Расчет электростатического потенциала в многоострийных и одноострийных полевых эмиссионных системах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 537.533.2

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2007, вып. 1

Е. М. Виноградова, С. Л. Долгов, Н. В. Егоров

РАСЧЕТ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА В МНОГООСТРИЙНЫХ И ОДНООСТРИЙНЫХ ПОЛЕВЫХ ЭМИССИОННЫХ СИСТЕМАХ

1. Введение. В устройствах, использующих явление полевой электронной эмиссии, для получения необходимых значений напряженности электрического поля у поверхности катода, как правило, применяют катоды в форме тонкого острия [1]. Математическое моделирование таких устройств начинается с нахождения распределения потенциала электрического поля, что сводится к решению уравнений Лапласа или Пуассона в некоторой области с граничными условиями, определяемыми выбранной физической моделью. При этом используются различные физические модели, отличающиеся способом представления острия.

При изучении полевой эмиссии из нанотрубок применяется описание нанотрубки, как состоящей из набора находящихся в самосогласованном поле диполей, соответствующих отдельным атомам углерода [2]. Для металлических острий определяющим является требование постоянства электрического потенциала на поверхности. Острие может быть задано непосредственно как имеющая конкретную форму и постоянный потенциал часть границы области, в которой ищется распределение потенциала -тогда удается получить аналитическое решение в некоторых случаях, когда выбранная форма есть каноническая поверхность [3].

Существует класс методов, принимающих за поверхность острия эквипотенциальную поверхность электрического поля, созданного остальными электродами системы и некоторым объектом с заданным распределением потенциала или плотности заряда. В таком случае для моделирования острия с наперед заданной формой (в частности, такой, которую можно получить на практике) дополнительно должна решаться задача нахождения параметров этого объекта (его размеров, распределения потенциала или плотности заряда), обеспечивающих нужную форму порождаемой им эквипотенциальной поверхности [4]. Такое дополнительное усложнение оправдывается значительным (например, в смысле существования аналитического решения) упрощением граничной задачи по сравнению с выбором границы непосредственно в форме острия. Так, оказалась плодотворной модель, в которой в качестве объекта, порождающего острие, используется «заряженная нить», расположенная на оси острия, с некоторым распределением линейной плотности заряда [4].

Основная цель настоящей статьи - развитие модели, отличающейся от последней использованием дискретного распределения заряда вместо непрерывного: заменой заряженной нити набором точечных зарядов. Одно из преимуществ такого подхода состоит в том, что он позволяет получить аналитическое решение уравнения Пуассона для потенциала в простом виде. При этом появляется возможность, не ограничиваясь предельным случаем тонких острий, задавать нужную форму острия (т. е. соответствующей эквипотенциальной поверхности); как будет далее показано, в простейшем случае задача сводится к решению системы линейных уравнений относительно величин зарядов. Также становится возможным единообразное рассмотрение много- и одноост-рийных систем.

© Е. М. Виноградова, С. Л. Долгов, Н. В. Егоров, 2007

Использование миогоострнйных систем призвано скомпенсировать один из недостатков полевой эмиссии - малые значения интегральных токов с одиночных острий. При этом, из-за наличия явления экранирования, возникает задача оптимального выбора геометрических параметров, в частности плотности упаковки, понимаемой как отношение длины острия к расстоянию между соседними остриями. На первом этапе решения данной задачи необходимо найти потенциал электрического поля как функцию координат и геометрических параметров системы. Имея ввиду дальнейшее рассмотрение взаимного влияния острий, важно получить решения как для многоострий-ной системы, так и для одиночного (эталонного) острия. С этой целью исследуем три различные граничные задачи для уравнения Пуассона.

2. Многоострийная система, декартовы координаты. Рассмотрим многоост-рийпую систему с плоским анодом и остриями, расположенными на плоской металлической подложке в узлах бесконечной периодической прямоугольной решетки (рис. 1).

Итак, физической моделью в изучаемой задаче являются проводящие плоскости г = 0 и г = с с потенциалами 0 и Щ, перпендикулярные оси г декартовой системы координат, и находящиеся в параллельных им плоскостях г: = г\,г — г2,...,г = г к множества зарядов величиной соответственно д\, <72,..., <7лг, так что заряды заполняют все точки с координатами (х,у,г)Яр = (2ог, 2bjJ гр), 1,] = 0,±1,2.... Группа зарядов, соответствующих фиксированной паре значений (г,^), представляет острие.

Тогда задача сводится к решению уравнения Пуассона в замкнутой области, задаваемой неравенствами |х| ^ а, |г/| ^ Ъ и 0 ^ г ^ с и являющейся «элементарной ячейкой» с единственным «острием» в центре (рис. 2). Граничные условия определяются заданными потенциалами обкладок и симметрией задачи [5]:

д2Ц(х,у,г) д2Ц(х,у,г) д2Ц(х,у,г) -Д

+ --—-+-—- = - Яр°(х)5(У)°(г - гр),

р= 1

дх2

ду2

дх2

и = О,

и = и0,

ди/дх = о,

ди/ду = 0.

(1)

(2)

Кроме того, в выбранных координатах потенциал будет симметричным по переменным х и у:

Ь\х,у,г) = и(-х,у,г) = 11(х,-у,г). (3)

Исходное уравнение допускает разделение переменных, поэтому будем искать решение в виде

и(х,у,г)= ^Г Хк{х)У1{у)уы{г), к,1=0

(4)

где

1 /¿7Г ¿7Г

Х0(х) = У0(у) = Хк(х) = соэ —х, У/(у) = соэ —у, к,1 ф 0, (5)

- собственные функции уравнений

Х"{х) + XX (х) = О, У" (у) + А У (у) = О

при условиях (2) и (3).

гг

91

2 — +| — С

г = г„ = О

Рис. 2. «Элементарная ячейка».

Подставив разложение (4) в исходное уравнение (1), после домножив обе части на Хп(х)Ут(у) и проинтегрировав полученное уравнение по х и у в пределах (—а, а), (—6,6), получим обыкновенное дифференциальное уравнение относительно функций

(а2 т2 + Ь2 п2) 7Г2 "

аЬ

упт(г) = - 1р6(г ~ гр)< Р= 1

(6)

которое справедливо и для т = п = 0. Для случая п2 4- т2 / 0 его решение имеет вид

«п™(г) = СГт(г)сЬЛп?„г + С2пт(;фЬ Аптг,

где

1(п2Ь2+т2а2) тг2

(7)

^ши -

а2 I)2

Для определения С™"'(-г) и С-""1 (г) применим метод вариации постоянных (верхние индексы опущены):

С[(г) сЬЛ„т2 + Са(.ф11А„т.г = 0,

\ипС[ (2)з11Лпт2 + А,1тСо(.г)сЬАПт2 = ~ ^ — гр).

а р=1

Решив эту систему, обозначив ¿'о = 0 и 2^+1 = с и считая, что сумма, у которой верхний предел суммирования меньше нижнего, равна нулю, можно записать выражение для ^пт (г), в общем случае для гг < г < гг+1

1

Упт{г) = С\сЪ\птг + С2зЪХптг--- -^-зЪХпт(г - гр)

ао ЛТ1

(8)

р=1

Решая тем же методом уравнение (6) для случая, когда п = то = 0, имеем при

р=1

1 '

Уоо(г) = С° + - — ^ - 2Р)-Объединяя результаты (8) и (9), получим

(9)

Р= 1

к,1 = 0

1

С^сЬЛыг + С^вЬЛыг - —— ^ ^ЬА,™^ -

Р=1

• (Ю)

Постоянные С\ и С-2 находим из краевых условий (2) для [/ по переменной л. Первое условие дает уы{0) = 0 и тогда = 0, С*' = 0, второе - и(х,у,с) = 110 и тогда

41/ 1 ^ Р=1

1 " СГ = ^¡ЬА^ -

р=1

Подставляя значения и С™"1 в (10), получим для гг < г < гг+\

г N

г 1 и(х, у, г) = и0- + —г-с 4 аЬс

^2др{с- г)гр + ^ др(с-2р);

1.р=1

р=г+1

+

1

+ £ аЬ\ыъЪ\к1С

1р^к1 (с - фЬА*/ гр +

1р=1

N

+ 9Р8ЬАы(с-гр)зЬА,

Ы %

р=г+1

, (П)

где величины Хк(х), Уг(у) и \ы определены формулами (5) и (7).

Итак, соотношение (11) дает распределение потенциала в аналитическом виде во всей рассматриваемой области. На рис. 3 представлено сечение эквипотенциальных

г

стей плоскостью хОг. х

поверхностей рассчитанного таким образом распределения потенциала (использовано N = 10 зарядов одинаковой величины) плоскостью хОг.

3. Одноострийная система, цилиндрические координаты, ограниченная область. Снова заменим острие набором из N зарядов, расположенных на оси системы

и = ио

и = 0

Рис. 4- Одноострийная система, ограниченная область.

(рис. 4). Будем решать задачу в цилиндрической системе координат. Распределение потенциала не зависит от координаты у и удовлетворяет уравнению Пуассона

д2Ц(г,г) 1 ЗУ (г, г) д2Ц(г,г) _

дг2 Г дг дг2 ~ Р[7'г)

в цилиндре 0 ^ г ^ п, 0 ^ 2 ^ с с граничными условиями

(12)

С/(г,0)=0,

и {г, с) — С/о, О^г^а, (13)

и [а, г) = ~и0, О ^ г ^ с. с

Обозначим {/1(7-, г) = II(г, г)--£/о, тогда и\{г,г) - решение уравнения (12) с одно-

с

родными граничными условиями, аналогичными (13).

Пусть правая часть соответствует N зарядам, расположенным в точках (0, гр):

p{r,z)=Ydqp&{z-zv)16{r)±-r (14) p=i

(здесь /0°° 5(x)dx = |).

Уравнение (12) допускает разделение переменных, при этом собственными функциями по переменной г являются функции Бесселя нулевого порядка

Л„(г) = John-), (15)

а

где 7,, - корни уравнения ./0(7) = 0. Представим и\(г,г) в виде

оо

и1(г,г) = У£ьп(г)11п(г) (16)

п=0

и найдем функции ьп(г) из граничных условий для и\(г,г).

Для выражения уп(г) через 171 домножим (16) на г Л0(7,и проинтегрируем в пределах от 0 до а. Воспользовавшись свойством ортогональности бесселевых функций, получим

а2 Л2 (7т)

,(«)=/' rJo(7m-)£/i(r,^)dr. (17)

J о °

2

Домножим уравнение (12) на г,/о(7т^) и проинтегрируем в пределах от 0 до а:

д2 Га т [а д ди г [а г

дг2 У0 а 70 дг дг а у0 а

Дважды проинтегрировав второе слагаемое по частям и воспользовавшись тем, что функции (15) удовлетворяют уравнению Бесселя, с учетом (14) и (17), преобразуем уравнение к виду

«(*)-^«„(2)) = *>(*), (18)

где введено обозначение

9 м 1

Найдем частные решения обыкновенного дифференциального уравнения (18) относительно функций ьп(г), удовлетворяющие граничным условиям по переменной г. Запишем

уп(г) = С\(.г)сЬ—г + Сг^вЬ —л а а

и, согласно методу вариации постоянных,

CL fZ

vn(z) = Cich—2 + Cosh — г + — / ip(?/)sh — (z - r))dr). a a 7„ Уд a

Граничное условие U\ = 0 при г = 0 дает С] = 0, а при z = с

Cosh—с + — Г - 7?)d7? = 0.

a In Jo а

Таким образом,

N

' -л- п

JibiJajnsh^c ^ 7Г а

(20)

(21)

Подставим значения С*1 и Сг в (19). Если выполняется гг < г < то только

первые г слагаемых в представлениии у>(г) дадут вклад в интеграл:

u„(z)

1

а7пЛ2(7п)

sh:

Ж-

N

— г —' 7Г О — ^ п

р= 1

р=1

(22)

Подставив «„(г) из (22) в разложение (16) и выразив С/ через получим окончательное выражение для потенциала в точке (г, г), гг < г <

Щг,г)=-и0 + ^

М^г)

7ra7,lJ12(7„)sh^c

N т

sh—z V g„sh—(с — z„) + sh —(с — г) У^ g„sh—;

п ^—J а а —' п

р=г+1

р=1

(23)

4. Одноострийная система, цилиндрические координаты, неограниченная область. Так же, как и в п. 3, заменим острие набором точечных зарядов, расположенных на оси системы, и найдем решение уравнения (12) в неограниченной области 0^г<оо,0^г^сс граничными условиями

{

U(r, 0) = 0, г^О, U(г, с) = f/o, г^О.

Будем искать решение в виде

U(г, z) = -U0+ / м(А, z)XJ0(\r)d\. c Jo

(24)

(25)

Снова обозначим 11\.(г,г) — [/(г, г)--{/0, тогда С/1 (г, г) - решение уравнения (12) с однородными граничными условиями, аналогичными (24). Для нахождения неизвестных коэффициентов й в разложении (25) воспользуемся преобразованием Ханкеля [6]

/•ОО

¿(A, z) = / U\{r,z)rJo{Xr)dr Jo

где <Л)(Г) " функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Уравнение (12) преобразуется тогда в обыкновенное дифференциальное уравнение относительно й(Х,г):

" 1

-Х2й(Х,г) + йгг(Х,г) = - - — .

Р= 1 п

Решая его так же, как и в предыдущих случаях, получим при г8 < г < г5+1 выражение для м(А, г)

й(Х,г)= 1

N в

бЬАЯ ^ дрвЬА(с — гр) + зЬА(с — г) ^ qpShХгр р=в+1 р=1

27гАзЬАс

Окончательно распределение потенциала в области < г < гя+\ имеет вид

И {г, г) = ~и0 + ~

С 2-7Г

р= 1 и

+ Е<1»1 -^--МХг)(1Х

р= 1

(26)

5. Обсуждение результатов. В трех рассмотренных случаях, соответствующих различным конфигурациям эмиссионной системы, получены аналитические выражения для электрического потенциала в виде формальных рядов или интегралов (формулы (11), (23), (26)). Они все линейны относительно значений зарядов др, что позволит в дальнейшем перейти к задаче моделирования полевых острий с заданным поточечно профилем: потребовав равенства потенциала одной и той же величине в N точках, получим систему линейных уравнений относительно цр. Найденные из этой системы заряды соответствуют электростатическому полю с эквипотенциальной поверхностью, проходящей через выбранные точки, которая может служить моделью поверхности проводящего острия.

Рассмотрим также вопрос о том, насколько полученные результаты согласуются с упомянутой в п. 1 моделью «заряженной нити». Описанная методика допускает прямое обобщение па случай непрерывного распределения заряда, лишь интегрирование, как при переходе от (20) к (21), в общем случае невозможно. Поэтому в окончательных формулах вместо сумм по номерам зарядов останутся соответствующие интегралы -тот же результат имеет место и при непосредственном предельном переходе к бесконечному числу зарядов. Отсюда видно, что найденное решение для дискретного распределения зарядов совпадает в предельном случае с решением для непрерывной «заряженной нити».

6. Заключение. Предложена методика расчета электростатического поля как для многоострийной, так и для одноострийных эмиссионных систем. В результате получено распределение потенциала в аналитическом виде, представленном формулами (11), (23), (26). При этом величины зарядов цр входят в данные формулы линейно, что позволяет перейти к задаче моделирования полевых острийных катодов с произвольным заданным поточечно профилем. Приведенные в работе результаты открывают возможность решения задачи оптимизации многоострийных полевых эмиссионных систем с остриями различной формы.

Summary

Vinogradova E. M., Dolgnv S. L., Egorov N. V. Calculation of electrostatic potential in multi-tip and single-tip field emission systems.

A model of field emission tip based on its substitution with a set of dot charges is presented. The model is used to detrmine electrostatic potential distribution in multi-tip and single-tip systems.

Литература

1. Овсянников Д. А., Егоров H. В. Математическое моделирование систем формирования электронных пучков. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1998. 276 с.

2. Adessi Ch., Devel М. Field-enhancement properties of nanotubes in a field emission setup // Phys. Rev. B. 2002. Vol. 65. P. 75418.

3. Jensen K. L., Mukhopadkayay-Phillips P., Zaidman E. G. et al. Electron emission from a single spindt-type field emitter: Comparison of theory with experiment // Proc. of the Intern. Vacuum Electron .Sources Conference. Eindhoven, The Netherlands, July 1-4, 1996. Appl. Surface Science. 1997. Vol. 111. P. 204-212.

4. Алмазов А. А., Егоров H. D. Оптимизация многоострийных эмиссионных систем // Радиотехника и электроника. 1999. Т. 40, вып. 4. С. 638-643.

5. Миролюбов Н. Н., Костепко М. В., Левинштейн М. Л., Тиходеев Н. Н. Методы расчета электростатических полей. М.: Высшая школа, 1963. 416 с.

6. Watson G. N. Treatise on the theory of bessel functions. 2ed. Cambridge: CUP, 1944. 799 p.

Статья представлена к публикации членом редколлегии Д. А. Овсянниковым.

Статья принята к печати 18 сентября 2006 г.