Синтез последовательностей на основе классов степенных вычетов двенадцатого порядка по простому модулю Текст научной статьи по специальности «Математика»

•т

Теория сигналов

УДК 621.391

В. А. Едемский, А. В. Иванов Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого

Синтез последовательностей

на основе классов степенных вычетов двенадцатого порядка по простому модулю

Получены регулярные правила кодирования последовательностей с хорошими периодическими автокорреляционными свойствами и пик-фактором, равным 3 или 4. Последовательности формируются на основе классов степенных вычетов двенадцатого порядка по простому модулю.

Последовательности, синтез, автокорреляция, пик-фактор

Изменение кодируемого параметра (амплитуды, фазы, частоты) в дискретных сигналах задается числовой последовательностью, которая в этом случае называется дискретно-кодированной (кодовой, кодом) и определяет свойства сигнала [1]. Важными характеристиками дискретно-кодированной последовательности комплексных чисел X = {хо, к, с периодом N являются ее

периодическая автокорреляционная функция

N _1

(ПАКФ) 1Х (т) = ^

х}х} +т (черта сверху °б°-

1=0

значает комплексное сопряжение) и пик-фактор р/ - отношение периода последовательности к

1х (0) [1].

В настоящей статье рассматриваются последовательности с алфавитом {е2кгк/п, к = 0, 1, ...,

п _ 1} (г - мнимая единица; п > 3 - натуральное число), формируемые на основе классов степенных вычетов двенадцатого порядка по простому модулю. Определены регулярные правила кодирования последовательностей с хорошими периодическими автокорреляционными свойствами и р/ » 3 или р/ » 4.

Метод анализа ПАКФ последовательностей.

Пусть р = йЯ +1 - простое число (й, Я - натуральные числа). Обозначим через 0 первообразный корень по модулю р, а через Но ={0(, t = 0, 1, Я _ 1} - класс вычетов степени й [2].

к

Пусть Нк =0кНо, к = 1, ..., й _ 1 (все действия выполняются по модулю р). Нк называются классами смежности подгруппы Н0 в мультипликативной группе конечного поля порядка р или циклотомическими классами порядка й.

В [1] разработан математический аппарат для анализа периодических корреляционных функций троичных последовательностей, сформированных на циклотомических классах порядка й. На его основе создана методика синтеза троичных последовательностей с заданными ограничениями на их основные характеристики, в частности на ПАКФ и пик-фактор [1], [3], [4]. Получены многочисленные результаты синтеза последовательностей [1], [4].

В [5], [6] показано, что эта же методика применима и для анализа ПАКФ комплексных последовательностей. В частности, если и, V - комплексные числа и последовательности Ук, У;, к, I = 0, 1, ., й _ 1, формируются на основе одного циклотомического класса по правилам кодирования:

тт (л 1$ Нк; л <л N1$ Н1; т иУк (1 ) = 1п иУ1 (1 ) = 1п (1)

к [0,1 $ Нк; ; [о, 1 $ Н1,

то справедливы взаимно однозначные соответствия [5]:

%к (т)« ииЯ(к, к); Гк ; (т)« шЯ(к, I), (2)

© Едемский В. А., Иванов А. В., 2014

где (т) - ПАКФ последовательности Ук; гк, I (т) - периодическая взаимно корреляционная функция пары последовательностей Ук и У1; 5(к,I) - спектр разностей классов вычетов (СРКВ) Нк и Н1 [1]. Взаимно однозначные соответствия, отмеченные в (2) знаком о, указывают, что если те Ну, то корреляционная функция равняется /-й гармонике соответствующего СРКВ.

Как и в [1], соотношения (2) обобщаются на правила кодирования, использующие большее число циклотомических классов.

Согласно [7] 5(к, I) = [(-к, I - к), (1 - к, I - к),

к, (ё -1 - к, I - к)], где (к, I) - циклотомиче-

ские числа порядка ё [8]. Расчет таблиц циклотомических чисел не вызывает затруднений [9]. Таким образом, соотношение (2) определяет метод численного анализа ПАКФ последовательностей, формируемых на циклотомических классах. Как отмечено в [1], [4], в этом случае разработка соответствующей программы не вызывает затруднений, а характер операций и то, что все они выполняются над целыми числами, гарантируют ее быстродействие.

С другой стороны, для ё = 2, 3, 4, 6, 8, 12 существуют формулы для вычисления циклото-мических чисел посредством разложений модуля р на суммы квадратов целых чисел. Последнее позволяет получать регулярные правила кодирования последовательностей с заданными ограничениями на их характеристики [4]. Примеры регулярных правил кодирования последовательностей с ограничениями на ПАКФ и пик-фактор для ё = 2, 3, 4, 6, 8 представлены в [1], [4]-[7]. Рассмотрение в настоящей статье выполнено для ё = 12.

Регулярные правила кодирования последовательностей для й = 12. Согласно [10] цик-лотомические числа двенадцатого порядка определяются разложениями

р = х2 + 4у2 = Л2 + 3В2; тае 2, Ые 3, где х ° 1(mod4), у, Л ° 1(mod3), В - целые числа; ^е а - дискретный логарифм по основанию е числа а по модулю р. Знаки у и В выбираются в зависимости от первообразного корня. Таблицы циклотомических чисел двенадцатого порядка и их свойства приведены в [10]. Расчет СРКВ в символьном виде существенно упроща-

ется при применении пакета прикладных математических программ, например Mathcad.

Предварительный численный анализ ПАКФ последовательностей, сформированных на основе циклотомических классов двенадцатого порядка, позволил выделить ряд закономерностей, представленных далее.

Рассмотрим последовательность X = {xj}

периода p, сформированную по одному из правил кодирования:

fi, j е Ho; „2 га/3

Ux (j) =

Ux (j) =

e—-, j е H2;

-1, j е H6;

5 ra'/3 ■ и

e ' , j е H8;

0, j g Hq uH2 uНб uH8;

1, jе Hq; epi/3, jе H4; -1, j е H6;

4ra'/3 ■ и e ! ,jе Hio;

(3)

(4)

0, ] Й Н0 и Н4 и Нб иН10. Теорема 1. Если последовательность X сформирована по (3), (4) для р = х + 4у при у °±1(mod3), то она имеет двухуровневую ПАКФ

1X (т)е{(±У -1)/3, (+2 у -1)/3}, т = 1, к, р-1(5) и пик-фактор р/ » 3. В (5) знак "+" используется, если у ° 1(mod3), знак "-" - если у °-1(mod3).

Доказательство. Рассмотрим случай, когда последовательность X определена по (3). Обозначим г = е2га/3. Тогда из (3) имеем X = У0 + гУ2 -- Уб - гУ%, где последовательности Ук определены по (1). По (2) получим взаимно однозначное соответствие для ПАКФ последовательности X:

'KX (т)о5(0, 0) + 5(2, 2) + 5(6, 6) + 5(8, 8) + + г5 (0, 2) + г5 (2, 0)-5 (0, 6)-5 (6, 0)- г5 (0, 8)-г5 (8, 0)-г5 (2, 6)-г5 (6, 2)- 5 (2, 8)-5 (8, 2) + 25(6,8) + г5 (8, 6).

Применив свойства СРКВ, последнее соответствие можно преобразовать к следующему виду (здесь мнимая часть ПАКФ равна нулю):

1Х (т)о 5(0, 0) + 5(2, 2) + 5(6, 6) + + 5 (8, 8) + 5 (0, 8) + 5 (6, 2) _ _ 5 (0, 6)_ 5 (6, 0)_ 5 (2, 8) _ _ 5 (8, 2) _ 5 (0, 2) _ 5 (6, 8). (6)

Воспользовавшись явными формулами для циклотомических чисел 12-го порядка из [10], после суммирования получим, что СРКВ, соответствующий правой части соотношения (6), имеет только две различные гармоники: (у_ 1)/3,

(_2 у _ 1)/3 при у ° 1( шоа3) и (_ у _ 1)/3,

(2у_ 1)/3 при у °_1(mod3).

Если же последовательность X определена по (4), то СРКВ получается циклическим сдвигом СРКВ, стоящего в правой части формулы (6). Теорема 1 доказана.

Следствие 1.1. Если в условиях теоремы 1

р = х2 + 4, то 1 х (т)е{0, _ 1}, а если же

р = х2 +16, то 1Х (т)е {_1, 1}, т = 1, р _ 1.

Приведем несколько значений р, удовлетворяющих условиям следствия 1.1: 13, 97, 229, 241, 457, 733, 1093, 2029, 2617, 3253, 5641, 6577, 7573, 9817, ... .

2

Если в условиях теоремы 1 р = х + 64, то 1Х (т)е{1, _3}; при р = х2 +100 1Х (т)е е {_2, 3}, т = 1, ., р _ 1. Примеры значений р: 73, 109, 181, 829, 1153, 1621, ... .

Таким образом, получены два регулярных правила построения последовательностей с хорошими периодическими автокорреляционными свойствами и р/ » 3.

Замечание. В [1], [4]-[7] найдены регулярные правила кодирования последовательностей, формируемых на основе циклотомических классов четвертого - восьмого порядков, с хорошими автокорреляционными свойствами и р/ » 2. Аналогичные правила существуют и для формирования последовательностей на циклотомических классах двенадцатого порядка. Например, если последовательность X при р = х2 + 4 и р ° 13 (шod24) сформирована по одному из следующих правил кодирования:

1,1 $ Н0 иН3; е2р/3, ] е Н4 иН7; е4р/3,]е Н8 иНП; 0, ] £ Н0 и Н3 и Н4 и Н7 и Н8 и Н11;

Ux (j) = \

Ux (j) = \

1, jе H иH9;

e2pi'3, jе Hi иH4;

e4p/3, jе H5 иH8;

0, j £ H0 и H1 и H4 и H5 и H8 и H9,

то max 1x (t) = 1, но в этом случае сетка перио-t*0

дов менее плотная, чем в [6]: p = 13, 229, 733, 1093, 2029, 3253, 7573, ... .

Пусть теперь последовательность X определена следующим образом:

IX jе Ho;

Ux (j) = \

e2P1'3, j е H4; e4p/3, jе H8;

(7)

0, j £ H0 и H4 и H8.

Теорема 2. Если последовательность X сформирована по (7) для p ° 13(mod24), indg 2 ° ° l( mod6) и indq 3 ° 0 (mod 4), то она имеет трехуровневую ПАКФ:

1X (т)е{ -(A + х + 2)/8, (A + x-2)/8 ±i^B^}, t = 1, ..., p -1

и пик-фактор pf » 4.

Доказательство. Как и в теореме 1, получим, что в рассматриваемом случае для вещественной (Re 1X (t)) и мнимой (Im lx (t)) частей ПАКФ

справедливы следующие взаимно однозначные соответствия:

Re 1X (t)o(I + D4 + D8)S(0, 0) + + 0.5 (I + D2 + D4 + D6 + D8 + D10) S (0, 4); Im lX (t)o

«-(V3/2)(I - D2 + D4 - D6 + D8 - D10)S(0, 4), где D - оператор циклического сдвига Хаффмана,

причем D0 = I (I - тождественный оператор).

Воспользовавшись формулами для циклото-мических чисел двенадцатого порядка, после вычислений получим, что

Re 1X (t)«(1/8)(-A - х- 2, A + х- 2, ...);

Im 1X (t)o-(V3/4)(0, B, 0, -B, ...).

Справедливость теоремы 2 вытекает из последних соответствий.

Из теоремы 2 вытекает, что последовательность X не может обладать идеальной ПАКФ.

9

Определим, при каких значениях периода последовательности модуль ПАКФ примет наименьшее возможное значение.

Лемма 1. Если последовательность X сформирована по (7) в условиях теоремы 2, то

max 1х (t) £ 1 тогда и только тогда, когда ее пе-

t*0 1 1

риод p = (1 + 12м )2 +12 при условии, что 1 - 12м -полный квадрат.

Доказательство. Согласно условию леммы 1 и теореме 2 имеем

1X (t)£ {-(A + х + 2)/8, (A + x- 2)/8 ±/>/зя/4}.

Следовательно, если |lx (t)| £ 1, то |B| = 2 (так как B - четное число) и

(A + х - 2)/8 = ±12. (8)

По условию p ° 13(mod 24), значит, A ° 1(mod 6). Пусть A = 1 + 6v; х = 1 + 4t, где v, t - целые числа. Тогда из (8) получим 3v + 2t = ±2. Значит, v = 2м (м - целое число) и

t = ±1 - 3м.

Если t = 1 - 3м, то A = 1 + 12м; х = 5 - 12м. Из

2 2 2 2

соотношения p = х + 4у = A + 3B после под-

2

становки х, A, B получим 25 - 120м + 4y =

= 13 + 24м или у2 = 36м -3. Последнее уравнение не имеет решения в целых числах, поэтому равенство t = 1 - 3м невозможно.

Если же t = -1 - 3м, то A = 1 + 12м;

х = -3 - 12м. Тогда 9 + 72м + 4у2 = 13 + 24м или

у2 = 1 - 12м, т. е. 1 - 12м - полный квадрат и

p = (1 + 12м) +12, что и требовалось доказать.

Наоборот, если p = (1 + 12м) +12, то p ° 13 (mod 24); A = 1 + 12м и BI = 2. Далее, если

1 - 12м - полный квадрат, то p = (3 + 12м)2 + + 4 (1 - 12м), следовательно, х = -3 - 12м. Подставив х, A, B в формулы для значений ПАКФ из теоремы 2, получим, что

1X (t)e{0, -1/2±/л/3/2}, t = 1, ..., p-1.

Лемма 1 доказана.

Условиям леммы 1 удовлетворяют последовательности с периодами p = 13 (м = 0), 541 (м = -2), 2221 (м = -4), ....

Теорема 3. Если последовательность X сформирована по (7) для p ° 13(mod24), indq 2 ° ° 1(mod 6) и indq 3 ° 2 (mod 4), то она имеет трехуровневую ПАКФ:

1X (t) е {(A - х - 2)/8, (-A + х - 2)/8 ± / V3b/4} , t = 1, ..., p -1

и пик-фактор pf » 4.

Эта теорема доказывается аналогично теореме 2, разница заключается лишь в применении другой таблицы для циклотомических чисел из [10].

Анализ утверждения теоремы 3 позволяет, как и при доказательстве леммы 1, определить параметры правила (7), при котором модуль значений ПАКФ при ненулевых сдвигах не превосходит 1.

Лемма 2. Если последовательность X сформирована по (7) в условиях теоремы 3, то

max lx (t) = 1 тогда и только тогда, когда ее пе-t*0

2

риод составит p = (5 + 12м) +12 и 1 - 4м - полный квадрат или p = (7 + 36h) +12 и 1 + 4h -полный квадрат. Возможны следующие значения p : 37 (м = 0), 61 (h = 0), 853 (м = -2), 49 471

(h = 6), ... .

Таким образом, найдены регулярные правила кодирования последовательностей с хорошими автокорреляционными свойствами и pf » 3 или

pf » 4.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гантмахер В. Е., Быстров Н. Е., Чеботарев Д. В. Шумоподобные сигналы. Анализ, синтез, обработка. СПб.: Наука и техника, 2005. 400 с.

2. Айерлэнд К., Роузем М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987. 415 с.

3. Gantmakher V. E., Edemskiy V. A. The synthesis methodology of periodic discretely coded sequences formed bas-

ing on cyclotomic classes with basic parameters constraints // Proc. of 2007 Int. workshop on signal design and its applications in communications (IWSDA'07). Chengdu, China. 23-27 Sept. 2007. Piscataway: IEEE, 2007. P. 4-8.

4. Едемский В. А., Гантмахер В. Е. Синтез двоичных и троичных последовательностей с заданными

ограничениями на их характеристики / НовГУ. Великий Новгород, 2009. 189 с.

5. Вагунин И. С., Едемский В. А. Определение параметров унимодулярных дельта-коррелированных последовательностей // Вестн. НовГУ. Сер. "Техн. науки". 2007. № 44. С. 20-23.

6. Едемский В. А., Вагунин И. С. О синтезе фазо-кодированных последовательностей с ограничениями на периодическую автокорреляционную функцию и пик-фактор // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2010. Вып. 5. С. 3-9.

7. Гантмахер В. Е., Едемский В. А. Результаты синтеза пар двоичных последовательностей простого периода с одноуровневой и двухуровневой взаимной корреляцией // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 2006. Вып. 4. С. 26-33.

8. Холл М. Комбинаторика. М.: Мир, 1970. 423 с.

9. Платонов С. М., Головняк Г. А., Гантмахер В. Е. База данных таблиц циклотомических чисел // Свидетельство о государственной регистрации базы данных № 2013620492 от 10.04.13.

10. Whiteman A. L. The cyclotomic numbers of order twelve // Acta arithmetica. 1960. № 6. P. 53-76.

V. A. Edemskiy, A. V. Ivanov Novgorod state university n. а. Yaroslav-the-Wise

Synthesis of sequences formed on the basis of power residue classes of order twelve modulo a prime

Regular rules of sequences coding with good periodic auto correlated properties and the peak-factor equal three or four are received. Sequences are formed on the basis of power residue classes of order twelve on a prime modulo.

Sequences, synthesis, autocorrelation, peak factor

Статья поступила в редакцию 18 декабря 2013 г.

УДК 621.391

В. Е. Гантмахер, М. В. Залешин Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого

Обобщенная модель периодических последовательностей, формируемых над расширенными полями Галуа

Предложена обобщенная модель периодических последовательностей, формируемых над расширенными полями Галуа. Отличительная особенность модели заключается в возможности формирования двоичных, троичных, q-ичных, многофазных, многочастотных последовательностей, а также последовательностей, заданных над алфавитом комплексных чисел с целочисленными коэффициентами. Предложены обобщенное правило кодирования таких последовательностей и обобщенная формула расчета периодических корреляционных функций.

Обобщенная модель, периодическая последовательность, расширенное поле Галуа, периодическая корреляционная функция, анализ, синтез, M-последовательность

Развитие современных радиотехнических, радиолокационных, навигационных, вычислительных, космических и других информационных систем тесно связано с применением сложных широкополосных шумоподобных сигналов, свойства которых определяют дискретно-кодированные последовательности. В настоящее время синтезировано множество семейств последовательностей, формируемых над расширенными полями Галуа, которые отличаются алфавитом, периодом, корреляционными свойствами, методом модуля-

© Гантмахер В. Е., Залешин М. В., 2014

ции, криптостойкостью, помехозащищенностью и целым рядом других параметров и характеристик.

Задачам формирования, анализа и синтеза последовательностей посвящено большое число фундаментальных исследований. Среди них следует отметить работы отечественных [1] и зарубежных [2] авторов. Актуальность темы исследований подтверждается регулярным проведением Всемирной конференции "Sequences and their applications"1 и целым рядом публикаций [3], [4].

1 Официальные сайты конференции: http://www.telecom-paristech.fr/SETA2010/sequences-applications.htm. http://seta2012.uwaterloo.ca/index.html.

11