Математическое моделирование квадрупольной электростатической линзы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 51-73, 537.2 Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2016. Вып. 1

Е. М. Виноградова, А. В. Листрукова

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КВАДРУПОЛЬНОЙ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЙ ЛИНЗЫ

Санкт-Петербургский государственный университет, Россия, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

Представлена математическая модель квадрупольной электростатической линзы, состоящей из четырех электродов с одинаковыми геометрическими параметрами, каждый из которых представляет собой часть кругового цилиндра бесконечной длины, и симметрично расположенных относительно двух перпендикулярных плоскостей, пересекающихся по оси. На электродах задан одинаковый по модулю потенциал, но противоположный по знаку на соседних электродах. При решении граничной задачи для уравнения Лапласа используется метод разделения переменных в полярных координатах. В результате решение исходной граничной задачи сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений с постоянными коэффициентами. Распределение потенциала найдено во всей области исследуемой системы. Библиогр. 9 назв. Ил. 3.

Ключевые слова: квадрупольная линза, электростатический потенциал, уравнение Лапласа.

E. M. Vinogradova, A. V. Listrukova

THE ELECTROSTATIC QUADRUPOLE LENS MATHEMATICAL MODELING

St. Petersburg State University, 7—9, Universitetskaya nab., St. Petersburg, 199034, Russia

The mathematical model of the quadrupole lens is presented. The quadrupole lens is composed of four uniform electrodes. The electrode is the part of the circular cylinder. The potentials of the electrodes are the same modulus and opposite sign for neighboring electrodes. The boundary-value problem's solution of Laplace equation for the electrostatic potential distribution is presented. The variable separation method to find the unknown coefficients for the potential distribution is used. So the initial value-boundary problem is reduced to the system of the linear algebraic equations. The potential distribution is calculated for the whole region of the system. Refs 9. Figs 3.

Keywords: quadrupole lens, electrostatic potential, Laplace equation.

Введение. Квадрупольные линзы широко используются в электронно-вакуумных приборах, например, для коррекции сферической и хроматической аберрации объектива низковольтного растрового электронного микроскопа, для фокусировки и транспортировки пучков заряженных частиц [1—4].

В этой работе моделируется квадрупольная электростатическая линза, состоящая из четырех электродов с одинаковыми геометрическими параметрами, каждый из которых представляет собой часть кругового цилиндра бесконечной длины, и сим-

Виноградова Екатерина Михайловна — доктор физико-математических наук, профессор; e.m.vinogradova@spbu.ru

Листрукова Анна Валерьевна — аспирант; listrukova@rambler.ru

Vinogradova Ekaterina Mikhailovna — doctor of physical and mathematical sciences, professor; e.m.vinogradova@spbu.ru

Listrukova Anna Valerievna — post-graduate student; listrukova@rambler.ru © Санкт-Петербургский государственный университет, 2016

метрично расположенных относительно двух перпендикулярных плоскостей, пересекающихся по оси данного цилиндра радиуса . На электродах задан одинаковый по модулю потенциал , но противоположный по знаку на соседних электродах. Сечение системы в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра, представлено на рис. 1.

+и0

+и,о

Рис. 1. Схематическое изображение квадрупольной линзы

Постановка задачи. Для нахождения распределения электростатического потенциала используется метод разделения переменных в цилиндрических координатах. В силу того, что параметры исследуемой системы не зависят от переменной г, перейдем к полярным координатам (г, а). Поле, создаваемое этой квадрупольной системой электродов, симметрично относительно аксиальных плоскостей а = (пк)/2 и антисимметрично относительно аксиальных плоскостей а = п/4 + (пк)/2, к Е Z. Не ограничивая общность задачи, зададим внешнюю границу рассматриваемой области г = Я2 е нулевым потенциалом. Таким образом, достаточно рассмотреть сектор 0 < а < п/4, 0 < г < Я2 (рис. 2).

Рис. 2. Схематическое изображение сектора (а2 = п/4)

Параметры системы: Ях — радиус цилиндра, задающего электроды системы Я2 — радиус внешней границы системы, (Ях, ах) — координата края электрода, и0 — потенциал электрода.

Распределение электростатического потенциала удовлетворяет уравнению Лапласа

1 д ( ди\ 1 д2 и

г дг V дг

+

да2

= 0

(1)

и граничным условиям

и(Ях ,а) = и, 0 < а < ах, и(Я2, а) =0, 0 < а < а2, и(г,а2) = 0, 0 < г < Я2,

(2)

ди

да

а=0

= 0, 0 < г < Я2.

Решение граничной задачи. Для этого рассмотрим дополнительную границу г = Яо:

Яо < 1. (3)

Разобьем всю внутреннюю область системы (0 ^ г ^ Я2, 0 ^ а ^ а2) на шесть областей (рис. 3):

область 1: 0 ^ а ^ ах; 0 ^ г ^ Я0; область 2: ах < а < а2; 0 < г < Я0; область 3: 0 ^ а ^ ах; Я0 ^ г ^ Ях; область 4: ах < а < а2; Я0 < г < Ях; область 5: 0 ^ а ^ ах; Ях ^ г ^ Я2; область 6: ах < а < а2; Ях < г < Я2.

а = ах

а = а2

Рис. 3. Схематическое изображение системы с разбиением на области

В 1-й области распределение электростатического потенциала определяется функцией и (г, а) = и (г, а).

2

г

В соответствии с методом разделения переменных в каждой из областей распределение потенциала Щ(г, а) представим в виде разложений по собственным функциям [5-8].

В полярных координатах компоненты напряженности электростатического поля определяются выражениями

дЦ(г, а) 811 (г, а) Ег(г,а) =----, Еа(г,а) = —

дг

гда

(4)

Условие ограниченности компоненты Еа(г,а) напряженности поля (4) при г ^ 0 требует особого построения решения рассматриваемой задачи в приосевой области.

В областях 1 и 2 из (3) следует, что г ^ 1. Под условием малости г будем считать, что можно пренебречь всеми слагаемыми со степенью вхождения в ряд по переменной г выше второй [9]. Тогда с учетом граничных условий (2) по переменной а распределение потенциала в данных областях можно представить в виде

и1(г, а) = и2(г, а) = и1у2(г, а) = Ег2 ео8(2а),

(5)

где Е — неизвестный коэффициент. В области 3

/

из(г

Ж

Е

т=1

г

Ж

До

Ж

Й1

г

К^ \ Ко

+ Ь.

До

г

т / П \ Мт

Ко

ж

г

Ко

К^ \

Ко

сов(рт

здесь

+ Е

п=1

еовЬ(Лп а) / г

с„-—-г вт [ А„ 1п —

Ко

' еовЬ(Лп а1)

(2т - 1)п

Лп =

2а1 пп

1п

Й1 Ко

Ъп

4 Щ(-1)г

(6)

(7)

(8)

(9)

(2т - 1)п '

Коэффициенты аm, сп — коэффициенты разложений функций и^(Ко, а) (0 ^ а ^ а1) и из(г,а{) (Ко ^ г ^ К1) по соответствующим собственным функциям. Коэффициенты Ът (9) — коэффициенты разложений функции и(К1 ,а) = и%(К1,а) = Ио (0 ^ а ^ а1) из граничных условий (2) в ряд Фурье. В области 4

и4(г,а) =

/

\

вт

Ко

Ж

Д1

г

вт

Д1

Ко

+ 1п

До у- _ /_г_ г ) 1йо

До

Ж

вт

Д1

Ко

вт \

/

а

а

1

й

X

т

в

в

в

х в1п(^т(а - ах)) +

^ втЬ(Лп (а2 - а)) .Л , г \ + —ТТЛ-ггвт Л„1п— , 10

81пЬ(Л„(а2 - ах)) \ Я0

где

= • (11) а2 - ах

Коэффициенты йт, ¡т — это коэффициенты разложений функций и4(Я0,а) и и±(Ях, а) (ах < а < «2) в ряды Фурье. В области 5

г Ут ( Я2

\ Я2) \ г

иъ{г,а)= £ Ьш , , -/ „ ч мт с.о${цта)

т= 1 / \ /

~ совЬ(^а) . / г + Е 9п-т~7-г вщ [ип 1п —-

п=х совЩ^ах) V Ях

(12)

здесь

1 Й2'

111 дГ

(13)

Коэффициенты дп есть коэффициенты разложений функций и$(г, ах) (Ях < г < Я2) в ряд Фурье. В области 6

г \ вт (вт

Я2

и6(г,а)= /т--^-;-—д-вт(/Зт(а - ах)) +

/ т-л \ вт / Т~> \ вт

~ втЬ(^п(а2 - а)) . / г \

+ Е 9п—-Г7—-гг вт г/„ 1п .

п=х втЩ^(а2 - ах)) V

Распределение потенциала на границах раздела всех областей (за исключением границы г = Я0) удовлетворяет условию непрерывности в соответствии с формулами разложений по собственным функциям (5), (6), (10), (12), (14) и собственными значениями (7), (8), (11), (13):

щз(г, ах) = и4(г, ах), и5(г, ах) = и6(г, ах), из(Ях,а) = и5(Ях,а),

Щ(Ех, а) = и^(Ях, а). Непрерывность распределения потенциала на границе г = Я0

ихАЯ0,а) = сов(2а) = ( 0 ^ ^ (15)

I и4(Я0, а), ах < а < а2.

ПП

V

п

Условия непрерывности нормальной составляющей вектора напряженности поля на границах раздела областей имеют вид

дЩ дИх

дг г= Д0 дг г = Д0

дЩ дЩ

дг г= Д0 дг г = Д0

дЦ3 дЩ

да а= а1 да а = а1

дЦ5 дЦ6

да а= а1 да а = а1

дЦ3 дЦ5

дг г= Д1 = дг г = Д1

дЩ дЦ6

дг г= Д1 = дг г = Д1

0 ^ а ^ ах; а\ ^ а ^ «2;

Д0 < г < Дх; Дх < г < Д2; 0 ^ а ^ «1; «1 ^ а ^ «2.

Положим

'а\м (Ъ V а

а2

О.!

= | ео8(^а) cos2аdа, /2(в) = J вт(в(а — ах)) cos2аdа,

0 а!

а1 а2

/з(Л) = | совЬ(Ла) cos2аdа, /4(Л) = J 8тИ(Л(а2 — а)) cos2аdа, 0 а!

Й1

/5{¡л, А, а, 6) = / -ТУ-)«, а, 6) эш ( А1п — ) ¿г, г Д0

я0

Я2

V, а,Ъ) = / -ТУ-)«, а, 6) эт ( г/1п — I ¿г. г Д1

(16)

(17)

(18)

(19)

(20) (21)

Тогда ортогональность систем собственных функций в разложениях потенциала (5), (6), (10), (12), (14) с учетом вышеуказанных обозначений приводит к системе линейных алгебраических уравнений с постоянными коэффициентами: из (15)

ОО ОО

2

(22)

к=1

из (16), (17)

к=х № (Мk,Яо,Ях)

+ £ с„л„ I 1з{Хп) + ЫХп) ) +

п=1 п п \со8Ь(Л„а!) со8Ь(Л„(а2 - «1)).

+ Е ( ~ 17^77Г-ЕГ-ЕГ-; ) /ША) - ^ До«2 =

^ V 1 №-(р1,Я0,Ях) №-(р1,Я0,Ях)

2

р=х

из (18)

к-1 А

т, ' 1 Ях)

Е акцк(-1) к= 1 № (/хй,Д0,Д1)

- стЛт 1п ( д/—- ) (ЧапЬ (Лта1) - соШ (Лт(а2 - «1))) + V V Я0 )

, ^ Л 1-5 (в ,Л Ях) Дб (вг,Л т, Я0,г) , „ + ¿1 V ' И'-(А, До, ДО 11 \¥-([% До, ДО .1 11 ~

(24)

из (19)

из (20)

р=х

п 7 №-(^р,Я0,Ях):

( /ДэЛ

Ят^т 1п \Нг ^апЬ(г/то;1) - соШ (г/т(а2 -«1))) -Ях

-£^'^>д1>Д2)= (25)

р=х

п 7 №-(^р,Ях,Я2У

п ,. Мт«1__^ , Пп+т-1 _

№ (Мт ,Я0,Ях) п=х Лп + Мт

- (26)

к=х Vk + Мт

= «1 /^+(Мт,ДьД0) И^+(Мт,ДьД2) тМт 2 ^-(Мт,Д0,Д1) + Д1, Д2) /

из (21)

^ К Pm , Пп , , Pm (а2 - ai)

L^i 9 , от +«■

1 n АП + em^ m W-(pm,Ro,Ri) Im' 2 ^-(Мт,Д0,Д!) + W-(fjm,RuR2)J (27)

Vfc вп

oo

m

Е- fc ~ 9k 1FTW =

fc=1 vk + вт

Таким образом, решение линейной системы (22)—(27) относительно неизвестных коэффициентов разложений an, cn, dn, fn, gn, F позволяет решить граничную задачу для уравнения Лапласа (1), (2).

Заключение. В данной работе найдено распределение потенциала во всей области квадрупольной электростатической линзы. Для решения задачи используется метод разделения переменных в полярных координатах. В соответствии с заданными геометрическими параметрами вся внутренняя область рассматриваемой системы разбивается на подобласти, в каждой из которых распределение потенциала представляется в виде разложений (5), (6), (10), (12), (14). В результате решение исходной граничной задачи (1), (2) сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений с постоянными коэффициентами (22)—(27).

Геометрические размеры и потенциалы электродов, задающие исследуемую квад-рупольную линзу, являются параметрами задачи.

Литература

1. Овсянников А. Д., Овсянников Д. А., Дуркин А. П., Чанг Шенг-Луен. Оптимизация согласующей секции ускорителя с пространственно однородной квадрупольной фокусировкой // Журн. техн. физики. 2009. T. 79, вып. 11. С. 102-105.

2. Первухин В. В. Фокусировка и декластеризация ионов в переменном квадрупольном электрическом поле // Письма в Журн. техн. физики. 2005. T. 31, вып. 14. С. 16-21.

3. Пономарев А. Г., Магилин Д. В., Мирошниченко В. И., Пономарева А. А. Ионно-оптические свойства квадрупольных линз с конической апертурой // Прикладная физика. 2011. № 3, С. 117124.

4. Burns L.R., Bouas J.D., Matteson S., Weathers D.L. Evaluation of a novel design for an electrostatic quadrupole triplet ion beam lens // Nucl. Instr. and Meth. B. 2007. Vol. 261, N 1-2. P. 75-78.

5. Vinogradova E., Sergeev V. The Field Gun with the Thin Emitter Mathematical Modeling // 20th Intern. Workshop on Beam Dynamics and Optimization (BDO). 2014. P. 186-187.

6. Виноградова Е. М., Егоров Н. В., Телевный Д. С. Расчет триодной полевой эмиссионной системы с модулятором // Журн. техн. физики. 2014. T. 84, вып. 2. С. 139-144.

7. Виноградова Е. М., Долгов C. Л., Егоров Н. В. Расчет электростатического потенциала в мно-гоостриных и одноострийных полевых системах // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2007. Вып. 1. C. 29—37.

8. Егоров Н. В., Виноградова Е. М., Баранов Р. Ю. Расчет электростатического поля системы соосных аксиально-симметричных электродов // Радиотехника и электроника. 2007. T. 52, вып. 2. С. 212-217.

9. Герус В. Л. Физические основы электронно-лучевых приборов. М.: Наука, 1993. 352 с. References

1. Ovsyannikov A.D., Ovsyannikov D.A., Durkin А. P., Chang S.-L. Optimizatsiia soglasuyushchei sektsii uskoritelya s prostranstvenno odnorodnoi kvadrupol'noi fokusirovkoi [Optimization of matching section of an accelerator with a spatially uniform quadrupole focusing]. Zhurnal Tekhnicheskoi Fiziki [Technical Physics], 2009, vol. 79, issue 11, pp. 102-105. (In Russian)

2. Pervukhin V. V. Fokusirovka i deklasterizatsiya ionov v peremennom kvadrupol'nom elektricheskom pole [Ion focusing and declusterization in alternating quadrupole electric field]. Pis'ma v Zhurnal Tekhnicheskoi Fiziki [Technical Physics Letters], 2005, vol. 31, issue 14, pp. 16-21. (In Russian)

3. Ponomarev A. G., Magilin D. V., Miroshnichenko V. I., Ponomareva A. A. Ionno-opticheskie svoistva kvadrupol'nykh linz s konicheskoi aperturoi [Ion-optical properties of quadrupole lenses with conical aperture]. Prikladnaia fizika [Applied Physics], 2011, issue 3, pp. 117-124. (In Russian)

4. Burns L. R., Bouas J.D., Matteson S., Weathers D. L. Evaluation of a novel design for an electrostatic quadrupole triplet ion beam lens. Nucl. Instr. and Meth. B. 2007, vol. 261, no. 1-2, pp. 75-78.

5. Vinogradova E., Sergeev V. The Field Gun with the Thin Emitter Mathematical Modeling. 20th Intern. Workshop on Beam Dynamics and Optimization (BDO), 2014, pp. 186-187.

6. Vinogradova E. M., Egorov N. V., Televnyi D. S. Raschet triodnoi polevoi emissionnoi sistemy s modulyatorom [Calculation of a triode field-emission system with a modulator]. Zhurnal Tekhnicheskoi Fiziki [Technical Physics], 2014, vol. 84, issue 2, pp. 139-144. (In Russian)

7. Vinogradova E. M., Dolgov S. L., Egorov N. V. Raschet electrostaticheskogo potentsiala v mnogoostriinykh i odnoostriinykh polevykh sistemakh [Calculation of electrostatic potential in multi-tip and single-tip field emission systems]. Vestnik of Saint Petersburg University. Series 10. Applied mathematics. Computer science. Control processes, 2007, issue 1, pp. 29-37. (In Russian)

8. Egorov N. V., Vinogradova E. M., Baranov R. Yu. Raschet elektrostaticheskogo polya sistemy soosnykh aksial'no-simmetrichnykh elektrodov [Calculation of the electrostatic field produced by a system of coaxial axially symmetric electrodes]. Radiotekhnika i elektronika [Journal of Communications Technology and Electronics], 2007, vol. 52, issue 2, pp. 212-217. (In Russian)

9. Gerus V. L. Fizicheskie osnovy electronno-luchevykh priborov [Basic physics of the electron-beam devices]. Moscow, Nauka Publ., 1993, 352 p. (In Russian)

Статья рекомендована к печати проф. Н. В. Егоровым. Статья поступила в редакцию 26 ноября 2015 г.