CC BY
17
УДК 681.51
В.А. Коваль, О.Ю. Торгашова, А.В. Чернова, А.А. Самарский
СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРА ДЛЯ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ,
ОПИСЫВАЕМОГО В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
На основе спектрального метода решены задачи анализа и синтеза для системы, описываемой уравнением теплопроводности в цилиндрической системе координат с коэффициентом теплопроводности, зависящим от пространственной координаты. Решение задачи анализа, полученное спектральным методом, сравнивается с решением, полученным методом конечных разностей.
Распределенная система, уравнение теплопроводности, цилиндрическая система координат, спектральная характеристика, синтез, анализ
V.A. Koval', O.Yu. Torgashova, A.V. Chernova, A.A. Samarskij
SYNTHESIS OF AN OBJECT CONTROL REGULATOR WITH A VARIABLE COEFFICIENT OF THERMAL CONDUCTIVITY DESCRIBED BY THE CYLINDRICAL COORDINATE SYSTEM
We consider the analysis and synthesis problems relating a spatial distributed system described by the thermal conductivity equation in the cylindrical coordinate system with a variable coefficient of thermal conductivity. The solution to the analysis problem obtained by the spectral method is compared with the solution obtained by the finite difference method.
Distributed system, heat equation, cylindrical coordinate system, spectral characteristic, synthesis, analysis
Введение. Задача анализа температурного поля объектов с переменным коэффициентом теплопроводности, описываемая в цилиндрической системе координат, возникает при рассмотрении многослойных цилиндрических печей, многослойных дисков и др. Примеры таких задач рассмотрены в [1, 2] для системы двух неограниченных цилиндрических тел. При этом в [1] для решения задачи применяется метод преобразования Лапласа, а в [2] - метод конечных интегральных преобразований. Недостатком указанных подходов является то, что они не могут применяться для решения задачи синтеза. В связи с этим в данной работе решение задач анализа и синтеза систем управления объектами с переменными коэффициентами теплопроводности предлагается проводить спектральным методом [3].
Постановка задачи. Рассмотрим объект управления, который описывается одномерным уравнением теплопроводности [1]
ЭT(r, t) 1 Э f w ч ЭT(r, t)) ^ m ^ ч cj—^ = -т-1 rlo(r)—^^ I, r е (0, R), t е (0, ¥), (i)
Эt r Эг V Эг )
где T - температура, град; r - пространственная координата по радиусу, м; R - радиус объекта, м; c - теплоемкость, Джкг-1град-1; j - плотность, кг/м3; 10 - теплопроводность, Втм-1град-1, с начальными условиями
T(r, 0) = T0 = const, r е [0, R] (2)
и граничными условиями
TT(r, t)/Эг|г=0 = 0, ЭДг, t)/Эг|г=r = Tr(t), t е [0, -). (3)
Теплопроводность 10 скачкообразно изменяется в зависимости от пространственной координаты r:
Л f101, r е[0, r),
10(r) = L r е (0, R). (4)
02, r е[r, R]
Требуется решить следующую задачу управления: осуществить нагрев объекта на заданном радиусе r = r* по заданному закону T(r*, t) = T*(t). В качестве управляющего воздействия принять температуру, приложенную к границе объекта TR(t) = U(t). Ошибка регулирования не должна превышать 5% от установившегося значения. При этом без потери общности будем полагать, что T(r, 0) = 0, r е [0, R].
Получение модели объекта управления в безразмерном виде. Для решения задачи представим исходный объект управления (1)-(4) в безразмерном виде, раскрыв сначала производную по переменной r в правой части (1):
эе(Р,t) = af 1 (р)эе(Р,t) + Э1 (р)эе(Р,t) э2е(Р,t)) 1(r) = f^ ре[0, р)
Эт I Р Эр Эр Эр (р) Эр2 ), (Р) |l2, ре[р, 1], (5) t е (0,¥), ре (0,1),
где е = T/T , р = rjR, р = rjR, t = t/t , 1 = 1^/1 - безразмерные величины; T, t*, q*, 1* - номинальные значения переменных T, t, q, 10 соответственно; a = (1*t *)/( R 2 cj) - безразмерный коэффициент.
Начальные условия:
е(р,0)=0, ре(0,1). (6)
Граничные условия:
Эе(р, t)/Эрр=0 = 0, Эе(р, tVЭрЦ = u (t), (7)
где u = UR/T* - безразмерная величина - управляющее воздействие, приложенное на границе объекта.
Далее в качестве модели объекта управления будем рассматривать уравнение (5) с начальными условиями (6) и граничными условиями (7).
Представление модели объекта в спектральном виде. Разложим вещественную однозначную непрерывную, всюду дифференцируемую по пространственной переменной функцию е(р, t) в ряд
Фурье по системе ортонормированных с весом р функций Бесселя (В(^р)}, h = 1, ¥ ;
¥ R2 _ _
е(р, t) = XF (h, t)B(ahp), Ф (h, t) = jе(р, t) рB(ahp) йр, R1 = 0 -e, R2 = 1 + e, (8)
h=1 R1
где е - малая величина; аи - корни функции Бесселя или ее производной [4]. Функция Ф(И, т), определяющая коэффициенты ряда Фурье, в соответствии с [3] называется спектральной характеристикой функции 0(р, т).
Отметим, что в общем случае в качестве функций Б(аи р) могут быть выбраны линейные комбинации функций Бесселя, удовлетворяющие свойству ортонормированности. В рассматриваемой
задаче {Б(аир)} = Шо^Ь И = 1, ¥.
С использованием свойств спектральных характеристик, доказанных в [3], и учитывая вид граничных условий, получим описание объекта управления бесконечномерной системой дифференциальных уравнений в форме пространства состояний. При этом для представления второго сомножителя из выражения (5) будем использовать новое свойство спектральной характеристики произведения производной по пространственной переменной от функции на другую функцию, которое будет приведено здесь без доказательства.
Спектральная характеристика произведения производной по пространственной переменной
от функции на другую функцию. Рассмотрим произведение Эф^р, т)/Эр-ф2(р, т), в котором ф1(р, т)
представляет собой функцию, ограниченную на интервале р е [Ль Ъ2] и содержащую точки разрыва первого рода. Такую функцию можно представить в виде [5]
к
ф1 (р, т) = ф° (р, т) + £ ф. 1(р - р.), (9)
¿=1
где ф°(р, т) - непрерывная функция, совпадающая с функцией ф1(р, т) на интервале р е [Ль Ъ2]; фг -амплитуды скачков функции ф1(р, т) в точках рг е [Ъ1,г = 1 к; 1(р — рг) - здесь и далее единич-
[1, р > рг
ные скачкообразные функции 1(р — р,) = < .
Уг' [0, р<рг
Спектральная характеристика произведения Эф^ (р, т)/Эр-ф2(р, т) определяется следующим образом:
5р[Эф1(р, т)/ Эр • ф2(р, т)] = (р°(И, И, т) + £р(И, И)) Ф2(т), Л, И = 1, ¥, (10)
где Р°(И, И, т), Рц (И, И) определяются в соответствии с выражениями
И р)Б (а И
Ри (И, И) = р,./рБ(а и р) Б (а йр) ф г §(р рг) ёр., г = 1, к,
Ъ р
(11)
р°(И, И, т) = I1 рБ(алр) Б(айр)^^ ёр
°
Эр
первое из которых с учетом фильтрующего свойства дельта-функции может быть преобразовано к виду
Ри (И, И) = р. (Б(аь р)Б(айр)]р=р. ф., г = 1Д, (12)
а второе может быть представлено выражением
Р1°(Л, И, т) = — Щт Б (а л т) Б(а ит)]ф°(т, г) ёт = я1 Эт
1 (13)
К21
= ИБу (а Ит)Бп (а ит) + т
^^ ИЧ ^пК^ и1
аБп(аИС» Бп (а ит) + Б, (а ит) ^^
Ф°(т, г) ёт.
Эт И И Эт
Отметим, что рассмотренное свойство применяется ко второму слагаемому уравнения (5). С учетом вида функции, описывающей теплопроводность, 1(р) = 11 • 1(р) + (12 —1!) • 1(р — р) +12 • 1(р — 1) и
второго выражения из (11) будем иметь Р1°(к, к, т) = 0 . В качестве Ф2(т) будем рассматривать вектор
спектральной характеристики функции Э9(р, т)/Эр.
Приведенное свойство, а также свойства спектральных характеристик из [3] позволяют представить уравнение (5) в виде
Ф0(т) = а (адФе + IВДФе + Ря (р2Фе + Г2пЦт)
I=1
(14)
где Фе е Як, к = 1, ¥ - вектор спектральной характеристики функции е(Х, т); Р1р, Р% - операционные матрицы сомножителей 1(р)/р и 1(р) соответственно; Рь Р2 - операционные матрицы дифференцирования первого и второго порядка соответственно; Г21 - матрица, через которую действует функция ы(т) с внешней границы объекта управления. Выражения для вычисления операционных матриц даны в [3]. Модель (14) можно представить в виде
Ф е (т) = А Фе (т) + Бы (т), (15)
где А = а (Рх/рР1Фе + IР1|Р1Фе + РхР2 ) - матрица размерности к х к, к, к = 1, ¥ , Б=орГ^ -
I=1
у которой ак являются корнями производной
матрица размерности к х 1, к = 1, ¥ .
Выражение (15) представляет собой описание объекта в спектральном виде. С использованием представления (15) можно решать задачи синтеза и анализа. Возврат к исходной функции е(р, т) осуществляется на основе первого из соотношений (8).
Решение задачи анализа на основе спектральной теории и сравнение результатов с решением, полученным методом конечных разностей. Для объекта вида (5)-(7) с параметрами а = 1,
1 = 0,3, 12 = 1, р = 0,8 и для внешнего воздействия ы(т) = 0.2ехр(-1,5т) решение задачи анализа температурного поля получено методом конечных разностей в МаАаЬ и представлено на рис. 1 а.
Для решения задачи спектральным методом в качестве системы разложения {Б(акР)}, к = 1, ¥
выбрана система функций {/0(акр)}, к = 1,
ЭJ 0(р)/Эр.
Приведем значения матриц А, Б:
(16)
Для выполнения вычислительного эксперимента выполним усечение бесконечной системы дифференциальных уравнений (14). Результаты анализа 20 первых уравнений системы (14) в МаАаЬ приведены на рис. 1 б.
Для сравнения результатов анализа использовалось выражение
" 0 - 0.84 0.75 - 3.50 ..." " 1.37"
0 - 5.25 -0.51 - 8.52 ... -1.38
А = 0 1.56 - 23.80 4.17 ... , Б = 1.41
0 - 4.79 9.29 - 60.47 ... -1.44
(1
6(п, т) = |
V 0
е(р, т) - I Фе (к, т)/э(ак р)
к=1
Л 12
Ф/ {е2(р, т) ф
(17)
в котором е(р, т) - температура, вычисленная методом конечных разностей, п = 20 - порядок усечения системы (15). Ошибка 6(20, т) удовлетворяет выражению 6(20, т) < 0,05, что указывает на высокую точность спектрального метода и делает возможным его применение для решения задачи синтеза.
2
п
0
а б
Рис. 1. Решение задачи анализа, полученное: а - методом конечных разностей; б - спектральным методом
Решение задачи синтеза на основе спектральной теории. Синтезируем регулятор для нагре-
* *
ва пластины до значения 0 = 1 при заданном значении координаты р = 0,7 по закону
h(t) = 1 - exp(-0,05t)
(18)
Для решения задачи синтеза дополним модель (15) уравнением измеряемых выходов:
у(т) = СФе (т), (19)
1 /— * где у е Я - измеряемый выход, представляющий собой значение температуры в точке р = р . Матрица С составлена из элементов ортонормированной системы разложения {Б(аир)}, И = 1, ¥, вычис-
*
ленных для р = р = 0,7:
с = [1.41 -0.47 -0.97 1.69 -1.05 ...]
Введем новую переменную
y=h- y
(20)
(21)
где ^ е Я1 - задающее воздействие - относительная температура, вычисленная в соответствии с выражением (18); у е Я1 - регулируемая переменная, представляющая рассогласование между величинами задающего воздействия и измеряемого выхода.
Зададимся вектором новых переменных состояния [6]:
х = -SФе-Щ, H = colon {1, 0(п-1)х 1}, S = colon {C, V}, (п = 1,¥),
(22)
где матрица V размеров (И — 1) X И выбирается таким образом, чтобы матрица 5 была неособенной. Тогда уравнения объекта можно представить в виде
х (t) = Ах (t) + Bu (t) + Gf (t), y (t) = Cx (t),
(23)
где f = colon{h, h} - вектор возмущений, действие которого в системе (21) эквивалентно задающему воздействию в системе (15), (19), (21); А = SAS_1, B = -SB, C = CS_1 = HT,
G = [SAS H
-1
- H ]
числовые матрицы.
Представление объекта в виде (23) позволяет связать вектор регулируемых переменных У с
новым вектором переменных состояния X таким образом, чтобы регулятор, построенный на основе стандартной процедуры синтеза, решал поставленную задачу [6].
Для модели (23) выполним синтез регулятора на основе процедуры ЬР-оптимизации и теории наблюдающих устройств пониженного порядка. Уравнение регулятора имеет вид
£(т) = W£(т) + K у(т) + T Бы(т), ы (т) = FX (т) = F[V£(т) + U у(т)],
(24)
где £ е Як 1 (к = 1, ¥) - вектор состояний наблюдателя; X е Як (к = 1, ¥) - оценка вектора X, используемая в регуляторе полного состояния с матрицей передаточных коэффициентов Г. Остальные матрицы Ж, К, Т, V, и , входящие в (24), должны удовлетворять соотношениям:
(26)
ТА -ЖТ = КС, иС + VI = Е. (25)
Учитывая структуру матрицы С = [1 01х (к-1)], можно показать, что уравнения (25) будут удовлетворяться тождественно, если
Т = [ Ь Е--1], и = со1оп{1, - Ь}, V = со1оп{0, Ек-1},
Ж = ТАГ = А22 + 1А12 , К = ТАи = - (А22 + 1А12) 1 + А21 + ЬА12,
где 1 - некоторая матрицы размерности (к -1) х 1 (к = 1, ¥), выбор которой наряду с матрицей Г будет полностью определять регулятор (24); А^ (I, ] = 1, 2) - блоки матрицы А объекта, соответствующие разбиению вектора X на составляющие х(1) = у е Я1 и х(2) е Як-1. Таким образом, задача сводится к нахождению матриц Г, Ь , определяемых из выражений
F = - МБ т X, Ь = - УС т ¥,
в которых матрицы X, У являются решениями уравнений Риккати
ХА + А тX - ХБМ -1Б тX + Q = 0, А22У + УА2т2 - ХА1Т21А12X + 0 = 0 .
(27)
(28)
с весовыми матрицами М, Q, 0.
Для выполнения вычислительных процедур использовано укороченное представление системы.
В случае, когда матрица Q = 104 • С тС , а остальные
весовые матрицы М, ХР? 0 выбраны единичными матрицами соответствующих размерностей, получим следующую числовую реализацию матриц Г, 1 регулятора (23):
0.8
0.6
0.4
0.2
V ч . в у^
и
Г = [- 0.66 -140.49 - 47.46 57.98 ...], = [-1.02 0.16 0.22 - 0.37 ...]т,
(29)
15
с использованием которых затем вычисляются матрицы (26) регулятора (24).
Результаты проведенного в системе МайаЬ анализа замкнутой системы представлены на рис. 2. Анализ результатов показывает, что ошибка регулирования составляет не более 5 % от установившегося значения. Таким образом, заданные требования к точности выполняются.
Заключение. Представление распределенных объектов с переменными коэффициентами в форме Коши на основе спектрального метода открывает возможность применения методов пространства состояний для синтеза законов управления такими объектами. Решение представляется в виде ряда, что согласуется с методами математической физики.
5 ю
г
Рис. 2. Результаты анализа замкнутой системы
ЛИТЕРАТУРА
1. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высш. шк., 1967.
2. Туголуков Е.Н. Решение задач теплопроводности методом конечных интегральных преобразований. Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2005.
3. Коваль В.А. Спектральный метод анализа и синтеза распределенных систем. Саратов: СГТУ, 2010.
4. Толстов Г.П. Ряды Фурье. М.: Физматлит, 1960.
5. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматлит,
1959.
6. Садомцев Ю.В. Конструирование систем управления с обратной связью по критериям точности и грубости. Саратов: СГТУ, 2003.
Коваль Владимир Александрович -
доктор технических наук, профессор кафедры «Радиоэлектроника и телекоммуникации» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Торгашова Ольга Юрьевна -
кандидат технических наук, доцент кафедры «Радиоэлектроника и телекоммуникации» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Чернова Анастасия Владимировна -
аспирант кафедры
«Радиоэлектроника и телекоммуникации» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Самарский Александр Александрович -
магистрант кафедры
«Радиоэлектроника и телекоммуникации» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Статья поступила
Vladimir A. Koval' -
Dr. Sc., Professor
Department of Radioelectronics and Telecommunications
Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Olga Yu. Torgashova -
PhD, Associate Professor Department of Radioelectronics and Telecommunications
Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Anastasia V. Chernova -
Postgraduate
Department of Radioelectronics and Telecommunications
Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Aleksandr A. Samarskij -
Master student
Department of Radioelectronics and Telecommunications
Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
в редакцию 15.10.15, принята к опубликованию 10.11.15
