CC BY
29
УДК 681.513
СИНТЕЗ КВАЗИОПТИМАЛЬНЫХ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ
А.Э. Соловьев, В.В. Сурков, Б.В. Сухинин, В. А. Теплова
Рассматривается один из возможных методов синтеза квазиоптимальных по быстродействию систем управления, применимый для широкого класса электротехнических объектов. Метод основан на использовании теоремы об интервалах управления. Предлагаемый метод позволяет существенным образом упростить поиск оптимальных (квазиоптимальных) алгоритмов и структур, то есть избежать известных вычислительных трудностей, связанных с нахождением подобных управлений.
Ключевые слова: электротехнический объект, оптимальное управление, быстродействие, интервал управления, постоянные интегрирования.
Метод синтеза оптимальных систем управления, основанный на использовании теоремы об интервалах управления [1, 2], несмотря на свою простоту, имеет ряд ограничений, затрудняющих его применение к ряду объектов. Например, для объектов, описываемых обыкновенным векторным нелинейным дифференциальным уравнением вида
х (г) = А( X)+в( X )и (г), (1)
где X е Яп - вектор отклонений фазовых координат состояния объекта от заданной траектории движения; А( X) = А1Х + А2 (X) - матрица-столбец с элементами щ(X) ° щ(Х1,Х2,...,хп), / = 1,2,...,п, представляющими собой нелинейные функции от составляющих вектора состояния объекта; В(X) = В1 + В2 (X) - матрица с элементами-функциями Ьу (Х1, Х2,..., хп),
/ = 1,2,...,п; у = 1,2,...,т также нелинейного вида; ие Ят - вектор управляющих воздействий. Нелинейные характеристики объекта управления принимаются однозначными, а многомерные объекты (1) предполагаются управляемыми, причем вектор управления и (г) = и\ + и\- и1 (г), где
и\ = [и1, и2,... и = 0,..., ит Y, и" = [0,0,..., и1 = 1, _ ,0]Т, компоненты которого являются кусочно-непрерывными функциями, принадлежит замкнутому множеству ит = {ир :ир(г)е [-иртах,иртах],р = 1,2,...,т}. Как правило, предполагается, что ир max = 1.
Для таких объектов, учитывая особенности и свойства функций переключения оптимальных релейных регуляторов, ищется не управление U(Х) = -sign\Y(X)], а непосредственно функция переключения Х). Причем изначально из уравнений (1) достаточно просто находится производная от этой функции, то есть основное функциональное уравнение
¥ = G ■ X = GA + GBU = f (X U') + ф( X )и" ■ щ ^), (2)
где G = {Э^/Э X}, а затем интегрированием - непосредственно функция переключения.
Однако для ряда объектов интегрирование выражения (2) приводит к функции переключения на у -м интервале, имеющей вид
т
= | X )Ж + 5 (X) = ^ (X) + С + Б (X), 0
где т - длительность у -го интервала переключения; В(X) - аналитически неинтегрируемые, Б(X) - аналитически проинтегрированные слагаемые функции ¥(Х); ^(X) - первообразная указанного интеграла; С - постоянная интегрирования.
Так как длительность у -го интервала переключения заранее неизвестна, то аппаратное интегрирование слагаемых В( X) приводит к необходимости определения постоянных интегрирования, которые, в свою очередь, зависят от начальных условий. Отметим, что для ряда объектов предложены частные случаи решения задачи аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) [3 - 7], позволяющие либо определить (заранее или непосредственно вычислить в контуре управления), либо избежать необходимости определения постоянных интегрирования.
Тем не менее, для широкого класса электротехнических объектов, описание которых можно свести к уравнению вида [9 - 12]
а2 х + а^ + ао х = и, (3)
процесс определения постоянных интегрирования может быть существенно упрощен.
В соответствии с теоремой об интервалах переключения для рассматриваемого объекта на втором (последнем) интервале переключения имеем
^2 = а2 Ах,
где Ах = х - х*; где х* - желаемое значение.
Это уравнение легко интегрируется, и функция переключения второго интервала имеет вид
^2 = а2 Ах.
Причем значения переменной Ах^) могут быть получены из текущих координат объекта (3). Тогда на первом интервале переключения
Yi =Y2 +|Y2| Au, (4)
где Au = o^Ax + a—Ax + a§Dx, Ax = x - x* и Ax = x - x* - отклонения соответствующих координат объекта от их желаемых значений.
Отметим, что данное уравнение аналитически не интегрируется. Если воспользоваться свойством основного функционального уравнения (согласно которому, его можно умножать на любую положительно
определенную функцию) и умножить его на г—г, то с учетом уравнения
lY2
(3) получим
Y— = sign [Y2 ]+Au = sign [Y2 ] + u - R или
Yi = Sign [Y2 ]-sign [Yi ]-R, (5)
где в общем случае
R = a2x* + a—x* + aox* , (6)
причем R = const для конкретного набора желаемых значений, и в силу уравнения (3) |R| £ 1.
Таким образом, учитывая, что на данном (первом) интервале координата x не меняет знака (это процессы второго интервала), на протяжении всего первого интервала Y— = const, и, следовательно,
t
Y— = J Y^t =Y— • t + C. (7)
0
Из выражения (5) и (7) можно сделать следующие выводы: так как при t = 0 Y— = C, то знак постоянной интегрирования должен быть таким, что бы уже в момент времени t = 0 + приближать объект к состоянию (6). То есть, если 0 < R < 1, то необходимо, чтобы Y—(0+) < 0, а,
следовательно, и C < 0;
величина C влияет только на момент t окончания первого интервала и, так как в момент его окончания Y— (t) = 0, не влияет на величину функции переключения на втором интервале;
величина C зависит от величины R и определяется свойствами объекта (3), то есть C можно рассматривать как одну из характеристик объекта управления при конкретном значении R .
Учитывая сделанные выводы, можно показать, что если определить
(подобрать) значение C для какого-то одного значения Rm, то для любых
значений R < R постоянные интегрирования легко определяются в процессе вычислений. Очевидно, что определять значение C целесообразно
для максимального значения Rm =i.
169
Такому значению Ят в момент времени г = 0 соответствует максимальная (по модулю) ошибка
Дит = $2 Х(0) - х*
•т
+ «1
х(0) - х*
т
+ щ0
х(0) - х*
т
т
Кроме того, значению Я соответствует максимальная длительность первого интервала тт. При тех же начальных условиях для любого другого значения Я длительность первого интервала т, как и модуль ошибки, будет меньше
Ди
0 = а2
х (0) -
+
х(0) - х
+ а0
х(0) - х
Функцию переключения первого интервала для значений Ят мож но представить в виде (рис. 1)
т т т т
ЧГ = рт (г)+Ст или Ч = (Ди) + Ст;
т
для иных значений Я < Я - в виде
Ч = р (г)+С (8)
или = р (Ди) + С . Тогда при известной Ст величина С для иных зна-
чений Я (то есть для Ди0 , отличных от Ди0т) будет
С = Р1т (Ди0)+Ст.
(9)
С другой стороны,
С = С т + ДС ,
где
ДС = Р1т (тт)- (т), или с учетом (7) ДС = Р1т - тт - р -т. То есть выражение (9) может быть представлено в виде
С = Р1т-тт --т + Ст . Тогда, подставляя (9) в (8), для момента времени г = т получим Ч1(т) = -т + Р1т-тт --т + Ст.
Так как ^ (тт )= рт - тт + Ст = 0, то и Ч1(т) = 0. Следовательно, выражение (9) справедливо и его можно использовать для вычислений постоянных интегрирования, рассматривая их как
функции от Ди0 или Я при заранее определенной величине Ст .
В качестве примера рассмотрим объект (3) со следующими коэффициентами:
$2 = 1, = 1, $0 = 0,5.
2 1
0 т т»г
Рис. 1. Процессы первого интервала
В качестве желаемых величин зададим набор, типичный для большинства электротехнических объектов: х* =0, х* = 0, х* ^ 0. Очевидно,
что для условия г/ = 1 максимальное значение
R'
-1, чему соответствует
Аг/0 = -2 при = 2 (для случая Аи^ - 2 при х* = -2 результаты будут
аналогичны приведенным ниже с точностью до знаков). Тогда уравнение (5) запишется в виде
Его численное интегрирование с подбором С'", обеспечивающим минимальное время переходного процесса для данных желаемых значений
(С7" =-4,639), позволяет получить зависимость 4//"(Дм), представленную на рис. 2.
0
Ч'Г -1 ■1,5 -2
-2,5 -3 -3,5 -4 -4.5
- -
----- '&
-----
Ь Qm - _
-2,5 -2 -1,5 -1 А и 0 Рис. 2. Зависимость (Aw)
Теперь определение постоянных интегрирования для иных любых значений Auq не представляет проблемы. Так, для Ди^=-1,5 получим
Са = 4^"^)= -3,436, а для Аи$=-1 получим СЪ -2,688.
Результаты моделирования представлены на рис. 3.
172
1
-1
-2
л
-4
-5
2,5
л*
1,5
1
0,5
0
0 12 3 Г,с 5
Рис. 3. Процессы в системе при различных значениях х*
Таким образом, предлагаемый метод синтеза квазиоптимальных по быстродействию систем управления достаточно просто реализуем на практике, позволяет существенным образом сократить временные и вычислительные затраты на поиск решения задачи АКОР для широкого класса электротехнических объектов.
Список литературы
1. Сухинин Б.В., Сурков ВВ., Соловьев А.Э. Синтез оптимальных по быстродействию систем на основе теоремы об интервалах управлений // Вести высших учебных заведений Черноземья № 2(20), 2010. С. 57 - 63.
2. Использование теоремы об интервалах управления для синтеза оптимальных по быстродействию систем / В.В. Сурков, Б.В. Сухинин, А.Э. Соловьев, М.Е. Прокофьев // Вести высших учебных заведений Черноземья. 2010. № 3 (21). С. 55 - 65.
3. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов по критериям точности, быстродействия, энергосбережения / В.В. Сурков, Б.В. Сухинин, В.И. Ловчаков, А.Э. Соловьёв. Тула: Изд-во ТулГУ, 2005. 300 с.
4. Соловьев А.Э., Сухинин Б.В., Сурков В.В. Один из частных случаев решения задачи аналитического конструирования оптимальных регуляторов // Известия Тульского государственного университета. Проблемы специального машиностроения. Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. Вып. 11. С. 86 - 91.
5. Соловьев А.Э. Частные случаи решения задачи аналитического конструирования оптимальных регуляторов // Известия Тульского государственного университета. Вычислительная техника. Информационные технологии. Системы управления. Вып. 3. Системы управления. Т. 2. Тула: Изд-во ТулГУ, 2006. С. 175 - 177.
^>^(0 = ^(0+С*
0 1 2 3 /,с 5
6. Сухинин Б.В., Соловьев А.Э., Сурков В.В. Синтез квазиоптимального по быстродействию контура управления гироприводом // Оборонная техника. 2011. № 1. С. 22 - 25.
7. Соловьев А.Э., Сухинин Б.В. Формирование контура управления гироприводом на базе трехстепенной электрической машины // Оборонная техника. 2004. № 9 - 10.
8. Ловчаков В.И., Соловьев А.Э. Метод синтеза квазиоптимальных систем управления по критериям быстродействия и энергосбережения // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. Вып. 5. Ч. 2. С. 220 - 230.
9. Гироскопические приводы на базе трехстепенных электрических машин / А.Э. Соловьев, Б.В. Сухинин, В.В. Сурков, Е.С. Козлова. Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. 215 с.
10. Соловьев А.Э. Анализ движения трехстепенной электрической машины с радиально-намагниченным ротором // Известия вузов. Электромеханика, 2009. № 3. С. 36 - 40.
11. Соловьев А.Э., Сухинин Б.В., Феофилов Е.И. Анализ движения трехстепенной электрической машины с аксиально-намагниченным ротором // Известия вузов. Электромеханика. 2009. № 5. С. 12 - 17.
12. Сухинин Б.В., Соловьев А.Э. Движение гироприводов головок самонаведения, построенных на базе трехстепенных электрических машин // Известия Российской академии ракетных и артиллерийских наук. 2004. № 4.
Соловьев Александр Эдуардович, д-р техн. наук, зам. директора института, eeo@tsu.tula.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Сурков Виктор Васильевич, д-р техн. наук, проф., eeo@tsu.tula.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Сухинин Борис Владимирович, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, eeo@tsu.tula.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
Теплова Валерия Алексеевна, студентка, eeo@tsu.tula.ru. Россия, Тула, Тульский государственный университет
SYNTHESIS OF QUASI-OPTIMAL PERFORMANCE CONTROL SYSTEMS ELECTRICAL OBJECTS
А..E. Solov'ev, V. V. Surkov, B. V. Sukhinin, V.A. Teplova
One of the possible methods for the synthesis of quasi-optimal performance of the control systems applicable for a wide class elektrotehni-ical objects is considered. The method is based on the use of the theorem on the interval control. The proposed method allows to significantly simplify the search of optimal governmental (quasi-optimal) algorithms and structures, that is, to avoid the known you-numerals of the difficulties associated with finding such offices.
Key words: electrical object, optimal control, quick-Sodeistvie, interval control, the constant of integration.
Soloviev Alexander Eduardovich, doctor of technical sciences, professor, eeo@,tsu.tula.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Surkov Victor Vasilyevich, doctor of technical sciences, professor, eeo@tsu.tula.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Suhinin Boris Vladimirovich, doctor of technical sciences, professor, head of chair, eeo@tsu.tula.ru, Russia, Tula, Tula State University
Teplova Valeriya Alekseevna, student, eeo@tsu.tula.ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 531.383:621.313
ОСОБЕННОСТИ ДВИЖЕНИЯ ТРЕХСТЕПЕННОЙ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ МАШИНЫ С РАДИАЛЬНО НАМАГНИЧЕННЫМ РОТОРОМ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ СТАТОРНЫМИ ОБМОТКАМИ
А.Э. Соловьев, В. А. Теплова
Приведены конструкция и математическая модель трехстепенной электрической машины с радиально намагниченным ротором и дополнительными статорными обмотками Показаны особенности функционирования такой машины в условиях неподвижного основания, обусловленные наличием дополнительных статорных обмоток.
Ключевые слова: электрическая машина, ротор, статор, обмотки, питающее напряжение, три степени свободы, гироскопический привод.
В качестве гироскопических приводов (ГП) часто бывает целесообразным использование трехстепенных электрических машин (ТЭМ), обладающих при относительной дешевизне высокими массогабаритными характеристиками, возможностью обеспечить постоянную частоту вращения ротора и т.д. [1 - 5]. В таких машинах ротор имеет относительно статора не одну, а три степени свободы. Поэтому электромагнитные процессы, протекающие в системе «ротор - статор ТЭМ», существенно отличаются от таких же процессов в обычных электрических машинах и порождают
175
