Расчет поля трехэлектродной трансаксиальной линзы Текст научной статьи по специальности «Физика»

Физика

УДК 537.533, 535.31 DOI 10.21661/r-119489

И.Ф. Спивак-Лавров, А.Г. Дуйсенова, Г.Е. Гилимова

Расчет поля трехэлектродной трансаксиальной линзы

Аннотация

В исследовании применен метод расчета трансаксиальных полей, основанный на разбиении потенциала на два слагаемых. Основное слагаемое является гармонической функцией двух переменных и удовлетворяет заданным граничным условиям. Гармоническая составляющая потенциала находится аналитически с помощью методов ТФКП. Второе слагаемое является решением неоднородного уравнения с нулевыми граничными условиями Дирихле и может быть найдено численно с необходимой точностью.

I Ключевые слова: трансаксиальная электростатическая линза, стигматический режим фокусировки.

I.F. Spivak-Lavrov, A.G. Duisenova, G.E. Gilimova

The calculation of the field of the three-electrode transaxial lens

Abstract

The article offered method of the calculation of the transaxial fields based on the partition of the potential into two terms. The main term is a harmonic function of two variables and satisfies the given boundary conditions. The harmonic component of the potential is found analytically using the methods of complex analysis. The second term is the solution of an inhomogeneous equation with zero Dirichlet boundary conditions and can be found numerically with the required accuracy.

I Keywords: transaxial electrostatic lens, stigmatic focus mode.

Введение

Обычно электростатические поля трансаксиальных и осесимметричных корпускуляр-но-оптических систем описываются в ци-линдрическои системе координат Р, V, 2. Уравнение Лапласа для потенциала р в цилиндрических координатах имеет вид:

15 д<р 1 д2ю д2ю „

--Р —т + —т

рдр dp р ду/ 8z

(1)

В случае трансаксиальных и осесимметричных систем потенциал электростатического поля р зависит только от переменных р, г и удовлетворяет уравнению:

1 8 дер

р д р^ д р

+ ^ = 0.

dz"

(2)

Наиболее общим методом решения граничных задач для уравнения (2) является стандартный метод разделения переменных [1]. При этом потенциал представляется в виде рядов функций Бесселя. Однако эти ряды обычно плохо сходятся и неудобны для проведения численного расчета траекторий частиц (см., напри-

мер, [2]). В монографии [3] также рассмотрены различные аналитические методы решения уравнения (2) для трансаксиальных и осесимметричных полей.

В настоящей работе используется метод расчета потенциалов осесимметричных и трансаксиальных систем, предложенный в работе [4]. Гармоническая составляющая электростатического потенциала р (п, С) удовлетворяет двумерному уравнению Лапласа и являются гармонической функцией переменных

р ^

(3)

где Я - постоянная, имеющая размерность длины. Поэтому для расчета р (п, С) можно использовать аппарат теории функций комплексной переменной (ТФКП) [5]. Полученное таким образом аналитическое выражение для потенциала дает хорошее приближением для решения реальных задач, так как точно удовлетворяет заданным граничным условиям Дирихле. В то же время аналитическое решение удобно использовать для расчета корпускулярно-оптических систем, обладающих соответствующей симметрией.

77 = In — ,

R

Physics

В работе [6] этот метод применен для расчета иммерсионной двухэлектродной трансаксиальной линзы. В ряде приборов, например, в призменных спектрометрах заряженных частиц могут быть использованы также и одиночные линзы. Простейшей одиночной электростатической трансаксиальной линзой является трехэлект-родная линза, на входе и на выходе которой потенциалы электродов одинаковы.

Трехэлектродная трансаксиальная линза схематически изображена на рис. 1, где показана также сопутствующая декартова система координат х, у, 2. Трансаксиальная линза представляет собой две параллельные пластины, разрезанные прямыми круговыми цилиндрами радиуса R1 и R2, ось которых совпадает с осью Z.

Начало декартовой системы координат находится в средней плоскости линзы, совпадающей с плоскостью ху; У0, V1 и У2- потенциалы электродов, /- расстояние между пластинами. Зазоры между электродами считаются бесконечно узкими. Вдали от краев пластин электростатический потенциал ф зависит только от переменных

р = д/ X + У и г. Вводя безразмерные переменные Т] и £ согласно формулам (1), где

(4)

получим следующее уравнение для потенциала:

(5)

В плоскости 7] £ потенциал р (п, С) удовлетворяет следующим граничным условиям при

2 Я

К ЛЛ»7<-70, F, для-//0<77<Т70,(6)

К ДЛЯ /7 > Т/ц.

Рис. 1. Схематическое изображение трансаксиальной линзы

Уравнение (5) для потенциала можно решать методом последовательных приближений, взяв за нулевое приближение гармоническую функцию Р(п, С) , удовлетворяющую граничным условиям (6).

В плоскости п £ имеем электростатическую систему с двумерным полем, изображенную на рис. 2. На этом рисунке система электродов расположена симметрично относительно осей декартовой системы координат 7], £ .

Рис. 2. Трехэлектродная электростатическая система с двумерным полем

Чтобы найти потенциал поля р (п, С) этой системы, отобразим полосу — ¿Т0 —С — Со ком -плексной плоскости со = п + ¡С на верхнюю полуплоскость плоскости w = и + ¡V с помощью следующего конформного преобразования:

Откуда

(8)

В w -плоскости получаем граничную задачу, представленную на рис. 3, где верхним электродам соответствует область и < 0, а нижним - и > 0.

В последней формуле =1п,/ ~ •

Рис. 3. Граничная задача в и-плоскости

Interactive science | 8 • 2016

121

Физика

Распределение потенциала в w-плоскости определяется следующим выражением:

arctg -

и-a, I 1 и + a.

arctg-- I v

Здесь

7ГЯ>1С

1 (лЯ>/0

а2 = — = ехр

аг^-11—^ —аг^ - ап^ -—— |. (9) а\ -ехР^ J , ехр|—(10)

Таким образом, получено аналитическое выражение для электростатического потенциала трехэлект-родной трансаксиальной линзы.

Уравнения движения заряженной частицы с зарядом д и массой т в безразмерных декартовых координатах х, у, I можно записать в следующем виде:

Х=фх, У=фу , ¿=Ф2. (11)

Здесь Ф = (р/У{) - безразмерный потенциал, за единицу длины берется величина й — расстояние между плоскостями, индексы у Ф обозначают частные производные по соответствующим координатам, точки обозначают производные по безразмерному времени Т = Т0 , где

Начальные условия для расчета трансаксиальной линзы с помощью уравнений (9) можно задать следующим образом:

= л/2-У1-21 , у0=а, ¿0=/?. (13)

хо —К У о — zo ~~ 0; х0 — д/2-

Найдем также частные производные потециалов, входящих в уравнения (9):

Ф, = F.

Ф„ = К,—

Ф- = F,

d и +FV З/7 dp

dij drj) dp dx

ди +K <Э И d?i d p

drj <3/7 J dp dy

ди Jc +K dv \dC I dz '

(14)

(15)

(16)

Частные производные, входящие в (14) - (16), согласно (3), (8), (9) определяются следующими выражениями:

F^k-Vi)

ч+аг

v1+(u + a2f v2+(u-a2f

v2+(u+aif v1+(u-alf

ди jiR dv nR ди tzR dv kR dr] d 8t] d d d( d

>,(17)

;(18)

(19)

(20)

дг]др_х ¿С = 1

др дх ~ р2' дрду р2' ¿г Я' Численно интегрируя уравнения (11) можно подобрать R1 и R2, а также потенциалы электродов, при которых осуществляется стигматическая фокусировка объемного пучка заряженных частиц, выходящих их точечного ионного источника.

Литература

1. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. - М.: Наука, 1977. - 736 с.

2. Овсянникова Л.П. Цилиндрический зеркальный энергоанализатор с закрытыми торцами / Л.П. Овсянникова, Т.Я. Фишкова // ЖТФ. - 1994. - Т. 64. - №10. - С. 174-177c.

3. Голиков Ю.К. Теория синтеза электростатических энергоанализаторов / Ю.К. Голиков, Н.К. Краснова. - СПб.: Изд-во Политехнического ун-та, 2010. - 409 с.

4. Doskeyev G.A. Method of the calculation of the transaxial lens' field / G.A. Doskeyev, I.F. Spivak-Lavrov // Eurasian Physical Technical Journal. - 2008. - Vol. 5. - №1 (9). - P. 50-52.

5. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А.Лаврентьев, Б.В. Шабат. - М.: Наука, 1973. - 736 с.

6. Doskeev G.A. Method of the calculation of transaxial lens' field / G.A. Doskeev, I.F. Spivak-Lavrov // Eurasian Physical Technical Journal. - Vol. 5. - 2008. - №1 (9). - P. 50-53.