с/г ди сЬ2

Г----+---—---7

*» |+Ц|

+ г

дгЦ р г

дг2 еп

О)

Лгм/1 +

-—Г/

г 2 с/г ді/ 2} д2и J у

----г +----------Н----Г------СІГ =--------

. ГСІ2 32 Г ° & ’

с/г

V т

и

4 и2г ., 2 с//- сШп с/2ип

-и о +

Лг*

г с/г2 г с/г і/г с/г2

е0г2р-и0

V т

(10)

(11)

где Гк - радиус эмиттирующей поверхности катода.

а2£/0 / д4£/ а2г/0 г2 а4с/0

При выполнении условий -------г- »---------— и ------»-----------Т- в

дг 6 & &" 8 дг

д2и0

выражениях (6) и (10) ------7- можно вынести за знак интеграла и запи-

дг~

сать их в виде

д2и0 ,ди0 ТТ с , пч

—О +Ь-----°+а(/ (12)

дг2 дг 0 ^'

где для ленточного пучка

для аксиально-симметричного пучка

4 drr

а - —L-dzl r dr dz

. 2 dr

7 ’

г dz

J&

с =

dr

dz

e0r-J 2—

e

m

Численное интегрирование уравнения (12) проводилось методом “прогноз-коррекция” с использованием явных формул Эйлера для прогноза и неявных формул трапеций для итерационной коррекции.

В параксиальном приближении уравнения эквипотенциальных линий у.,(г) и (г), соответствующих потенциалу С/0, имеют вид

I V Л ^иАг)-из I V ч Аи0(г)-из

у'\Рг)+2ыГ; г-шрг)+лыГ' “ ’

II дг2 У дг2

где ^ = -J—-aU,(z)-bUM)-dz- -JU0(z)

Расчеты реализованы в виде программы на языке Microsoft FORTRAN 5. Программа реализует диалоговый ввод исходных данных расчета, выбор аналитического описания траекторий и выбор формы представления результатов расчета. Предлагаемая методика синтеза распределения электростатического поля по заданной конфигурации электронного пучка тестировалась путем решения задач для ленточного, цилиндрического и конического пучков, для которых известны точные решения. Наибольшая погрешность в распределении потенциала (6-7%) наблюдается вблизи катода, уменьшаясь по мере удаления от катода до долей процента. Формы эквипотенциальных линий (кроме нулевой экви-потенциали) практически совпадают с аналитическими решениями для

— <2 и —<2.

Ук гк

В качестве примера на рис.1 и 2 приведены результаты расчета для

у

аксиально-симметричного пучка при Г*=2мм, — = 2 (Га - радиус анод-

Га

ного отверстия), jk= 2А/см2, расстоянии катод-анод <4, =5 мм для заданных конфигураций электронного пучка, описываемых выражениями

а -аг

Г = т----г-г и Г = Г.. ч соответственно.

О ООО (>.053 0 102 0 153 0 204 0 255 0.308 0 357 0 408 0 459 г. МО1

Рис. 1

0 000 0 053 0 102 0 153 0 204 0 255 0 30» 0 357 0 408 0 459 г.‘10!

Рис. 2

ЛИТЕРАТУРА

1. Чихачев А.С. О точных решениях уравнений параксиального потока частиц в ускоряющем поле //Радиотехника и электроника. 1995. № 4.

2. Сыровой В.А. Формирование цилиндрических электронных пучков с произвольным сечением //Радиотехника и электроника. 1994. № 6.

3. Сыровой В.А. О точности задач параксиальной теории релятивистских электронных пучков в прямой постановке //Радиотехника и электроника. 1996. №1.