CC BY
46
Сер. 10. 2010. Вып. 2
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
УДК 533
Н. В. Егоров, В. А. Клемешев, М. Г. Фоменко
РАСЧЕТ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ ДИОДНОЙ ЭМИССИОННОЙ СИСТЕМЫ С ПОЛЕВЫМ КАТОДОМ
Введение. Среди актуальных задач современной вакуумной электроники, которая по-прежнему сохраняет свои позиции в областях применений, где требуются радиационная стойкость, высокая пиковая мощность, устойчивость к электромагнитным импульсам и т. п., важное место отводится созданию стабильных полевых эмиссионных катодов, способных длительное время работать в условиях высокого технического вакуума (10~6-10~7 мм рт. ст.). Использование полевых эмиттеров позволяет не только снизить энергопотребление электронных устройств, сократить время готовности при включении, но и принципиально уменьшить габариты активных элементов и применить методы интеграции, разработанные для твердотельной электроники [1].
Анализ работ по полевой эмиссии показывает, что материалы катодов, предназначенных для работ в условиях высокого технического вакуума, должны обладать специфической совокупностью свойств, таких как низкие и стабильные значения работы выхода электронов, электро- и теплопроводности, высокая механическая прочность. Кроме того, материалы полевых катодов должны быть технологичными и доступными. Перечень материалов, которые были использованы для создания полевых катодов, достаточно широк (вольфрам, молибден, рений, платина). В настоящее время интенсивно развиваются технологии создания эмиттеров, основанные на самоорганизованном росте структур на базе углеродных нанотрубок [2, 3], а также самоорганизованных оксидных наноструктур [4, 5]. Установление эмиссионных свойств у наноуглеродных структур (прежде всего у углеродных нанотрубок) в последнем десятилетии ХХ в. принципиальным образом расширило возможности применения полевых эмиттеров. Это обстоятельство было обусловлено чрезвычайно малыми пороговыми напряженностями поля (до 104 В/см) и способностью к работе в относительно низком вакууме (10~5-10~6 тор), обнаруженными у холодных катодов, изготовленных из этих материалов. Благодаря
Егоров Николай Васильевич — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой моделирования электромеханических и компьютерных систем факультета прикладной математики—процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 180. Научные направления: математическое моделирование, электронная оптика, математическая физика. E-mail: nve@apmath.spbu.ru.
Клемешев Владимир Алексеевич — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры моделирования электромеханических и компьютерных систем факультета прикладной математики—процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 13. Научные направления: математическое моделирование, электронная оптика, математическая физика. E-mail: v-alexeevich@yandex.ru.
Фоменко Марина Георгиевна — аспирант кафедры моделирования электромеханических и компьютерных систем факультета прикладной математики—процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель: доктор физико-математических наук, проф. Н. В. Егоров. Количество опубликованных работ: 5. Научные направления: математическое моделирование, электронная оптика, математическая физика. E-mail: mutul_marina@mail.ru.
© Н. В. Егоров, В. А. Клемешев, М. Г. Фоменко, 2010
таким свойствам появились также новые потенциальные области применения для полевых эмиттеров - сверхминиатюрные источники рентгеновского излучения, плоские люминесцентные источники света и плоскопанельные эмиссионные дисплеи с высокой разрешающей способностью. Подобные дисплеи вызывают особый интерес для всей индустрии электронных устройств благодаря сочетанию малой толщины, свойственной LCD/плазменным экранам и качеству передачи цветов, а также минимальному размеру элементов изображения, которыми обладают электронно-лучевые трубки. Идеология использования углеродных волокон в полевых катодах базируется на том, что они не требуют специального предварительного заострения, так как необходимые эмит-тирующие центры содержат простой излом волокна. Таким образом, наноуглеродные образования могут представлять собой полевые катоды с острыми кромками.
Цель данной работы - расчет диодной осесимметричной электронно-оптической системы на основе полевого источника.
Физическая постановка задачи. Исследуем диодную систему, в которой поверхности анода и катода с острой кромкой являются частями сфер (рисунок). Требуется найти распределение электростатического потенциала во всей области системы. Потенциал катода равен нулю, потенциал анода - У0. Для решения такой задачи рассмотрим тороидальную систему координат (а, в). В этом случае поверхности катода и анода совпадают с координатными поверхностями данной системы [6].
а = а! \ а = а2
V-
Схематическое изображение диодной системы
Математическая постановка задачи. Распределение потенциала удовлетворяет уравнению Лапласа, записанному в тороидальной системе координат:
д_
да
ди\ д { ди\
0,
(1)
где
здесь а - масштабный множитель.
а вИ а
еИ (
- еов в
г
Граничные условия определяются заданными потенциалами на аноде и катоде. Условия непрерывности нормальной составляющей вектора смещения на линиях, разделяющих области, но не принадлежащих поверхностям сегментов, имеют вид
и (а, = Уо, а1 < а < а2,
и (а, — [2) = и (а, 2п — [2) =0, 0 ^ а < то;
и\ (а, в\ — 0) = и2(а,[\ +0), 0 ^ а < то,
дп\
¡3=вг-0
ди2 ~d¡3
(3)
0 ^ а < ai, а2 ^ а < то. v '
в=в1+0
Решение задачи. Так как поверхности электродов системы совпадают с частями координатных поверхностей, то рассматриваемую область можно разбить на подобласти, ограниченные поверхностями, входящими в семейство координатных поверхностей, в которых уравнение Лапласа интегрируется разделением переменных. Для решения граничной задачи (1), (2) удобно разбить всю область электронно-оптической системы на две подобласти: —[2 < в < в\ и < в < 2п — [2. Требуется в них определить потенциалы и\<2 (а, [), удовлетворяющие уравнению Лапласа (1) с граничными условиями (2). Согласно методу разделения переменных, общее решение уравнения Лапласа в каждой из подобластей можно записать следующим образом:
сю
и1 (а, ¡3) = л/ сЬ а + соэ ¡3 J (г) эЬ (/3 + /?2) т + В1 (г) эЬ (/?! - /3) г) х
xP_i+IT(cha) dT
(4)
sh (/?!+/? 2) г'
СЮ
и2 (а, /3) = л/ ch а + cos ¡3 J (а2 (г) sh (2тг ~/32+/3)т +
о
sh (27г — [32 — /3i) г'
где P_i+ir (cha) - функция Лежандра первого рода или функция тора.
Удовлетворяя граничным условиям (2), находим, что Ai (т) = A2 (т) = A (т),
Bi (т) = B2 (т) = 0.
Принимая во внимание условие непрерывности вектора электростатического поля (3), получим систему тройных интегральных уравнений
С
У A (т) т(cth (в1 + &) т + cth (2п - в2 - А) т) X
о
х Р_ i +ir ( ch a) dr = 0, 0 ^ a < at,
СЮ
J A (т) т( cth (в1 + &) т + cth (2п - в2 - ei) т) X (5)
о
x P_i+iT (ch a) dr = 0, a2 ^ a < 00,
С
Í V0
A(T)P_i+ir(cha)dT = ai < a < a2-
J 2 у7 ch (a) + cos (ei)
Если заменить A (т) новой неизвестной функцией C (т) = 2A (т) cth пт и положить + в2 = п, то систему (5) можно записать так:
сю
J С (г) rP_i+iT ( ch a) dr = 0, 0 ^ а < о.\1 о
с
J C(t)tP_l+ít (cha)d,T = 0, а2 < а < оо, (6)
о
с
/2V
th (7rr)C,(r)P_i+iT (cha)dr = '3 «i < а < а2-
2 v ch (a) + cos (pi)
Таким образом, для того чтобы найти распределение электростатического потенциала (4), необходимо решить систему тройных интегральных уравнений (6). Для этого введем в рассмотрение новую функцию M (т), связанную с C (т) соотношением [7]
сю
J Cír)rP_,+ÍT{cha)dT = М{т)., О«,«*.
о
По формуле обращения для обобщенного преобразования Мелера-Фока имеем
СК2
с (г) = iilM J sh (v) м (v) Р_,+гт (ch (v)) dv. (7)
о
^ (а)
Умножая первое уравнение из системы (6) на —, = и интегрируя обе
у/ Л (х) — ch (а)
части по т от 0 до х, получим
¡^С (т) яш (хт) dт = 0, 0 <х<а1. (8)
о
Подставляя С (т) из (7) в (8) и во второе уравнение из (6) и меняя порядок интегрирования, приходим к следующим выражениям:
х
Г sh (у) М (у) dv , ч
' V ; - 0, 0 < ж < аь (9)
J \/ ch (х) — ch (v)
о
J sh {v)M{v)K2 (v,a)dv = í-^ül, ai < a < a2, (10)
в которых
Г ds
K2{v,a)= / =--=. (11)
J v ch (s) — ch (a) — \Jch (s) — ch (v)
max(a,v)
Уравнение (9) представляет собой уравнение Абеля, и его решение имеет вид
М (и) = 0, 0 <и < а1. Учитывая представление (11), перепишем выражение (10) так:
а.2 с
[ вЬ (» М (г;) ¿V [ ^ = ^ = (а) , «1 < а < а2,
] ] ^еЪ (в) — еЪ (а) п
а1 шах(а,и)
или
а2 сю
Г (в) Зв Г Зв
(«)-/■
(12)
где
.] сЬ (в) — сЬ (а) сЬ (в) — сЬ (а)
а1 а2
а2
Г вЪ (V) М (V) ЗV х I —. =, о.\ < о. < о.2,
] у еИ (в) — еЪ (V)
а1
в
Г вЬ (V) М (V) ЗV
= / -г, I , > «1 < в < а2. (13)
.) у еп (в) — сп (а)
а1
Предполагая, что правая часть (12) известна, его решение может быть записано следующим образом:
а2
„ , ч 1 ЗГЕ1 (а) вЪ (а) За т . . 8х{з) = -~— I -¡±ф=±=!==+Ь{з), а1<а<а2, п З^ ^еЪ (а) — еЬ (в)
здесь
/-
1 вЪ (в) /•v/еh(p) — еЪ (а2)Зр =--, = / -, =—х
п еЬ (а2) — еЬ (в) .! у7 еЬ (в) — еЬ (р)
а2
а2
Г вЪ (V) М (V) сЬ х / , а1 < в < а2.
.! у еИ (р) — еЬ (V)
а1
(14)
Пусть
а2
(15,
,/ у'еп (р) — си (V)
Так как уравнение (13) имеет решение вида
V
1 З Г £1 (в) вЪ (в) Зв МНЛ»=-7/-7====, а! < V < а2, п Зю ] ^еЪ (V) — еЪ (в)
а1
то, подставляя его в (15) и интегрируя по частям, находим, что
а2
„ , ч 1 /—,—-;——г I 5*1 М вЬ (у) ЗУ
(р) = (Р) - сЬ (а2) / ——-1 ; ^ ■ (16)
п ] (еЪ (р) — еЪ (V)) у еЪ (а2) — еЪ (V)
а1
Согласно представлениям (14)—(16), получим
а2
II (в) = $1 (V) К2 (у,8) аV, (17)
где
вЬ (в) вЬ (у)
К2 (V, в1 —
7г2 у/ сЬ («2) — сЬ (в) у/сЬ («2) — сЬ (г>)
сю
[ (еЬ (р) - еЬ («2)) ¿р
,] (еЬ (в) — еЬ (р)) (еЬ (р) — еЬ (V))
а2
Из (14) и (17) выводим следующее интегральное уравнение Фредгольма второго рода:
СК2
$1 (в) + J $1 (V) К2 (V, в) ¿V = С («), «1 < в < «2- (18)
Ядро интегрального уравнения (18) имеет вид
вЬ (в) вЬ (и)
К2 (и, в)
я2 сЬ («2) — сЬ (в)\/ сЬ («2) — сЬ (и)
1 1 ( 1 еЬ(«2)+еЬ2 (в) ,
агсвт--—— — агсвт--———ч-г +
сЬ (в) - сЬ (и) л/сЬ2(в) - 1 V -сЬ(в) -сЬ (8)(сЬ (а2) + 1)
)
(19)
1 1(1 еЬ(«2)+еЬ2 (и)
Н—;—г^-;—гг—, - агсвт ——
сЬ (и) - сЬ (в) у/ сЪ 2 (и) - 1 V -сЬ(м) -сЬ (и) (сЬ (а2) + 1)
а правая часть
2
1 (1 Г (а) вЬ (а) ¿а Сг (а) =---— / = -2У0 х
п у/еЬ («) — еЬ (в)
в
I I — вЬ (в) еЬ («2) — вЬ (в)еов(/3:0
— вЬ (в) I х
^(сЬ (а2) - сЬ (в)) (сЬ («2) + сов (/?1)) у (20)
1
| 2 сЬ («2) + сов (/?1) - сЬ (в) + 2у/(сЬ (а2) - сЬ (в))(сЬ (а2) + сов (&)) | вЬ (в) \
| еЬ (в) + еов(/?1) | у
Таким образом, решив уравнение Фредгольма (18), найдем неизвестные коэффициенты, входящие в разложение электростатического потенциала (4). В общем случае решение интегрального уравнения можно получить численными методами [8].
Заключение. Преимущества электронных катодов по сравнению с другими видами источников свободных электронов хорошо известны (высокая плотность тока, устойчивость к колебаниям температуры и т. д.). Основная трудность в создании стабильных катодов состоит в том, что полевая эмиссия чувствительна к изменению геометрии катода и состоянию его поверхности. В работе получено аналитическое решение
х
х
X
задачи электростатики для осесимметричной диодной электронно-оптической системы с полевым источником во всей области диодной системы. Задача решена с помощью метода тройных интегральных уравнений, который позволяет свести исходную граничную задачу (1), (2) к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода (18) с ядром (19) и правой частью (20). Все геометрические размеры, потенциалы анода и катода являются параметрами задачи.
Литература
1. Шешин Е. П. Структура поверхности и автоэмиссионные свойства углеродных материалов. М.: Изд-во Моск. физ-техн. ин-та: Физматкнига, 2001. 287 с.
2. То,то,ренко Н. И., Кравченко В. Ф. Автоэмиссионные наноструктуры и приборы на их основе. М.: Физматлит, 2006. 192 с.
3. Hsu David S. Y. Microgating carbon nanotube field emitters by in situ growth inside open aperture arrays // Applied Physics Letters. 2002. Vol. 80(16). P. 2988-2991.
4. Chalamala B. R., Wei Y., Reuss R. H. et al. Effect of growth conditions on surface morphology and photoelectric work function characteristics of iridium oxide thin films // Applied Physics Letters. 1999. Vol. 74(10). P. 1394-1396.
5. Aggarwal S., Monga A. P., Perusse S. R. Spontaneous ordering of oxide nanostructures // Science. 2000. Vol. 287. P. 2235-2237.
6. Мутул М. Г. Математическое моделирование диодной системы на основе полевого катода с острой кромкой // Процессы управления и устойчивость: Труды 39-й Междунар. науч. конференции аспирантов и студентов. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2008. С. 153-157.
7. Singh B. M., Rokne J., Dhaliwal R. S. The study of triple integral equations with generalized Legendre functions // Abstract and Applied Analysis. 2008. Vol. 35. P. 257-269.
8. Верлань А. Ф., Сизиков В. С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы: справ. пособие. Киев: Наукова думка, 1986. 732 с.
Статья принята к печати 24 декабря 2009 г.
