Синтез квазиоптимальных по быстродействию систем управления высокого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

7. Гэри М. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М.: Мир, 1982. 304 с.

8. Симанков В.С. Генетические алгоритмы и поиск оптимальных решений // Автоматизация и современные технологии. 2003. № 6. С. 39-45.

9. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. СПб: Питер, 2001. 304 с.

10. Романовский И.В. Дискретный анализ. СПб.: Невский диалект, 1999. 254 с.

V.A. Fatuev, V.A. Kovehnikov

PILOT STUDIES OF UNIVERSAL ALGORITHM SLUCHAYNO-GENETICHESKOY OF OPTIMIZATION

Results of pilot studies casually - genetic algorithm are considered. In qualities of dough known tasks of the direct-sales representative with the casual points located on a direct circle and the plane are used.

Key words: genetic algorithm, task of the direct-sales representative, parametrical optimization, uncertainty, test functions.

Получено 20.01.12

УДК 681.513

В.И. Ловчаков, д-р техн. наук, проф., 8(909)262-05-82, lovvi50@mail.ru (Россия, Тула, ТулГУ),

А.М. Сапожников, асп., 8(920) 270-94-28, cpandemonium@gmail.com (Россия, Тула, ТулГУ)

СИНТЕЗ КВАЗИОПТИМАЛЬНЫХ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

Для линейных объектов высокого (n) порядка разрабатывается метод синтеза замкнутых систем управления, квазиоптимальных по критерию быстродействия. Данный метод основан на замене решения задачи быстродействия решением соответствующей задачи аналитического конструирования оптимального регулятора для рассматриваемого объекта по заданному определенным образом критерию качества, являющимся аналогом функционала обобщенной работы А.А. Красовского. Решение последней задачи найдено аналитически методом прогнозирующей модели.

Ключевые слова: система управления, фазовое пространство, критерий быстродействия, задача аналитического конструирования оптимального регулятора (АКОР), функция Беллмана-Ляпунова.

1. Постановка задачи исследования

Определение оптимального по быстродействию управления в форме обратной связи для объектов высокого порядка представляет собой сложную и далеко не решенную в проблему [1]. Для этих задач оптимального управления характерно, что их аналитическое решение с помощью класси-

ческих методов (принципа максимума Л.С. Понтрягина, динамического программирования Р. Беллмана) удается получить лишь в редких случаях. В связи с этим в современной теории управления разработаны различные способы нахождения аппроксимационного решения задачи оптимального быстродействия, результат которых называют квазиоптимальным управлением.

В работе предлагается новый метод конструирования квазиопти-мальных по быстродействию регуляторов для линейных объектов высокого (п > 3) порядка

х а) = а ■ х а)+в ■ ), \и (()| < (1)

где X(?) = (х1(?),..., хп(?))Т - вектор фазовых координат объекта (фазовые

координаты имеют физический смысл отклонений от заданного желаемого

состояния объекта), и (?) - управляющее воздействие, ограниченное значением итах, А, В — матрицы параметров объекта размерности пхп и пх1.

Метод основан на использовании результатов теории аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) по функционалу обобщенной работы (ФОР) А.А. Красовского [2] и результатов решения так называемой задачи быстродействия одной координаты (БОК) [3].

Задача БОК формулируется следующим образом: найти управление в форме обратной связи и(Х), переводящее объект (1) из начального состояния Х(0) = Х0 в целевую область

\Х1(Т)| <8^ (2)

за минимальное время Т, причем при t > Т синтезируемая замкнутая система управления остается в области (2).

Подчеркнем, что данная задача, в которой значения координат х2(Т), х3(Т),...,хп(Т) непосредственно не ограничиваются, имеет большое инженерное значение. Действительно, при е1 = 0.05 введенное время Т совпадает с определением времени переходного процесса системы в классической теории автоматического управления [4]. В связи с этим задачу БОК можно рассматривать как задачу конструирования системы управления с минимальным инженерно определяемым (через параметр точности е1) временем регулирования.

Для решения задачи БОК в работе [3] предложен подход сведения этой задачи управления к решению задачи АКОР для рассматриваемых объектов (1) по следующему функционалу качества:

dt ^ тт (3)

'11 = || (Х1(0/81К +у[Х(^и(^]

о

со значением целочисленного параметра q = 1,2,3,__ достаточно большим

(в пределе q ^ ю), причем специальным образом выбираемая функция у(Х,и) является положительно определенной и гарантирует устойчивость

ю

синтезируемой замкнутой системы и, соответственно, невыход ее из области |х, (t )| ^ при t > T.

В указанных работах данный подход синтеза обоснован только геометрическими и физическими аргументами, что не является строгим доказательством подхода. Настоящая работа посвящена аналитическому обоснованию перехода от сформулированной задачи БОК к задаче АКОР с критерием качества, являющимся аналогом ФОР А.А. Красовского:

\2 q

dt ^ min , (4)

32 = || (х1^)/е1 ) * + ги^) + гиор<()

0

где г > 0 - весовой коэффициент критерия.

2. Взаимосвязь задач быстродействия, БОК и АКОР

Воспользуемся результатом работ Красовского Н.Н., Кирилловой

Ф.М. и Петрова Ю.П. [4], в которых доказана возможность замены огранит

чения |*(* )\ < 1 ограничением | х2а (^)dt < Т с последующим переходом к

0

пределу ц ^ да. Для подтверждения эквивалентности указанной замены ограничений вслед за Петровым Ю.П., заметим, что условие

\х(* ^ =1 (5)

эквивалентно условию

т

lim Г х2а (^)dt = Т. (6)

д^-да J 0

Действительно, если |х^)| > 1, то х2а (t) ^ да при ц ^да и интеграл стремится к бесконечности; если же наоборот, хотя бы на небольшом интервале времени |х^)\ < 1 то х2а ^^ 0 и значение интеграла будет меньше Т. Отсюда следует, что условие (1.6) будет выполняться только при |х^ )| = 1.

Отметим, что в задаче БОК конечное условие |х1 (т )| <В, с учетом положительности константы е1 равносильно условию |х1 (t V< 1 , причем строгое равенство

|х1 (t)/е^ = 1, t > Т (7)

не противоречит граничным условиям задачи БОК. Также подчеркнем, что синтезируемая система управления за счет обратных связей должна обеспечивать уменьшение начального отклонения сначала до единицы

х^) ^ 1, а в дальнейшем и до нуля. На этом основании заменяя условие (7)

в соответствии с эквивалентными равенствами (5) и (6) условием

т

Кт Г(х1 ^)/е1) ^ dt = Т,

а^-да * ' '

0

приходим к выводу, что в задаче БОК функционал качества

138

Т

Ш1П

(8)

0

при q ^ да приближается к критерию быстродействия Т ^тт. Таким образом, сформулированной задаче БОК можно поставить в соответствие следующую вариационную задачу 1: найти для объекта (1) управление в форме обратной связи, переводящее его из начального состояния Х(0) = Х0 в конечное нулевое X (Т) = 0 с минимальным значением функционала (8).

Данная задача известна в литературе [5] как аналог задачи Фуллера. Подчеркнем, что задача Фуллера была сформулирована и аналитически решена для объекта, представляющего собой двойной интегратор. Ее решение для объектов более высокого порядка, как и решение задачи быстродействия, представляет серьезные сложности и в настоящее время неизвестно. В связи с этим обстоятельством указанная задача была переформулирована в вариационную задачу 2: найти для объекта (1) управление в форме обратной связи, переводящее его из начального состояния Х(0) = Х0 в конечное X(Т) = 0 с минимальным значением функционала (4) вида

А.А. Красовского.

Целесообразность применения ФОР (4) определяется тем, что применение функционала обобщённой работы, оптимизация по которому практически не изменяет существо технических требований, предъявляемых к движению оптимальной системы по сравнению, например, с квадратичным интегральным функционалом, существенным образом упрощает нахождение оптимальных управлений вследствие линейности дифференциального уравнения в частных производных, определяющего функцию Беллмана-Ляпунова и, соответственно, оптимальное управление. Действительно, согласно с основной теоремой А. А. Красовского [2], оптимальное управление, доставляющее минимум ФОР (4) на решениях уравнений объекта (1), определяется выражением

в котором функция £(X) является вынужденным решением уравнения

Уравнение в частных производных (10) (уравнение Ляпунова) является линейным, что для нас при синтезе оптимального управления имеет принципиальное значение: для устойчивых линейных объектов (1) решение уравнения (10) может быть найдено аналитически методом прогнозирующей модели [2].

(10)

3. Решение задачи БОК

Метод прогнозирующей модели основан на использовании соотно-

шения

5(Х0) = КХ1 (і>Х0)/в, )29 ^ >

(11)

где Х1 (?, Х0) - решение системы дифференциальных уравнений (1) относительно координаты х() с начальным условием Х(0)=Х0 и нулевым сигналом управления (движение прогнозирующей модели объекта). Для объектов (1) с вещественными корнями это решение представляется в виде

П

х,(і,Xо) = VСе-і1Т-,

0

і=1

(12)

где Т - постоянные времени объекта, С — постоянные интегрирования, определяемые исходя из заданных начальных условий объекта Х0. Если

используется

канонический

Т

вектор

состояния

X(?) = (хД?), х1(1)(?), х[2)(?),...,х[п ^(?)) , ния определяется выражением

то вектор постоянных интегрирова-

Г 1 1 1 " 1 1

-1/ т -1/Т2 -1/ Т3 " -1/Т п

С (X 0) = 1/ *2 1/*22 1/ Т32 " 1/Тп2

ч (-1/ т^-1 (-1/ Т2)п-1 (-1 / Т3)п-1 " (-1/ Тп)п-1 ,

• X - D • X • (13)

Для объекта (1), рассматриваемого в каноническом фазовом пространстве, согласно (11) - (13) находим

Л29 ^ -I П Л2Ц-1С П \

д5(Х) 1 д

дх„ в29

в29 д*

IIV с,-*

п 0 V і=1 у

л=29 дт/(V сі (х *

і/Т

У

е

-і/Т

V і=1

dt • (14)

у

Р29 дХ ,

Ь1 0 V /=1

Воспользовавшись обобщенной формулой бинома Ньютона, рассмотрим сомножитель

-\2д-1 I —

[С 1

т=91 + 92 + +9п

е-і/Т1+ ... + с„е-і/Т- ]’~-(С1+••• + Сп)"' = V

т!

91,92к,?п =0 9і!92!"' 9п !

С 91С92 С

С1 С2 С)

(15)

где Ц1, ц2,..., цп - произвольные целые числа, сумма которых равна т. Введем в рассмотрение коэффициенты

А(9„ 92>•"> 9п) =

(т +1)

Є _ 9і/Т1 * _ 92і/Т2

Г п

V <

іп

V і=1

-і/Т

0

С их использованием на основе выражений (14), (15) получаем

dt

о

0

о

е

д&_

дх4

,2 д

2 д-1-д +?2+--+д„

X л^,-д„ )сд (X )С?Ч х )- сд (X)

Чі,Ч2,к,дп-о

и соответственно общий вид оптимального управления (9) для рассматриваемых объектов:

и(X) - -и sat

V / тах

Ь

2гП Р2д

и тах 1 ді,Я2>к,дп-0

2 д-1- д1 + д2 +'” + дп

X Л( д, ,?2Ч„ )с,д'( X) сд (X) - С (X)

(17)

На основании изложенного можно предложить следующий метод решения задачи 2, а соответственно и задачи БОК:

1) находится движение заданного объекта (1) согласно выражениям

(12), (13);

2) рассчитываются значения коэффициентов (16) производной функции Беллмана-Ляпунова;

3) находится оптимальное управление (17) задачи 2;

4) предельным при г ^ 0 переходом в данном управлении определяется решение задачи 1 - квазиоптимальный по быстродействию закон обратной связи

и ( X ) - итах ^ёп

2 д-1-Яі+Я2 +-"+Яп

X Дд^

д„д2,...,д„ - 0

■дп )сд (X )сд2( X)-сд (X)

. (18)

Исследуем особенности предложенного метода синтеза на примерах.

3.1. Решение задачи БОК для объекта первого порядка

Рассмотрим устойчивый апериодический объект, описываемый дифференциальным уравнением

х ^) = ах ^) + Ьи (;), а = 1/ Т1, Ь = К/Т1,

где Т - постоянная времени объекта, К - его коэффициент передачи.

Для данного объекта х1 (?, Х0) = х(?) = х0е—/Т и соответственно функция Беллмана-Ляпунова определяется соотношением

^ 2 ^ 2 'Т'

8 (хо) = | (х1(^ х oV е1)4 ж=| (хое"'/Т7 £1)4 ж=2^ ■( хо/е1 V,

а управление выражением

и(х) - итах

1

дS

2ги„„„ дх

• Ь

-и тах

К

2 гП

2д-1

Осуществляя в данном выражении предельный при г ^ 0 переход, с уче-

том положительности величин е1 > 0, (х)24 > 0 окончательно получаем

1

0

0

известное оптимальное по быстродействию управление u( x) = — Umax sign [ x], что свидетельствует о работоспособности предложенного метода синтеза.

3.2. Решение задачи БОК для объекта второго порядка

3.2.1. Случай различных вещественных корней

Рассмотрим устойчивый объект, представляющий последовательное соединение двух апериодических звеньев

T1T2x(t) + (T + T2)x(t) + x(t) = Ku(t), модель которого в каноническом фазовом пространстве задается дифференциальными уравнениями

X1(t) = X2(t X

X2(t) = aiX1(t) + a2X2(t) + bu(tX |U(t^ ^ Umax

с параметрами a, =-1/T|T2, a2 = -(1/T| + ifT2), b = K/T1T2

(19)

Свободное движение объекта (19) (u(t)=0) описывается уравнениями

—і

С С

Х1 (г) = С.е""^ + С2^'\ Х2^) = Xl(t) = -±е-7 - Т-е-?/Т2, (20)

71 7 2

в которых постоянные интегрирования определяются выражениями

С,(Х0) = Т,(х,0 + Т2Х20)/(Т - Т2), С2(Х0) = Т2(х,0 + 7;хю)/(Т - Т.). (21)

Найдем производную функции Беллмана-Ляпунова (11):

= А|(х_ (t,х)/Е,)24 Лг =-^}(С.(X)е-'/Т1 + С2(X)е-'7 )24 л =

дх2 дх2 0 ох2'0х 7

2 2 0 2 0 (22)

= 2^ , /(С,(х)е-"Т1 + С2(х)е-"Т- )2,-‘ (е-/Т1 - е~"Т)ёг.

£1 (71 72)0

При вычислении интеграла (22) воспользуемся формулой бинома Ньютона

(С1е_г/Т1 + С2е~г/Т2) = £ Кт (С1е_г/Т1 ) ~ (С2е_г/Т2) = £ К'тСт-гС2е-г(т-г)/Т1 -гг/Т2, (23)

1=0 1=0

где К'т = т\/1 !(т — 1)! - биномиальные коэффициенты.

Подставив соотношение (23) в интеграл (22), получим

^ = -,4^»1(Х)2-С2(ХУ (24)

д^2 s2q(T, - Г2) £

с коэффициентами

К2 4 = К 27 [24 + ад/Т -1)][(2 4 - 1)Т^ Т +1 + <(1 - т2/ т,)] .

В этом случае закон управления (9) принимает вид

аК 2 4-1 —

4 Ё ^СД X )2 4-1-^ X у

и ( X ) = U max sat

Г U max Sl2 q £0

(25)

m

а б

Рис. 1. Переходные процессы квазиоптимальной по быстродействию САУ (время tnn определялось по моменту вхождения в зону s1): а - q=4, tnn=3.508; б - q=8, tnn=3.42

На рис. 1 представлены результаты моделирования системы с законом управления (24) объектом с параметрами T1=1, T2=2, K=1, Umax=1, Sj=0.06, d=0.001 (зона нечувствительности реле) при изменении показателя степени q. Анализируя процессы рис.1, легко заметить, что они приближаются к переходному процессу строго оптимальной системы, имеющей моменты переключения управления t1=3.109, t2=3.732 (они найдены с использованием пакета TAU 2.5).

3.2.2. Случай комплексных корней

Рассмотрим колебательное звено T2 x(t) + 2£,Tx(t) + x(t) = Ku (t) с постоянной времени T0 = T и коэффициентом затухания , модель которого в каноническом фазовом пространстве представляется дифференциальными уравнениями (18) с параметрами а1 = — 1/T2, а2 = -2£/T, b = K/T2.

Свободное движение этого объекта описывается уравнениями [4]

x1 (t) = C1e~t/T°Sinrnt + C2e-/T°CosШ, ю = 2nT1 = 2nT /^1 - ^2,

-1 (26)

x2(t) = X1 (t) = — e tlT(0 (C1 Sinmt + C2Cosmt) + e t/T° (С1юCosmt -C2rnSinrnt),

T0

в которых постоянные интегрирования определяются выражениями

Q(X0) = T1(X10 + T0x20 )/2nT0, C2(X0) = X10. (27)

Определим производную функции Беллмана-Ляпунова (11):

dS(X) д

dx„

— f( x1 (t, X)/s1 )2qdt =-]-— f( C1(X)e~tlTo Sinrat + C2(X)e~t/T° Cosrat fq dt

2q

2o

qT1

TCS

2q

1o

J (C1( X )e~t/To Sinrat + C2( X )e—/To Cosrat )2q—1 e_f/T° Sinratdt

Воспользовавшись формулой бинома Ньютона (23), получаем

дS ( X ) qTx

дx„

ns,2q i=o

2 q—1

- £ C1 (X)2q—1—г C2 (X) K2q—1 J" e-2qt/To ( Sinra t)2q—' ( Cosrat) dt. (28)

21

Введя в рассмотрение коэффициенты

—2 qf/TC

K2q-1 = K2q-1 J" e-2 qt/T0 ( Sinm t )2 q-i ( Cos rat ) dt,

на основе соотношения (9) записываем оптимальный закон управления

u ( X ) = —U max sat

2 q —1 — i

2nrT;UmaxS2q i=o

Q( X у

(29)

На рис. 2 представлены результаты моделирования системы с законом управления (28) объектом с параметрами Т=1, С=0.25, К=1, итах=1, 82=0.06, d=0.001 при изменении показателя степени q. Анализ процессов рис.2 показывает, что они также приближаются к переходному процессу строго оптимальной системы, имеющей моменты переключения управления 1=0.657, 12=2.312, причем скорость приближения несколько выше,

чем для апериодического объекта (сравни с рис. 1). При этом подчеркнем, что, несмотря на колебательный характер объекта управления, переходные процессы в квазиоптимальных системах имеют апериодический вид, т.е. колебательность объекта практически не влияет на работоспособность метода.

а б

Рис. 2. Переходные процессы квазиоптимальной по быстродействию САУ с колебательным объектом: а - q=4, tnn=3.16; б - q=8, tnn=1.964

3.3. Решение задачи БОК для объектов третьего и более высоких порядков

Аналогичного характера получены результаты моделирования ква-зиоптимальных по быстродействию систем управления объектами третьего и четвертого порядков (см. рис. 3 и 4).

Результаты моделирования системы для объекта, представляющего последовательное соединение трех апериодических звеньев с параметрами Т1=0.5, Т2=1, Т3=2, К=1, итах=1, 8=0.06, d=0.001 представлены на

рис. 3. Анализ процессов рис. 3 показывает, что они также приближаются к переходному процессу строго оптимальной системы, имеющей моменты переключения управления 1=2.773, 1=3.735, 1=4.003.

а б

Рис. 3. Переходные процессы квазиоптимальной по быстродействию САУ с апериодическим объектом третьего порядка: а - q=4, ^п=3.496; б - q=7, ^п=3.372

На рис. 4 приведены результаты моделирования системы управления объектом, представляющего последовательное соединение четырех апериодических звеньев с параметрами Т1=0.25, Т2=0.5, Т3=0.75, Т4=1, К=1, итах=1, 82=0.06, d=0.001.

Они также свидетельствуют о приближении процессов квазиопти-мальных систем при увеличении степени q критерия (4) к процессу строго оптимальной системы, имеющей следующие моменты переключения управления 1=2.092, 1=2.960, 1=3.374, 1=3.496. Необходимо отметить, что с повышением порядка объекта скорость приближения решения к переходному процессу строго оптимальной системы уменьшается.

1

0.5 0 0.5 - 1 1.5 - 2

*1

1

.1

Х1 /

а*'Л

О 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

а

1

0.5 О 0.5 - 1

1.5

- 2

/ У

У и

х,.

О 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

б

Рис. 4. Переходные процессы квазиоптимальной по быстродействию САУ с апериодическим объектом четвертого порядка: а - q=2, 1пп=3.036; б - q=4, 1пп=2.928

В целом результаты моделирования подтверждают хорошую работоспособность метода синтеза оптимальных систем управления.

Список литературы

1. Нейдорф Р.А., Чан Н.Н. Рекуррентно-диффеоморфный синтез квазиоптимальных по быстродействию ограниченных законов управления. // Информатика и системы управления. 2006. № 2(12). С. 119-128.

2. Красовский А. А., Буков В. Н., Шендрик В. С. Универсальные ал-

146

горитмы оптимального управления непрерывными процессами. М.: Наука, 1977.

3. Ловчаков В.И. К проблеме быстродействия систем управления по одной (нескольким) координатам // Системы управления электротехническими объектами: труды 3-й Всероссийской науч.-прак. конф. Тула: Изд-во ТулГУ, 2005. С. 111-113.

4. Абдулаев Н.Д., Петров Ю.П. Теория и методы проектирования оптимальных регуляторов. Л.: Энергоатомиздат, 1985. 240 с.

5. Зеликин М.И., Борисов В.Ф. В Режимы учащающихся переключений в задачах оптимального управления // Труды Математического института АН СССР. 1991. Т. 197. С. 85-166.

V.I. Lovchakov, A.M. Sapozhnikov

SYNTHESIS OF QUASIOPTIMAL PERFORMANCE CONTROL FOR HIGH ORDER SYSTEMS

Method of synthesis of quasioptimal performance closed-loop control system for high-order linear objects. It is based on the replacement of solving performance-related problem by the respective analytical construction of optimal regulator. The performance criterion is chosen in a special way and it is similar to the A.A. Krasovskiy functional of generalized operation. The solution of the latter problem was found analytically using the method of predictive model.

Key words: control system, phase space, criterion of optimal performance, problem of analytical construction of optimal regulator, Bellman-Lyapunov function.

Получено 20.01.12