Научная статья на тему 'Математическое моделирование триодной электронно-оптической системы с модулятором на основе полевого острия'

Математическое моделирование триодной электронно-оптической системы с модулятором на основе полевого острия Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
158
32
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ПОЛЕВОЕ ОСТРИЕ / ЭЛЕКТРОННАЯ ЭМИССИЯ / ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЛИНЗЫ / ЭЛЕКТРОННО-ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА / РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА / FIELD TIP / FIELD EMISSION / ELECTROSTATIC LENSES / ELECTRON-OPTICAL SYSTEMS POTENTIAL DISTRIBUTION

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Виноградова Екатерина Михайловна, Кримская Ксения Александровна

В данной работе вычисляется распределение электростатического потенциала во всей области осесимметричной электронно-оптической триодной системы с полевым острием и модулятором. Системы формирования и управления пучками заряженных систем на основе эмиссионных и электростатических линз широко применяются в различных областях приборостроения. В настоящее время в микрои наноэлектронике разрабатываются методы фокусировки слаботочных пучков. Подобные пучки применяются, например, при диагностике поверхностей. Электронно-оптические системы являются весьма сложными структурами, определение параметров которых требует больших предварительных расчетов. Создание теоретических моделей позволяет свести данные расчеты к ряду строгих математических задач. Для электронно-оптических систем, представляющих собой системы формирования и управления пучками в электронной пушке на основе полевых катодов, основная сложность при расчетах их характеристик состоит в том, что радиус кривизны на вершине острия отличается от геометрических размеров остальных электродов на несколько порядков. В работе рассматривается физическая модель осесимметричной электронно-оптической триодной системы с полевым острием и модулятором. Найдено распределение электростатического потенциала, удовлетворяющее уравнению Лапласа, для следующей триодной системы: острие полевой катод, поверхностью которого является сфера на веретенообразной поверхности вращения, подложка (анод) сфера, модулятор сферический сегмент. Для решения задачи используется метод перекрытия областей, с помощью которого исходная граничная задача сводится к нахождению неизвестных коэффициентов в разложении потенциала по собственным функциям из системы линейных алгебраических уравнений. Библиогр. 13 назв. Ил. 1.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Виноградова Екатерина Михайловна, Кримская Ксения Александровна

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Mathematical modeling of triode electron-optical system with modulator on the basis of field tip

The problem of field emission cathode mathematical modeling is considered. The beam formation and control system on the base of the immersion and electrostatic lenses are extensively applied in various domains of instrument engineering. Nowadays methods of the low-energy beams focusing in microand nanoelectronics are under investigation. For example, these beams are applied for surface diagnostics. The electron-optical system is a sophisticated structure, and its parameter determination requires long preliminary computation. The theoretical model development allows to reduce it to some rigorous mathematical problems. For electron-optical systems representing the systems of beam forming and control in electron guns with field emission electron cathodes, the main difficulty in their characteristics computation is that the field emitter curvature radius differs from electrode dimensions by few orders of magnitude. In this paper the physical model of the rotationally symmetrical triode electron-optical system with the field tip and modulator is considered. The solution of Laplace equation for the electrostatic potential distribution is presented for the triode system: the tip as a field emission cathode of the special shape "sphere-on-spindle" on the spherical substrate (anode) and the spherical segment as a modulator. The overlapping subregion method to find the unknown coefficients for the potential distribution is used. So the initial value-boundary problem is reduced to the system of the linear algebraic equations. The potential distribution is calculated for the whole region of the system.

Текст научной работы на тему «Математическое моделирование триодной электронно-оптической системы с модулятором на основе полевого острия»

Сер. 10. 2009. Вып. 3

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

УДК 533

Е. М. Виноградова, К. А. Кримская

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРИОДНОЙ ЭЛЕКТРОННО-ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С МОДУЛЯТОРОМ НА ОСНОВЕ ПОЛЕВОГО ОСТРИЯ

Введение. В связи с развитием микро- и наноэлектроники и появлением новых электронных приборов за последние годы значительно вырос интерес к явлению полевой эмиссии [1]. При наличии у поверхности острия достаточно сильного внешнего электрического поля, вытягивающего электроны, во-первых, снижается работа выхода, а во-вторых, полевая эмиссия возникает без подогрева катода. В связи с этим приборы, использующие в своей работе явление полевой эмиссии, обладают рядом принципиальных преимуществ: отсутствием потребления энергии на накал катода и времени на его разогрев, отсутствием непосредственного влияния нагрева катода на работу прибора, отсутствием термического распыления и связанного с ним постепенного изменения параметров катода. Несмотря на то, что публикаций по данной теме достаточно много, в основном они все посвящены экспериментальным исследованиям [2-6], имеются лишь отдельные работы, в которых используются численные методы [7]. Так как эмиссионные характеристики подобных приборов очень сильно зависят как от формы острия, так и от геометрических параметров остальных электродов, то расчет подобных систем является весьма трудной задачей. Потому практически отсутствуют работы, в которых применяются аналитические методы расчета [8].

В настоящей работе вычисляется распределение электростатического потенциала во всей области осесимметричной электронно-оптической триодной системы с полевым острием и модулятором. Для решения задачи используется метод перекрытия областей, с помощью которого исходная граничная задача сводится к нахождению неизвестных коэффициентов в разложении потенциала по собственным функциям из системы линейных алгебраических уравнений.

Виноградова Екатерина Михайловна — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры моделирования электромеханических и компьютерных систем факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 40. Научные направления: математическое моделирование, математическая физика. E-mail: [email protected].

Кримская Ксения Александровна — аспирант кафедры моделирования электромеханических и компьютерных систем факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель: проф. Н. В. Егоров. Количество опубликованных работ: 5. Научные направления: математическое моделирование, математическая физика. E-mail: [email protected].

© Е.М. Виноградова, К.А. Кримская, 2009

Постановка задачи. Требуется найти распределение электростатического потенциала в триодной электронно-оптической системе. Поверхность катода, тонкого полевого острия длины Ь, представляет собой сферу радиуса Я0 на веретенообразной поверхности вращения с радиусом основания Я. Поверхность анода (и подложки катода) моделируется сферой радиуса Яа, поверхность модулятора - сферическим сегментом радиуса Ят (рисунок).

Схематическое изображение триодной системы

Для решения задачи рассмотрим бисферическую систему координат. Бисфериче-ские координаты (а, в) связаны с цилиндрическими (r, z) соотношением [9]

а + i@

z + гг = гс ctg —-—,

0 ^ а ^ п, —о < в < ос.

Координатные поверхности а = const задают семейство веретенообразных поверхностей вращения:

/ Г \ 2

\2 \ J2 _ ( Г

(г — с ctg а)2 + z2 = (——) Vsin aJ

Координатные поверхности в = const задают семейство непересекающихся неконцентрических сфер, ортогональных к поверхностям а = const:

c2

В бисферической системе координат поверхности электродов рассматриваемой электронно-оптической системы можно представить частями координатных поверхностей

0 ^ а ^ а0, в = во - сфера на вершине острия; а = а0, в2 < в < в0 - тело острия; аі ^ а ^ ао, в = ві - модулятор;

0 ^ а ^ ао, в = в2 - анод (подложка).

Геометрические размеры электродов моделируемой системы определяются по следующим формулам:

- радиус сферы на вершине острия До = ,

т 1+ СІ1 во

- длина острия Ь = с—>

- радиус основания острия К = с ctg ^г,

- радиус модулятора Дт =

- радиус анода (подложки) На =

г, (1+ сії в2 1+ сЬ во А

- расстояние от вершины острия до анода Ь = с ^—ції /?2----------эЬ /?о ) '

Потенциал катода равен нулю, потенциал модулятора - У1, потенциал анода задается функцией /(а)

/(а) =

0, а2 ^ а ^ аі, в = в2-

(1)

Распределение электростатического потенциала и (а, в) удовлетворяет уравнению Лапласа и граничным условиям

Д и (а, в) = 0,

и (а, во) и (ао, в)

и (а, ві) и (а,в2)

в2 < в < во

(2)

Уі,

/ (а)•

Решение задачи. Для решения граничной задачи (2) вся область электроннооптической системы разбивается на подобласти:

1- 0 ^ а ^ ао, в1 ^ в ^ во;

2 - 0 ^ а ^ ао, в2 ^ в ^ в1;

3 - 0 ^ а ^ а1, в2 ^ в ^ во-

Для каждой из них распределение потенциала можно представить в виде разложения по функциям Лежандра [10, 11]:

Ui{a,[3) = а/ ch(3 — cos a А„

sh (z/n + — /3)

”=1 sh {vn + i)(/30 - Pi)

-PVn (cos a),

(З)

U2(a, (3) = \J ch (3 — cos a

n=1

■ sh (z/n + -)(/? — fh) A, ----------------£

+

n y

sh {vn + - )(/?! — /?2 )

sh (t/n + -)(/?i — /3) + Bn-------------------—

sh (z/n + -)(/?i — (h)-

Pvn (cos a),

(4)

£/з(а, (3) = a/ ch (3 — cos a

oo P_i+Tn(COS a) тгтгСАз - >9)

n=l ”P-1+T„ (COS ai)

oo sh (jj,m + — )(/?o — (3)

+ E An-------------------f------------Рцт (cos a)

m=1 sh(Mn + -)(/30 -/?2) .

(5)

где Pa (cos a) - функции Лежандра первого рода; vn и - соответственно корни уравнений PVn{ cosa0) = 0, Pfim (cos ai) = 0; r„ = ■

Представления потенциала в виде (З)-(5) удовлетворяют уравнению Лапласа. Разложения (3), (4) для функций Ui(a, ві) = U2(a, ві), очевидно, обеспечивают непрерывность потенциала на границе раздела областей l и 2. Кроме того, необходимо отметить, что поскольку все три области, для которых написаны разложения (З)-(5), перекрываются, то условия непрерывности потенциала и его нормальных производных на границах раздела между областями удовлетворяются автоматически.

Коэффициенты Bn, Dm вычисляются из граничных условий (l), (2) на поверхности в = в2:

і 1 V2 Г Pv (x) V2 Г Pa (x)

In = -T7- , dx, Dm = )

Nn J \J ch /?2 — x J у/ ch /?2 — x

cos a2 cos a2

Здесь Nn, Mm - нормировочные коэффициенты

cos ao cos ai

Nn = j [PVn (cos a)]2 sin ad,a, Mm = j [PMm (cos a)]2 sin ad,a.

о о

б

В случае, если отношение «С 1, коэффициенты Вп и _От в (6) можно вычис-

лить приближенно [12, 13]:

Вп

V?.

Кпугскф2

Т) ( 4/1 СОБ «2 1 |

Р^-1(С°8“2) (,^ + Т - 2 + 2); +

I Р (ГГ," т 1 I СОв аЪ I в^п2 аЪ + 11п СО®2 аЯ + ^Лсо8а2) ( -1^Т1 + 2 сЬ/?2К _ 1)К + 2)

МтЛ/ сЬ/?2

РМт_!(со8а2) (^-т

1____ соэ а2

Ц"т

Мт + 1 2 сЬ/?2 (рт — 1)(/Хт + 2)

+

-I-Р (гп"..-л Л( с°8а? | эт2 а2 + Мт соэ2 а2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Мт + 1 2 сЬ/?2(/хт — 1)(/хт + 2)

Коэффициенты Ап и Сп определяются непосредственно из условий на границах выделенных областей:

ОО /■

Ц\{а, {3\) = у7 сЬ/?1 - соэ а ЛгР^ (соэ а) = < ^

п=1 ^ 1

(7)

гг , дч _ /—г~5------------ тгп(/?0 -/?) _ / [//(аь/З),

л/сЬ/З сова^Спвт ( £/„(«!,/3), /32 < /3 < /Зь

П=1 ' ' 4

(8)

Подставляя в правые части разложения по функциям Лежандра (7) и разложения Фурье (8) соответственно выражения (3)—(5) и используя полноту систем функций, получим систему алгебраических уравнений относительно коэффициентов Ап и С к

Ап - ту- Е Ск Р_±+Тк(со8а1)Р*п(со8а1) - Р\ (сое а^Р^ (совах)

к=1

. пк(во - А) эш -

(9)

____________Ро 02___________________________ёШ а1________________ ____ 1 (гр _|_ гр \

^гк^)т1 + 1п+и-Ж,.^^

Ск -

вЬ (уп + — )(/?о — /?1)

/?0 ~/?2 П=1 2 , л, , ^2

"11 1

тй + (^п + х)2 К + ~ )(/?о — Р\) вЬ (ип + -)(/?! — /?2)

. пк(во - в\) О с \ 2 гр

ш %_£>р»Л<х*а 1) = ж-жТ3,к,

@0 ~ @2 ’

X

X

X

где

T1,n = V1 f P^X) dx, (11)

J у ch fi\ — x

m ^ тл sh^m+ ^)(/3° A) sinaiPM1m(cosai)Plyri(cosai)

T2'n = ^DmMtlm + \m-b) <*.-*><*. + * + 1) ’ (12)

V П P^rn (COS al)

/ / T

m=1 rfc2 + (i,m+-)2

. пк(во — Pi) \

sin

T~k{ — l)fc + 1 — (t'm + ^)-------------------------------

A) — /?2

V

sh (z/m + -)(/?! — /?2)

(13)

/

РД (cos a) - присоединенные функции Лежандра первого рода.

Если отношение cj^g «С 1 (cosai < х < cos «о), коэффициенты Ti „ можно вычислить приближенно из (11):

Tin

Vi

Vх ch /?i

P^-^cosai) (^рТ-

cos ai

2 ch/?i (z/n — l)(z/n + 2)

+

.nc \ ( cos ai . sin2 a1 + cos2 a1 ) (14)

+ KJ cos».) + , chft(^ _n)(i,n +-2) j -

P >(сп~-л \( 1 cosao ^

_ I'ri~1( o' ^г^ГТТ - 2 ch/?! К - l)(„n + 2) J

Заключение. В настоящей работе вычисляется распределение электростатического потенциала во всей области осесимметричной электронно-оптической триодной системы с полевым острием и модулятором. Для решения задачи используется метод перекрытия областей. С его помощью исходная граничная задача (1), (2) сводится к нахождению неизвестных коэффициентов в разложении потенциала по собственным функциям (3)-(5) из системы линейных алгебраических уравнений (9), (10), правые части которых вычисляются из (11)-(14). Все геометрические размеры, потенциалы модулятора и анода являются параметрами задачи. Подобные системы могут служить для моделирования электронной пушки с полевым острием. Нахождение распределения потенциала в таких системах представляет собой наиболее сложную часть задачи, так как геометрические размеры электродов отличаются на несколько порядков, что затрудняет применение численных методов расчета.

Литература

1. Татаренко Н. И., Кравченко В. Ф. Автоэмиссионные наноструктуры и приборы на их основе. М.: Физматлит, 2006. 192 с.

2. Бобков А. Ф., Давыдов Е. В., Зайцев С. В. и др. Некоторые аспекты использования углеродных материалов в автоэлектронных эмиссионных катодах // Журн. техн. физики. 2001. Т. 71, вып. 6. С. 95-103.

3. Тумарева Т. А., Соминский Г. Г., Ефремов А. А. и др. Острийные полевые эмиттеры с фулле-реновым покрытием // Журн. техн. физики. 2002. Т. 72, вып. 2. С. 105-110.

4. Passacantando M., Bussolotti F., Santucci S. et al. Field emission from a selected multiwall carbon nanotube // Nanotechnology. 2008. Vol. 19. С. 128-131.

5. Kaibo Zheng, Haoting Shen, Jinglei Li et al. The fabrication and properties of field emission display based on ZnO tetrapod-liked nanostructure // Vacuum. 2009. Vol. 83. P. 262-264.

6. Karpyna V. A., Evtukh A. A., Semenenko M. O. et al. Electron field emission from ZnO self-organized nanostructures and doped ZnO:Ga nanostructured films // Microelectronics Journal. 2009. Vol. 40. P. 229-231.

7. Юркевич В. М. Расчет источников и напряженности электрического поля в методе сферических сегментов // Электротехника. 1996. Т. 10. С. 49-54.

8. Павлов В. Г. Влияние объемного заряда эмиттированных электронов на полевую электронную эмиссию // Журн. техн. физики. 2004. Т. 74, вып. 12. С. 72-79.

9. Уфлянд Я. С. Метод парных уравнений в задачах математической физики. Л.: Наука, 1977. 220 с.

10. Egorov N. V., Vinogradova E. M. Mathematical modeling of the electron beam formatting systems on the basis of field emission cathodes with various shapes // Vacuum. 2004. Vol. 72. P. 103-111.

11. Виноградова Е. М., Егоров Н. В., Кримская К. А. Расчет электростатического поля системы сферических сегментов // Журн. техн. физики. 2008. Т. 78, вып. 8. С. 128-131.

12. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: в 3 т. / пер. c англ. Н. Я. Виленкина. М.: Наука, 1973. Т. 1. 296 с.

13. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физ-матгиз, 1962. 1100 с.

Статья рекомендована к печати проф. Д. А. Овсянниковым.

Статья принята к печати 5 марта 2009 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.