CC BY
131
СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
УДК 681.513
СКОЛЬЗЯЩИЕ РЕЖИМЫ В ОПТИМАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИ ПО КРИТЕРИЯМ ТОЧНОСТИ ОТ ЭНЕРГОСБЕРЕЖЕНИЯ
ДО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ
Б.В. Сухинин, В.В. Сурков
Рассматривается «физический» подход к решению задачи аналитического конструирования оптимальных по точности регуляторов на основе функции переключения. Указанный подход позволяет достаточно просто осуществлять синтез систем управления по критериям точности от энергосбережения до быстродействия.
Ключевые слова: метод граничных состояний, пространство граничных состояний, функция переключения, системы дистанционного наведения и слежения.
Знание некоторых принципов легко возмещает незнание некоторых фактов.
К. Гельвеций
Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов (АКОР) по критерию обобщенной работы А. А. Красовского [1], без сомнения, является наиболее приемлемым для инженерной практики. Однако и этой теории присущи известные недостатки, например, трудность применения к нелинейным объектам или получение оптимального быстродействия.
Существенная трудность решения общей задачи АКОР связана с использованием интегральных критериев. Основной недостаток применения методов АКОР с прикладной, инженерной точки зрения - это итерационный характер процедуры при подборе весовых коэффициентов критериев. Только в весьма редких случаях удается с первого раза выбрать целесообразную форму и структуру критерия качества, который бы удовлетворял желаемой совокупности инженерных требований к системе.
Большинство разработчиков при анализе и синтезе оптимальных систем предпочитают использовать определенные, имеющие ясный физи-
187
ческий смысл критерии качества управления, например, такие, как критерий быстродействия, точности, минимума расходов ресурсов (топлива, энергии, вещества и т.д.). Сокращение продолжительности переходных процессов при регулировании многих технологических объектов повышает производительность агрегатов, а увеличение точности отработки системой задающих воздействий улучшает качество продукции, что позволяет получить значительный экономический эффект.
Основы теории АКОР по критериям точности
Общим признаком приведенных критериев качества является их
независимость в явной форме от управления [2]:
т
I = | Бо(Х)ё1, Бо(Х) > 0, (1)
о
(в частном случае при ^(Х) = 1 - критерий быстродействия), минимизация
критериев (например, с помощью метода динамического программирования Р. Беллмана или принципа максимума Л.С. Понтрягина) обеспечивается идеальными релейными управлениями [2]:
и = -Б^п (у(Х)), |и| < 1, (2)
где у(Х) - искомая функция переключения, причем у(Х) = 0 - поверх-
т
ность переключения, Х = (х1,х2,...,хп) - вектор-столбец переменных параметров (фазовый вектор или вектор состояния) динамического объекта, п - количество параметров (порядок объекта или количество дифференциальных уравнений объекта в форме Коши).
Для простоты изложения, не влияющего на сущность задачи, будем рассматривать объект с одним управляющим воздействием, уравнение возмущенного движения (теория А.М. Ляпунова) которого
Х = А(Х) + В(Х) • и, (3)
. т
где Х = (X 1,хх2,...,Хп) , X1 = ёх^Л, 1= 1,2,...,п, А(Х) - матрица-столбец с
элементами а^Х) °а1(х1,х2,.,хп), представляющими собой нелинейные
т
однозначные функции; В(Х) = (Ь1,Ь2,к,Ьп)1, Ь1 = 0,Ь2 = 0,...,Ьп-1 = 0, Ьп *0.
Стандартное решение задачи подразумевает подстановку управления (2) в уравнение Беллмана (метод динамического программирования) или гамильтониана (принцип максимума Л.С. Понтрягина), что приводит к необходимости решать либо нелинейное уравнение Беллмана в частных производных, либо нелинейную двухточечную краевую задачу, причем для конкретного критерия качества. Поскольку такие решения представляют известные математические трудности и не всегда понятны инженерам, будем искать не оптимальное управление и, а функцию у в управле-
нии (2).
Методы и алгоритм решения
Решение задачи основано на использовании основного функционального уравнения относительно искомой функции переключения. Для его получения найдем скорость проникновения [1] с учетом уравнений объекта (3), или, проще говоря, найдем производную
у (X) = ^ = X, + ^ X 2 +... + ^ X п = О ■ XX = ОА + ОБи.
& Эх1 Эх2 Эхп
Здесь О = g1 = Эу/Эх1, g1 ф 0, а управление и определяется
формулой (2). Для сокращения записи обозначим f (X) = ОА и ф(Х) = ОБ :
у(Х) = О • X = ЦХ) + ф(Х) • и. (4)
Функциональное дифференциальное уравнение (4) справедливо во всем фазовом пространстве, поскольку оно является обобщенным уравнением объекта (3), т.е. уравнение (4) эквивалентно уравнениям (3) и устанавливает связь между уравнениями (3), искомой функцией переключения, оптимальным управлением (2) и функциями ЦХ) и ф(Х), требующими своего определения.
Теорема. Если управление (2) переводит устойчивый объект (3) или эквивалентный ему объект (4) из начального состояния Х(0) = Х0 (у(Х0) = у0) в конечное нулевое Х(Т) = 0 (у(0) = 0) и доставляет на траекториях движения объекта минимум критерию точности (1) при ограничении на управляющий сигнал |и| £ 1, т.е. если управление оптимально, то выполняется условие
|ДХ)| £ ф(Х). (5)
Теорема допускает обращение. Если выполняется условие (5) и объект устойчив, то управление (2) оптимально.
Доказательство теоремы. Пусть управление (2) оптимально, следовательно, оно переводит и удерживает объект на поверхности переключения у(Х) = 0, а поскольку у(0) = 0 и объект устойчив, то управление (2)
переводит его в конечное нулевое состояние. Из функционального уравнения (4) следует, что объект можно удержать на поверхности переключения у(Х) = 0 только за счет изменения знака производной от функции переключения под действием управления (2). Это означает, что должно выполняться условие (5).
Пусть условие (5) выполняется. Тогда управление (2) переводит объект на многообразие у(Х) = 0 и удерживает его на многообразии, а в силу того, что объект устойчив и у(0) = 0, управление (2) переводит объект по многообразию в начало координат, т.е. управление (2) оптимально по критерию точности (1).
Таким образом, для того, чтобы управление (2) было оптимальным,
необходимо и достаточно выполнения условия (5). И для того, чтобы условие (5) выполнялось, необходимо и достаточно оптимальности управления (2).
Следствие. Из условия (5) следует, что функция ф(Х) в уравнении (4) должна быть положительно определенной, т.е. ф(Х) > 0.
При произвольной функции ф(Х) * 0, уравнение (4) и соответственно уравнение (3) могут быть преобразованы так, чтобы функция при управлении и(1) была бы положительно определенной. Действительно, подставляя функцию ф(Х) , представленную в виде ф(Х) =| ф(Х) | •sign[ф(X)], в функциональное уравнение (4) и обозначая
и* = и • sign(ф), (П.1)
получим уравнение (4) в виде
у(Х) = ЦХ)+1 ф(Х) | •и*. (П.2)
Пусть условие (5) для уравнения (П.2) выполняется т.е.
|ЦХ)|<|ф(Х)|. (П.3)
Поскольку управление и* удовлетворяет ограничению |и| < 1 и уравнение (П.2) аналогично уравнению (4), то в соответствии с теоремой
и* = . (П.4)
Решая совместно уравнения (П.1) и (П.4), получим закон оптимального управления объектом (3) для случая любой функции ф(Х) * 0:
и = и* • sign(ф) = • ф), (П.5)
Подставляя (П.5) в (3), получим преобразованные уравнения объекта
Х = А + Вт • sign(GB) • и*. (П.6)
Для оптимального управления объектом (П.6) необходимо и достаточно выполнить условие теоремы, причем само оптимальное управление определяется формулой (П.5). Будем в дальнейшем предполагать, если не оговорено специально, что функция ф(Х) удовлетворяет условию теоремы.
Приведенная теорема позволяет предложить, следующий алгоритм решения задачи АКОР для устойчивых объектов.
1. Относительно искомой функции переключения у(Х) записывают функциональное уравнение (4) с учетом уравнений объекта (3).
2. Выбирают (например, произвольно или из некоторых физических соображений) функции матрицы G так, чтобы условие (5) выполнялось или обеспечивают выполнение условия (5), например, используя метод подчиненного управления.
3. Интегрированием уравнения (4) определяют функцию у(Х) и оптимальное по точности управление.
Замечание 1. Из теоремы следует, что для определения оптимального управления по критерию (1) необходимо и достаточно выполнить единственное условие (5) в виде нестрогого неравенства, для выполнения которого, очевидно, существует бесконечное множество решений, среди которых два граничных решения: при ЦХ) = 0 для критерия расхода "сигнала управления" или при (Х)| = ф(Х) для критерия быстродействия не
осциллирующих систем [2].
Замечание 2. Назовем условие (5) необходимым и достаточным условием управляемости оптимальной системы с устойчивым объектом. Можно показать, что оно является и условием устойчивости оптимальной системы.
Замечание 3. Из-за того, что функционал (1) записан в достаточно общем виде, следует, на наш взгляд, несущественный недостаток предлагаемого подхода: трудность определения конкретного вида функционала качества, соответствующего найденному оптимальному по точности управлению (за некоторым исключением среди которых энергосберегающий критерий расхода "сигнала управления" или критерий быстродействия).
Пример АКОР - станции дистанционного слежения и наведения оптических приборов
Силовая часть привода постоянного тока станции может быть представлена следующими уравнениями в форме Коши:
ф = К р -а>д; ^ =
Л р д Л СФ • Тм д
^ = _±.1д+ и ;| и |£ 1. (6)
Л Тя д Яя • Тя д Яя • Тя '' ' '
Здесь Х = (1д, юд, ф) — переменные параметры привода: соответственно
ток, скорость, угол поворота выходного вала. Остальные параметры - постоянные.
С целью упрощения получения оптимального закона управления будем считать, что уравнения (6) записаны в отклонениях, т.е. это уравнения возмущенного движения объекта.
Далее действуем по приведенному алгоритму.
1. Получим функциональное уравнение (4), для чего умножим первое уравнение объекта (6) на g1, второе - на g2, третье - на g3 и сложим:
у(Х) = ^ (7)
Л Л Л
Подставим в уравнение (7) уравнения объекта (6):
R
y(X) = gi • кр w + g2 • —я- • L + g3 •
СФ
.
T • .д
СФ
U
л
д
R я • Тя
д R„ • T.
u
я ^я J
• (8)
Из уравнения (8) следует, что в данном случае
f(X) = gi • кр •Юд + g2 •
СФ • Т
• .д + g3 •
м
_ • T • .д
V тя
СФ
--Юд
R„ • Т д
яя
у
j(X) = g3
R я • Тя
2. Выполняем условие (5). Выбираем g1, g2, g3 так, чтобы функция ЦХ) оказалась равной нулю (в данном случае это легко выполнить):
gi = 1 g2 = Кр • Тм >
g3 =
R я • Тя • К р
р ^ СФ
3. Интегрирование уравнения (7) с известными (постоянными) значениями g1, g2, g3 при условии у(0) = 0 (поверхность переключения должна проходить через начало координат) позволяет получить функцию переключения и оптимальное управление (2) в отклонениях
u
-sign
R я • Тя • К р Ф + Кр • Тм •Юд + я я р • i
СФ
д
(9)
На рис. 1 приведены результаты моделирования переходных процессов объекта (6) с управлением (9).
Рис. 1. Переходные процессы для объекта (6) с управлением по закону (9)
На рис.1 для управляющего сигнала не показан скользящий режим с теоретически бесконечной частотой переключения, возникающий при достижении системой поверхности у = 0. Действительно, из функционального уравнения (4) следует, что при ^Х) = 0 (в данном примере) при достижении системой поверхности у = 0 производная у = 0 и управляющий сигнал при движении вдоль поверхности переключения и2 = -£*(Х)/ ф(Х) = 0, однако вследствие неидеальности реле (при моделировании вследствие конечной точности вычислений) управление изменяет знак несколько позже, чем изменяется знак у , что приводит к появлению скользящего режима со средним управляющим сигналом, равным нулю.
Вводя в управление (9) задание по углу, получим
и =
Фзад-Ф-К р Т
м «д
К я ' Тя ' К р
(10)
т - А СФ
Структурная схема привода (6) с управлением (10) приведена на
рис. 2.
Рис. 2. Структурная схема системы управления приводом с регулятором положения
Особенностью рассматриваемой станции слежения является необходимость наведения по двум координатам (два привода - вертикального и горизонтального каналов): в скоростном и угловом режимах, что реализовано с помощью метода подчиненного управления (рис. 3).
Другая особенность оптимальной по точности системы связана с наличием скользящих режимов работы. Поскольку скользящие режимы характеризуются сравнительно высокой частотой переключения (порядка
десятка килогерц), внутренний контур (скоростной) системы выполнен на аналоговой схемотехнике, которая наиболее пригодна для организации скользящих режимов, а внешний (угловой) — на цифровой (процессорной), служащей одновременно для дистанционного управления приводами по CAN - интерфейсу.
Рис. 3. Функциональная схема оптимальной по точности системы дистанционного наведения станции оптических приборов
Проведенные исследования на макете станции (рис. 4) показали, что точность наведения на цель составила величину, не превышающую значения младшего разряда АЦП, соответствующего 1,3 угловым минутам. Диапазон угловых скоростей изменялся от практически нулевой скорости до номинальной.
Рис. 4. Макет оптимальной по точности системы дистанционного наведения станции оптических приборов
Заключение
В данной статье рассмотрен пример одного крайнего частного случая АКОР по критерию точности и одновременно по критерию минимума "расхода сигнала управления" (критерию энергосбережения), однако, почему система будет оптимальна по такому критерию, не показано из-за ограниченности объема статьи. Приведенный алгоритм АКОР настолько прост в использовании, что может быть применен к системам высокого порядка, в том числе нелинейным. Не менее труден для понимания и второй крайний частный случай АКОР по критерию точности и одновременно по критерию "быстродействия", при этом в условии (5) нельзя использовать знак меньше. В общем случае всегда можно получить решение, расположенное между двумя упомянутыми граничными.
Список литературы
1. Красовский А. А. Аналитическое конструирование контуров управления летательными аппаратами. М.: Машиностроение, 1969. 240 с.
2. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов по критериям точности, быстродействию, энергосбережению / В.В. Сурков [и др.]. Тула: Изд-во ТулГУ, 2005. 300 с.
Сухинин Борис Владимирович, д-р техн. наук, проф, зав. кафедрой, ivts. tulgu@rambler. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Сурков Виктор Васильевич, д-р техн. наук, доц., проф., ivts.tulgu@rambler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
SLIDING MODES IN OPTIMUM CONTROL BY CRITERIA OF ACCURACY FROM POWER SAVINGS TO SPEED
B.V. Sukhinin, V.V. Surkov
"The physical" approach to the decision of a problem of analytical designing of optimum regulators on accuracy on the basis of switching function is considered. The specified approach allows to carry out simply enough synthesis of control systems by criteria of accuracy from power savings to speed.
Key words: a method of boundary conditions, space of boundary conditions, function of switching, system of remote prompting and tracking.
Sukhinin Boris Vladimirovich, doctor of technical sciences, professor, head the chair, ivts. tulgu@rambler.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Surkov Victor Vasilevich, doctor of technical science, docent, professor, ivts. tulgu@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State university.
