CC BY
228
УДК 681.5.01
В.Н. Осенин
СИНТЕЗ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ НА ОСНОВЕ МЕТОДА АКОР
Решена задача синтеза распределенной следящей системы с использованием спектрального метода представления. На основе метода АКОР построен оптимальный закон управления. Разработана структурная схема.
Распределенный объект управления, синтез регулятора,
спектральный метод, следящая система, метод АКОР, оптимальный закон управления.
V.N. Osenin
SYNTHESIS OF THE DISTRIBUTED TRACING SYSTEM ON THE BASIS OF METHOD AKOR
The problem of synthesis of the distributed tracking loop system is solved with using a spectral method. Optimum control law is constructed on the basis of method AKOR. Structural arrangement is designed.
Distributed parameters object, regulator synthesis, spectral method, tracking loop system, AKOR method, optimum control law.
Введение. Одной из главных проблем в теории распределенных систем является задача синтеза регулятора. В настоящее время для синтеза систем управления с распределенными параметрами существует несколько подходов: методы, основанные на теории оптимального управления; параметрический синтез; методы конечномерной аппроксимации; частотные методы; спектральная теория.
В работах А.Г. Бутковского [1], Г.Л. Дегтярева [2], Т.К. Сиразетдинова [4], Э.Я. Рапопорта [5] и др. освещаются вопросы применения общей теории оптимального управления для синтеза распределенных систем управления. В [3] решается задача аналитического конструирования регуляторов (АКОР) для таких систем, выполнен вывод интегродифференциального уравнения типа Риккати. В [4] получено уравнение Риккати для распределенных систем в случае стохастических входных воздействий, возмущений и неполном измерении состояния.
Основной недостаток методов теории оптимального управления для синтеза регуляторов распределенных систем - это сложность решения известными методами дифференциальных, интегральных или интегродифференциальных оптимизационных уравнений для построения оптимального закона управления. Кроме того, отсутствие формализованных методов выбора коэффициентов функционалов оптимизации и сложность решения задачи наблюдения также затрудняют применение данных методов.
Сущность параметрического синтеза регуляторов заключается в подборе параметров регулятора при заданной структуре системы управления и математической модели объекта управления и регулятора. Система моделируется на ЦВМ и путем перебора параметров находят значения, обеспечивающие требуемые показатели качества
и устойчивости. При таком подходе могут быть использованы результаты структурной теории распределенных систем [1, 2]. На основе понятия распределенного блока, правил соединения и преобразования, могут быть построены модели различных распределенных объектов.
К недостаткам параметрического синтеза можно отнести тот факт, что при заданной структуре системы может не существовать параметров регулятора, обеспечивающих требуемые показатели, или выбранные параметры могут быть физически не реализуемы.
Синтез регулятора на основе конечномерной аппроксимации распределенного объекта может выполняться двумя способами. Первый - система с распределенными параметрами аппроксимируется специально подобранной системой с сосредоточенными параметрами. Второй - применяются методы модального управления, т.е. разложение в ряды по собственным функциям пространственного оператора распределенного объекта.
Недостаток первого способа - большая размерность вектора переменных состояния даже при небольшом количестве точек дискретизации по пространству. Особенно это проявляется для двумерных и трехмерных пространственных задач. Кроме того, конечномерная аппроксимация по пространству может привести к вырождению задачи.
В [1] дана библиография по модальному управлению. Методами модального управления решается ряд задач, в которых ошибка управления представляется как разложение в ряд по собственным функциям. Рассматривается ограниченное число мод, для каждой строится регулятор. Для распределенных объектов управления, описываемых дифференциальными уравнениями с частными производными и постоянными коэффициентами, для которых справедлив принцип разделения переменных, в [6] приведено модальное представление объекта и системы, построенной по принципу обратной связи. На основе структурного представления разработан метод построения регулятора, описываемого уравнением с частными производными. Для реализации алгоритма необходимо определять частные производные по пространству, число которых вдвое больше числа воспроизводимых мод, что усложняет вычисления.
Результаты работы [7] позволили применительно к распределенным системам использовать спектральную теорию. Разработан математический аппарат описания пространственно-временных процессов распределенных систем в форме пространства состояний. Выполнен переход от дифференциального уравнения с частными производными к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Обоснована возможность использования ограниченного числа уравнений. Получена математическая модель распределенной системы в спектральной области представления и с использованием теории АКОР синтезирован регулятор.
Постановка задачи. В работе ставится задача: дать анализ возможности построения следящей системы [8], на основе спектрального представления распределенного объекта синтезировать оптимальный регулятор методом АКОР.
Решение задачи. Объект управления с распределенными параметрами на основе спектрального метода [7] может быть представлен в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений в форме Коши
где х - вектор переменных состояния; u - вектор управлений; f - вектор возмущений; у -вектор измеряемых переменных; А, В, О, Б - матрицы коэффициентов.
Выполним преобразования, введем переменную:
где п - задающее воздействие (желаемое значение); 9 - ошибка (регулируемая
переменная).
Зададимся вектором новых переменных состояния:
х = A х + B ы + G / ; У = D х,
(1)
(2)
0 = У-п,
х = S х - R n , (4)
где S и R - произвольные матрицы соответствующих размерностей, S является неособой.
Из соотношения (4) выразим х:
х = S-1~ + S-'R n. (5)
Продифференцируем правую и левую части соотношения (4):
5 = S х - R n , (6)
Выражение (6) в соответствии с (1) может быть преобразовано к виду:
7 = S (Ах + Bu + Gf ) - Rn. (7)
Уравнение (7) с учетом (5) представится в следующем виде:
x = SAS-1x + SBu + SGf + (SAS-1Rn - Rn). (8)
Полагаем
n = const, n = 0 . (9)
Тогда (8) можно преобразовать:
5 = SAS-1~ + SBu + SG f + SAS-1Rn . (10)
Перепишем (5) с учетом выражения для измеряемых переменных (2):
y = DS-15 + DS-1Rn. (11)
Используя (11), преобразуем (3):
0 = DS-15 + (DS-1R - E)n , (12)
где E - единичная матрица соответствующей размерности.
Матрицы S и R могут быть выбраны таким образом, что
DS-1R = E . (13)
В таком случае (12) преобразуется:
0 = DS-15 . (14)
Введем обозначения:
Л = SAS-1, B = SB, C = SAS-1R, C = SAS-1R, G = SG, D = DS-1. (15)
В соответствии с (15), уравнения (10) и (14) могут быть представлены в форме:
~ = Лх + Bu + , (16)
0= Dx , (17)
где
M = [<5 !<?], 7 = [-£ (18)
Для объекта управления (16) с регулируемой переменной (17) может быть синтезирован закон управления методом АКОР
u = -K 5, (19)
где K - матрица коэффициентов регулятора.
В качестве критерия оптимальности выбирается квадратичный функционал вида:
J (т) = J Q 7 + uT Z u )т,
0
где Q - неотрицательно-определенная, а Z - положительно-определенная весовые матрицы чисел соответствующих размерностей.
Матрица коэффициентов регулятора определяется из соотношения
К = Z-1ВТР , (21)
где Р - решение матричного уравнения Риккати
АТР + РА - PBz-1ВТР + О = 0. (22)
Пример синтеза распределенной следящей системы. В качестве объекта управления рассматривается поточный нагреватель нефтепродукта. Режим течения нефтепродукта по трубопроводу турбулентный, т.е. во время течения происходит его интенсивное перемешивание по сечению трубы. В таком случае в качестве температуры и скорости потока могут быть приняты средние по сечению величины, а неравномерность их распределения по сечению трубы может не учитываться. Математическая постановка задачи содержит уравнение теплообмена в нефти, стенке трубы, тепловой изоляции, соответствующие граничные и начальные условия. С учетом сделанных допущений и пренебрегая теплотой трения, уравнения распространения тепла [9] могут быть представлены в виде:
К = -У —+4К=(Т -т)
д1 дх с рО 1 ’
дТ1 К1О (т т) I К2 (Т Т) I Ж
~^г=------ут (Т -т1) + ^1'(1Л-1!) +------
д с1р1оО1 с1р1о пс1р1оО1
(23)
(24)
с начальными условиями: Т(х,0) = Т., Т1 (х,0) = Т., х е [0,Ь]; (25)
и граничными условиями: Т(0,1) = Т,, Т] (0,1) = Т., 1 е [0, да) ; (26)
где Т , Т1, ТА - температуры нефти, трубы и окружающей среды; Т. - температура нефти на входе; с , с1 - теплоемкости нефти и трубы; р , р, - плотности нефти и материала; V -скорость течения нефти; К1, К2 - коэффициенты теплоотдачи от стенки трубы к нефти и от внешней поверхности теплоизоляции в окружающую среду; О , Д - внутренний и внешний диаметры трубы; 5 - толщина стенки трубы; 1 - время; х - пространственная переменная; Ь - длина нагревателя; Ж - мощность путевого подогрева на 1 метр трубопровода.
После приведения к безразмерной форме уравнений (23)-(26) и представления входящих в них пространственных функций в виде ряда Фурье получим описание процесса в спектральной форме представления [9]:
х = А х + Ви + О/, (27)
х =
ОТ-.
ОТ1Л
и
= [ОЖ], / = [0ТЧ А =
-а1Р1 - в1Е
РЕ
а2 Е
\ -а2Е -Р2Е_
В =
О
У 2 Е _
о =
_О_
рГЕ _
, (28)
а = Vlo о = 4К110 а = К1О10 в = К у =__________________Ж010_______
1 Ь ’ 1 срО ’ 2 с1р15(О + 25)’ 2 ^5’ 2 пс1р15(О + 25)
(29)
где ОТл , ОТ1Л, ОТЛА , ОЖ - бесконечномерные векторы коэффициентов разложения в ряд Фурье функций ТЛ (£, т), Т1Л (£, т), ТАл (£, т), Ж (£, т) соответственно; Р1 -бесконечномерная, квадратная матрица дифференцирования первого порядка [7]; О -матрицы соответствующих размерностей, состоящие из нулей.
Функции ТЛ (£, т), Т1Л (£, т), Тл (£, т) определяются из соотношений:
Т (£, т) = Т (0, т) + Тл & т), Т^, т) = Т (0, т) + Тл & т), ТА & т) = Т(0, т) + Т^ & т), (30)
где Т(0, т) = Т - постоянная составляющая, обусловленная непрерывным поступлением нефти с температурой Тн на вход установки; ТЛ (£, т), Т1Л (£, т), ТАл (£, т) - отклонения функций распределения температуры нефти, температуры трубы и температуры окружающей среды от величины постоянной составляющей.
Т= і,
т
т = т_
1 т '
т.
т = .
Ж
Ж = =, Ж
е = х = *
е = I’ т_Г’
' 0 ^ 10
Ж0 - характерная мощность подогрева на 1 метр трубопровода; 10 - промежуток времени.
Система (27) рассматривается при начальных условиях
" 0ТА (е,0)'
х0 =
(32)
0ТіА (Є,0)
где 0і(е,0), 0Т1Л(е,0)- векторы спектральных характеристик функций ТА(Є,0) и Т1Д(Є,0).
В качестве системы разложения выбрана ортонормированная система функций Р(И,Є) = (л/2 8Іп(тсЄ/2);л/2 зіп(3л£/2); -\/2 8Іп(5лЄ/2); л/2 8Іп(7лЄ/2);...},
И = (ї^), Єє [0,1]. (33)
Параметры нагревательного устройства и нефти: I = 10 м, .О = 0,4 м, Ц = 0,41 м,
5 = 0,005 м, р = 900 кг/м3, р, = 7800 кг/м3, с = 2100 Дж/кг-град, с1 = 500 Дж/кг-град,
К = 0,01 м/с, К = 400 Вт/м2-град, К2 = 20 Вт/м2-град, Т. = 10 град, Ж0 = 1000 Вт/м,
Г0 = 200 с, Т = 10 град. Измерения температуры нефти производятся только в одной
точке пространства (Є5 = 0,85).
Для системы в форме (16) методом АКОР (19)-(22) синтезируется оптимальный регулятор. Для восстановления состояния системы используется фильтр Калмана. Регулятор и наблюдатель синтезированы средствами системы МаїїаЬ 7.5.0 (Я2007Ь).
Структурная схема системы управления объектом, представленного в форме (16), изображена на рис. 1. Полученные регулятор и наблюдатель теперь могут быть использованы для построения системы управления (рис. 2) исходным объектом (27).
X
Рис. 1. Структурная схема системы управления Рис. 2. Структурная схема системы управления для объекта (16) объектом (27)
Рис. 3. Задающее воздействие
Рис. 4. Изменение рассогласования
Моды. ■ мощ отн ед ности ■ подог| )ева, -
уА 1
3 4
/ /
2 Г^= 5 _ У т, ■ отн.ед
Рис. 5. Управления:
1, 2, 3, 4, 5 - номер моды мощности
В качестве задающего воздействия взята функция (рис. 3), что соответствует желаемому изменению температуры нефти в точке пространства (£5 = 0,85). На рис. 4 представлен график изменения рассогласования между
задающим воздействием и регулируемой переменной во времени. На рис. 5 представлены графики оптимальных управлений
(пространственные моды мощности подогрева).
Заключение. Методом АКОР синтезирован оптимальный регулятор для распределенного объекта управления в спектральной форме представления и построена следящая система, которая обеспечивает управление температурным режимом проточного
нагревателя нефтепродукта при выполнении измерений температуры нефти в одной точке. Система управления обеспечивает достижение заданной желаемой температуры нефти в этой точке с ошибкой 2,3% относительно заданного значения. Указанная величина ошибки вполне допустима для работы системы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бутковский А.Г. Структурная теория распределенных систем / А.Г. Бутковский. М.: Наука, 1977. 320 с.
2. Дегтярев Г.Л. Синтез оптимального управления в системах с распределенными параметрами при неполном измерении состояния / Г.Л. Дегтярев, Т.К. Сиразетдинов // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1983. № 2. С. 69-81.
3. Егоров А.И. О решении задач синтеза оптимального управления процессом теплопроводности / А.И. Егоров, Г.С. Бачий // Прикладная математика и программирование: науч. сб. Кишинев: Штиинца, 1975. Вып. 13. С. 20-25.
4. Сиразетдинов Т.К. Синтез систем с распределенными параметрами при неполном измерении / Т.К. Сиразетдинов // Известия вузов. Авиационная техника. 1971. № 3. С. 37-43.
5. Рапопорт Э.Я. Анализ и синтез систем автоматического управления с распределенными параметрами: учеб. пособие / Э.Я. Рапопорт. М.: Высшая школа, 2005. 293 с.
6. Коваль В. А. Метод пространственно-частотной декомпозиции для управления в трехмерном евклидовом пространстве / В. А. Коваль // Аналитические методы синтеза регуляторов: межвуз. науч. сб. Саратов: СПИ, 1982. С. 31-36.
7. Коваль В. А. Спектральный метод анализа и синтеза распределенных управляемых систем / В.А. Коваль. Саратов: СГТУ, 1997. 192 с.
8. Садомцев Ю.В. Конструирование систем управления с обратной связью по критериям точности и грубости / Ю.В. Садомцев. Саратов: СГТУ, 2003. 206 с.
9. Осенин В.Н. Синтез системы управления нагревом нефти / В.Н. Осенин // Математические методы в технике и технологиях: сб. тр. 21-й Междунар. науч. конф.: в 10 т. Саратов: СГТУ, 2008. Т. 3. С. 92-96.
Осенин Виталий Николаевич -
аспирант кафедры
«Техническая кибернетика и информатика» Саратовского государственного технического университета
Osenin Vitaliy Nikolayevich -
Graduate Student of the Department of «Engineering Cybernetics and Information Science» of Saratov State Technical University
Статья поступила в редакцию 08.10.08, принята к опубликованию 10.12.08
