CC BY
49
УДК 681.51
В.А. Коваль, О.Ю. Торгашова, А.В. Пересунькина
СИНТЕЗ ДИСКРЕТНОГО ЗАКОНА УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННО-ОДНОМЕРНОЙ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
На основе спектрального метода решены задачи анализа и синтеза для системы с пространственно-одномерным объектом управления с коэффициентом теплопроводности, зависящим от пространственной координаты. Для задачи анализа проводится сравнение решения, полученного спектральным методом, с решением, полученным методом конечных разностей.
Распределенная система, уравнение теплопроводности, спектральная характеристика, синтез, анализ
V.A. Koval', O.Yu. Torgashova, A.V. Peresun'kina
SYNTHESIZING THE DISCRETE CONTROL LAW FOR SPATIALLY DISTRIBUTED ONE-DIMENSIONAL SYSTEM WITH THE VARIABLE THERMAL CONDUCTIVITY
We consider the analysis and synthesis problems relating the spatial one-dimensional distributed system with a variable coefficient of thermal conductivity. The solution to the analysis problem obtained by the spectral method is compared with the solution obtained by means of the finite difference method.
Distributed system, heat equation, spectral characteristic, synthesis, analysis
Введение. При протекании теплового процесса физические свойства материала обычно изменяются. Когда свойства материала меняются по координате незначительно или беспорядочным образом, допустимо при исследовании явлений переноса соответствующие коэффициенты и термодинамические характеристики принимать постоянными и равными средним эффективным значениям. Однако в ряде случаев неоднородность физических свойств оказывается столь значительной, а изменение их по координате столь закономерным, что пренебрегать ею недопустимо. Этот факт вынуждает
переходить от описания объекта дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами к описанию дифференциальными уравнениями, в которых отдельные коэффициенты являются функциями координат [1].
Управление объектами, описываемыми дифференциальными уравнениями теплопроводности с переменными коэффициентами, сопряжено с теми же трудностями, что и управление распределенными объектами постоянной структуры [2]. Для решения задач анализа и синтеза систем управления объектами с переменными коэффициентами предлагается использовать спектральный метод [2].
Постановка задачи. В качестве объекта управления рассмотрим пространственно одномерный тепловой объект, который описывается уравнением [1]
gdTixJ) =д_ ({х) ЭТХх^ + и (x, 0, x е (о, l), t е (0, ¥), (1)
dt Эх ^ дх )
где T - температура, град, t - время, с, х - пространственная координата, м, U - управляющее воздействие, приложенное вдоль пространственной координаты объекта, Вт м-3, L - толщина пластины, м; c - теплоемкость, Дж-кг-1-град-1, g- плотность, кг-м-3, q - теплопроводность, Втм-1-град-1, зависящая от пространственной координаты по экспоненциальному закону
q(x) = q0 exp(-kx), q0 = const, (2)
где q0 - постоянная величина (Втм-1-град-1), k- коэффициент (м-1).
Начальные условия:
T(x, 0) = T0 = const, x e [0, L]. (3)
Граничные условия:
T(0,t) = U0(t), T(L, t) = U,(t). (4)
Требуется решить следующую задачу управления: осуществить нагрев объекта при заданном значении координаты x = x* по заданному закону т (x*, t) = T*(t). Ошибка регулирования не должна превышать 5% от установившегося значения. При этом без потери общности будем полагать, что
T(x, 0) = 0, x e [0, L] .
Получение модели объекта управления в безразмерном виде. Для решения задачи представим исходный объект управления (1)-(4) в безразмерном виде:
Эв(£,т) = ?Г f1(X)ЭЩ(Х,т) Эв(Х,т) и. .
Эт L2cg{ (6) ЭХ2 ЭХ ЭХ
Л(Х) = l exp(-кХ), Xe (0, 1), те (0, ¥), где q = Т/Т*, Х = x/L, т = t/t*, 1 = q/q*, \ = qj q*, к=k/L, u = U/U *- безразмерные величины; T*, t*, q*, U - номинальные значения переменных T, t, q, U соответственно.
Начальные условия:
Щ(Х,0) = 0, Хе (0,1). (6)
Граничные условия:
q(0, т) = u0 (т), q(1, т) = Mj (т), (7)
где u0 = U0/Т*, u1 = U JT* - безразмерные величины.
Учитывая вид функции 1(Х), представим уравнение (5) в виде
Щт) = Ке-Х Щ!+ke-«ЩГ+k-ЛХ.т),
Эт ЭХ ЭХ (8)
* *
k0 = lU— 1, k1 =-kk0, k2 = U*k0, Хе (0, 1), те (0, ¥).
Lcg
Далее в качестве модели объекта управления будем рассматривать уравнение (8) с начальными условиями (6) и граничными условиями (7).
Представление модели объекта в спектральном виде. Разложим вещественные однозначные непрерывные всюду дифференцируемые по пространственной переменной функции в(Х, т), и(Х, т) в ряд Фурье по системе ортонормированных тригонометрических функций {P(h, Х)}, h = 1, ¥ :
(5)
t) = ¿Fq (h, t)P(h, X), Fq (h, t) = )в(£, t)P(h, X) dX,
h=1
(X, t) = ¿F„ (h, t)P(h, X), F„ (h, t) = Jv(X, t)P(h, X)dX
h=l
(9)
а = 0-г, Ь = 1 + г,
где г - малая величина. Функции Ф0 (к, т), Фц (к, т), определяющие коэффициенты ряда Фурье, в соответствии с [2] будем называть спектральными характеристиками функций в(Х, т), г>(£, т).
С использованием свойств спектральных характеристик, доказанных в [2], и учитывая вид граничных условий, получим описание объекта управления бесконечномерной системой дифференциальных уравнений в форме пространства состояний:
Ф Дт) = к0РеР2[Фв{т) + Г2°Ч(т) + Г20Ч(т)] +
(10)
+ ki PePi [Fq (t) + Г>0 (t) + Ti0bUi (t)] + k2Fv(r),
где Фв, Фве Як, к = 1, ¥ - векторы спектральных характеристик соответствующих функций; Ре -матрица сомножителя е ь, элементы которой вычисляются в соответствии с выражением
b
Pe (h, h) = J e~kP(h, X)P(h, X)dX, h, h = ;
Р1 - матрица дифференцирования первого порядка с элементами, вычисленными по выражению
b
P(h, h) = J P(h, X) X) dX, h, h = 1, ¥ ;
a ^
P2 = P12 - матрица дифференцирования второго порядка; Г10а, Г10Ь, Г20а, Г20Ь - матрицы, через которые действуют граничные условия, вычисляемые по выражениям _ b _ _ b _ Г°в (h, t) = -J ¿(0 - X) P(h, X) dX, Г10Ь (h, t) = J 8(X -1) P(h, X) dX,
a a
Г-(h, t) = -JP(h, X)dX, Г20Ь(h, t) = JP(h, X)dX, h = .
a dX a dX
Модель (10) можно представить в виде
F q(t) = A Fq(t) + Bu(t), (11)
где u(t) = colon{u0(t), u1(t), Fv (t)} - вектор, представляющий собой управляющий вход объекта; A = Pe(k0P2 + k1P1) - матрица размерности h xh, h, к = 1, ¥; в = [k1P1Г10a + k2P^0" ! k^F^ + k2P^f ! k2e] -блочная матрица размерности h x 2, h = 1, ¥, E - единичная матрица соответствующей размерности.
Выражение (11) представляет собой описание объекта в спектральном виде. С использованием представления (11) можно решать задачи синтеза и анализа. Возврат к исходным функциям e(X,t), v(X,t) осуществляется на основе соотношений (9).
Решение задачи анализа на основе спектральной теории и сравнение результатов с решением, полученным методом конечных разностей. Для объекта вида (5)-(7) решение задачи анализа температурного поля получено методом конечных разностей с использованием пакета Pdepe Matlab. Установившееся решение для случая, когда граничные условия нулевые T(0, t) = T(L, t) = 0, а другие параметры объекта (8) определяются как
k0 = 1, k1 = -2, k2 = 1, k = 2, v(X, t) = V2sinp£, (12)
приведено на рис. 1 а.
Для решения задачи анализа спектральным методом в качестве системы разложения {P(h, X)} была выбрана система функций, ортонормированных на отрезке X е [0,1]:
P =y¡2{sin pX, sin 2pX, sin 3pX, • • •}. (13)
Приведем значения матриц, входящих в выражение (10), вычисленных для системы функций
Р =
0 - 2.67 0 -1.07
2.67 0 - 4.80 0
0 4.80 0 - 6.86
1.07 0 6.86 0
' Р =
-9.84 0
0 - 39.37
0.08 0
0 0.21
0.08 0
0 0.21
88.59 0
0 -157.49
Р =
0.39 0.14 0.03 0.02
0.14 0.42 0.15 0.04
0.03 0.15 0.43 0.16
0.02 0.04 0.16 0.43
-р0а _-р0а _-р0Ь _-р0Ь _ г»
11 = 1 2 = Г1 = 1 2 =
Поскольку Т(0, ^ = Т(Ь, ?) = 0, в относительных единицах будем иметь и0 (г) = и1{т) = 0 . Вектор и(г) в этом случае можно принять равным и(г) = и2(г). С учетом Г"0 = Г200 = Г106 =Г206 = 0 матрица В имеет вид В = к2Е.
Приведем значения матрицы А:
А =
- 4.65 -3.69 -1.45 -1.28
- 3.69 -17.43 -10.17 -3.40
-1.45 -10.17 -38.70 -19.81
-1.28 -3.40 -19.81 -68.46
(14)
Для выполнения вычислительного эксперимента выполним усечение бесконечной системы дифференциальных уравнений (11). Результаты анализа пятнадцати первых уравнений системы (11) в Matlab практически не отличаются от результатов, полученных в Matlab методом конечных разностей и представленных на рис. 1 а.
На рис. 1б представлен переходный процесс в системе (8) с параметрами (12), полученный методом конечных разностей. Отметим, что результаты анализа, полученные спектральным методом, не имеют видимых отличий от приведенных на рис. 1.
а б
Рис. 1. Результаты решения задачи анализа а) установившееся решение при г = 2; б) температурное поле, изменяющееся в пространстве и времени
Сравнение результатов, полученных методом конечных разностей и спектральным методом, указывает на высокую точность спектрального метода, что делает возможным его применение для решения задачи синтеза.
Решение задачи синтеза на основе спектральной теории. Рассмотрим объект управления (8) с начальными и граничными условиями
0(0, X) = 0, 0(0, г) = 0, Э0(1, г) = 0
(15)
и параметрами (12). 102
Синтезируем регулятор для нагрева тела до значения в = 1 при заданном значении координаты X* = 0-8 по закону
в* (t) = 1- exp(-0.5t). (16)
Для решения задачи синтеза дополним модель (11) уравнением измеряемых выходов
y(t) = CFq(t), (17)
где y e R1 - измеряемый выход, представляющий собой значений температуры в точке X = X - Матрица C составлена из элементов ортонормированной системы разложения {P(h, X)}, вычисленных для £ = £* = 0.8:
C = [0.83 -1.35 1.35 0.83 ... ]. (18)
Введем новую переменную
y = h- y, (19)
где î]î R1 - задающее воздействие, представляющее собой относительную температуру, вычисленную в соответствии с выражением (15); y e R1 - регулируемая переменная, представляющая собой рассогласование между величиной задающего воздействия и измеряемого выхода. Зададимся вектором новых переменных состояния [3]:
x = -S Фв- Hh,
в ' (20) H = colon{1, 0(n-1)x1}, S = colon{C, V},
где матрица Vразмеров (n-1)Xn выбирается таким образом, чтобы матрица S была неособенной. Тогда уравнения объекта можно представить в виде
x (t) = Ax (t) + Bu (t) + Gf (t),
y (t) = Cx (t),
где f = colon {h, h} - вектор возмущений, действие которого в системе (20) эквивалентно задающему воздействию в системе (11), (17), (19); A = SAS-1, B = -SB, C = CS- = HT, G = [sA^H j - H ] -числовые матрицы.
Представление объекта в виде (21) позволяет связать вектор регулируемых переменных y с новым вектором переменных состояния x таким образом, чтобы регулятор, построенный на основе стандартной процедуры синтеза, решал поставленную задачу [3].
Выполним синтез дискретного регулятора для объекта (21). Поскольку размерности векторов управлений и состояний совпадают, для синтеза обратной связи целесообразно использовать процедуру оптимальной фильтрации, построенную для объекта с полным управлением [3]. Кроме того, при синтезе введем астатизм и учтем запаздывание на один такт дискретности.
При решении задачи синтеза в качестве первого шага определим дискретную модель объекта. Будем полагать, что управление формируется с помощью ЦАП с фиксацией на период, т.е. u(t) = u(i) = const, ih < t < (i +1) h, i = 0,1, 2,..., где h - период квантования. Тогда дискретная модель с запаздыванием, соответствующая непрерывной модели (21), может быть представлена уравнениями
x (i +1) = Adx (i) + Bdu (i) + Gd f (i),
y (i) = Dx (i -1),
где матрицы Ad, Bd, Gd определяются с использованием известных выражений: _ h _ h _ Ad = eAh, Bd = jeAcdZ.B = A-\Ad -En)B, Gd = je2cdX-G = A~\Ad -En)G. 0 0 Учет запаздывания при синтезе выполним расширением векторов состояний и управлений. Введем дополнительные переменные состояния с помощью вектора
xt(i) = y (i) + c(i) = Dx (i -1) + c(i), (23)
где je R1 - вспомогательная переменная, которая будет играть роль дополнительного фиктивного управления j(i) = ut(i -1).
Введем астатизм, дополнив объект (21) дискретным интегратором на управляющем входе объекта, то есть управление u(i) будем формировать по следующему принципу:
и(I) = их (I) + МаНХа (I), Ха (I +1) = ха (I) + иа (I) + /а (I), Ха е Ят, (24)
где их, иа - вновь образованные управления; Йа - согласующая га х 1 (т = 1, ¥ матрица; /а - дополнительное искусственно введенное возмущение.
Рассмотрим объект управления (20) совместно с уравнениями (23), (24). Для модели (20), (22), (23) выполним синтез регулятора на основе процедуры, приведенной в [4]. Уравнения регулятора имеют вид
С(1 +1) = АРС(г) + Вру (I),
и (I) = Ср£(1) + DPy(i),
где £ е Я п-1 (п = 1, ¥ - вектор состояний регулятора; Ар, Вр, Ср, Dр - матрицы регулятора.
Для выполнения вычислительных процедур было использовано укороченное представление бесконечных матриц системы из первых 5 тригонометрических функций (13). Матрицы регулятора, вычисленные на основе процедуры, представленной в [4] и для периода дискретности к = 0.01, имеют вид
Ар =
(25)
" 0.00 0" " 0.00"
, Вр =
- 0.99 1 - 0.99
с; = 10-5
DPT= 10-5
- 9.77 0.01 [- 9.77
0.17 0
0.17
0.05 0
0.05
0.04 0
0.04
0.01 " 0
0.01 ].
(26)
При синтезе управления учтена дискретность по пространству в соответствии с алгоритмом, приведенным в [5]. Управляющее воздействие представляется как совокупность прямоугольных импульсов, каждый из которых действует на своем участке объекта, и для случая пяти секций и выбранной системы функций разложения (13) определяется выражением
иа (I) = Р4 и (I), Р =
0.09 0.23 0.28 0.23 0.09
0.16 0.25 0 -0.25 0.16
0.20 0.08 -0.24 0.08 0.20
0.20 -0.13 0 0.13 -0.20
0.18 -0.18 0.18 = 0.18 0.18
(27)
Анализ замкнутой системы с объектом, описываемым уравнениями (8), (15)-(17), и регулятором (25), (26), полученным на основе модели (22)-(24), проводился на базе пакета Pdepe МаАаЬ. Результаты анализа представлены на рис. 2.
б
а
Рис. 2. Результаты анализа: а) регулируемая переменная - температура в заданной точке £ = 0.8; б) управления - амплитуды пространственных импульсов
На рис. 2б изображены только три графика, в то время как секций на объекте - пять. Это объясняется тем, что в данном случае имеет место симметрия управления относительно центральной секции. Анализ результатов показывает, что заданные требования к точности и качеству удовлетворяются.
Заключение. Представление распределенных объектов с переменными параметрами в форме Коши на основе спектрального метода открывает возможность применения методов пространства состояний для синтеза законов управления такими объектами. В рассмотренном примере усечение бесконечномерной системы проводилось при п = 5. Практически для решения задач управления обычно оказывается достаточно п = 5 -10 [2]. Кроме того, предлагаемый метод пригоден для решения задачи анализа. Решение представляется в виде ряда (9), что согласуется с методами математической физики.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лыков А.В. Теория теплопроводности / А.В. Лыков. М.: Высш. шк., 1967.
2. Коваль В.А. Спектральный метод анализа и синтеза распределенных управляемых систем / В.А. Коваль. Саратов: СГТУ, 1997.
3. Садомцев Ю.В. Конструирование систем управления с обратной связью по критериям точности и грубости / Ю.В. Садомцев. Саратов: СГТУ, 2003.
4. Луценко И.В. Синтез дискретных Ш-оптимальных регуляторов пониженного порядка / И.В. Луценко, Ю.В. Садомцев // АиТ. 2009. № 10. С. 114-132.
5. Синтез дискретного регулятора для построения распределенной системы управления температурным режимом проточного нагревателя нефтепродукта / В.А. Коваль, В.Н. Осенин, С.И. Суя-тинов, О.Ю. Торгашова // Известия РАН. ТиСУ. 2011. № 4. С. 132-147.
Коваль Владимир Александрович -
доктор технических наук, профессор кафедры «Радиоэлектроника и телекоммуникации» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Торгашова Ольга Юрьевна -
кандидат технических наук, доцент кафедры «Радиоэлектроника и телекоммуникации» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Пересунькина Анастасия Владимировна -
аспирант кафедры «Радиоэлектроника и телекоммуникации» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Vladimir A. Koval' -
Dr. Sc., Professor Department of Radioelectronics and Telecommunications,
Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Olga Yu. Torgashova -
Ph. D., Associate Professor Department of Radioelectronics and Telecommunications,
Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Anastasia V. Peresun'kina -
Postgraduate
Department of Radioelectronics and Telecommunications,
Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Статья поступила в редакцию 05.01.15, принята к опубликованию 10.02.15
УДК 007.52; 681.518
В.С. Дрогайцев, Р.Е. Куликов
СРЕДСТВА ОБНАРУЖЕНИЯ И ТЕХНИЧЕСКОГО ДИАГНОСТИРОВАНИЯ ОТКАЗОВ СЛОЖНЫХ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
Рассматривается подход к оцениванию работоспособных состояний, обнаружению и техническому диагностированию отказов электротехнических объектов в процессе их испытания в условиях влияния внешней среды. Данные проблемные задачи поддерживаются интеллектуальными технологиями ввиду сложности их решения. Представлен метод построения модели диагностирования в виде матрицы, отражающей причинно-следственные связи между управляющими сигналами, факторами внешней среды, выходными параметрами и отказами. Предложен пошаговый алгоритм понижения размерности модели диагностирования. Разработано программное обеспечение для понижения
