CC BY
33
УДК 537+533
Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2014. Вып. 1
Д. С. Телевный
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ И ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ЯЧЕЕК ДИОДНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ПОЛЕВОГО ОСТРИЯ
Санкт-Петербургский государственный университет, 199034, Санкт-Петербург, Российская Федерация
В статье рассматриваются ячейки диодных периодических систем. Первая ячейка расположена в прямоугольной системе, вторая ячейка является элементом цилиндрической системы. Ставится задача возможности моделирования ячейки прямоугольной периодической решетки осесимметричных катодов с помощью цилиндрической ячейки. Полевое острие моделируется заряженной нитью конечной длины. Решается граничная задача для уравнения Пуассона. В ходе решения используется метод виртуального катода для вычисления коэффициентов, входящих в функции, полученные из решения уравнения Пуассона. В результате найдены в аналитическом виде функции распределения электростатического потенциала во внутренних областях систем на основе полевого острия. Нулевая эквипотенциаль принимается за поверхность катода. Представлены графики распределения потенциала в ячейках систем. Библиогр. 14 назв. Ил. 3.
Ключевые слова: полевой катод, распределение потенциала, диод, уравнение Пуассона.
Televnyy D. S. The modeling of rectangular and cylindrical cells diode-type periodic systems based on the field tip // Vestnik of St. Petersburg University. Ser. 10. Applied mathematics, computer science, control processes. 2014. Issue 1. P. 157—165.
The diode-type cells of periodic systems on the base of the field cathodes are considered in the article. The first cell is located into the rectangular system, while the second cell is an element of cylindrical system. The problem is cell's modeling possibility of rectangular periodical lattice of axisymmetrical cathodes with the help of cylindrical cell. The field emitter is modeled by charged filament of limited length. The boundary problem for the Poisson's equation is solved. The virtual cathode method is used for calculating coefficient which is included in functions obtained from the solution of the Poisson's equation. In the result the functions of distribution electrostatic potential are found in analytical form in the systems based on the field tip. Zero equipotential is taken as cathode's surface. The graphs of the potential distribution in the system's areas are presented. Bibliogr. 14. Il. 3.
Keywords: field cathode, potential distribution, diode, Poisson's equation.
Введение. Полевые электронные источники находят применение в научных исследованиях и повседневной жизни. Полевая эмиссия предполагает эмиссию электронов с поверхности твердого тела под действием сильного электрического поля [1-3]. Эффективность эмиссии напрямую зависит от локального электрического поля вблизи поверхности острия, поэтому высокая плотность тока при небольшом значении потенциала в системе обеспечивается за счет малого радиуса кривизны острия и не нуждается в дополнительной затрате энергии на нагрев эмиссионной области [4-7].
Полевые эмиссионные устройства применяются в электронных микроскопах, системах диагностики поверхности и светоизлучающих приборах. В устройствах такого типа могут использоваться конструкции, состоящие из одного источника или систем источников. В первом случае достигается высокая напряженность из-за малого радиуса кривизны острия, но небольшая плотность тока, во втором - значительная плотность тока обеспечивается большим числом источников, но возникает эффект
© Д. С. Телевный, 2014
экранирования близко стоящих острий, что уменьшает эффективность эмиссии. В работах [8-11] охарактеризованы некоторые модели устройств на основе полевых катодов и даны их численные характеристики.
В настоящей статье описывается моделирование прямоугольной и цилиндрической ячеек диодных периодических систем на основе полевого острия.
Физическая постановка задачи. Рассмотрим две диодные системы, приведенные на рис. 1. В первой системе осесимметричные полевые острия расположены на плоской металлической подложке в узлах прямоугольной периодической решетки, плоскость при г = х\ представляет собой анод (рис. 1,а). Вторая диодная система состоит из катода - одиночного осесимметричного полевого острия на плоской металлической подложке и анода - плоскость при г = г; (рис. 1,6). Полевое острие моделируется с помощью заряженной нити длиной го. Катод имеет нулевой потенциал, на аноде задан потенциал V;. Требуется найти распределения потенциала во внутренних областях систем на основе полевого острия и показать, можно ли моделировать ячейку прямоугольной периодической решетки осесимметричных катодов с помощью цилиндрической ячейки.
а б
Рис. 1. Схематические изображения ячеек периодических систем а — прямоугольная ячейка; б — цилиндрическая ячейка.
Математическая постановка задачи для цилиндрической ячейки. Распределение потенциала в системе, в которой присутствует объемный заряд, должно удовлетворять уравнению Пуассона. В цилиндрических координатах с учетом аксиальной симметрии данное уравнение имеет вид
А11(г,г) = (1)
£о
с граничными условиями
и (г, 0) = 0, г £ [0, п],
и(г,г;) = V1, г £ [0,п],
ди(г, г)
дг
= 0, г е [0,*1],
где Г1 - радиус цилиндрическом ячеики.
Решение уравнения (1) можно представить в виде суммы решения уравнения Лапласа и1(г, г) с неоднородными граничными условиями (2) и решения уравнения Пуассона Щ(г, г) с однородными граничными условиями
и (г, г) = и1(г,г ) + и2(г,г).
Решение первой задачи
г
и1{г,г) = У1 — . (3)
г1
Для решения уравнения (1) с однородными граничными условиями представим неизвестную функцию и (г, г) в виде ряда [12]
и2(г,г) = ^УпШо(^Л, (4)
П=1 V г1 /
здесь ип - корни функции Бесселя первого рода первого порядка Уп(г) - неизвестная функция, - функция Бесселя первого рода нулевого порядка.
Подставим (4) в (1) и, пользуясь свойством ортогональности функции Бесселя, придем к неоднородному дифференциальному уравнению второго порядка
2
Уп"{г) - ( ВД = [г^о ("-г ) ¿г, (5)
г1 ) г\Ло2(ип^ ео V г1
в котором 5Г - предполагаемый радиус острия, 0 < Ог ^ г1.
Представим объемную плотность как кусочно-постоянную функцию
I \ I ПО2
Рг(г) ' '
0, г > го,
где т - кусочно-постоянные значения плотности заряда нити.
Тогда при достаточно малом значении Ог в уравнении (5) интеграл
' ^п . ...
2 ----
§ г./о Г-~ Введем обозначения
о V г1 / 2
¥ъ(г)
1
2 <
гЦ2(шп) пео'
0, г > го,
К"(г) - (Хп)2 Уп(г) = Фг(г), (6)
здесь А„ = —. Решение уравнения (6) будем искать следующим образом: г1
Уп(г) = Лп(г)сЬ (Хпг) + Бп(г)вЪ (Хпг).
Т = 'Г 1
Функции Ат (г) и Бт(г) при использовании метода вариации постоянных должны определяться из уравнений
Ап'еЬ (Хпг) + Бп'вЪ (Хпг) = 0, К (Ап'вЪ (Хпг) + Бп'сЪ (Хпг)) = ^(г). Учитывая однородные граничные условия, в результате имеем
г 1 вЪ (Хп(г1 - г)) } , , , ,
--Пл-^— Л ^ ^(л)^ -
Шп вЪ (Хпг1) 0
К (г)^ -
вЬ^г^ . ^ _ )) ср^г/)(1г/, г < г0,
Шп вЪ (Хпг1) I
Г1 вЪ (Хп(г1 - г)) , , ,А
--ТГГл-\-] {Хпг]) г > г0.
Шп вЪ (Хпг1) 0
Возвращаясь к виду (4), после интегрирования получим функцию распределения потенциала в случае г ^ го
" 1
„ , ^ 1 -о (Хпг) и2 (г, г = > -г-2---——-- х
^ пеошп¿¿(Шп) вЪ (Хпг1)
х вЪ (Хп(г1 - г)) т8 (сЪ (ХпО) - сЪ (ХпС-1)) + 8 = 1
+ вЪ (Хпг1) - вЪ (Хп(г1 - г)) сЪ (ХпСт-1) - вЪ (Хпг) сЪ (Хп(г1 - (т))^ -
N
- вЪ (Хпг) т8 (сЪ (Хп(г1 - (8)) - сЪ (Хп(г1 - &-1))
в=т+1
, г < го.
Вид функции распределения потенциала в случае г > г0
^ 1 вЪ (Хп(г1 - г))
1Ыт,г)
N
^ 7Г£0^2 вЬ (\nZl_)
^т^сЪ (ХпС) - сЪ (ХпСз-1^ -о (Хпг), г > го.
8=1
(7)
(8)
Полное решение уравнения Пуассона (1) с граничными условиями (2) будет складываться из (3), (7), (8). Для вычисления коэффициентов т^, г = задается система точек, в которых потенциал должен принимать нулевое значение [4], тем самым аппроксимируется форма острия в виде поверхности эллипсоида. Таким образом, получим систему, связывающую неизвестные коэффициенты, состоящую из линейных алгебраических уравнений. Решая данную систему, вычислим кусочно-постоянные значения плотности заряда нити.
Математическая постановка задачи для прямоугольной ячейки. Распределение потенциала для прямоугольной системы с учетом объемного заряда должно удовлетворять уравнению Пуассона
Ли(х, у, г) = -
Р(х,У,г)
£о
(9)
х
х
с граничными условиями
U(x,y, 0)=0, x е [-xi,xi], y е [-yi,yi],
U(x,y,zi) = Vi, x е [-xi,xi], y е [-yi,yi], dU(x, y, z)
dx
dU(x, y, z)
dy
(10)
= 0, y е [-yi,yi], z е [0,zi],
x=±xi
= 0, x е [-xi,xi], z е [0,zi].
y=±yi
Решение уравнения (9) можно представить как сумму решения уравнения Лапласа Ui (x, y, z) с неоднородными граничными условиями (10) и решения уравнения Пуассона U2(x,y, z) с однородными граничными условиями
U (x,y,z) = Ui (x,y,z) + U2(x,y,z).
Распределение потенциала между электродами для первой задачи имеет линейный
вид
z
U1{x,y,z) = V1 — . (И)
z
Для решения уравнения (9) с однородными граничными условиями представим неизвестную функцию U(x,y,z) следующим образом [12]:
Ж Ж ,N ,\
U2{x,y,z) = cos ( —(xi -x) ) cos ( —(г/1 - у) ) , (12)
n=0 k=0 i J i J
где Vnk - неизвестная функция; xi, yi - размеры прямоугольной ячейки по соответствующим координатным осям.
Функцию плотности заряда p(x, y, z) будем аппроксимировать кусочно-постоянной функцией
jjV, ze(Ci-i,Ci], i = l,N, z^z0, Pi(z) = { 4dxdy (13)
z > zo.
В (13) Sx и Sy - размеры ячейки, в которой содержится заряд, по соответствующим координатным осям, Ti - кусочно-постоянные значения плотности заряда нити. Предполагается, что Sx ^ x i и Sy ^ y i.
Подставив (12) в (9), имеем неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка
ж ж
ЛГ',к(
J2J2Vn,k(z)cos(K(xi - x))cos(\k(yi - y)) -
n=0 к=0
Ж Ж / Ч
- У^У^ К,kVn,k(z) cos (\n(Xl — х)) cos (Afe (г/i - у)) = -Р x,v,z ;
— — £-0 n=0k=0 0
. 7ГП irk r-Tj-ру
где A„ = -—; \k = —; Xn k = ^\zn + Ц 2xi 2y i k
Пользуясь свойством ортогональности тригонометрических функций, получаем следующие ситуации:
1) п = 0, к = 0: У^о(г) = -
1 П
е0 4ЖЦ/1'
(-1)' т-
2) п = 0, к > 0: У" = А = 2/, / е М;
£о 2Х1У1 (-1)т т
3) п > О, Л = 0: У^0{г)-\2гуп^{г) =п = 2т, т € М;
4) п> 0, к> 0: У^(г)-Х^^к(г) = -
£о 2Х1У1 (-1)'+т П
—п = 21, к = 2т, /,теМ.
£о Х1У1
Решение уравнений будем искать с помощью метода вариации постоянных. Учитывая вид разложения (12), можно записать решение уравнения Пуассона (9) с граничными условиями (10) в случае г ^ го
г1
и2{х,у,г) = V7!--
г1 4еоХ1 у1
г1
8- 1
_ 1) 1 ** ^
+
г (С? (82-
+ - ^ -
Я ^8-1 \ , I Св — 1 г 2
г1
г^ у 2 N 22
+
+ 22
(-1)'
¿=8+1
1
2
22
N
- г[С - г) +
к=1
2еоХ1У1 вЪ (Хкг\)
¿=8 + 1
8-1
1
+
вЪ (Хк (г1 - г))^2 Тг(сЪ (Хк(¿) - сЪ (Хк (¿-1)) +
+ "8 (вЪ (Хкг1) - вЪ (Хк(г1 - г)) сЪ (ХкС8-1) - вЪ (Хкг) сЪ (Хк(г1 - С))^ -
N
- вЪ (Хкг) т^сЪ (Хк(г1 - (¿)) - сЪ (Хк(г1 - Сг-1))
+ Е
к
¿=8+1
(-1)™ 1 2е0Ж1У1 вЬ (\nz-t)
соб(хк (у1 - у)) +
8-1
вЪ (Хп(г1 - г))^ т> (сЪ (Хпй) - сЪ (Хпй-1)) + (14)
¿=1
+ т^вЪ (Хпг1) - вЪ (Хп(г1 - г)) сЪ (ХпС-1) - вЪ (Хпг) сЪ (Хп(г1 - (8))) -
N
- вЪ (Хпг) ^2 т^сЪ (Хп(г1 - ^)) - сЪ (Хп(г1 - (¿-1)^
¿=8+1
соя (хп(х1 - х)) -
-
(-1)'+т соя(Хп(Х1 - Х))сов(Хк(У1 - У))
п=1 £оХ1У1 вЪ (Хп,кг1)
8-1
вЪ (Хп,к (г1 - г))^2 т¿ (сЪ (Хп,к (¿) - сЪ (Хп,к (¿-1)) + т^вЪ (Хп,к г1) -
¿=1
- вЪ (Хп,к(г1 - г)) сЪ (Хп,кС-1) - вЪ (Хп,кг) сЪ (Хп,к(г1 - С))) -
г
х
N
- эИ (Хи,кх) Е (Хп'к(г1 -- (Хп,к(г1 - Сг-1^ • ¿=8 + 1
Решение уравнения Пуассона (9) с граничными условиями (10) в случае г > го
+ Е 811 (Хо')} I" (сЬ -сЬ ^)сов - +
+ Е 0("1Г 811 -сЬ(ЛпСг-1))со8(Лп(х1 -х)) - (15)
^ 2еоХ1У1 эИ (Хпг1) ^ V /
п=1 4 ' 1=1
^ ^(Ау (.1 - г)) ^ , _ с л Л х
^ Е0Х1У1 йИ (Хп,кг1) ^ V )
п=1 ' ' ¿=1
х ео8(Хп(х1 - х))еов(Хк(у1 - у)) •
Полное решение уравнения Пуассона (9) с граничными условиями (10) будет складываться из (11), (14), (15). Для вычисления коэффициентов т^, г = задается система точек, в которых потенциал должен принимать нулевое значение [4], тем самым аппроксимируется форма острия в виде поверхности эллипсоида. Таким образом, получим систему, связывающую неизвестные коэффициенты и состоящую из линейных алгебраических уравнений. Решая данную систему, вычислим кусочно-постоянные значения плотности заряда нити для прямоугольной ячейки.
Результаты численных расчетов. В данной части работы требуется показать, можно ли моделировать ячейку прямоугольной периодической решетки осесимметрич-ных катодов с помощью цилиндрической ячейки. Для прямоугольной и цилиндрической ячеек примем одинаковые параметры расчета кусочно-постоянных значений плотности заряда нити.
По теоретическим расчетам была написана программа, которая проводит расчет потенциала в прямоугольной и цилиндрической ячейках [13, 14]. Использовались следующие общие параметры систем: г € [0,1], У = 1, го = 0^25 - длина заряженной нити, N = 20 - количество неизвестных коэффициентов т^, г = 1, N. Бесконечные суммы ограничивались числом 5000 для цилиндрической ячейки и 2000 для прямоугольной ячейки, которые являлись достаточными для необходимой точности расчетов. Размеры прямоугольной ячейки х € [-1,1], у € [-1,1], радиус цилиндрической ячейки Г1 = 3. Геометрические параметры и электростатический потенциал приведены по отношению к соответствующим максимальным значениям.
На рис. 2 изображены эквипотенциальные линии электростатического потенциала во всей области систем (а) и вблизи вершины острия (б). Пунктирными линиями обозначены эквипотенциальные линии, рассчитанные для прямоугольной ячейки, сплошными - для цилиндрической. Эквипотенциальные линии распределения потенциала совпадают во всей области ячеек. Жирными линиями выделены нулевые экви-потенциали, совпадающие с поверхностью катода.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.20 0.22 0.24 0.26 0.28 0.30
2
Рис. 2. Эквипотенциальные линии распределения потенциала для прямоугольной и цилиндрической ячеек а — во всей области систем; б — вблизи острия.
На рис. 3, а приведены значения плотности заряда для двух поставленных задач. Квадратным маркером обозначено решение, рассчитанное для прямоугольной ячейки, круглым - для цилиндрической.
Ф)
А ф)
0.0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6 -0.7 -0.8
0.012 0.010 0.008 0.006 0.004 0.002
............2 0000
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
Рис. 3. Значения плотности заряда (а) и абсолютная разность значений
и~\-г
0.25
плотности заряда для двух задач Дгг(^) = \тП
Р| (б)
Кривую абсолютной разности значений плотности заряда для прямоугольной и цилиндрической ячеек иллюстрирует рис. 3,б.
Заключение. В данной задаче проводилось моделирование тонкого полевого катода в прямоугольной и цилиндрической ячейках. Решение представлено как сумма решения уравнения Лапласа с заданными граничными условиями на электродах и решения уравнения Пуассона с однородными граничными условиями. Функции распределения электростатического потенциала найдены в аналитическом виде и представлены для цилиндрической ячейки формулами (3), (7), (8), для прямоугольной - (11), (14), (15). Из решения уравнения Лапласа для двух ячеек (3), (11) видно, что функции распределения потенциала между электродами совпадают и имеют линейный вид. Значения
— т
общего решения уравнения Пуассона показывают достаточное совпадение распределения потенциала в системах, а также нулевых эквипотенциалей, которые принимаются за поверхность катодов, для возможности моделирования прямоугольной ячейки цилиндрической. Возможность замены моделей уменьшает количество параметров задачи расчета диодных систем на основе полевых катодов.
Литература
1. Добрецов Л. Н., Гомоюнова М. В. Эмиссионная электроника. М.: Наука, 1966. 543 с.
2. Егоров Н. В., Шешин Е. П. Автоэлектронная эмиссия. Принципы и приборы. Долгопрудный: Издат. Дом «Интеллект», 2011. 704 с.
3. Овсянников Д. А., Егоров Н. В. Математическое моделирование систем формирования электронных и ионных пучков. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1998. 276 с.
4. Виноградова Е. М., Долгов Е. П., Егоров Н. В. Расчет электростатического потенциала в мно-гоострийных и одноострийных полевых системах // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2007. Вып. 1. C. 29—37.
5. Egorov N. V., Vinogradova E. M. Mathematical model of electron gun on the field emission electron cathode basis // Vacuum. 2000. Vol. 57. P. 267-281.
6. Виноградова Е. М., Егоров Н. В., Баранов Р. Ю. Расчет электростатического поля системы соос-ных аксиально-симметричных электродов // Радиотехника и электроника. 2007. Т. 52, № 2. С. 212-217.
7. Виноградова Е. М., Егоров Н. В. Математическое моделирование диодной системы на основе полевого эмиттера // Журн. техн. физики. 2011. Т. 81, вып. 9. С. 1-5.
8. Bargsten Johnson B., Schwoebel P. R., Holland C. E. e. a. Field ion source development for neutron generators // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research A. 2012. Vol. 663. P. 65-74.
9. Cui J. B., Robertson J., Milne W. I. Field emission site densities of nanostructured carbon // Materials Research Society Symposium Proceedings. 2001. Vol. 675. P. 651-655.
10. David S. Y. Microgating carbon nanotube field emitters by in situ growth inside open aperture arrays // Applied Physics Letters. 2002. Vol. 80. P. 2988-2990.
11. David S., Hsu Y. Integrally gated carbon nanotube-on-post field emitter arrays // Applied Physics Letters. 2002. Vol. 80. P. 118-121.
12. Миролюбов Н. Н. Методы расчета электростатических полей. М.: Высшая школа, 1963. 209 с.
13. Абрамович М., Стиган И. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / пер. и под ред. В. А. Диткина, Л. Н. Карамзиной. М.: Наука, 1979. 832 с. (Abramovic M., Stigan I. Handbook of mathematical functions with formulas, graphs and mathematical tables.)
14. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука, 1989. 432 с.
Статья рекомендована к печати проф. Н. В. Егоровым. Статья поступила в редакцию 31 ноября 2013 г.
Контактная информация
Телевный Денис Сергеевич - аспирант; e-mail: televniy-d@yandex.ru
Televnyy Denis Sergeevich - post-graduate student, St. Petersburg State University, 199034, St. Petersburg, Russian Federation; e-mail: televniy-d@yandex.ru
