Метод степенных рядов в решении задач оптимального энергосберегающего управления по критерию обобщенной работы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.513

Е.В. Ловчаков, асп., +7961-265-06-78, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ),

А.М. Сапожников, асп., 8(920) 270-94-28, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)

МЕТОД СТЕПЕННЫХ РЯДОВ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО ЭНЕРГОСБЕРЕГАЮЩЕГО УПРАВЛЕНИЯ ПО КРИТЕРИЮ ОБОБЩЕННОЙ РАБОТЫ

Для широкого класса объектов с полиномиальными нелинейностями предлага-

ется метод синтеза квазиоптимальных замкнутых систем управления по критерию минимизации энергии управляющего сигнала и времени переходных процессов системы. Данный метод основан на замене решения данной задачи управления решением соответствующей задачи аналитического конструирования оптимального регулятора для рассматриваемого объекта по заданному определенным образом функционалу обобщенной работы - функционалу вида А.А.Красовского. Для решения последней задачи модифицируется известный метод степенных рядов, который позволяет получать ряд приближений к оптимальному управлению с возрастающей точностью.

Ключевые слова: фазовое пространство системы управления, полиномиальная

нелинейность, критерий энергосбережения, функционал обобщенной работы, задача аналитического конструирования оптимального регулятора (АКОР).

1. Введение, постановка задачи исследования

В данной статье развиваются и обобщаются непосредственно результаты работы [1], в которой рассматривалась задача оптимального управления объектами с полиномиальными нелинейными характеристиками, описываемыми дифференциальными уравнениями

Ь;(х1,х2,... ,хп) - однозначные полиномиальные функции от компонент вектора состояния). Такие модели являются типичными для электротехнических задач, в частности, для электропривода при учете его характерных нелинейностей. В указанной работе предложен метод решения для объектов (1) задачи оптимального управления по критерию качества «быстродействие-энергосбережение»

0

Данный метод предполагает выполнение следующих основных процедур.

1. Задача управления (1), (2) заменяется решением задачи аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) [2, 3] для ука-

Т

(2)

занного объекта с функционалом качества

то

I = |(Q(хх) + ги2 (г, (3)

о

причем положительно определенная функция Q(x1), являющаяся наиболее близкой к функции f(x1)=q*1(x1) при всех значениях аргумента за исключением точки х1=0, задается в форме полинома с четными степенями аргумента или дробно-рациональной функции вида

Q( х1) = qa х\! (1 + а х12) . (4)

Последнее предпочтительнее с точки зрения точности и, возможно, объема вычислений.

2. Определяется функция Беллмана S(X) для данной задачи АКОР как решение уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана (ГЯБ) вида

£ ^ • в. (X) 1=1 дхг ' 4г

^ д8(Х) дх

ь (х)

-Q (х1). (5)

стандартным методом степенных рядов [3].

3. Определяется квазиоптимальное управление по формуле

и (Х ) = -итах

£ . ь [X (г)]

Г г«-

2гитах =1 дх

тах

(6)

4. При моделировании синтезированной энергосберегающей системы, для которой константа г принимает строго определенное значение для адекватного расчета энергии сигнала управления, уточняется значение параметра q критерия качества: величина q постепенно увеличивается до момента достижения системой приемлемого быстродействия с допустимым перерегулированием. Если используется аппроксимация (4), то указанная процедура осуществляется совместно с уточнением величины ее параметра а.

5. На заключительном этапе оценивается точность решения задачи управления, определяемая величиной [£(Х0) - J(Х0)] / £(Х0), где 3(Х0) -

значение функционала (3), вычисленное на траектории движения синтезированной системы из начального состояния Х0 до конечного Х = 0. Если она не устраивает проектировщика, то п.п. 1-5 повторяются при повышенной точности аппроксимации функций Q(xl) и £(Х0).

В настоящей работе описанный метод синтеза оптимальных регуляторов конкретизируется, уточняется для случая применения функционала качества

Т

14 = Кq + ги2(г) + ги°р1 (г)У, q, г > 0, (7)

0

где иО (г) - оптимальное управление вида (6). Этот функционал качества

2

управления построен по аналогии с функционалом обобщенной работы (ФОР) А.А. Красовского [2, 3], который получил широкое распространение в теории АКОР.

Целесообразность применения критерия (7) связано с тем, что решение задачи АКОР по квадратичному функционалу качества (задачи Ле-това-Калмана) для многомерных объектов управления, как показал анализ существующих работ, представляет серьёзные трудности, связанные с необходимостью решения нелинейного уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана в частных производных относительно искомой функции Беллма-на. Более приспособленным к решению указанной задачи является метод А. А. Красовского [2-4]: применение функционала обобщённой работы (ФОР), оптимизация по которому, как показано, ничего не меняет в техническом существе требований, предъявляемых к движению оптимальной системы по сравнению с квадратичным интегральным функционалом, существенным образом облегчает нахождение оптимальных управлений вследствие линейности дифференциального уравнения в частных производных (уравнения Ляпунова), определяющего функцию Беллмана-Ляпунова и, соответственно, оптимальное управление.

2. Особенности применения метода синтеза при использовании

ФОР

В соответствии с основной теоремой А. А. Красовского [4], оптимальное управление, доставляющее минимум ФОР (7) с указанной заменой q=Q(x1) на решениях уравнений объекта (1), определяется выражением (6), в котором функция S (X) является вынужденным решением уравнения

£ • a, (X) = -0(x,). (8)

Уравнение в частных производных (8) (оно в литературе известно как уравнение Ляпунова), в отличие от уравнения ГЯБ (5) является линейным - в его левой части отсутствует квадратичное слагаемое. Эта особенность имеет принципиальное значение для синтеза оптимальных регуляторов: если для нелинейных объектов высокого порядка вычислительные трудности решения нелинейного уравнения (5) трудно преодолимы, то определение решения линейного уравнения (8) для тех же объектов не встречает больших затруднений.

Как следствие из указанной теоремы вытекает, что описанный в разделе 1 метод формально, практически без изменений, можно применить к решению задачи синтеза энергосберегающего управления объектами (1) по критерию качества (7): применение будет лишь отличаться меньшим объемом вычислений при выполнении процедуры 2 с использованием метода степенных рядов. Однако дальнейший анализ выявил существенные особенности синтеза энергосберегающих систем управления.

Особенности применения метода рассмотрим на примере простейшей задачи оптимального управления линейным объектом первого порядка

x(t) = ax(t) + bu(t), a = 1/T, b = K/T, |u (t)| < Umax. (9)

Для рассматриваемого реального электротеплового объекта параметры имеют значения K0 = 0.64 °C/B, T0 = 63 мин., Umax = 220 B, r = 1/59 1/Ом.

В соответствии с теоремой А.А. Красовского оптимальное управление в задаче (7), (9) описывается выражением (6), в котором функция Беллмана-Ляпунова удовлетворяет уравнению

dS (x)

dx

-ax = — q

Отсюда непосредственно находим производную (х)/Ух = — ^ах и соответственно оптимальное управление (6):

U ( x ) = —Umax Sat

^ b dS (x)^

2rUmax dx

i

= —Umsat

bq 1

2arUmax x

(10).

max max

Первая особенность синтеза оптимальной системы вытекает непосредственно из выражения (10): метод синтеза, в основе которого лежит определение функции Беллмана в форме степенного ряда, напрямую не применим к нахождению функции (10), имеющей полюс в точке х=0, в форме полинома. Для возможности применения описанного метода синтеза вынуждены применять аппроксимацию (4), которая предопределяет представление гиперболической функции дифференцируемой функцией вида

* (х) = 1 = М □ , (11)

хх 1 + ах

совпадающей при значении параметра а ^ то с исходной функцией.

Если учесть замену (11) и что, отклонение х(г) от заданного режима уг (уставки) определяется выражением х (г) = уг — у (г) (у (г) - выходная регулируемая переменная объекта), то оптимальное управление для задачи (7), (9) запишется в виде

U[ У (t)] = —Umax Sat

bq a (yz — У (t))

2arU max 1 + a (yz — y (t ))2

(12)

Результаты моделирования в пакете Mathcad 14 системы с управлением (12) при отработке задания х2 = 50 °С за время 70 мин. представлены на рис.1а.

Рис. 1. Процессы системы с управления а) (12): (1=67.85, ос = 5, Е=255.43 Вт*час, АЕ=32.2 %. б) (19): (¡=67.85, Е—377.645 Вт*час, АЕ=0 %.

Для сравнения укажем, что оптимальное управление объектом (9) по критерию (2) [5]

и(х)=-sat

ах

sign(x)

(13)

обеспечивает нагрев объекта за время Т=70 мин. до х: = 50°С с потреблением энергии Е5о=249.39 Вт*час. При этом согласно модели (9) объект при управлении u(t)=Um=220 В (прямой пуск печи) нагревается до температуры xz = 50°С за 27.6 мин. с использованием 376.98 Вт*час электроэнергии. Поэтому экономия энергии в сравнении с прямым пуском объекта при управлении (12) составляет ДЕ=32.2 %, а при управлении (13) - ДЕ=33.8 % Из данных результатов моделирования следует важный вывод: системы с законами обратной связи (12) и (13) с точки зрения энергосбережения практически эквивалентны. Подчеркнем, что данный вывод относительно управлений, оптимальных по критериям (2) и (7), подтвердился и при моделировании систем второго и третьего порядков - различие энергий составляло несколько процентов.

Имея точное решение (12) задачи управления (7), (9), исследуем особенности применения исследуемого метода (степенных рядов) в данной задаче.

2.1. Вариант 1 применения метода степенных рядов

В соответствии с теоремой A.A. Красовского функцию Беллмана-Ляпунова, определяющую управление (10), найдем решением дифференциального уравнения

dS(х) ах2

—^ах = —д---. (14)

ах 1 + ах

Функцию Беллмана-Ляпунова будем определять в форме ряда

Я (х) = А1 х + А2 х2 + А3 х3 + А4 х4 + А5 х5 + А6 х6 + • • • . (15)

Подставляем предполагаемое решение (15) в уравнение (14), предварительно умноженное на сомножитель (1 + ах2):

(А1 + 2 А2 х + 3 А3 х2 + 4А4х3 + 5А5 х4 + 6А6 х5 + •••) • ах(1 + ах2) = —дах2. (16) Для нахождения искомых коэффициентов Аг, г = 1,2,... функции Беллмана-Ляпунова составляем систему алгебраических уравнений приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях полиномов правой и левой частей уравнения (16):

х : аА1 = 0, х4: 4аА4 + 2ааА2 = 0,

х2: 2аА2 = —да, х5: 5аА5 + 3ааА3 = 0, (17)

х3: 3аА3 = 0, х6: 6аА6 + 4ааА4 = 0.

Решением системы уравнений (17) находим:

л ад аА2 2 аА4

А1 = А3 = А5 = 0, А2 =~, А4 , А6 =--Г1. (18)

2а 2 3

Таким образом, согласно (10) получаем следующее полиномиальное приближение управления

и(х) = —и 8а1

с ь л -(2 А2 х + 3 А3 х2 + 4 А4 х3 + 5 А5 х4 + 6 А6 х5 + •)

^ ' (19)

= —и$аХ

адЬ . 3 25

V 2агит

(х — ах + а х +—)

Моделирование системы с законом обратной связи (19) дает принципиально иное ее движение в отличие от системы с управлением (12) -сравни рис. 1а и 1б.

Прежде чем дать объяснение указанному существенному различию систем (парадоксу), приведем второй вариант применения степенных рядов в решении сформулированной задачи АКОР.

2.2. Вариант 2 применения метода степенных рядов Перед решением уравнения (14) в форме степенного ряда (15) разложим функцию (4) в ряд Тейлора. С этой целью, обозначив а = р2, г = (в х)2, воспользуемся геометрической прогрессией:

ах2 1

Q(х) =-- = ах2-= ах2 V (—г)к = ах2 V (—(вх)2)к = ах2 V (—а)кх2к. (20)

1 + ах 1 + г

2 1 --2V (—г)к = ах2V (—(вх)2)к = ах2V ^

к=0 к=0 к=0

В этом случае уравнение (16) принимает вид

(А1 + 2 А2 х + 3А3 х2 + 4 А4 х3 + 5 А5 х4 + 6 А6 х5 + —)ах = — д (ах2 — а2 х4 + а3 х6 + •••), а система (17) форму:

х : аА1 = 0, х4: 4аА4 = да2,

х2: 2аА2 = — да, х5: 5аА5 = 0,

х3: 3аА3 = 0, х6: 6аА6 = — да3.

Подчеркнем, что решение этой системы уравнений

А = А3 = А5 = 0, А к =— -^От1, к = 1,2,... (21)

2ак

совпадает с решением (18), т.е. данный вариант применения определяет то же самое управление (19).

Из сравнения указанных вариантов следует важный вывод 2, что хотя в первом варианте не использовалось разложение функции Q(x) в ряд Тейлора, но применение метода степенных рядов для определения функции Беллмана-Ляпунова соответствует использованию указанного ряда Тейлора в скрытом, неявном виде.

Данный вывод с учетом ограниченной области сходимости ряда (20) как геометрической прогрессии

г = рх < 1, х < 1/р = 1Д/а (22)

объясняет указанный парадокс. Действительно, для рассматриваемого примера параметры имеют значения 5 <а< 100, 10 < х < 150, что означает отсутствие области сходимости данного ряда и, соответственно, методическую необоснованность применения метода степенных рядов в решении задачи АКОР. Действительно, расходимость ряда (20), стоящего в правой части дифференциального уравнения (14), приводит к расходимости степенного ряда, описывающего вынужденное решение этого уравнения, т.е. функцию Я(х) и, соответственно, управление (19). На несостоятельность этого управления, обусловленную расходимостью ряда, и указывает проведенное моделирование системы с данным управлением.

2.3. Вариант 3 обоснованного применения метода степенных

рядов

С целью обеспечения сходимости ряда, описывающего функцию Беллмана-Ляпунова в рассматриваемой задаче оптимального управления, переформулируем последнюю на основе введения новой фазовой координаты объекта

— 1 —1 г (X)

г(Х) = — ^ х^) = —, хх(Х) = . (23)

хДО г1(Х) г^(Х)

Новая задача управления формулируется следующим образом: найти закон обратной связи, переводящий объект

г(X) = -аг(X) + Ьг2 (X)и(X), \и(X)| < Пт (24)

из состояния z(0)=z0 в состояние z(T)=zk с минимальным значением критерия

T i 2

14 =\\q ^ + ru 2(t ) + rulpt (t ) 0 l 7 + «z(t) j

л

dt.

(25)

L + az (t)

Для задачи АКОР (24), (25) условие сходимости (22) - z < l/\fa

выполняется: 1/150 < lA/löö.

В соответствии с теоремой А.А. Красовского решение последней задачи АКОР описывается выражением

u ( z ) = -Umsat

^ bz2 dS (z)Л

2rU„

dz

(26)

в котором функция Беллмана-Ляпунова S(z) удовлетворяет уравнению

dS(z), az2

-(-az ) = - q

dz

1 + az

2 '

(27)

На основе уравнений (26), (27) находим оптимальное управление

u ( z ) = -Umsat

a bq

3 Л

z

v 2arUm 1 + az

(28)

задачи АКОР (24), (25). Подставив в (28) координату (23) и устремив а ^ то, получаем оптимальное управление для исходного объекта

u ( x ) = -Usat

bq

2arU

z

-Umsat

m

bq

1

V 2arUm X У

V ту

что свидетельствует о состоятельности данного варианта решения задачи управления с использованием замены (23).

Подчеркнем, что уравнение (27) отличается от (14) только знаком

левой части. Поэтому решение задачи АКОР (24), (25) в форме степенного

ряда будет описываться соотношением

u(z) = -Umsat с коэффициентами

bz7

2rU

-(2 A2 z + 3 z2 + 4 A4 z3 + 5 A5 z4 + 6 A6 z5 + • • •)

A1 = A3 = A5 = 0, A2 k =

(-a )kq

2 ak

k = 1,2,..

Для исходного объекта на основе (29), (23) получаем управление

u ( x ) = -Umsat

с b f 11 3 f 11 5 f 11 7 \

2 A2 + 4 A 4 + 6 A 6

2rUm V m V x У V x У V x У У

1

a x

x

1 + ax

2

(29)

(30)

(31)

Моделирование системы с данным законом управления дало переходные процессы, которые визуально не отличаются от процессов рис. 1а оптимальной системы, хотя она расходует несколько большее количество энергии (277.01 Вт*час против 255.43 Вт*час).

Таким образом, в отличие от задач быстродействия, исследуемых в [1], при решении задач энергосберегающего управления целесообразно использовать замену координат (23), обеспечивающую сходимость степенных рядов. При этом укажем, что применение в рассматриваемой задаче энергосберегающего управления вместо преобразования координат (23) более простого линейного преобразования z1(t) = Кх^) с коэффициентом K □ 1 не обеспечило сходимость используемых степенных рядов - получились результаты, совпадающие с результатами, указанными на рис. 1 б. На этом основании можно сделать вывод: обеспечить сходимость степенных рядов в задачах оптимального энергосбережения возможно, как правило, за счет применения нелинейных преобразований фазового пространства объекта управления, в частности, замены (23).

Очевидно, что контролировать сходимость ряда, аппроксимирующего функцию Беллмана-Ляпунова, необходимо при решении любой задачи оптимального управления. Однако подчеркнем, что задачи быстродействия являются, как правило, менее чувствительными к величине области сходимости рядов, чем задачи энергосбережения. Это связано с принципиально различными характерами изменения сигналов управления в системах быстродействия и энергосбережения: при большом значении ошибки регулирования управление быстродействующей системы принимает предельное значение ±Цтах, а сигнал энергосберегающей системы, наоборот, по возможности наименьшее по модулю значение; при малых значениях ошибки регулирования - картина обратная. Соответственно, меньшую чувствительность квазиоптимальной быстродействующей системы качественно можно объяснить следующим образом. Расходимость степенного ряда естественно проявляется при больших отклонениях системы от заданного режима, но если за счет обратных связей квазиоптимальная система в этом случае работает принципиально правильно, то возникает управление ±Цтах нужного знака, приводящее к уменьшению ошибки регулирования. Таким образом, система управления при указанных условиях будет оптимально работать до следующего момента переключения. Так как первый интервал отработки большой ошибки часто бывает более продолжительным чем последующие, то на нем ошибка может существенно уменьшиться и фазовые координаты системы попадут в область сходимости ряда и поэтому в дальнейшем система управления будет функционировать оптимальным образом. При этом подчеркнем, что описанный выход системы из области сходимости на первоначальном интервале управления практически не сказывается на оптимальности ее движения. Для энергосберегающих систем управления характер движения и зависимость чувст-

вительности принципиально иные, что часто требует применения специальных мер по обеспечению сходимости степенных рядов.

3. Достаточное условие сходимости степенных рядов Условие сходимости (22), полученное для задачи управления объектом первого порядка, обобщим на нелинейные объекты (1) более высокого порядка. Для них синтез оптимального регулятора по критерию обобщенной работы (7) сводится к решению линейного уравнения в частных производных

ЖУ . .(X) = (32)

V дХ ^ 1 + ах1

Предполагая, что объект управления является устойчивым, найдем решение уравнения (32) методом прогнозирующей модели [4], который основан на использовании соотношения

2,

5(X.) = /, <Ь, (33)

Ц + ах и, ХА)

а х1 (t, X.) + ах2^, X.)

где х1^, X.) - решение в форме Коши системы дифференциальных уравнений X) = А[X)] (прогнозирующей модели объекта) с начальным условием Х(0) = Хо относительно координаты х().

Из выражения (33) с учетом того, что применение метода степенных рядов соответствует разложению функции ах2/(1 + ах12) в ряд Тейлора

с областью сходимости (22), непосредственно следует: вне области (22) подынтегральная функция и сам интеграл (33) принимают бесконечно большие значения. Для обеспечения конечных значений интеграла (33) достаточно принадлежности функции х1^,X.) области (22). Таким образом, доказано следующая теорема: решение задачи АКОР для устойчивого объекта управления (1) с функционалом обобщенной работы (7) в форме степенного ряда сходится в области X. е QX, для которой решения

х1 (¿, X.) прогнозирующей модели принадлежат области (22).

Как следствие из данного теоремы вытекает, что если состояние объекта оценивается вектором с компонентами

х1 > 1/л/а, х2 = •••,хп = ., то степенной ряд, аппроксимирующий функцию Беллмана-Ляпунова, будет расходиться, т.е. метод степенных рядов в решении задачи АКОР не применим.

В соответствии с полученными результатами можно уточнить метод синтеза [1] включением в него дополнительной процедуры под последовательным номером 2, заключающейся в проверке условий сходимости

степенного ряда в соответствии с доказанной теоремой и, если необходимо, осуществления нелинейного преобразования (23) координат объекта.

Список литературы

1. Соловьев А.Э., Ловчаков Е.В. Метод синтеза квазиоптимальных систем управления по критериям быстродействия и энергосбережения. // Известия ТулГУ. Технические науки. - 2011. - Вып. 5. - С. 220-230.

2. Колесников А.А. и др. Современная прикладная теория управления. Часть 1. Оптимизационный подход в теории управления. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000. - 400 с.

3. Красовский А.А. и др. Справочник по теории автоматического управления. - М.: Наука, 1987.

4. Красовский А.А., Буков В.И., Шендрик В.С. Универсальные алгоритмы оптимального управления непрерывными объектами. - М.: Наука, 1977. - 272 с.

5. Ловчаков В.И., Ловчаков Е.В., Сухинин Б.В. Энергосберегающие управления электротехническими объектами. // Электрика - 2009. - №12. -С. 7-13.

E. V. Lovchakov, A.M. Sapozhnikov

METHOD OF POWER SERIES IN SOLVING OPTIMAL ENERGY-SAVING CONTROL CRITERIA OF GENERALIZED

For a wide class of objects with polynomial nonlinearities propose a method for the synthesis of quasi-closed systems of governance by the criterion of minimizing the energy of the control signal and transient systems. This method is based on replacing the control solution of this problem solving the corresponding analytical design of optimal controller for the object in a certain way, given the generalized functional work - functional type AA Krasovsky. To solve the latter problem is modified by well-known method of power series, which allows you to receive a number of approximations to the optimal control with increasing accuracy and, accordingly, complexity.

Key words: phase space control systems, polynomial nonlinearity, the criterion of energy conservation, the functional generalization of the work, the problem of analytical design of optimal controller (AKOR).

Получено 17.05.12