Математические модели исполнительного двигателя с вращающимся статором Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

2. Оптимальное по точности (быстродействию, энергосбережению) управление электромеханическими объектами / Б.В. Сухинин, В.В. Сурков, С.А. Цырук, Е.И. Феофилов. Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. 140 с.

Фам Ван Ты, магистр, anhtutula.king agmail. com, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Сурков Виктор Васильевич, д-р техн. наук, проф., vvs150747a mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

ANALYTICAL CONSTRUCTION OPTIMUM ON ACCURACY OF THE REGULA TOR OF THE DRIVE WITH NONLINEARITY OF TYPE "BAKLASH"

Pham Van Tu, V. V. Surkov

Analytical construction optimum on accuracy of a watching control system of a drive at presence «backlash» in meehanical transfee is considered.

Key words: analytical designing, optimum accuracy, backlash, the block diagramme.

Pham Van Tu, master, anhtutula. king@,gmail. com, Russia, Tula, Tula State University,

Surkov Victor Vasilevich, doctor of technical sciences, professor, vvs150 747@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 621.313

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИСПОЛНИТЕЛЬНОГО ДВИГАТЕЛЯ С ВРАЩАЮЩИМСЯ СТАТОРОМ

А.Э. Соловьев

Приведены математические модели исполнительного моментного двигателя, работающего в условиях, когда его статор вращается (относительно продольной оси двигателя) вместе с основанием, на котором он установлен. Выявлены отличия такого двигателя (как объекта управления) от двигателя, функционирующего в обычных условиях.

Ключевые слова: исполнительный двигатель, ротор, статор, датчик угла, метод Лагранжа, система управления, передаточная функция.

В ряде случаев, в конструкцию малогабаритных летательных аппаратов (ЛА) может входить приборный отсек (ПО), имеющий возможность независимого (от корпуса ЛА) вращения относительно продольной оси ЛА (рис. 1) [1 - 3]. При этом корпус ЛА также может вращаться относительно указанной оси (то есть по углу крена) под действием внешних моментов.

Стабилизация положения ПО относительно опорной системы координат, связанной с Землей, и его повороты на заданные углы крена осуществляются специальной системой управления (СУ). В качестве исполнительного двигателя (ИД) указанной СУ целесообразно использовать бесконтактные моментные двигатели постоянного тока.

3 5 8 2

Рис. 1. Схема ЛА: 1 - корпус ЛА; 2 - ПО; 3 - цилиндрический шарнир;

4 - статор ИД; 5 - ротор ИД; 6 - датчик крена ПО;

7- датчик крена ЛА; 8 - датчик положения ротора ИД

Ротор такого ИД жестко связан с валом цилиндрического шарнира (т.е. с корпусом ЛА), а статор - с корпусом ПО.

Так как в полете корпус ЛА вращается относительно своей продольной оси, то вращение ротора ИД относительно его статора будет обуславливаться не только электромагнитными моментами, но и механическими моментами, как непосредственно действующими на корпус ЛА и ПО, так и передающимися на ПО через цилиндрический шарнир. То есть такой ИД необходимо рассматривать как двигатель, статор которого (помимо ротора) вращается относительно опорной системы координат, связанной с Землей. Причем положение ротора ИД (то есть системы координат ОХУк2к) относительно Земли, то есть относительно опорной системы координат ОХУ2 (где ОХ - продольная ось ЛА), определяется положением его вектора магнитной индукции В (рис. 2), а положение статора (то есть системы координат ОХУпо2по) - положением его обмоток возбуждения (ОВу, ов7).

Отметим, что исходя из ряда особенностей функционирования такого ЛА, возможны два варианта построения СУ креном ПО.

В первом варианте построения СУ креном датчики крена размещаются как в ПО, так и в корпусе ЛА. В результате измеряются абсолютные

углы отклонения ротора ИД (корпуса ЛА) - с и статора (т.е. ПО) - ут

относительно опорной системы координат ОХХТ. Недостатком этого варианта является то, что размещение датчика крена в корпусе ЛА и передача с него информации в СУ достаточно сложно реализуемы на практике. Однако данный вариант упрощает алгоритмы и схемы управления ИД.

Рис. 2. Системы координат для вывода уравнений движения

Во втором варианте построения блока управления креном в ПО размещаются датчик крена и датчик положения ротора, то есть измеряются

угол отклонения ротора (корпуса ЛА) относительно статора (ПО) и

абсолютный угол отклонения статора 7 по относительно опорной системы координат ОХХТ. Конструктивная реализация указанного варианта существенно проще, чем предыдущего, однако алгоритмы и схемы управления ИД несколько сложнее.

Независимо от варианта построения СУ на корпус ЛА (то есть на ротор ИД) действует аэродинамический момент со стороны стабилизаторов М*д, обуславливающий его вращение относительно оси ОХ; на корпус ПО (то есть на статор ИД) также действует аэродинамический момент

155

от органов управления ЛА - Mад ; в цилиндрическом шарнире существует момент трения Mmр, препятствующий вращению ротора относительно статора.

Чтобы получить математические модели ИД, адекватно описывающие его функционирование в условиях вращения статора и пригодные в дальнейшем для синтеза системы управления им, воспользуемся методом Лагранжа, одинаково применимым как к электродинамическим, так и к механическим системам [4 - 7].

d

дд

дLg дБ

J

дду д<& у

где - консервативный лагранжиан системы; Б - функция рассеяния системы; Qj - внешняя сила; qJ - обобщенная координата системы.

В данном случае в качестве обобщенных координат будут выступать углы упо и в зависимости от варианта построения СУ либо У^0, либо

У°тн, а также электрические заряды gy и в статорных обмотках. Соответственно, в качестве обобщенных скоростей будут выступать производные от указанных углов и токи в обмотках статора ¡у и ¡2 .

Применительно к рассматриваемому ИД лагранжиан можно записать в виде

= Т + жт,

где Т - кинетическая энергия механической части устройства; Жт - электромагнитная энергия системы «ротор - статор» ИД.

Кинетическая энергия системы определяется выражением

1 п 2 Т=2 ^ JJqj,

2 ]=1

где п - число движущихся со скоростями д у элементов механической подсистемы с моментами инерции Jу.

Электромагнитная энергия Шт системы «ротор - статор» представляет собой сумму магнитных энергий ротора , статора и взаимной магнитной энергии связи между полями ротора-магнита и обмотками статора Wrs . Следует отметить, что величина зависит от положения рабочей точки на кривой размагничивания магнита. Применение высококоэрцитивных сплавов для изготовления роторов ИД делает практически независимым положение рабочей точки на кривой размагничивания от действия магнитных полей обмоток статора при любом взаимном расположении

156

ротора и обмоток в пространстве. Это позволяет считать величину магнитной энергии, связанной с ротором-магнитом, независимой от обобщенных координат.

Собственная магнитная энергия обмоток статорной системы ИД может быть определена по формуле

m=n

1 n 2 j=n

Ws = X X Lj (ij) + X Mjmijim ,

2 j=1 j Ф k

j=1 m=1

где Lj и Mjm - соответственно индуктивность и взаимная индуктивность обмоток статора; ij, im - токи обмоток статора; n - число обмоток статора.

Взаимная магнитная энергия связи Wrs между магнитными полями ротора-магнита и обмотками статора зависит как от пространственных координат ротора, так и от токов, протекающих в обмотках статора, и может быть определена по следующей формуле:

1 n

W =1 X Y rsi. VVrs 2 ^ Tj'j'

2 j=1

где Yjs - взаимное потокосцепление j -й обмотки статора с ротором-магнитом.

Функция рассеяния D характеризует потери (рассеяние) энергии. Данной системе присущи следующие потери энергии:

потери механической энергии из-за вязкого (скоростного) трения. Эти потери характеризуются коэффициентами cj вязкого трения;

потери электрической энергии на активном сопротивлении Rj обмоток ИД.

Таким образом, потери энергии можно описать с помощью функции рассеяния Релея

D = 2 Xmcj (q j)2 + 2 nRj q j)2'

j =1 j =1

где n и m - число соответствующих обобщенных скоростей.

Обобщенные внешние силы могут быть определены через выражение элементарной работы как коэффициенты перед соответствующими вариациями dqj обобщенных координат:

n

dA = X Qj(dqj), j=1

где n - число обобщенных координат.

При допущениях, принятых в теории электрических машин, могут быть получены следующие выражения для первого варианта:

ь=1

Jt

• 2

2 , тЛ

¡У ооб

в=1 2

(ут) + 'по упо + Ьу +

(упо -уабс)- . (у„о -уабс)] (уабс

,-,2

;2 , п,2

+ спо упо + Яу + ^

йА = Мкад {Кбс) - Мао (5упо) -

- М

тр

(5Упо) - (5у?с)1+ иу(5gy) + uz);

У^бу,

для второго варианта 1

^ = 2

в = 1

2

'к (упо уо )2 + 'по упо + ^у + ^^

___„.„отн

¡у С^ \Ук

(уотн)- ¡. Вт (уотн))

+

(у -уотн )2

•\/по ¡к )

• 2

.•2 , п-2

+ спо упо + Ыу + Л

5А = Мк

ад

(5упо) - (йу отн)]-Мпо (5у по)

- Мтр (йуктн ) + иу (^у ) + и. ^ ) .

После необходимых математических операций получим для первого варианта

абс

' к у абс+ск у абс - ^[¡у вт (упо - у абс)+¡. сов(упо - уа1

= М%д + Мтр ,

'поу по + споупо + ^ ¡у (упо - уа )+ СОв(упо - уа )]

= -М$ - Мтр ,

^о -у?бс )= иу , Ь^ + Л. -^(уИО -уабс)сов(упо -уабс)= и. ;

ь^+Л/у -у(упо -уакбс

абс 'к

с

с

для второго варианта

Л- (у!Г - ЪюУ ск (гг - Ъю)+ 8ш(у?»)+ и ««(тН

=-м*д-мтр,

л- (у?/о ~ У к ^по У по + (у по — Ук споУпо -

= иь-м%. (2)

л ж

Кгу-Ч>[ГГ)*т[у7Н)=иу,

Отметим, что с помощью подстановки у^ос = угю - у°ШИ выражения (2) можно легко получить из выражений (1) (и наоборот), дополнительно учтя указанное соотношение в уравнениях элементарной работы.

Чтобы обеспечить направления вращения в соответствии с рис.2, напряжения на обмотках ИД должны меняться по следующим законам: для первого варианта

иу =-и*т(упо-Гкбс), и2 =-исов(ут-у°бс)-для второго варианта:

иу=-и*т(у°ктН), и2=-исо*[уГН\

Учитывая, что активное сопротивление обмоток ИД много больше их реактивного сопротивления (то есть сдвиг фаз между током и напряжением будет пренебрежимо мал), можно считать, что токи в обмотках 1у и

I- меняются по тем же законам, что и соответствующие напряжения. Тогда, вводя обозначения

и = ЛЫ2у+и\ и I = фу + ,

уравнения (1) и (2) могут быть сведены к виду: для первого варианта

Л.-?кбс + скуТс = Кд + мтр - мэм,

•1поУпо + СпоУпо = Мэм - М'а°д ~ М>»Р '

1Т

I — + Ш + Е = и, (3)

сН

для второго варианта

3к(?ктн -?по)+ ^(уТН -Упо)=-М2д -Мтр + Мэм

т |У - уотн | , т у , (у - уотн | , у 3 к \У по у к /+ 3 по упо + ск \У по у к /+ спо у по

_ М^ - М^ ,

3— + Л/ + Е _ С/, (4)

Ж у J

Мэм , Е = Ту^.

Уравнения (3) и (4) в отличие от (1) и (2) не содержат гармонических коэффициентов и на их основе удобно проводить синтез системы

управления подобным ИД. Отметим, что при нулевом значении угла упо и его производных уравнения (3) и (4) сводятся к уравнениям классического двигателя постоянного тока [3].

Тем не менее, рассматриваемый ИД имеет ряд существенных отличий.

1. Если считать, что вязкое трение равно нулю, то:

коэффициенты усиления по соответствующим скоростям

К ___1 3 по к _ 1 3к к ___

ук Щ 3к + 3по упо Т Тк + 3по у"о Т

соответствующие скорости идеального холостого хода

уабс _ и 3по у _ и 3к • отн _ С

ук_АХ _ щ т + Т , упо _XX _ щ Т + Т ' упо _ XX _ щ ; к по к по

электромеханические и электромагнитные постоянные времени по соответствующим скоростям

Т эм _ т эм _ т эм _ Л 3к3по т э _ т э _ т э _ 3 уабс ~ у ~ уотн ~ щ 2 г + г ' уабс ~ у _ уотн ~ Е> '

* к \по \по Т и к и по >к ¡по ¡по

2. Если считать, что вязкое трение не равно нулю, то получим следующее выражение:

а у + Ь у + с у + Жу _ е Т С , (5)

где

а _ 3к3по3 , Ь _ 3к3по Л + (3к спо + 3по ск 13, с _ скспо3 + (3к спо + 3по ск 1Л + (3к + 3по 1Щ , ж _ ск спок + (ск + спо )Т2, е _-спо при у_уа е _ск при у_упо,

е _ ск + спо пРи у_уГ 160

3. Если учитывать моменты внешних сил, действующих на корпус ЛА и ПО, а также непостоянство этих моментов (что типично для рассматриваемого случая), то при неизменности направлений вращения в правой части выражения (5) необходимо учесть дополнительное слагаемое т :

при у_у?с

г 2

т _ 3по 3М

к

ад

+ [3по Я + спо 3 Мд +

с Я + щ

по

Макд +

+ спо ЯМ тр

щ2 мпо

при у _ упо

т _ -3к3М^ - [3кЯ + ск3 ]Мпо -

ск Я + Т

АЛ по

М ад -

- ск ЯМ тр +Т 2Мкад

при у_уотн

т _ - 3

3 кмапо+3 пом

к

поМ ад

- Я

3 кМ~+3поМ^

-3

с кмап°о + с помкд

Я

сМ

по

к1У± ад + споМад + (ск + спо )Мтр Указанные особенности рассмотренного ИД необходимо учитывать при синтезе СУ положением ПО.

Список литературы

1. Один из способов модернизации реактивных снарядов системы залпового огня «Град» / М.В. Грязев, В. Д. Кухарь, А.Э. Соловьев, А.Н. Чу-ков // Известия Российской Академии ракетных и артиллерийских наук. 2016. Вып. 1 (91). С. 67 - 72.

2. Патент РФ №2502042 С1, от 20.12.2013 Управляемый реактивный снаряд / М.В. Грязев, В. Д. Кухарь, Н.А. Макаровец, А.Э. Соловьев, А.Н. Чуков и др.

3. Патент РФ №2502937 С1 от 27.12.2013 Способ управления реактивным снарядом / Грязев М.В., Кухарь В.Д., Макаровец Н.А. Соловьев А.Э., Чуков А.Н. и др.

4. Копылов И.П. Математическое моделирование электрических машин. М.: Высшая школа,1994. 318 с.

5. Гироскопические приводы на базе трехстепенных электрических машин / А.Э. Соловьев, Б.В. Сухинин, В.В. Сурков, Е.С. Козлова. Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. 217 с.

6. Хрущёв В.В. Электрические машины систем автоматики. Л.: Энергоатомиздат, 1985. 364 с.

7. Соловьев А.Э., Козлова Е.С. Гироскопические приводы на базе трехстепенных электрических машин (функционирование в условиях неподвижного основания) //Системы ВТО. Создание, применение и перспективы. Тула: Изд-во ОАО «КБП», 2015. №4 (8). С. 59 - 69.

Соловьев Александр Эдуардович, д-р техн. наук, проф., eeo@tsu. tula.ru. Россия, Тула, Тульский государственный университет

A MATHEMATICAL MODEL OF THE EXECUTIVE MOTOR WITH ROTATING STATOR

A. E. Solov'ev

The mathematical model of the Executive of the torque of the engine at the time when its stator rotates (about the longitudinal axis of the engine), together with the grounds on which it is installed. Differences of this engine (like a management object) from the engine operating in normal conditions.

Key words: Executive motor, rotor, stator, angle sensor, Lagrange method, control system, transfer function.

Soloviev Alexander Eduardovich, doctor of technical sciences, professor, eeo a tsu. tula.ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 621.313

СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО ПО ТОЧНОСТИ РЕГУЛЯТОРА ПРИВОДА С ЛЮФТОМ И ДИНАМИЧЕСКОЙ НАГРУЗКОЙ В ВИДЕ ИНТЕГРИРУЮЩЕГО ЗВЕНА

Фам Ван Ты, В.В. Сурков

Рассматривается аналитическое конструирование оптимальной по точности следящей системы управления приводом постоянного тока с люфтом редуктора и интегрирующей нагрузкой в механической передаче.

Ключевые слова: аналитическое конструирование, оптимальная точность, люфт, динамическое звено, структурная схема, подчиненное управление.

В различных системах слежения за подвижными объектами часто возникает задача определения закона оптимального по точности управления приводом при наличии «люфта» и динамической нагрузки в механической передаче.