CC BY
28
Ешенко А.А. УДК 62.53
синтез двумерной системы автоматического управления процессом выработки листового стекла
Производительность установок и качество листового стекла, вырабатываемого машинами вертикального вытягивания, зависят от устойчивости температурного режима и скорости вытягивания.
Машина вертикального вытягивания в динамическом отношении представляет собой двумерный, двусвязный объект управления, основные параметры которого, в частности, толщина ленты и температура, регулируются связанно по прямоугольному типу одним управляющим устройством. При настройке регулятора системы вынужденно не учитываются действия присущих данному процессу перекрестных внутренних связей из-за отставания в создании математических моделей динамики процесса.
На основе анализа движения стекломассы, теплообмена в подмашинной камере, шахте и холодильниках аналитическим методом получены математические модели процесса вытягивания ленты стекла [1, 2, 3].
Структурно преобразованная модель системы управления процессом [1] представлена на рис.1.
На модели входные и выходные величины приведены в безразмерном виде: в,вл,вх - соответственно - изображения температуры ленты на
выходе из шахты машины, подмашинной камеры и температуры воды на входе в холодильник; 3, G, со - соответственно толщина ленты стекла, расход воды и скорость вытягивания. Модель характеризуется несколькими каналами передачи воздействий, внутренними перекрестными связями между ними и может быть использована при построении системы автоматического управления с учетом естественных связей между контурами.
Синтез автоматических управляющих устройств системы из-за особенностей, вносимых неоднотипностью, неидентичностью, несимметричностью контуров и перекрестных связей, не может базироваться в полной мере на известных методиках.
Предполагается синтезировать автоматические управляющие устройства, используя принцип многоканальности. Рассмотрены структурные схемы систем, реализующие принцип двухканаль-ности, для достижения инвариантности регулируемых величин и автономности контуров с различным включением компенсирующих перекрестных связей.
На рис.1. представлена структурная схема системы, соответствующая сепаратному регулированию.
Система уравнений динамики имеет вид
Рис. 1. Структурная схема сепаратной системы
УПРАВЛЕНИЕ В ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ. МОДЕЛИРОВАНИЕ
5 = W
[wu [[ + w„ [g + wpi (5з-5)}-
_ W26 л }+ W2'_i [ + Wp2 (3_6)] ;
6 = W22 [-25 + W2i [+ Wp2 (63 _6)] .
Представляем систему (i) в форме
Уи5 + 7i20 = 7igG + YjW + Yi553 +
+ Yi603 + Yix0x + У1Л 6л ;
У2 5 + Y226 = Y2GG + Y2 ww + Y2553 +
(i)
+ Y26 63 + Y2 x0x + Y2 Л6Л >
(2)
где
Y = i + WWWW • Y = W' W •
^ii pi -M2 2_i p 2'
Y = WWW • Y = W' • Y = WWWW •
iG rri2rri2rrii> 1iJ 2_i > ■'ii "i3"i2"n" pi'
У = W' W • Y = WWW' Y = W •
1i6 2_i p2' Jix "i3"i2"i5 "МЛ "i3>
Y = WW' • Y = i + WWW • Y = WW •
2i " 22' ' i_2> ^ 22 1 T " 22'1' 2i'r p2'12rn '' 22'' 2i'
Y26= W22W2iWp2; Yx = 0; Ул = 0.
Запишем основную матрицу системы (2) -
i+WuWi2WuWpi
W' W
" 2_i p2
i + W22^2iWp 2
— Ж22Ж1- 2
Анализ уравнений (2) показывает, что условия автономности из диагональности матрицы системы и условия неабсолютной инвариантности УиУ22 -У21У12 ^<х>, не могут быть реализованы в данной связанной системе при сепаратном регулировании объекта.
Рассмотрим систему, схема которой, с двумя измерительными связями на каждый регулятор приведена на рис.1. Пунктирами показаны компенсирующие связи с выхода контура на вход несобственного регулятора.
Запишем уравнение динамики системы
8 = Ж13{-W2Ъл + Ж12Жвл + +Жр1 (8з -8 +
+ ^2i6)J]+W2_i[w+Wp203 _6 + Kn5.
(3)
ё=Ж22{Ж21\Жр2( -в +К128)}+Ж'-2Ж13\-Ж2ёл + +Ж1вл + жпр+Жр1 ( -8+К21ё)}+
+Гр2( -в+К128® .
Уравнение (3) приведем к виду (2). В этом случае:
У = 1 + Ж Ж Ж Ж -Ж Ж' Ж К • У = Ж Ж' Ж - Ж Ж Ж Ж Ж К •
12 "13"2-Гг р 2 "13"11"12" р 2 12 21'
У =ЖЖЖ У = Ж' Ж У =ЖЖ •
-Ма 12 12 11' 1« 2-1 13' 1л 11 2'
У = ЖЖЖ У =Ж Ж Ж Ж У =Ж Ж' Ж •
©
Y2i = i2WiiWpi _ W22W2iWp2K^ _
_ W22 Wi_2 Wi3 W2_i Wp2Ki2 ;
Y22 = i + W22W2iWp 2 _ W22Wi'_2Wi3Wi2WiiWpi K 2i +
+ W22 Wi_2Wi3W2_iWp2 ; Y2G = W22 Wi_2Wi3 Wi2 Wii ;
У = WW + WW + WW' W W ; У =
2j '' 22 2i 22 2i 22 i_2 2_i i3 ? 2 Л ~
= _W22Wi_2Wi3W2; Y2 x = W22Wi_2Wi3Wi2Wi; Y25 = W22Wi_2Wi3Wi2WiiWpi; Y26 = W22W2iWp2 +
+ W22Wi_2Wi3Wp2. _ _
Для каждой из основных переменных 5 и 6 запишем уравнения:
Ji J i2
5 =
1iG1 i2 1 2G 22
Y Y
ii i2
Y Y
2i 22
G +
12J 22
Y Y
ii i2
Y Y
2i 22
j +
Ji5 i2
125 22
Y Y
ii i2
Y Y
2i 22
53 +
Y Y
i6 i2
1 26 22
Y Y
ii i2
Y Y
2i 22
h +
Y Y 11Л1 i2 Y Y JixJ i2
Y Y 2 Л-1 22 ■6 W +■ Y Y 2xJ 22 6 eii(P)
Y Y ii i2 Y Y ii i2 a(p)
Y Y 2i 22 Y Y 2i 22
-w +
(4)
, Pn(p)5 + Pu(p)6
a(p)
Y Y
ii iG 12i12G
Y Y
ii i2
Y Y
2i 22
a(p)
1ii1ia
a(p)
63 +Ёи!(Рр6л +-ei6(p)6
G +
Y Y
2i 2 J
Y Y
ii i2
Y Y
2i 22
j +
a(p) Y Y
ii i5 12i12S
Y Y
ii i2
Y Y
2i 22
53 +
a(p)
Y Y
Y Y
2i 26
Y Y
ii i2
Y Y
2i 22
63 +
Y Y -'п-ЧЛ YiiYix
Y Y 2^2 Л ■6 „ + Y Y 1 2iJ 2x 6 =Ai(p)
Y Y ii i2 Y Y ii i2 a(p)
Y Y 2i 22 Y Y 2i 22
+ в(р) 53 +_A4(p);
'3 +
РгР
-w +
(5)
a(p) a(p) a(p) Условия неабсолютной
Л +
a(p)
в2б(Р)6.
a(p) инвариантности
имеет вид i
a(p)
>0;
Y Y
Y Y
2i 22
или ^22 _ У2iУi2)
Условия абсолютной инвариантности обеспечиваются устранением ошибки в системе. Возмущения в л и в х не будут влиять на переменные 8 и в, если
As(p)
в25(р)
Y Y
11Л1 i2
YY
1 2 Л1 22
YY
11111Л
YY
1 2Г2 Л
= УiЛ Y22 Y2 Л Yi2 = 0;
= -^ii Y2 Л У2iУiЛ = 0;
+
i
Дб(р) в26(р)
У У
11х112
УУ
1 2 х1 22
УУ
11 1х
УУ
21 2 х
= У1хУ22 У2хУ12 = 0;
= У11У2х - У21У1х = 0.
Изменение заданий вз и 3з не влияют на величину 3 и в,если:
в
14(р)
в
23(р)
У У
11в 12
УУ
1 2в 22
У11У13 У21У2 3
У1вУ22 У2вУ12 = 0;
= У11У2 3 У21У13 0.
Условия автономности систем регулирования находятся из уравнений свободных колебаний всей системы в целом:
Уи3 + У12в = 0; |
У21З + У22в = 0.[
(6)
Очевидно, что для автономности систем регулирования толщины и температуры ленты стекла необходимо и достаточно, чтобы выполнились условия, вытекающие из диагональности матрицы (6):
у12 = ^з^жр2 - wlзWllwl2wp2К21 = 0;
у21 = 12жпжР1 - ж^жр,2к12 4 (7)
- ж^щзж^жр 2 к12 = 0.
При этом уравнения свободных колебаний будут уравнениями относительно одной переменной.
Коэффициенты измерительных жестких связей получаем из условий автономности (7):
ж2'-1
К21 = „г 2-1 ; К12 =■
Ж2-1Ж1зЖ12ЖиЖр1
-.(8)
- (Ж21 + 2Ж1зЖ2'-1)Жр 2 Сравнивая условия инвариантности с условиями автономности У12 = 0 и У21 = 0 видим, что при их выполнении условия инвариантности урав-
нений (4) и (5) будут иметь вид:
У1хУ22 = 0; УПУ2х = 0; У^ = 0; У^ = 0. (9) Анализ выражений (6), (7) и (9) показывает, что в случае схемы с двумя измерительными связями на каждый регулятор, условия автономного управления отличаются от условий инвариантности, составленных для всех возмущений, действующих на систему. Настройка связи К 21 при этом не зависит от настроек основных регуляторов.
Руководствуясь правилами преобразования структурных схем, приведем связи объекта к прямым перекрестным. В схеме Ж2-1 = Ж2'-1Ж1з;
Ж = Ж' Ж Ж •
1 -2 1 -2 1з 22
Рассмотрим структурную схему системы управления, в которой направление действия компенсирующих связей противоположно направлению действия основных регуляторов (рис. 2).
Уравнения динамических элементов системы (рис.2)
3 = Ж1з {- Жвл + Ж12 [Жвх + Жц (а + Хр
+ Ж2-1Ж21 (с + Хр 2) ; Хр1 = Жр13з -3 + К 21(2 +с)]
Х р2 = Жр2
[вз -в+ К12 ( 1 + а)]
(10)
в = Ж22Ж21 (с + Хр2)+
+ Ж1-2 {- Ж2вл + Ж12 [Ж1вх + (а + Хр ^ Преобразуем систему уравнений (10) и представим ее в виде (2).
Основная матрица этой системы имеет вид
+Ж2^ЖРА2
Жр 2К12 +
щжКРЛ Кн+Щ-МЖр 2
1-ЖЖр2К12К212К Запишем условия автономности системы, полученные из условия диагональности матрицы системы.
Рис. 2. Структурная схема многосвязной системы с компенсационными связями встречно действию основных регуляторов
УПРАВЛЕНИЕ В ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ. МОДЕЛИРОВАНИЕ
©
Ж^ЛЖр гЖр 2 К 2! + Ж2-^22Жр 2 = 0,
(11)
(12)
Ж22Ж2ХЖр 1Жр 2 К12 + Ж1-2Ж12Ж11Жр 1 = 0.
Подстановкой выражений (11) в (10) получаем уравнение динамики автономных систем с сепаратным регулированием.
(1 + Ж1з Ж12 Жц Жр 1 ) = ^зЖ^Д;
(1 + Ж22Ж21Жр2 ) = Ж21Ж22С.
Из сравнения уравнений (9) и (12) видно, что применение принципа автономности и инвариантности позволяет сложную многосвязную систему уравнений (10) в динамическом отношении расчленить на две простые сепаратные системы (12).
Уравнения (12) могут использоваться как основа для синтеза управляющих устройств известными методами.
Передаточные функции компенсирующих связей можно найти из выражений
компенсирующие связи в данной схеме зависят от настроек основных регуляторов.
Найдем условия автономности и инвариантности для структурной схемы системы управления, в которой направление действия компенсирующих связей согласно действию основных регуляторов (рис. з)
Запишем уравнение динамики для структурной схемы (рис. з,а) в которой компенсирующее перекрестие связи исходят из узлов рассогласования на выходе чувствительного элемента. 3=Щз{-Щвл+Жр1(3з -3) - Кв -в)]}+ +Ж-1^[2(вз -в) -КМ -в)] ; (14)
в = ^ •Иф+Ж2(в -в) -К12(3з -3)] + Щ_г{фл +Щрв Щр -3) -К21(вз -в)
Основная матрица этой системы имеет вид
1 -Ж21Ж2-1К12 -ЩЖКг 1
К 21 =
Ж Ж
гг 2-1 ^ 22
Ж Ж Ж Ж
1з 12 11 1
К12 =
2-1 12" 11
Ж Ж Ж
22 21 2
. (1з)
Анализ выражений (1з) показывает, что
W-зW-2W-1K21 ^ВД 2
1+Щ№Рр 22
(15)
—ю
—о
а)
Ж1
ж,
-ю—
Рис. 3. Структурная схема многосвязной системы с компенсационными связями согласно действию основных регуляторов
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
а условия автономности -
ЖзЖЖК2! - Ж2Ж2-Жр2 = 0. |
Г (16)
- Ж22Ж21 КХ2ЖрХ + Ж1-2Ж12Ж11Жр1 = 0.| '
Подставляя выражения (15) в (14), получим уравнение динамики сепаратных систем:
(1 + ЖЖЖЖ -Ж2Ж2_1Ки)5 = ЖЖЖцО; (1?) (1 + Ж22Ж21Жр2 -Ж12Ж1_2ЖПК21 Жр2)ё = Ж22Ж21®. Передаточные коэффициенты компенсирующих связей определяем из соотношений
К 21 =
Ж21Ж2-1Жр2 ; ^ = Ж1_2Ж12Ж„Жр1
К12="
^22^21
(18)
уц = 1 + ж 13ж 12 ж ж
У = Ж Ж Ж
± 12 ^ 2р 2
Ж Ж К Ж
2 -1 21 12 р 1
Ж Ж К Ж
13 12 21 р 2
У = Ж Ж Ж - Ж Ж К Ж
21 1 - 2 11 р 1 22 21 12 р 1
У = 1 + Ж Ж Ж - Ж Ж К Ж
22 22 21 р 2 1-2 12 21 р 2
. (19)
Условие автономности системы, полученное из условия диагональности матрицы (19), запишем в форме
(20)
Ж1-2^ - Ж^К^, = 0; ЖЛ^ - Ж1зЖ12Ж„К21Жр2 = 0.
Уравнение динамики сепаратных систем полученные подстановкой (20) в (18), имеет вид
\1 - Жр1(Ж2-Ж21К12 - Щз^ЖЖц )]8 = Ж^ЖцО;!
\1 - Жр2(Щ-2Щ2К21 - ЖЖ )ё = Ж22ЖП®.
Г (21)
К = Ж2-Ж • К = Жг-1Ж11 К 21 = ттг • К12 =■
ЖиЖи
Ж22Ж21
ж1зж12ж11
Параметры настройки компенсирующих связей в этой системе зависят от структуры настроек основных регуляторов.
В структурной схеме (рис. 3,б) компенсирующие сигналы связей регуляторов подаются на выходы противоположных регуляторов с выходов основных.
Запишем уравнения динамики для этой модели:
8 = ж1з {- ж2вл + ж12 [жвх + ж11 \О+
+ жр1 (8з -8)-К ж 2 (ёз -ё)
+ ж2_1ж21 + жр2 (вз -ё)-К12Жр1 (8з -8)}
ё = ж22ж21 + жр2 вёз - в)- К12Жр1 (8з -8)}+ + ж1-2 {- ж2ёл + ж12 \ж;ёх + ж11 \О+
+ Жр1 (8з -8)-К21Жр2(ёз-ё) .
Систему уравнений (18) представим в виде (2^ основная матрица системы (собственный оператор) при этом примет вид
При реализации структур компенсирующих связей по рассмотренной схеме, настройки связей упрощаются и не зависят от параметров основных регуляторов.
Из рассмотрения полученных условий автономности и инвариантности структуры следует, что синтез связанной неоднородной системы управления процессом вертикального вытягивания может производиться при условии обеспечения автономности и инвариантности каналов регулирования с помощью компенсирующих связей в рассмотренных вариантах.
Передаточные функции компенсирующих связей относительно управляющих воздействий определяются из выражений:
- для структур с направлением действия компенсирующих связей противоположно дейст-
вию основных регуляторов К, =
Ж ■
Ж Ж ■
311 р]
Передаточные функции компенсирующих связей относительно управляющих воздействий находим из выражений
- для структур с направлением действия компенсирующих связей на входы соответствующих основных регуляторов согласно их действию
Ж. Ж .
К = 31 - ] р1 •
1]~ Ж Ж . '
3]] р]
- для структур с подачей выходных сигналов связей на выходы соответствующих регуляторов
Ж31 - ■
К, = 3 ] , где 1, ] = 1,2; 1 Ф ]. ч Ж
31
Основой для синтеза . системы различными схемами компенсирующих связей может явиться структурная модель, позволяющая оценивать динамические свойства направления, точки приложения и отбора перекрестных связей объекта.
БИБЛИОГРАФИЯ
1. Ешенко А. А. Структурные динамические модели процесса вертикального вытягивания стекла. // Вестн. ИрГТУ. 2005. № з. С. 101-107.
2. Ешенко А. А., Головин Н. А. Динамическая модель процесса формования ленты стекла при безлодочном способе вытягивания // Стекло : тр. ГИС. 1976. № 1 (150). С. 90-95.
3. Головин Н. А., Ешенко А. А.. Ануфриев И. Я. Динамика процесса формования ленты стеков при лодочном способе вытягивания // Тр. ИПИ. Серия «Автоматическое управление и контроль». 197з.
