Сингулярные системы дифференциальных уравнений в частных производных в банаховых пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.983.51 ББК 22.1

© О. В. Коробова

Россия, Иркутск, Иркутский государственный университет E-mail: [email protected]

СИНГУЛЯРНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Статья посвящена исследованию системы дифференциальных уравнений в частных производных в банаховых пространствах. Построена матричная фундаментальная оператор-

функция для вырожденного дифференциального оператора (BDaS(x) — LAd(x)), здесь

оператор B фредгольмов и имеет полный A -жорданов набор.

Ключевые слова: банахово пространство, фредгольмов оператор, матричная фундаментальная оператор-функция, обобщенная функция.

© О. V. Korobova

Russia, Irkutsk, Irkutsk State University E-mail: ollis@mail. ru.

THE SINGULAR SYSTEMS OF PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS IN BANACH SPACES

The article is devoted to investigation of systems of partial differential equations in Banach spaces. Matrix fundamental operator-function of singular differential operator (BDaS(X) — LAd(x)) has been constructed, here operator B is Fredholm and has full A -Jordan set.

Key words: Banach space, Fredholm operator, matrix fundamental operator-function, generalized function.

Введение

Многие начально-краевые задачи, возникающие в приложениях, можно редуцировать к дифференциальным уравнениям в банаховых пространствах с необратимым оператором при старшей производной и соответствующим этим уравнениям задачам Коши. Такие уравнения принято называть сингулярными дифференциальными уравнениями (или, в иной терминологии, вырожденными дифференциальными уравнениями).

Целью изучения сингулярных дифференциальных уравнений ставится построение обобщенных и непрерывных решений и исследование связи между этими решениями.

1. Постановка задачи

В работе рассматривается система дифференциальных уравнений в частных производных

BDau (X) = LAu (X) + f (X) (1)

здесь a = (a1,a2,K,aN) - мультииндекс, т.е. целочисленный N -мерный вектор с неотрицательными координатами a, X = (x1, x2,..., xN ), u (X) - искомая вектор-функция (столбец) размерности s, каждая компонента которой un (X) является функцией со значениями в банаховом пространстве E1, f (X) - заданная вектор-функция (столбец) размерности s, имеющая компоненты fn(X) со значениями в банаховом пространстве E2, n = 1,..., s, B, A - замкнутые линейные операторы с плотными областями определения, действующие из E1 в E2, D(B) с D(A), оператор B необратим,

Я(В) = Я(В), под записью Аи (х) (ВПаи (х)) понимается вектор-функция (столбец) с компонентами Аип (х ) (ВОаип (х )), п = 1,..., 5,

Ваип(х) = Э П^х2,к,х^), \ а \= а +а2 + ••• + аы, п Эха Эх“2 к Эх^ 1 1 2

Л - невырожденная квадратная матрица порядка 5.

2. Вспомогательные сведения

1. Поскольку ёйЛ^ 0, то все характеристические числа Ц,...,ЯМ матрицы Л

отличны от нуля, матрица Л имеет нормальную жорданову форму квазидиагонального вида

3 °{ДЕ(<&) + Н(%),А2Е(Ч2) + Н<л)

где 1гЕ(Яі) + Н) - :

ера Чг

[1 1 0 . . 0Л

0 1 1 . . 0

0 0 0 . . 1

V 0 0 0 . • 11

1Е {Чг) + Н {Чг) =

Ч1 + ч2 +-+ чт = 5 и существует невырожденная матрица Т порядка 5, такая, что

Л = Т • 3 • Т-1.

В частности, если все элементарные делители матрицы Л первой степени, то жорданова форма имеет диагональный вид, и в этом случае

Л = Т • diag{Лl ,Л2,...,А5} • Т-1 (среди чисел 1,1, к, 15 могут быть и равные).

Здесь использованы обозначения и терминология монографии [1].

2. В цикле работ [2-5] была введена конструкция фундаментальной оператор-функции, позволяющая в замкнутом виде строить обобщенные решения различных типов вырожденных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. Обобщенные решения строились в классе К+ (Е1) распределений с ограниченным слева носителем. В работе [6] идеи из [2-5] были перенесены на системы вырожденных дифференциальных уравнений вида

Ви (х) = ЛАи (х) + / (х).

В настоящей работе результаты работ [5, 6] переносятся на системы (1).

Системе уравнений (1) соответствует дифференциальный оператор

(ВБа8( х )-ЛАё( х )),

здесь и далее везде под записью вида ВПа8(х) будем понимать Е(5)ВПа8(х) , где Е(5) -квадратная единичная матрица порядка 5, ё( х) - дельта-функция Дирака [7].

Приведем основное понятие, используемое в работе.

Определение. Матричной фундаментальной оператор-функцией єа( х) для дифференциального оператора (ВБа8(х ) -ЛА8(х)) на классе К'(Я^; Е2) назовем такую матричную оператор-функцию, для которой выполняются следующие два равенства

(ВОаЗ(х)-ЛАЗ(х)) *єа(х) * и (х) = и (х) V и (х) є К'(Я*; Е2) (2)

и

єа(х)*(ВБа8(х)-ЛА8(х))*V(х) = V(х) V V(х)є К'(Я+;Е1).

(3)

Здесь под и(х)е K'(RN;E2) (или v(х)е K'(RN;Ej)) мы понимаем вектор-столбец, каждая компонента которого является обобщенной функцией с ограниченным слева носителем.

Если известна матричная фундаментальная оператор-функция ea( х) для

дифференциального оператора (BDad( х ) -LAd( х )), то сверточное уравнение

(BDad(х) - LAd(х)) * и (х) = h (х) (4)

при любой правой части h е К' (R+; Е2) имеет единственное решение в классе К'(RN; E1)

вида и (х ) = ea( х )* h (х ).

Действительно, согласно определению в силу равенства (2) эта вектор-функция является решением уравнения (4). Покажем его единственность. Пусть напротив Uj(х)е К' (R+;E1)

другое отличное от U(х) решение, тогда с учетом равенств (3), (4) и свойства

ассоциативности свертки получаем

й1(х) = Id(х)*й1(х) = еа(х)*(BDaS(х)-ЛА^(х))*й1(х) = £а(х)*h(х) = U(х) .

3. Фундаментальная оператор-функция в условиях фредгольмовости

Пусть выполнено условие:

А) оператор B фредгольмов, т.е. dim N(B) = dim N(B*) = n, и имеет полный A -жорданов набор [8], элементы {f1),i = 1,...,n,j = 1,...pi} составляют этот набор, а функционалы {y( j), i = 1,..., n, j = 1,... pt} образуют соответственно полный A * -жорданов

набор оператора B *, ($(1),gk

d, , i, k = 1, к, n .

При выполнении условия А) оператор

Г

является ограниченным [В], оператор

i=1

r( j )

Af

( Pi +1 - j )

(5)

0=ЕЕ (-,у

і=і ]=\

проектором в Е2.

Теорема. Пусть в системе (1) det 0 и выполнено условие А), тогда дифференциальный оператор (ББа8( х ) -ЛА8( х )) имеет на классе К '(Я^; Е2) матричную фундаментальную оператор-функцию вида

Єа (х ) = Т$( х ) * {Еа (х X Еа2 (Х), ■ ■ ■, Еац (Х)} * Т Х) , (6)

где {Еа (х), Еа (х),..., Еа (х)} - блочная квадратная квазидиагональная матрица размера 5 вида

' 0

Г El( x )

О О

Ea (Х )

О

О О О

Ea„ ( Х)

Л

диагональные блоки которой Еа (х) являются верхнетреугольными квадратными матрицами размера вида Еа (х) = Е(Яу)£а (х) *о(£а (х))

(х)) =

nP

(1ё(X ) А$(X ) *Єау (х ) (А$(X ) *Єау (х ))2

0 І5(X ) Ад(X ) *е (х ))

0

0

І8( X)

• (А$( х) *е(х ))я'-1 ^

• (Аад *Єау (х))Чп~2

• (А^(у) *Єа (х))я'-3

Ід(X) А$(X) * Єа^ (х )

0

І£( X )

(8)

здесь V = 1, к , т ,

Єа, (X) = х)[ I - 0Щ X)-£

Рі -1 І Рі-к |

Е і Е (У) І-1й‘ Рі -‘ *|-л \ о‘ аг( х)

к=0 І ;=1 І

N лгаік-1

X

^(Л,АГ)(х) = 2(ЛАГ)к-1 -П . пг

“(Ц* -1)!

Бкад{ х) = Щ а)( х1)^ 8{Ьа)(х^).

Доказательство. В соответствии с определением матричной фундаментальной оператор-функции для доказательства теоремы достаточно проверить справедливость равенств (2) и (3). Действительно,

(ББа5(х) - ЛАЩ(х)) *еа(х) = Г5(х) *ТЩх) * (ВБаЗ(х) - ЛАЩ(х))*

*Тё(X) * {Еа1 (X), Еа2 (хX к , Еат (х)} * Т"Щ(X) =

= ТЩ(х ) * (ВБад(х ) - М8{х )) * {Еа (х ), Еаг (х ), к, Е^ (х )} * Т- 5(х ) .

Для завершения доказательства осталось проверить, что при всех V = 1,...,т

(ВБаё(х) -(ЛЕ(<П) + Н{<))АЩ(х)) *Еап(х) = Е(<п)Щ(х) .

Но [5]

(ВБаЗ( х) - ЛУАЗ( х)) * ееп (х) = Щ( х),

(ВБад(X ) - Л АЩ(х )) * еап (х ) * (АЩ(х ) * еап (х ))> --АЩ(X ) * еап (х) * (АЩ(х) * еап (х ))г1 ° 0 ,

поэтому

(ВВаЩ(х) -ЛАЩ(х)) * £а(х) = ТЩ(х) * Т~1д(х) = Щ(х).

Равенство (3) доказывается аналогично.

аX) * (В£Щ(х) -ЛАЩ(х)) = Т6«) * {Еа (х),Еаг (х),.,Е^ (х)} * Т) *

*(ВБад(х) -ЛАЩ(х)) *Т(х) *Т~Щ(х) = ТЩ(х) *{Ещ (х),Еаг (х),.,Еа (х)} *

Так как [5]

*(БОаЗ(х) - ЗА8{х)) * Т-1ё(х). Є, (х) * (БВаЗ( х) - Я,АЗ( х)) = Ід( х), -Єау (х) * (А^(х) * Єа (х))г * А8(х) + +Єа, (X) * (А3(X) * Є, (XГ1 * (ББад(х) - \А8(х)) ° 0,

то

и значит

Еа (х) * (ББад(х) - (1,Е{Яп) + Н{я,))Ад(х)) = Е(<п ")3(х)

Єа( х) * (ББад( х) - ЛА8( х)) = Тд( х) * Т ~13( х) = Ід( х).

Теорема доказана.

0

0

0

0

0

0

V

і=1

Следствие. Если в условиях теоремы 1 все элементарные делители матрицы Л первой степени, то матричная фундаментальная оператор-функция дифференциального оператора (BDad(х )-LAS(^)) имеет на классе К'(RN; E2) вид

еа (х) = Td(х) * а (х), ea2 (х), • . , eas (х)} * T“'d(х) .

Замечание. Аналогичные утверждения можно получить для случая нетеровости оператора В, а также для случаев спектрально, секториально и радиально ограниченных операторных пучков (B -1A).

Заключение

Таким образом, с помощью конструкции фундаментальной оператор-функции, соответствующей дифференциальному оператору исходной системы, удается построить обобщенное решение этой системы в пространстве распределений с носителем в «первом октанте». Основываясь на этом, можно исследовать различные начально-краевые задачи уже в классе непрерывных функций.

Литература

1. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, ФМЛит, 1988. - 552 с.

2. Lyapunov - Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications / Sidorov N., Loginov B., Sinitsyn A. and Falaleev M. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002. - 548 p.

3. Фалалеев М.В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в банаховых пространствах // Сиб. мат. журн. - 2000. - Т.41. - №5. - С.1167-1182.

4. Фалалеев М.В., Гражданцева Е.Ю. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в условиях спектральной ограниченности // Дифференц. уравнения. -2006. - Т. 42. - № 6. - С. 68-75.

5. Фалалеев М.В. Фундаментальные оператор-функции некоторых специальных классов вырожденных дифференциальных операторов в частных производных в банаховых пространствах // Аналитическая механика, устойчивость и управление движением: Тр. IX Междунар. конф. посв. 105-летию Н.Г. Четаева. - Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 2007. - Т. 5. - С. 237-246.

6. Фалалеев М.В., Коробова О.В. Системы дифференциальных уравнений с вырождением в банаховых пространствах // Сиб. мат. журн. - 2008. - Т. 49. - № 4. - С. 916-927.

7. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1981. - 512 с.

8. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. - М.: Наука, 1969. - 528 с.

References

1. Gantmacher F.R. Matrix theory. - M.: Nauka, Fizmatlit, 1988. - 552 p.

2. Lyapunov - Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications / Sidorov N., Loginov B., Sinitsyn A. and Falaleev M. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002. - 548 p.

3. Falaleev M.V. Fundamental operator-functions of singular differential equations in Banach spaces // Sib. Mat. Jurn. - 2000. - Vol. 41. - No. 5. - P. 1167-1182.

4. Falaleev M.V., Grazhdanceva E.Y. Fundamental operator-functions of singular differential operators in a limited spectral // Differenc. Uravneniya. - 2006. - Vol. 42. - No. 6. - P. 68-75.

5. Falaleev M.V. Fundamental operator-functions of some special classes of singular differential operators in partial derivatives in Banach spaces // Analiticheskaya mehanika, ustoychivost’ i upravlenie dvizheniem: Pr. IX, Intern. Chetayev conf. - Irkutsk: ISDCT, Siberian Branch of RAS, 2007. - Vol. 5. - P. 237-246.

6. Falaleev M.V., Korobova O.V. Systems of differential equations with degeneration in Banach spaces // Sib. Mat. Jurn. - 2008. - Vol. 49. - No. 4. - P. 916-927.

7. Vladimirov V.S. The equations of mathematical physics. - M.: Nauka, 1981. - 512 p.

8. Vainberg M.M., Trenogin V.A. The theory of branching solutions of nonlinear equations. - M.: Nauka, 1969. - 528 p.