CC BY
35
Абрамова Влада Игоревна, канд. техн. наук, доц., gwozdew.alexandr2013@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н.Толстого
DETERMINA TION OF EFFECTIVE MOD UL US OF ELASTICITY FOR METAL MESH
I.K. Arkhipov, V.I. Abramova
We consider the elastic equilibrium of a regular symmetrical about the horizontal axis of the metal network structure. To determine the effective young's modulus in tension of the model, which replaces the network with one rod with a longitudinal tension. The obtained dependence of the effective modulus of such a core from the geometric parameters of the network shown anisotropy of the elastic modulus depending on the direction of loading.
Key words: effective Young's modulus, regular composite structure, a metal network of regular structures.
Arkhipov Igor Konstantinovich, doctor of technical science, professor, gwoz-dew.alexandr2013@yandex.ru, Russia, Tula, Plekhanov Russian University of Economics. Tula branch,
Abramova Vlada Igorevna, candidate of technical science, docent, gwoz-dew. alexandr2 013@yandex. ru, Russia, Tula, Tula Leo Tolstoy State Pedagogical University
УДК 681.513
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПО КРИТЕРИЯМ ТОЧНОСТИ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ
М.Е. Прокофьев, Б.В. Сухинин, В.В. Сурков
Рассматривается «физический» подход к решению задачи точности на основе функций переключения. Показывается, что для нелинейных систем оптимальное по точности управление в общем случае состоит из п интервалов управлений, которые могут быть найдены один за другим по мере сжатия - расширения фазового пространства в процессе функционирования системы.
Ключевые слова: аналитическое конструирование оптимальных по точности регуляторов, количество интервалов управлений.
Достаточно большой класс электромеханических объектов (например, промышленно-выпускаемые частотно-регулируемые асинхронные электроприводы с короткозамкнутым ротором с векторным или скалярным управлением, синхронные электроприводы) с достаточной точностью можно описать обыкновенным векторным нелинейным дифференциальным уравнением возмущенного движения (по терминологии А.М. Ляпунова):
АХ = А(АХ) + В(АХ) • и (Г), (1)
242
где АХ - вектор отклонений фазовых координат состояния объекта от заданной траектории движения; А(АХ)- матрица-столбец с элементами (АХ(А*!,Ах 2,...,Ахп),I = 1,2,...п представляющими собой нелинейные функции от составляющих вектора состояния объекта; В(АХ) - матрица с элементами-функциями Ьу (АХ)° Ьу (Ахь А*2,..., Ахп), I = 1,2,... п;
у = 1,2,...т нелинейного вида; п@) - управляющее воздействие.
Нелинейные характеристики объекта управления принимаются однозначными, а нелинейные объекты (1) предполагаются управляемыми, причем управление является кусочно-непрерывной функцией и принадлежит замкнутому множеству:
№ ^ е^шах (2)
Как правило, предполагается, что и шах = 1.
Согласно работ [10], [11], на множестве допустимых управлений (2) требуется найти закон управления и (?) = ^[АХ (?)], образующий совместно с исходным нелинейным объектом (1) устойчивую замкнутую систему, доставляющую минимум не зависящему от управляющего сигнала функционалу:
т
J = | ^[АХ (1)]Ж (3)
о
при переводе объекта управления из начального положения А*1(0) = Ахю, А*2 (0) = А*20 -......- Ахпо, где ^0 [АХ ] - некоторая функция.
В критерии (2) Т - время регулирования не фиксировано. Особенность критерия (3) состоит в том, что в замкнутой системе возможен режим, характеризующийся тем, что при среднем значении сигнала на входе, равном нулю, релейный элемент переключается с высокой частотой из одного устойчивого состояния в другое, а среднее значение сигнала на выходе по абсолютной величине меньше максимального, соответствующего одному из устойчивых состояний (скользящий режим). В работе [2] доказано, что релейная система в скользящем режиме эквивалентна линейной системе с бесконечно большим коэффициентом усиления. К основным свойствам таких систем относится равенство нулю всех коэффициентов ошибок системы, а также свойство инвариантности по отношению к внешним возмущениям и к изменениям параметров объекта.
Ряд авторов (Куропаткин П.В., Сухинин Б.В., Рывкин С.Е.) систему, работающую по критерию (3), которая не зависит явно от управляющего воздействия, называют системой, оптимальной по точности.
Сформулированная задача АКОР является обобщением известной задачи Летова-Калмана на нелинейные объекты с разрывным управлением, решение которой относится к центральной проблеме современной теории автоматического управления - проблеме оптимизации в «большом» (А.А. Красовский, А.А. Колесников).
Как известно, общее решение задачи АКОР можно получить методами Р. Беллмана или Л. С. Понтрягина в следующем виде:
u = -sign[Y(AX)] (4)
Здесь Y(DX) - функция переключения регулятора, причем Y(DX) = 0 -
поверхность переключения (условие переключения).
Для решения задачи АКОР по критерию точности предлагается (на основании работ А. А. Красовского) использовать скорость проникновения, то есть проекцию вектора относительной скорости изображающей точки на нормаль к поверхности переключения Y(DX) = 0 с учетом уравнений объекта:
Y(DX) = G • DX = G • A(DX) + G • B(DX) • u(t) = f (DX) + j(DX) • u(t) (5) где G = grad(Y(DX)), f (DX) = G • A(DX), j(DX) = G • B(DX).
Уравнение (5) согласно [10, 11] является основным функциональным уравнением, учитывающим свойства объекта (1) и его управление и может быть использовано для определения функции переключения и, следовательно, оптимального управления объектом.
Управление (4) переводит объект (1) из произвольного начального состояния DX(0) = DXо на многообразие Y(DX) = 0 или эквивалентный ему на данном интервале объект (5) из Y(DX) = Y0 на Y = 0, причем дальнейшее движение объекта будет происходить по многообразию Y = 0 . Вследствие неидеальности характеристики реле и неизбежного запаздывания в системе на практике переключение всегда происходит после пересечения изображающей точкой поверхности Y = 0. При этом в соответствии с (3) знак оптимального управления будет изменяться с высокой частотой, зависящей от инерционных свойств объекта и всегда практически присутствующей неидеальности характеристики реле. Таким образом, при Y(DX) = 0 наступит скользящий режим. Функциональное дифференциальное уравнение (5) справедливо во всем фазовом пространстве, поскольку оно является обобщенным уравнением объекта (1).
Важно отметить, что для возникновения и существования скользящего режима необходимо (на основании работ Е. А. Барбашина, В. И. Уткина, Б.В. Сухинина) и достаточно, чтобы коэффициенты f(X) и j(X) функционального уравнения (5) удовлетворяли всего одному неравенству в моменты переключения реле:
f (DX) £ j(DX )| (6)
Неравенство (6) является условием управляемости объекта, оптимизируемого по критерию точности, одновременно условием возникновения скользящих режимов, а также одновременно условием устойчивости системы. Соотношение (6) положено в основу метода исследования возмож-
244
ности реализации оптимальной по точности системы с частотно регулируемым асинхронным электроприводом с короткозамкнутым ротором и векторным управлением.
Выводы:
1. Поскольку критерий качества записан в общем виде, то функциональному дифференциальному уравнению (5) удовлетворяют бесконечное множество функций переключения у(Х) и можно определить бесконечное множество оптимальных по точности управлений, отличающихся друг от друга, например, временем регулирования.
2. Из-за неопределенности критерия (2) следует, на наш взгляд несущественный, недостаток предлагаемого подхода: трудность определения конкретного вида критерия качества, соответствующего найденному оптимальному по точности управлению.
3. Определен математический критерий возникновения скользящего режима.
Пример:
Пусть задана система х^) + 2 • Х^) + Х^) + х^) = u^). Запишем уравнения движения объекта в форме Коши:
х^) = Хо, х^) = Х1, Х1 = Х2, Х1 = Х2, х 2 ^) = -2 • х2 ^) - Х1 ^) - Хо ^) + и(t) . (7) Тогда функциональное уравнение (5) примет вид:
Х2 ^) + 2 • Х2 ^) + Х1 (t) = и^) - Хо ^), где У (X) = 2 • х2 ^) + х1 (t) + х0 (t), /(X) = -х0 ^), р(X) = 1
Из уравнений объекта (7) следует, что для позиционных и следящих систем Х0 £ 1 (в установившемся режиме при максимальном управляющем воздействии). Тогда (с учетом (4) для реальных координат объекта):
и = -81%П (хо_ зад - х0 - *1 - 2 • *2 ) (8)
На рисунке показаны результаты моделирования системы (7) с управлением (8) и без него.
1
с оптимальным 0.5
управлением
- 0
без управления
..... -0.5
Л 10 20 30
Результаты моделирования переходного процесса по координате до при наличии и отсутствии оптимального управления
245
Достоинством предлагаемого подхода к решению задач АКОР по критериям точности является то, что он дает проверочные достаточные условия оптимальности.
Список литературы
1. Красовский А.А. Аналитическое конструирование контуров управления летательными аппаратами. М.: Машиностроение, 1969. 240 с.
2. Цыпкин Я.З. Теория релейных систем автоматического регулирования. М.: Гостехиздат, 1955. 456 с.
3. Колесников А. А. Синергетическая теория управления. М.: Энер-гоатомиздат, 1994. 344 с.
4. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. 223 с.
5. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1981. 367 с.
6. Павловский Ю.Н. Теория факторизации и декомпозиции управляемых динамических систем и ее приложения // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1984. № 2. С. 45 - 57.
7. Петров Ю.П. Вариационные методы теории оптимального управления. М.: Энергия, 1977. 280 с.
8. Клюев А.С., Колесников А. А. Оптимизация автоматических систем управления по быстродействию. М.: Энергоиздат, 1982. 240 с.
9. Куропаткин П.В. Оптимальные и самонастраивающиеся системы. Л.: Госэнергоиздат, 1975. 303 с.
10. Ловчаков В.И., Сухинин Б.В., Сурков В.В. Оптимальное управление электротехническими объектами. Изд-во ТулГУ, 2004. 149 с.
11.Сурков В.В., Сухинин Б.В. и др. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов по критериям точности, быстродействию, энергосбережению [Текст]. Тула: Изд-во ТулГУ, 2005. 300 с.
Прокофьев Марк Евгеньевич, технический директор, prokm007@mail.ru, Россия, Тула, ООО «Проектно-строительная компания»,
Сухинин Борис Владимирович, д-р техн. наук, проф., eeo@tsu.tula.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Сурков Виктор Васильевич, д-р техн. наук, проф., eeo@tsu.tula.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
OPTIMAL BY ACCURACY CRITERIA CONTROL SYSTEMS OF ELECTROMECHANIC OBJECTS
M. E. Prokofiev, B. V. Suhinin, V. V. Surkov 246
Consideration is given to the solution problems of "physical" approach of accuracy basing on switching functions. It is shown that in case of nonlinear systems, optimal in accuracy control in its general case consists of n control intervals, which can be determined in sequence according to compressing and broadening ofphase space during functioning of the system.
Key words: analytical construction of controllers optimal in accuracy, number of control intervals.
Prokofuev Mark Evgehievich, technikal director, prokmQQ 7amail. ru, Russia, Tula, LLC «Project-Building company»,
Suhinin Boris Vladimirivich, doctor of technical science, professor, eeoatsu. tula.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Surkov Victor Vasilievich, doctor of technical science, professor, eeo@tsu.tula.ru Russia, Tula, Tula State University
УДК 006.91:621.37/39
ОЦЕНКА ОТКЛОНЕНИЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ РАЗМЕРОВ ЭЛЕМЕНТОВ ПЕЧАТНЫХ ПЛАТ
О.Е. Компанеец, Л.Г. Варепо
В работе определен коэффициент распределения электропроводящего покрытия в сквозных отверстиях печатной платы в зависимости от режима его нанесения. Представлена качественная оценка распределения меди в отверстии печатной платы. Получена количественная оценка отклонений геометрических размеров металлизированных отверстий печатных плат.
Ключевые слова: печатная плата, металлизация отверстий, распределение электропроводящего покрытия в отверстии.
Печатные платы (1111) составляют конструкторско-технологическую основу электронной аппаратуры, конкурентоспособность которой определяется при сборке качеством ее компонентов. Необходимым условием получения 11 высокого качества является однородность характеристик и геометрических размеров металлизированных отверстий.
Равномерность распределения слоя меди на поверхности проводников 11 и в отверстиях, отсутствие избыточного зарастания металлом входа последних - это основные требования, предъявляемые к процессам металлизации. Решение этой задачи обусловлено разобщенностью процессов жизненного цикла ПП в части обеспечения размерной и геометрической точности.
