Математическое моделирование катодного узла полевой электронной пушки Текст научной статьи по специальности «Математика»

2006 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. Сер. 10. Вып. 3

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

УДК 533

Е. М. Виноградова, Н. В. Егоров, Р. Ю. Баранов

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КАТОДНОГО УЗЛА ПОЛЕВОЙ ЭЛЕКТРОННОЙ ПУШКИ

Введение. Целью данной работы являлась разработка оригинального метода, который можно применить для расчета потенциала осесимметричных электронно-оптических систем (ЭОС) с полевыми катодами произвольной формы.

Работа любого катода определяется не только фундаментальными - внутренними физическими процессами, но и внешними - в частности, системой специальных электродов, которые вместе с катодом составляют ЭОС соответствующего электровакуумного прибора и позволяющих при приложении к ним необходимых напряжений обеспечить фокусировку и транспортировку электронного пучка, эмиттируемого катодом. Здесь особо следует отметить, что роль электродов существенно возрастает при использовании в качестве катода ПЭК - полевого электронного катода. Как известно, полевой катод конструктивно представляет собой тонкое острие с радиусом кривизны при его вершине, обычно равным примерно 1 мкм. Придание ПЭК формы острия позволило Э.Мюллеру [1] и его многочисленным последователям получить при сравнительно небольших напряжениях (от единиц до десятков киловольт) интенсивную полевую электронную эмиссию, поскольку возбуждение эмиссии в этом случае осуществляется сильным электрическим полем (Е к, 5 • 107 В/см), которое на практике достигается в результате приложения напряжения между ПЭК и первым (близлежащим к катоду) электродом. То есть в случае ПЭК с помощью системы дополнительных электродов (ЭОС) осуществляются не только транспортировка и фокусировка пучка, но и управление как эмиссионной способностью эмиттера, так и самим электронным пучком.

Существующие аналитические методы, как правило, дают возможность рассчитывать только малую часть используемых на практике систем. При этом в основном применяются методы параксиальной оптики. Однако, для того чтобы получить высокую чувствительность прибора при сохранении большой разрешающей способности, требуется решать задачи расчета широких пучков с большим угловым разбросом. Применение численных методов затруднено тем, что размеры эмиттера и фокусирующих систем электродов системы отличаются на несколько порядков. Поэтому при расчете катодных систем для решения общих электронно-оптических задач требуются особые методы.

Для реализации поставленной цели была сформулирована и решена следующая задача: найти распределение электростатического потенциала во всем пространстве полевой электронной пушки, состоящей из катода - полевого острия произвольной формы на плоской металлической подложке и системы диафрагм в качестве фокусирующих электродов, где первая диафрагма является анодом.

© Е. М. Виноградова, Н. В. Егоров, Р. Ю. Баранов, 2006

Поверхность полевого острия в цилиндрической системе координат можно задать функцией г0(г), потенциалы катода и подложки будем считать равными нулю, координаты диафрагм - (Д^-, Zj) с потенциалами {] — 1,... ,т).

Заменим катод системой из п дисков с радиусами И® = г о{Zí¡) — 5г и потенциалами V¿° (г = 1,... ,п). Тогда имеем задачу расчета электростатического потенциала в системе, содержащей т, соосных дисков и п диафрагм. Затем, подобрав соответствующие значения д{ и потенциалы V® (г = 1,... ,п), можно получить нулевую эквипотенциаль, поверхность которой совпадает с требуемой поверхностью полевого катода г0(г).

Итак, требуется решить следующую физическую задачу: найти распределение электростатического потенциала системы, состоящей из произвольного числа соосных дисков и диафрагм. Параметры задачи: п - число дисков; (Л®, И?) - координаты дисков; V® - потенциалы дисков (г = 1 ,...,п); т - число диафрагм; Zj) - координаты диафрагм; V} - потенциалы диафрагм (] = 1 ,...,т); ¿о, 2т+п+1 - координаты плоскостей. Не нарушая общности задачи, будем считать, что ^о = 0 и потенциал этой плоскости равен нулю, потенциал второй плоскости равен V.

При отсутствии объемных зарядов распределение потенциала V(г, г) ((г, г) - цилиндрические координаты) удовлетворяет уравнению Лапласа. Таким образом, требуется решить следующую граничную задачу:

Д У(г,г) = О

г £ л?

г > Я,-

= V}, 3 = 1

У(г,0)=0, у(г,гт+п+1) = у.

(1)

Функция У(г,г) для граничной задачи (1) вычисляется методом парных уравнений [2]. Данный метод является расширением метода разделения переменных для решения граничных задач со смешанными граничными условиями: решение граничной задачи в каждой из областей ищется в виде разложения по системе собственных функций уравнений (соответствующих непрерывному спектру собственных значений), получающихся после разделения переменных, а смешанные граничные условия приводят к парным уравнениям, которые удается свести к интегральным уравнениям Фредгольма 2-го рода.

Решение граничной задачи (1). Для решения граничной задачи (1) вся область электронно-оптической системы разбивается на т + п + 1 подобластей: г^ ^ г ^ гг+±. В соответствии с граничными условиями г» = Z{¡. Яг = Щ, и г = V® (г = 1,...,п); гп+х+] = Zj, ЯгН.]+:} — Н], ЪТп+1+з = V] {э = 1,...,ш). Для каждой из подобластей распределение потенциала У(г,г) можно представить в виде разложения Ханкеля

оо

= / МЪ " МХг) <1\ + —ип+1,

У эшЬ А(гх - го) гп+1

о

Уг(т^) = I

О

МЪ + (А) -1пЬ А(* -

вшЬ А^ - гг-г)

йтЬ - гг-х)

г = 1,п + 1,

оо

М = I

Л'(А)-7

зтЬЛ(г — ( л втИ— г)

зтЬ А^- — г^-х)

^(Хг)с1Х +

М\г)<1\ +

(2)

(г - ), ^ = п + 2,п + т,

Ут+п+1(г,г) = ! Ат+п(А)

+ ит+п+

йшЬ\(гт+п+1 - г) 8тЬЛ(гто+п+1 — -гт+п)

70(Аг) <2А +

Граничные условия и условия непрерывности производной потенциала по нормали к границам раздела подобластей х — при г ^ Яг можно записать следующим образом:

Щг,2{) = Ъ+Лг,г{), У(г,0) = 0, У(г,гп+т+0=7, г^О, Уг(оо,г) < оо; = 17{, г ^ Я*,

дг дг

Уз {г, zj) = (г, г > ,

, 2 = Я,-, Г < Щ,

(3)

где =

, г = 1,п + т.

Представление потенциала в виде (2) удовлетворяет уравнению Лапласа, условию ограниченности потенциала У(г,г) < оо при г —)■ оо и условию непрерывности потенциала.

Граничные условия и условия непрерывности производной потенциала по нормали к границам раздела подобластей (3) приводят к системе парных уравнений

оо

[ А1(Х)МХг)с1\ = их- — С/п+1, 0

ОО г-

J А (А) (соШ А(^2 - 21) + соЛ А(21 - ¿о)) ''

этЬ А(^2 — £1)

МХг)йХ = 0;

сю

[ Аг(Х)МХг)с1X = —ип+1, о

схз

втЬ А(/2г —

втЬ А(^+1 - г*) 70(Аг) ¿А = О, г = 2, п;

ОО г-

I Ап+1 (А) (соШ А(гп+2 - гп+х) + соШ Х(гп+1 -

Аг+2(А)

Ап(Х)

втЬ Х(гп+2 - гп+1) втЬ А(лп+1 - гп) Ап+1(Х)МХг) ¿А = 0;

(4)

ОО

Л+1(А)

ОО

J А^(Х)Л{Хг) (IX — 0, з = п + 2,п + т- 1;

70(Аг) (IX =

Цз+1 - и> и3 - У,-1

о

ОО

J Ат+п(А) ^соША(гт+п+1 - ¿т+/г) 4- соЛ А'(гт+П - ;гт+п_1)) -

1 (А)

вшЬ А(гт+П ^771-1-7*1— 1 )

ОО

I Ап^п(Х)МХг)(1Х = 0.

ХМХг) с1Х =

ит+п+1 ~ и\

итЛ- п

т+п ит+п п—1

2т+п+1 %тп-\-п ^т+п ^тп+п— 1

Для решения системы парных уравнений (4) введем новые коэффициенты Сг(А):

А2 (А)

Л, (А) (ооШ А(г2 -Я1) + «ЛЬ А(* - «,)) - ^ _ ^

Лг(А)^С01ЬА(2,+1 - гг) + СоЛА^-Яг-х)) -

Аг+1( А) Л-х(А)

С1(А),

втЬ А(гг+1 — втЬ — ¿г-г)

= С<(А), г — 2,п,

АДА) = СДА), ] =п + 1,т + п.

Решая систему (5) относительно искомых функций функций получаем выраже-

ние данных функций через новые коэффициенты СДЛ) в виде

япЬЛ(^-го) п А атЪ.Х{гп+1 - втЬЛ^ - г0)

МХ) ~ ешЪХ(гп+1-г0)Сп+1{Х) + втЬЛ(гп+1 - г0) +

^ 8ткХ(гп+1 - г0) . ,—

+ Е -ЛЛАС*»,-*)-7СкШ' '-1'"1

к=г+1

(6)

А,(А) = С;(А), .7=п + 1,т + п.

В соответствии с методом парных уравнений [3, 4] введем вместо коэффициентов СДЛ) новые неизвестные функции фг(Х) с помощью подстановок

д, ____

С{(Х) = / фi(t)smXtdt, г—1 ,п, о

(7)

^ _____

С-,(А) = / фj(t)cosXtdt, ¿ = п+1,п + т. о

Они обеспечивают тождественное выполнение однородных уравнений из парных уравнений системы (5). Подстановка значений Сг(А), даваемые равенством (7), в первые из уравнений (5) приводит к системе связанных интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода относительно искомых функций ^¿(А):

о ко

п Ль Я- + 1

+1 Ё Iч>к(*)КкМ<й +1 I ч>п+1№гп+1(х,ь)

к=г+1

О 1 О

7Г \ гп+1 )

о

Л„+1 Яп+2

0 о

п х (8)

-I£ *тг(х,и;+2-и"+1 -,

7Г ^ J л 7Г V гп+2 - гп+1 гп+1 )

0 о

2 Н'Г , ч гИ , ч, 2ж / и4+1 — и4 и, - и 4-х

где г = 1, п, = п + 2, п + ш.

Ядра Klk(x,t) являются симметричными и могут быть выписаны в явном виде:

сю

Кг(г л _ Г а* соя Xt соч Ах dX о* - coshA(^+i ~ + z°) ~ exp(-A(zn+1-z0) К, (х, t)- J 9ii cos Ai cos Ax dX, 9ii - ^ _ ^ ),

sinh X(zn+i - Zi) sinh X(zk-z0)

(9)

Ki(x,t) = J g\. cos Ai cos Ax dX, g{ = sinhA(Zn+l _

о

oo

KJj (x,t) = J g33 sin Ai sin Ax dX, о

j _ exp(-A(z7+x - i)) — cosh A(zJ+i — 2Zj + Zj-1) ~~ 2sinhA(zj+i — ^)sinhA(zj — Zj-i) '

oo

Kj+1(z,t) = J g3j+1 sin Ai sin Ax dA, ¡¿+1 = ^ ^ _ . о

Таким образом, чтобы решить граничную задачу (1) требуется решить систему уравнений Фредгольма 2-го рода (8) с симметричными ядрами (9).

О z

Рис. 1. Картина эквииотенциалей во всей области электронной пушки.

Рис. 2. Картина эквипотенциален: вблизи вершины острия.

Заключение. В данной работе найдено распределение электростатического потенциала во всем пространстве полевой электронной пушки, состоящей пз катода -аксиально-симметричного острия произвольной формы на плоской металлической подложке и анода - бесконечной плоскости. Потенциал катода и подложки равен нулю, потенциал анода - V, поверхность острия в цилиндрической системе координат задается функцией ro(z). при этом острие заменяется совокупностью соосных дисков так, чтобы эквипотенциальная поверхность с потенциалом, равным нулю, совпала с поверхностью острия tq(z). На рис. 1, 2 приведены результаты численных расчетов распределения потенциала для полевого острия, поверхность которого представляет собой сферу на конусе, фокусирующей системой является линза из трех диафрагм. Характер распределения поля и картины эквипотенциалей во всей области электронной пушки иллюстрирует рис. 1, вблизи острия - рис. 2. Во всех случаях использованы безразмерные единицы измерения: потенциал на аноде V = 100, длина острия равна 0,1, расстояние между подложной острия и анодом - 1, координаты диафрагм и потенциалы: = 0,3, Zx = 0,3), Vi = 30; (Л2 = 0,2,Z2 = 0,5), V2 = 20; (Д3 = 0,1,Z3 = 0,9), Уз -70.

Summary

Vinogradova E. M., Egorov N. V., Baranov R. Yu. The field electron gun cathode region mathematical modeling.

The specific method is presented to describe the electrostatic potential distribution for the axially symmetrical emission electron-optical system with the varied shape field cathodes.

Литература

1. Мюллер 9., Цонь Т. Автоионная микроскопия (принципы и применения) М.: Металлургия, 1972. 360 с.

2. Уфлянд Я. С. Метод парных уравнений в задачах математической физики. JL: Наука, 1977. 220 с.

3. Egorov N. V., Vinogradova Е. М. Mathematical model of electron gun on the field emission electron cathode basis // Vacuum. 2000. Vol. 57. P. 267-281.

4. Виноградова E. M., Егоров H. В. Математическое моделирование электронной пушки на основе полевого электронного катода // Радиотехника и электроника. 2004. Т. 49, № 2. С. 251-256.

Статья поступила в редакцию 6 марта 2006 г. •

J