Математическое моделирование триодной электронно-оптической системы с модулятором на основе полевого острия Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сер. 10. 2009. Вып. 3

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

УДК 533

Е. М. Виноградова, К. А. Кримская

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРИОДНОЙ ЭЛЕКТРОННО-ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С МОДУЛЯТОРОМ НА ОСНОВЕ ПОЛЕВОГО ОСТРИЯ

Введение. В связи с развитием микро- и наноэлектроники и появлением новых электронных приборов за последние годы значительно вырос интерес к явлению полевой эмиссии [1]. При наличии у поверхности острия достаточно сильного внешнего электрического поля, вытягивающего электроны, во-первых, снижается работа выхода, а во-вторых, полевая эмиссия возникает без подогрева катода. В связи с этим приборы, использующие в своей работе явление полевой эмиссии, обладают рядом принципиальных преимуществ: отсутствием потребления энергии на накал катода и времени на его разогрев, отсутствием непосредственного влияния нагрева катода на работу прибора, отсутствием термического распыления и связанного с ним постепенного изменения параметров катода. Несмотря на то, что публикаций по данной теме достаточно много, в основном они все посвящены экспериментальным исследованиям [2-6], имеются лишь отдельные работы, в которых используются численные методы [7]. Так как эмиссионные характеристики подобных приборов очень сильно зависят как от формы острия, так и от геометрических параметров остальных электродов, то расчет подобных систем является весьма трудной задачей. Потому практически отсутствуют работы, в которых применяются аналитические методы расчета [8].

В настоящей работе вычисляется распределение электростатического потенциала во всей области осесимметричной электронно-оптической триодной системы с полевым острием и модулятором. Для решения задачи используется метод перекрытия областей, с помощью которого исходная граничная задача сводится к нахождению неизвестных коэффициентов в разложении потенциала по собственным функциям из системы линейных алгебраических уравнений.

Виноградова Екатерина Михайловна — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры моделирования электромеханических и компьютерных систем факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 40. Научные направления: математическое моделирование, математическая физика. E-mail: vincat2008@yandex.ru.

Кримская Ксения Александровна — аспирант кафедры моделирования электромеханических и компьютерных систем факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель: проф. Н. В. Егоров. Количество опубликованных работ: 5. Научные направления: математическое моделирование, математическая физика. E-mail: highly@list.ru.

© Е.М. Виноградова, К.А. Кримская, 2009

Постановка задачи. Требуется найти распределение электростатического потенциала в триодной электронно-оптической системе. Поверхность катода, тонкого полевого острия длины Ь, представляет собой сферу радиуса Я0 на веретенообразной поверхности вращения с радиусом основания Я. Поверхность анода (и подложки катода) моделируется сферой радиуса Яа, поверхность модулятора - сферическим сегментом радиуса Ят (рисунок).

Схематическое изображение триодной системы

Для решения задачи рассмотрим бисферическую систему координат. Бисфериче-ские координаты (а, в) связаны с цилиндрическими (r, z) соотношением [9]

а + i@

z + гг = гс ctg —-—,

0 ^ а ^ п, —о < в < ос.

Координатные поверхности а = const задают семейство веретенообразных поверхностей вращения:

/ Г \ 2

\2 \ J2 _ ( Г

(г — с ctg а)2 + z2 = (——) Vsin aJ

Координатные поверхности в = const задают семейство непересекающихся неконцентрических сфер, ортогональных к поверхностям а = const:

c2

В бисферической системе координат поверхности электродов рассматриваемой электронно-оптической системы можно представить частями координатных поверхностей

0 ^ а ^ а0, в = во - сфера на вершине острия; а = а0, в2 < в < в0 - тело острия; аі ^ а ^ ао, в = ві - модулятор;

0 ^ а ^ ао, в = в2 - анод (подложка).

Геометрические размеры электродов моделируемой системы определяются по следующим формулам:

- радиус сферы на вершине острия До = ,

т 1+ СІ1 во

- длина острия Ь = с—>

- радиус основания острия К = с ctg ^г,

- радиус модулятора Дт =

- радиус анода (подложки) На =

г, (1+ сії в2 1+ сЬ во А

- расстояние от вершины острия до анода Ь = с ^—ції /?2----------эЬ /?о ) '

Потенциал катода равен нулю, потенциал модулятора - У1, потенциал анода задается функцией /(а)

/(а) =

0, а2 ^ а ^ аі, в = в2-

(1)

Распределение электростатического потенциала и (а, в) удовлетворяет уравнению Лапласа и граничным условиям

Д и (а, в) = 0,

и (а, во) и (ао, в)

и (а, ві) и (а,в2)

в2 < в < во

(2)

Уі,

/ (а)•

Решение задачи. Для решения граничной задачи (2) вся область электроннооптической системы разбивается на подобласти:

1- 0 ^ а ^ ао, в1 ^ в ^ во;

2 - 0 ^ а ^ ао, в2 ^ в ^ в1;

3 - 0 ^ а ^ а1, в2 ^ в ^ во-

Для каждой из них распределение потенциала можно представить в виде разложения по функциям Лежандра [10, 11]:

Ui{a,[3) = а/ ch(3 — cos a А„

sh (z/n + — /3)

”=1 sh {vn + i)(/30 - Pi)

-PVn (cos a),

(З)

U2(a, (3) = \J ch (3 — cos a

n=1

■ sh (z/n + -)(/? — fh) A, ----------------£

+

n y

sh {vn + - )(/?! — /?2 )

sh (t/n + -)(/?i — /3) + Bn-------------------—

sh (z/n + -)(/?i — (h)-

Pvn (cos a),

(4)

£/з(а, (3) = a/ ch (3 — cos a

oo P_i+Tn(COS a) тгтгСАз - >9)

n=l ”P-1+T„ (COS ai)

oo sh (jj,m + — )(/?o — (3)

+ E An-------------------f------------Рцт (cos a)

m=1 sh(Mn + -)(/30 -/?2) .

(5)

где Pa (cos a) - функции Лежандра первого рода; vn и - соответственно корни уравнений PVn{ cosa0) = 0, Pfim (cos ai) = 0; r„ = ■

Представления потенциала в виде (З)-(5) удовлетворяют уравнению Лапласа. Разложения (3), (4) для функций Ui(a, ві) = U2(a, ві), очевидно, обеспечивают непрерывность потенциала на границе раздела областей l и 2. Кроме того, необходимо отметить, что поскольку все три области, для которых написаны разложения (З)-(5), перекрываются, то условия непрерывности потенциала и его нормальных производных на границах раздела между областями удовлетворяются автоматически.

Коэффициенты Bn, Dm вычисляются из граничных условий (l), (2) на поверхности в = в2:

і 1 V2 Г Pv (x) V2 Г Pa (x)

In = -T7- , dx, Dm = )

Nn J \J ch /?2 — x J у/ ch /?2 — x

cos a2 cos a2

Здесь Nn, Mm - нормировочные коэффициенты

cos ao cos ai

Nn = j [PVn (cos a)]2 sin ad,a, Mm = j [PMm (cos a)]2 sin ad,a.

о о

б

В случае, если отношение «С 1, коэффициенты Вп и _От в (6) можно вычис-

лить приближенно [12, 13]:

Вп

V?.

Кпугскф2

Т) ( 4/1 СОБ «2 1 |

Р^-1(С°8“2) (,^ + Т - 2 + 2); +

I Р (ГГ," т 1 I СОв аЪ I в^п2 аЪ + 11п СО®2 аЯ + ^Лсо8а2) ( -1^Т1 + 2 сЬ/?2К _ 1)К + 2)

МтЛ/ сЬ/?2

РМт_!(со8а2) (^-т

1____ соэ а2

Ц"т

Мт + 1 2 сЬ/?2 (рт — 1)(/Хт + 2)

+

-I-Р (гп"..-л Л( с°8а? | эт2 а2 + Мт соэ2 а2

Мт + 1 2 сЬ/?2(/хт — 1)(/хт + 2)

Коэффициенты Ап и Сп определяются непосредственно из условий на границах выделенных областей:

ОО /■

Ц\{а, {3\) = у7 сЬ/?1 - соэ а ЛгР^ (соэ а) = < ^

п=1 ^ 1

(7)

гг , дч _ /—г~5------------ тгп(/?0 -/?) _ / [//(аь/З),

л/сЬ/З сова^Спвт ( £/„(«!,/3), /32 < /3 < /Зь

П=1 ' ' 4

(8)

Подставляя в правые части разложения по функциям Лежандра (7) и разложения Фурье (8) соответственно выражения (3)—(5) и используя полноту систем функций, получим систему алгебраических уравнений относительно коэффициентов Ап и С к

Ап - ту- Е Ск Р_±+Тк(со8а1)Р*п(со8а1) - Р\ (сое а^Р^ (совах)

к=1

. пк(во - А) эш -

(9)

____________Ро 02___________________________ёШ а1________________ ____ 1 (гр _|_ гр \

^гк^)т1 + 1п+и-Ж,.^^

Ск -

вЬ (уп + — )(/?о — /?1)

/?0 ~/?2 П=1 2 , л, , ^2

"11 1

тй + (^п + х)2 К + ~ )(/?о — Р\) вЬ (ип + -)(/?! — /?2)

. пк(во - в\) О с \ 2 гр

ш %_£>р»Л<х*а 1) = ж-жТ3,к,

@0 ~ @2 ’

X

X

X

где

T1,n = V1 f P^X) dx, (11)

J у ch fi\ — x

m ^ тл sh^m+ ^)(/3° A) sinaiPM1m(cosai)Plyri(cosai)

T2'n = ^DmMtlm + \m-b) <*.-*><*. + * + 1) ’ (12)

V П P^rn (COS al)

/ / T

m=1 rfc2 + (i,m+-)2

. пк(во — Pi) \

sin

T~k{ — l)fc + 1 — (t'm + ^)-------------------------------

A) — /?2

V

sh (z/m + -)(/?! — /?2)

(13)

/

РД (cos a) - присоединенные функции Лежандра первого рода.

Если отношение cj^g «С 1 (cosai < х < cos «о), коэффициенты Ti „ можно вычислить приближенно из (11):

Tin

Vi

Vх ch /?i

P^-^cosai) (^рТ-

cos ai

2 ch/?i (z/n — l)(z/n + 2)

+

.nc \ ( cos ai . sin2 a1 + cos2 a1 ) (14)

+ KJ cos».) + , chft(^ _n)(i,n +-2) j -

P >(сп~-л \( 1 cosao ^

_ I'ri~1( o' ^г^ГТТ - 2 ch/?! К - l)(„n + 2) J

Заключение. В настоящей работе вычисляется распределение электростатического потенциала во всей области осесимметричной электронно-оптической триодной системы с полевым острием и модулятором. Для решения задачи используется метод перекрытия областей. С его помощью исходная граничная задача (1), (2) сводится к нахождению неизвестных коэффициентов в разложении потенциала по собственным функциям (3)-(5) из системы линейных алгебраических уравнений (9), (10), правые части которых вычисляются из (11)-(14). Все геометрические размеры, потенциалы модулятора и анода являются параметрами задачи. Подобные системы могут служить для моделирования электронной пушки с полевым острием. Нахождение распределения потенциала в таких системах представляет собой наиболее сложную часть задачи, так как геометрические размеры электродов отличаются на несколько порядков, что затрудняет применение численных методов расчета.

Литература

1. Татаренко Н. И., Кравченко В. Ф. Автоэмиссионные наноструктуры и приборы на их основе. М.: Физматлит, 2006. 192 с.

2. Бобков А. Ф., Давыдов Е. В., Зайцев С. В. и др. Некоторые аспекты использования углеродных материалов в автоэлектронных эмиссионных катодах // Журн. техн. физики. 2001. Т. 71, вып. 6. С. 95-103.

3. Тумарева Т. А., Соминский Г. Г., Ефремов А. А. и др. Острийные полевые эмиттеры с фулле-реновым покрытием // Журн. техн. физики. 2002. Т. 72, вып. 2. С. 105-110.

4. Passacantando M., Bussolotti F., Santucci S. et al. Field emission from a selected multiwall carbon nanotube // Nanotechnology. 2008. Vol. 19. С. 128-131.

5. Kaibo Zheng, Haoting Shen, Jinglei Li et al. The fabrication and properties of field emission display based on ZnO tetrapod-liked nanostructure // Vacuum. 2009. Vol. 83. P. 262-264.

6. Karpyna V. A., Evtukh A. A., Semenenko M. O. et al. Electron field emission from ZnO self-organized nanostructures and doped ZnO:Ga nanostructured films // Microelectronics Journal. 2009. Vol. 40. P. 229-231.

7. Юркевич В. М. Расчет источников и напряженности электрического поля в методе сферических сегментов // Электротехника. 1996. Т. 10. С. 49-54.

8. Павлов В. Г. Влияние объемного заряда эмиттированных электронов на полевую электронную эмиссию // Журн. техн. физики. 2004. Т. 74, вып. 12. С. 72-79.

9. Уфлянд Я. С. Метод парных уравнений в задачах математической физики. Л.: Наука, 1977. 220 с.

10. Egorov N. V., Vinogradova E. M. Mathematical modeling of the electron beam formatting systems on the basis of field emission cathodes with various shapes // Vacuum. 2004. Vol. 72. P. 103-111.

11. Виноградова Е. М., Егоров Н. В., Кримская К. А. Расчет электростатического поля системы сферических сегментов // Журн. техн. физики. 2008. Т. 78, вып. 8. С. 128-131.

12. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: в 3 т. / пер. c англ. Н. Я. Виленкина. М.: Наука, 1973. Т. 1. 296 с.

13. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физ-матгиз, 1962. 1100 с.

Статья рекомендована к печати проф. Д. А. Овсянниковым.

Статья принята к печати 5 марта 2009 г.