CC BY
70
УДК 533+537 А. А. Климаков
Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2013, вып. 3
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОННОЙ ПУШКИ С СИСТЕМОЙ ФОКУСИРУЮЩИХ ЛИНЗ С УЧЕТОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА
Введение. Полевая эмиссия (ПЭ), порождаемая электростатическим полем, применяется во многих областях техники и имеет широкий потенциал для развития: эмиссионные дисплеи, источники микроволновых волн, электронная литография, электронные пушки [1, 2]. При этом высокие плотности тока можно получить при малых напряжениях [3].
В процессе работы электронной пушки в пространстве около острия образуется объемный заряд, который может оказывать сильное влияние на эмиссию электронов. В работах [4-6] рассматриваются вопросы влияния объемного заряда на сформированные пучки электронов. Для подобных систем одной из основных трудностей для численного расчета является то, что радиус кривизны вершины катода отличается от других элементов системы на несколько порядков [7, 8].
Расчеты электронных пушек на основе ПЭ проводились ранее [9-12], однако влияние объемного заряда самого пучка на эмиссионные характеристики не исследовалось.
В данной статье рассматривается электронная пушка на основе полевого эмиттера с системой фокусирующих электродов в форме косоугольных линз.
Рис. 1. Схематическое изображение системы
Климаков Алексей Андреевич — аспирант, 199034, Санкт-Петербургский государственный университет; e-mail: karamazv@rambler.ru. © А. А. Климаков, 2013
Физическая модель. Для моделирования была выбрана система, состоящая из катода в виде острия, двух фокусирующих косоугольных линз и анода (плоскость). На рис. 1 приведено схематическое представление эмиссионной системы в цилиндрической системе координат (г, г). Поверхность острия представляет собой полуэллипсоид с радиусом кривизны на вершине До высотой го и напряжением ио; Г,г{], (г\,Х2] -координаты отверстий косоугольных линз; а - угол наклона косоугольных линз; напряжение на первой фокусирующей линзе составляет и^ на второй - и^. Поверхность анода - г = гз, напряжение на аноде - и^. Поверхность г = гз ограничивает систему по координате г.
В силу аксиальной симметрии рассматриваемой модели задача была сведена к двумерному случаю в цилиндрических координатах.
Была рассмотрена система со следующими параметрами: ио = 0 В, и\ = 7 кВ, и2 = 5 кВ, го = 2.36 мкм (данный параметр подбирался таким образом, чтобы радиус кривизны на вершине острия был равен 5 нм), = 100 мкм, гз = 1000 мкм, ¿о = 1120 мкм, г\ = 1500 мкм, г2 = 4000 мкм, ^з = 8000 мкм, а = 40°. Управление системой осуществляется путем изменения напряжения и\ на первой линзе: от 5 до 7 кВ.
Целями работы являются расчет тока в данной системе с учетом распределения пространственного заряда, а также определение радиуса раствора пучка электронов, попадающего на анод.
Математическая модель. Для нахождения распределения потенциала и использовалось уравнение Пуассона
Аи = — — , иеПеВ3, (1)
£о
ди ~дг
= 0,
г=0
ди
15г
= 0.
г = гз
Решение было получено с помощью метода конечных элементов (МКЭ), реализованного в библиотеке численных расчетов deal.II. Для построения сетки области использовалась программа Gmsh.
Для решения задачи поверхность катода была разбита на участки, на каждом из них поле считается постоянной величиной. Для каждого участка вычислялась плотность проходящего через него тока. Для вычисления плотности тока ] в узловых точках было использовано соотношение Фаулера-Нордгейма
, = (2) V
где V - работа выхода электрона из катода; Е - поле на катоде; а и Ь - известные константы в теории ПЭ [13].
С помощью второго закона Ньютона и силы Лоренца были рассчитаны траектории и скорости движения пучков электронов:
^ = ЧеЕ, Г = теа,
здесь те - масса электрона, - заряд электрона. При расчете не учитывалась магнитная составляющая силы Лоренца.
Начальная скорость электронов принималась равной нулю, начальное направление совпадает с силовыми линиями поля.
Плотность тока, эмитированного с каждого участка катода, считается постоянной вдоль траектории пучка, поэтому плотность заряда определяется следующим образом:
р = 3-,
v
] = соиб!;,
(3)
где v - скорость электронов.
Для расчета поля был использован метод итераций: на первом шаге определялось поле без учета пространственного заряда (решалось уравнение Лапласа) (1), затем вычислялись ток (2) и плотность распределения пространственного заряда (3); в последующих шагах решалось уравнение Пуассона (1) с распределением заряда, найденным на предыдущем шаге.
Результаты. Результаты вычисления распределения потенциала получены на сетке, состоящей из 370 тыс. узлов. На рис. 2 приведено изображение сетки в области около острия.
мкм
1120.0
Рис. 2. Сетка системы
1120.5
Е, В/мкм 3500
г. мкм
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14
Рис. 3. Поле на катоде для последней итерации
При расчете системы итерации проводились до тех пор, пока изменение тока относительно предыдущей итерации превышало 1%. Для данной конфигурации системы потребовалось 9 итераций.
Поле на катоде на последней итерации иллюстрирует рис. 3, распределение потенциала с учетом пространственного заряда на оси системы (г = 0) на этой итерации -рис. 4. На рис. 5 показана разность потенциалов на оси системы (г = 0) с учетом и без учета распределения пространственного заряда. Ток системы представлен на рис. 6.
и, В
Рис. 4- Распределение потенциала на оси для последней итерации
Рис. 5. Разница между распределением потенциала на оси (г = 0) для первой и последней итераций и = (и0 — и%), где и0 — потенциал на первой итерации, — потенциал на последней итерации.
Л А
Рис. 6. Ток системы для каждой итерации п — номер итерации.
Также было произведено измерение зависимости тока системы (рис. 7) и радиуса разброса электронов на правой границе системы (аноде) (рис. 8).
Рис. 7. Изменение тока системы в зависимости от тока на первой фокусирующей линзе I = (I- — )/1х, где I- — значение тока при напряжении и- =5 кВ, — значение тока системы.
Рис. 8. Изменение радиуса пучка электронов в зависимости от напряжения на первой фокусирующей линзе R = (Ri — Rk )/Ri, где Ri - радиус раствора пучка электронов на аноде при напряжении ui = 5 кВ, Rk - радиус раствора пучка электронов на аноде.
Заключение. Произведено моделирование электронной пушки с системой фокусирующих линз с учетом пространственного заряда методом итераций, определены ток системы и величина раствора электронного пучка на аноде. Расчеты проводились с использованием библиотеки численных расчетов deal.II и программы Gmsh.
Установлено, что для данной конфигурации электронно-оптической системы самосогласованное решение сходится.
Проведена оценка изменения тока и радиуса раствора пучка электронов на аноде при варьировании граничных условий.
Литература
1. Овсянников Д. А., Егоров Н. В. Математическое моделирование систем формирования электронных и ионных пучков. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1998. 276 с.
2. Павлов В. Г. Влияние объемного заряда эмитированных электронов на полевую электронную эмиссию // Журн. техн. физики. 2004. Т. 74, вып. 12. C. 72-79.
3. Егоров Н. В., Шешин Е. П. Автоэлектронная эмиссия. Принципы и приборы. СПб.: Издат. Дом «Интеллект», 2011. 528 с.
4. .Завьялов М. А., Переводчиков В. И., Сыровой В. А. Проблемы электронно-оптических систем для перспективных пучково-плазменных приборов СВЧ // Прикладная физика. 2000. № 2. С. 122-132.
5. Сыровой В. А. Торцевые формирующие электроды для плотных электронных пучков и осесим-метричные бриллюэновские образования // Радиотехника и электроника. 2008. Т. 53, № 4. С. 494-512.
6. Акимов П. И. Использование ионов для усиления тока электронных пушек // Прикладная физика. 2002. № 4. С. 90-101.
7. Egorov N. V., Vinogradova E. M. Mathematical modeling of the electron beam formatting systems on the basis of field emission cathodes with various shapes // Vacuum. 2004. Vol. 72. P. 103-111.
8. Egorov N. V., Vinogradova E. M. Mathematical model of electron gun on the field emission electron cathode basis // Vacuum. 2000. Vol. 57. P. 267-281.
9. Виноградова Е. М., Егоров Н. В. Математическое моделирование электронной пушки на основе полевого электронного катода // Радиотехника и электроника. 2004. Т. 49, № 2. С. 251-256.
10. Виноградова Е. М., Егоров Н. В., Баранов Р. Ю. Расчет электростатического поля системы соосных аксиально-симметричных электродов // Радиотехника и электроника. 2007. Т. 52, № 2. С. 212-217.
11. Виноградова Е. М., Егоров Н. В. Математическое моделирование диодной системы на основе полевого эмиттера // Журн. техн. физики. 2011. Т. 81, вып. 9. С. 1-5.
12. Климаков А. А. Моделирование электростатической линзы // Процессы управления и устойчивость: труды 42-й междунар. науч. конференции аспирантов и студентов / под ред. А. С. Ерёмина, Н. В. Смирнова. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2011. С. 139-144.
13. Lau Y. Y., Liu Youfan. Electron emission: From the Fowler-Nordheim relation to the Child-Langmuir law // Phys. Plasmas. June 1994. Vol. 1, N 6. P. 2082-2085.
Статья рекомендована к печати проф. Д. А. Овсянниковым. Статья поступила в редакцию 21 марта 2013 г.
