CC BY
31
УДК 681.51
В.А. Коваль, О.Ю. Торгашова, О.Е. Шворнева СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССОМ НЕПРЕРЫВНОГО НАГРЕВА
Решена задача синтеза распределенной системы управления на основе спектрального метода представления. Закон управления построен
с использованием алгоритма оптимальной дискретной фильтрации Калмана.
Распределенная система, пространство, спектральный метод, оптимальное управление
V.A. Koval, O.Yu. Torgashova, O.E. Shvorneva
CONTROL SYSTEM FOR THE PROCESS OF THE CONTINOUS HEATING
The solution of synthesis problem for the distributed system on the basis of the spectral method is found. Using the procedure of optimal discrete Kalman
filtering, the control low is determined.
Disturbed system, space, spectral method, optimal control
В настоящее время достаточно широкое распространение получили установки непрерывного нагрева металлических заготовок перед их дальнейшей обработкой. При использовании этих установок весьма важно найти такой закон управления процессом нагрева, чтобы минимизировать энергетические затраты и обеспечить требуемую точность регулирования.
Объектом управления является процесс конвективного нагрева партии заготовок, перемещающихся с постоянной скоростью V [м/с] вдоль оси х [м] по длине печи с температурой рабочего пространства Qn (х , t ) [°C], выступающей в роли управляющего воздействия. Температурное поле нагреваемых изделий Q (х , t) [°C] описывается типовым уравнением в частных производных первого порядка [1]:
(b*)Эб*(х*,t*)/dt* + (bV*)Эб*(х*,t*)/Эх* + Q*(х*,t*) = би*(х*,t*), х* е (0,l), t* е (0,~), (1)
с начальными и граничными условиями
QV,t*)| . о = Q*(0,t*), Э0*(х*,t*)/Эх* = 0, QV,t*)|. 0 = QV,0), х*е [0,l], t*е [0,~),
\х =0 \х =l It =0 /7)
где b* [с] - коэффициент, определяемый геометрическими и теплофизическими
характеристиками нагреваемого материала; l [м] - длина печи; Q (х , 0) - заданная функция.
Рассмотрим задачу синтеза управления для нагревания детали до заданной температуры. Будем считать, что для измерения доступна температура Q (х , t) в нескольких точках вдоль оси х* печи.
Введем обозначения
Q = Q'/Q*, Q„ = QllQ*, ь = *7ь*, v = v'К, г = t'/t*, f = x'jt, « = ^*/ь*. Выберем
t* = l/V, , Q*(0, t*) = Q* и представим (1), (2) в безразмерном виде
Э2(£г)/Эг = (-V)dQ(f,r)/df + «[Q„(f,r)-Q(f,г)], fe (0,1), re (0,~), (3)
Q(f,r)\f=* = Q(0,r) = 1, dQ(f,r)/dff=i = 0, Q(f,r)|r=* = Q(f,0), f e [0,1], re [0,~), (4)
С учетом замены переменных
Q(f,r) = Q(0,r) + Qd (f,r), Q„ (f,r) = Q(0,r) + Qnk (f,r) модель объекта (3), (4) может быть записана в отклонениях от постоянной составляющей Q(0, Г)
dQA(f,г)/Эг = (-V)9Qa(f,r)/9f + «[QnA(f,r)-Qa(f,r)], f e (0,1), re (0,~), (5)
Qd (f,r)| f=0 = Qd (0,r) = 0, ЭQД (f, r)/dff=1 = 0, Qd (f,T)| r=0 = Qd (f,0), f e [0,1], re [0, ~). (6)
Математическая модель (5), (6) может быть преобразована к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений в форме Коши [2]. Представим параметры объекта управления QD, QnD, распределенные по длине, в виде обобщенного ряда Фурье по пространственной переменной f на основе ортонормированной системы функций P(k,f) = {V2sin(pf/2), 42sin(3pf/2), V2sin(5pf/2), V2sin(7pf/2),...}, к = 1,3, ¥
на интервале f e [0,1]. В этом случае форма Коши будет иметь вид
x = Ax + Bu, y = Cx, q = Dx, x0 = colon{fÜD(f,0), fQnD(f,0)}, (8)
где x = f Qd , u = fвпД — бесконечномерные векторы состояний и управлений, компонентами которых являются пространственные моды относительной температуры нагреваемых изделий Qd (f, г) и относительной температуры печи QnD (f,r) соответственно; y, q -бесконечномерные векторы измеряемых и регулируемых переменных соответственно; x0 — бесконечномерный вектор начальных условий; A, B - бесконечномерные числовые матрицы, определяемые выражениями
A = -Vp-«E, B = «E, (9)
где P1 — бесконечномерная матрица дифференцирования первого порядка; E — бесконечномерная единичная матрица; С, D — бесконечномерные матрицы, составленные из элементов ортонормированной системы разложения, вычисленных для фиксированных значений пространственных координат из открытого интервала f e (0,1).
Введем в рассмотрение переменную
У=h-y, (10)
где h— задающее воздействие, которое в рассматриваемой задаче является вектором, составленным из заданных значений температуры в точках измерения в начальный момент времени Qd (f ,0) ; y — регулируемая переменная, представляющая собой рассогласование между величиной задающего воздействия и измеряемой переменной.
Уравнения (8) и (10) в совокупности представляют собой описание объекта в форме задачи слежения. Применение процедуры синтеза регулятора возможно после перехода к описанию объекта в форме задачи стабилизации:
x = Ax + Bu + Gf, y = Cx, q = Dx , (11)
где f = colon{h, h} — вектор эквивалентных возмущений; A = SAS_1, B = SB,
G = [SAS_1H ! - H], C = -CS_1 = -HT, D =-DS_1; H = colon{E, 0}, S = colon{D, L} — матрицы преобразования; матрица L выбирается таким образом, чтобы det S Ф 0.
Выполним синтез дискретного регулятора для объекта (11). Будем полагать, что управление формируется с периодом квантования h с помощью ЦАП с фиксацией на период. Дискретная модель объекта будет иметь вид
x(i +1) = Фx(i) + Ru(i) + Mf (i), y(i) = Cx(i), 9(i) = Dx(i),
(12)
— rh
где Ф = eAh, R = J eAxd% B = AЧ(Ф-E)B, M = J eAxd% G = A_1(Ф-E)G.
Также будем полагать, что пары (Ф, R), (Ф, M) полностью управляемы, а пара (C, Ф) - полностью наблюдаема.
В рассматриваемой задаче размерности векторов состояний и управлений совпадают, следовательно, для синтеза регулятора можно применить процедуру оптимальной дискретной фильтрации. Используя преобразование x(i) = R _1x(i), представим модель (12) в виде
x(i +1) = <(:((i) + u(i) + Mf(i), y(i) = Cx(i), 9(i) = Dx(i), (13)
где Ф = Я~1ФЯ, M = RM, C = CR, D = DR .
В качестве обратной связи будем использовать статический регулятор по выходу, построенный в соответствии с процедурой оптимальной дискретной фильтрации Калмана:
u(i) = Ly(i), l = -ФpCT(y+ cpCt)-1, P = ФрФт + MDMT-ФРCT(y+CpCt)-1CpФ7 ^14^
где A = AT > 0, Y = YT > 0 - некоторые весовые матрицы.
Выполним синтез регулятора (14) для объекта (1) с параметрами l = 0.6 м, V = 10-3 м/с, VH = 10-2 м/с, b = 100 с, что соответствует V = 0.1, а= 0.6 для объекта (5). Начальное состояние объекта (5): QA(Х,0) = 1 - e~a .
Будем полагать, что измерения производятся в двух точках Х= 0.6, Х= 0.85, а период дискретности h = 0.1, что составляет 6 с. Вычислим матрицы объекта (8), (10) с учетом четырех функций системы разложения (7):
A =
- 0.70 0.30
- 0.10 - 0.70
- 0.03 - 0.30
B = 0.6E.
C =
"1.14 1.38 D = [1.38
0.44 -1.41 0.44 -1.08 0.54 0.11
-1.08 0.54 0.11] .
(15)
0.17 0.23
0.50 - 0.14
0.70 0.70
- 0.03 - 0.06 - 0.50 - 0.70
Матрица регулятора, вычисленная в соответствии с процедурой (14) для выбранных весовых матриц A = 104-diag{1.0, 0.1, 0.01, 0.001}, Y = 5-102-diag{1.0, 0.1}, имеет вид
"-1.84 - 0.61 2.39 - 0.93“
- 3.76 1.38 0.78 - 0.86
Анализ замкнутой системы проводился в системе Matlab средствами пакета Partial Differential Equation Toolbox. Результаты анализа представлены на рисунке.
О ■:( с г), отн. ед. Qnd-i, г) ^ отн- ед.
LT
(16)
Температура заготовки 0А и печи О пА в точках £= 0.6, Х= 0.67, Х= 0.85
Из рисунка видно, что точность и качество полученных переходных процессов вполне допустимы для работы системы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Рапопорт Э.Я. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами: учеб. пособие / Э.Я. Рапопорт. М.: Высш. шк., 2009. 667 с.
2. Коваль В.А. Спектральный метод анализа и синтеза распределенных управляемых систем / В. А. Коваль. Саратов: СГТУ, 1997. 192 с.
Коваль Владимир Александрович -
доктор технических наук, профессор кафедры «Техническая кибернетика и информатика» Саратовского государственного технического университета
Торгашова Ольга Юрьевна -
кандидат технических наук, доцент кафедры «Техническая кибернетика и информатика» Саратовского государственного технического университета
Шворнева Ольга Евгеньевна -
магистрант кафедры «Техническая кибернетика и информатика» Саратовского
государственного технического университета
Статья поступила в редакцию 04.10.10, принята к опубликованию 26.10.10
