Интегро-дифференциальные уравнения с фредгольмовым оператором при старшей производной в банаховых пространствах и их приложения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Серия «Математика»

2012. Т. 5, № 2. С. 90-102

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

ИЗВЕСТИЯ

Иркутского

государственного

университета

УДК 517.983.5

Интегро-дифференциальные уравнения с фредгольмовым оператором при старшей производной в банаховых пространствах и их приложения *

М. В. Фалалеев

Иркутский государственный университет

Аннотация. В работе методами теории фундаментальных оператор-функций исследована задача Коши для интегро-дифференциального уравнения в банаховых пространствах с фредгольмовым оператором в главной части. Построена фундаментальная оператор-функция, с помощью которой получена конструктивная формула для обобщенного решения в классе распределений с ограниченным слева носителем. Описаны условия совпадения классического и обобщенного решений. Абстрактные результаты проиллюстрированы на примерах задачи Коши для системы интегро-дифференциальных уравнений двух-контурной электрической цепи и одной задачи Коши-Дирихле из математической теории вязкоупругости.

Ключевые слова: банахово пространство, обобщенная функция, жорданов набор, фредгольмов оператор, фундаментальная оператор-функция.

1. Введение

Некоторые неклассические начально-краевые задачи математической физики редуцируются к интегро-дифференциальным уравнениям в банаховых пространствах

Би(м= Ли(1) + / к(1 — 8)и(з)й8 + /(£) (1)

./о

с начальными условиями

и= ик, к = 0,1N — 1, (2)

* Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-

педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы, госконтракт № П696.

где В,А,к(Ь) - замкнутые линейные операторы с плотными областями определения, действующие из банахова пространства Е\ в банахово пространство Е2, оператор В - фредгольмов [1]. С помощью аппарата теории обобщенных функций в банаховых пространствах задача Коши (1)-(2) для случая N = 1 полностью исследована (см., например, работы [5, 6, 15]). Однако для приложений к задачам теории вязкоупругости или теории многоконтурных электрических цепей актуальными являются случаи, когда N > 2 и ядро сверточного интегрального оператора имеет специальный вид к\(Ь) = д(£)А или к2(Ь) = д(£)В, здесь д(Ь) - достаточно гладкая числовая функция при £ > 0. С помощью теории фундаментальных оператор-функций вырожденных интегро-дифференциальных операторов в банаховых пространствах первый случай к\(Ь) = д(Ь)А исследован при различных типах сингулярности операторного пучка (В — АА) в серии работ [7, 8, 14]. В данной заметке представлены результаты исследования второго случая к2(г) = д(£)В.

2. Фундаментальная оператор-функция вырожденного интегро-дифференциального оператора

При изложении основных результатов этого пункта будет использована терминология и обозначения теории обобщенных функций и фундаментальных решений дифференциальных операторов в банаховых пространствах. Основные сведения этой теории приведены в работах [5, 6, 15, 9, 10] и в дальнейшем будут использоваться без развернутых дополнительных пояснений.

В начале приведем основные условия, в которых были проведены исследования.

Пусть A,B - замкнутые линейные операторы из El в E2, El, E2 -банаховы пространства, B - фредгольмов оператор [1], D(B) С D(A), D(A) = D(B) = El, R(B) = R(B), dim N(B) = dim N(B*) = n >

1, {<£i} Є El - базис ядра N(B), {фі} Є Ef - базис ядра сопряженного

оператора N(B*),i = 1,...,n и {zi} Є E2, {y} Є Ef - соответствующие им биортогональные системы элементов и функционалов. Тогда опера-

n

тор В = B + (', Yi)zi непрерывно обратим [1] и обратный к нему Г =

i=l

B-l Є C(E2,E\) называется оператором Треногина-Шмидта. Введем проекторы P и Q в El и E2 соответственно по формулам

n n n n

P = Pi = Е(‘,H)Vi, Q = E Qi = E(-,^i)zi, (3)

i=l i=l i=l i=l

тогда

rB = I - P, Br = I - Q. (4)

Далее будем предполагать, что оператор В имеет полный А-жорда-

нов набор [1], т.е. в Е1 существует система элементов | ^Р, і =

1 (!) 1 і = 1,...,рі, *і = удовлетворяющая уравнениям

В*(1) =0, В<р() = А*(з-1), і = 2,...,рі, (5)

условиям разрешимости

А{(),фк} = 0, і,к = 1,...,п, і = 1,...,рі - 1, (6)

и полноты

{А*([і) ,фк} = бік, і, к = 1,...,п, (7)

т.е. базис {фк} можно выбрать таким образом, чтобы биортогональ-ной к нему была бы система элементов гі = А^рг\ і = 1,...,п. Из существования полного А-жорданова набора оператора В следует [3] существование полного А*-жорданова набора оператора В*, состоящего из элементов |ф(3) | Є Е*, і = 1,...,п, і = 1,... ,рі, ф(! = фі таких, что

В*ф(! = 0, В*ф" = А*ф(}-1), і = 2,...,Рі, (8)

{*к,А*ф(з)} = 0, і,к = 1,...,п, і = 1,...,рі - 1, (9)

{*к, А*ф(рі')} = бік, і,к = 1,...,п, (10)

т.е. ті = А*ф(Рі\ і = 1,...,п. Элементы наборов можно восстанавливать по циклическим формулам [1, 3] при і = 1,...,п

= ГА$-1) = (ГАУ-1^, *(1) = *і (11)

ф(Л = г*А*ф(3-1) = (Г*А*у-1ф(\ ф(1) = фі, (12)

причем

V? = Ггі = ГА*Рі) = (ГА)Рі *(1), (13)

ф(! = Г*^і = Г*А*ф(Рі) = (г*А*)Рі ф(1]. (14)

Далее предполагаем, что все подобные перестройки базисов осуществлены. Системы элементов и ^ф(" | линейно независимы [1].

Справедлива следующая вспомогательная

Лемма 1. Проектор

П Рі

« = Е +1-і)

і=1 3 = 1

ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ФРЕДГОЛЬМОВЫМ 93 удовлетворяет равенствам

Я,(АГ)к (I — С) = 0, г = 1,...,и, к е N (16)

АГ(1 — 0)Б — (I — Я) А = 0, (17)

П Рг

Г(1 - Я)Б + Е ^Т(-,А*ф(3))^Рг+1-3) = I. (18)

г=1 3=1

Доказательство. Так как натуральное число к е N представимо в виде к = 1рг + г, г = 0,...,рг — 1, то используя последовательно циклические формулы (12) и (14), условия разрешимости (6) и полноты (7), получим

Яг(АТ)к(I — Я) = (■, ф(г+1))гг(1 — Я) =

Рг

= (■,4+1))* -Е(-’^])(аЛл+1Ч),4+1))*.

3=1

или с учетом соотношений (14), (11) и (13)

Рг

Сг(АГ)к(I — Я) = (-,ф(г+1))гг -^Т(.,ф(з))(А^Рг +г+1-3\ф(1))гг =

3=1

= (■,4+");,. -(:ф'+");г = 0.

В силу соотношений (4) для проектора Р из (3) имеем

АГ(I — Я) Б — (I — (Я) А = А(I — Р) — АТЯ Б — А + С А, поэтому

П

АГ^ — С)Б — ^ — С)А = — ^2/(',1г)А{р\ ^ —

г=1

п Рг п Рг

'^Т.(-,Б*Ф(ЛА(?г+1-Л + Е У£(;А*Ф(з))А^^г+1-з),

г=1 3=2 г=1 3=1

тогда по формулам (11), в силу выбора элементов = А*ф(Рг) и урав^ нений (8) получаем

АГ^ — С)Б — (I — С) А =

п рг — 1 п рг — 1

Е Е (; Б*Ф(з+1))А^Рг+1-л + Е Е (; А*Ф(Л)А^г+1-з) = 0. г=1 3=1 г=1 3=1

Для доказательства равенства (18) вновь воспользуемся формулами связи (4) для проектора Р из (3) и соотношениями (11) и (8)

П Рі

Г(1 - 0)Б + Ё Ё<-> А*Ф?)^+1-Л = I - Р-і=1 3=1

п Рі п Рі

ГЕ '£(,Б-ііі))А^і+1-я + £ '£{;А^,(3))^і’і+1-3) =

і=1 3=2 і=1 3 = 1

п

= I -^{;А*ф(Рі))^1)-

і=1

п Р і - 1 п Р і

£І2{;БУІ3+1))4Рі+1-3) +£ £{;АЧ(3))^+1—3) = I.

і=1 3 = 1 і=1 3=1

□

Лемма 2. Для резольвенты К(£) ядра к(£) = N9(1) * д(£)6(1) в сверточной алгебре V, (см. [2]) справедливы равенства

9 (і) * (б(і) + Щі)9(і)) * (б(М\і) - д(і)9(і)) = б(і)

іМ-1 (Ы - 1)!'

і(к+1)М-1 . , к+1 / . . \

-9(і) * (б (і) + Щі)Є(і)) * (б( )(і) - д(і)9(і)) =

((к + 1)Ы - 1)!

ікМ-1 / \к

-9(і) * (б(і) + К(і)9(і)) , к > 1,

(кЫ - 1)!

здесь под степенью к обобщенной функции у5(Ь) + К(Ь)9(Ь)^ понимается ее к-кратная свертка с собой, причем (б(Ь) + '%(Ь)9(Ь)\ = 6(1).

Доказательство. Действительно

іМ —1 / \ / \

N - ^9(і) * (б(і) + Щі)9(і)) * [б(М)(і) - д(і)9(і)) =

= (5(і) - к(і)9(і)^ * (5(і) + ,Я(і)9(і)^ = б (і),

і(к+1)М—1 / \ к+1 / ,\

((к + 1)Ы - ^9(і) * (б(і) + п(і)9(і)) * [б( (і) - д(і)в(і)) =

і кМ—1 іМ—1 / \ / \

= к N - 1)!9(і) * N - 1)!9(і) * \б(}+ п(і)9(і V * \б{М)(і - д(ії9(і) *

/ \ к ікМ 1 /

* (б(і) + п(і)9(і)) = _ 1)!9(і) * [б(і) + П(і)9(і)

(кЫ - 1)!

□

Теорема 1. Пусть оператор Б фредгольмов, имеет полный А-жор-данов набор, тогда интегро-дифференциальный оператор См(б(і)) = Бб(мЦі) - Аб(і) - д(і)Б9(і) = (5(мЦі) - д(і)9(і)) Б - Аб(і) имеет на классе К+ (Е2) (обобщенных функций с ограниченным слева носителем) фундаментальную оператор-функцию вида

Ем(і) = им(і)9(і)(І - Я)-

Е

і=1

Рі — 1 \Рі — к

ЕIЕ —к+1—3)

к=0 [ 3=1

б(м)(і) - д(і)9(і)

где

иИ (і)9(і) = Г Е

ікМ—1

к=1

(кЫ - 1)!

9(і) * (б(і)+ П(і)9(і)\ (АГ)к—1.

Доказательство. В соответствии с определением фундаментальной оператор-функции [5, 6, 15, 9, 10] требуется проверить справедливость двух равенств

См(б(і)) * Ем(і) * и(і) = и(і) для всех и(і) є К+ (Е2),

Ем(і) * См(б(і)) * у(і) = у(і) для всех у(і) є К+ (Е1).

В силу равенства (4) для проектора Я из (3) и равенств вспомогательной леммы 2 имеем

См(б(і)) *ЫИ(і)9(і)(І - Я) =

= (І - Я)

Щ) + ^2

=1 (кЫ - 1)!

9(і) * (б(і)+ П(і)9(і)) (АГ)

(І - Я)-

9 (і) * б(і) + П(і)9(і)) (АГ)к (І - Я).

^=1 (кЫ - 1)Ґ Отсюда с учетом равенства (16) леммы 1 получаем

См(б(і)) * им(і)9(і)(І - Я) = (І - Я)(І - Я)б(і).

Далее в силу равенств (5) находим

і=1

Рі — 1 \ Рі — к

Е | £ { • ,43))'f/!,'-k+1-3)

к=0 I 3=1

Ґб(м)(і) - д(і)9(і)

к

к

к

к

к

£

і=1

Рі—2 {Рі—к—1 . к

^ £ { • ,Ф(’))Б^Гк+1—3)\ (б':м)(і) - д(Мі)л +

к=0 І 3=1

і=1

Е

1

7

Е

\Р

Рі — 1 { Рі — к

и)\ л,ЛРі—к+1—3)

б(м)(і)- д(1)9(()

ЕIЕ { • )Ар

к=0 3=1

Рі — 1 \ Рі—к

Е I Е <• ,3 (Б^Гк+2—3) - Аї>Гк+3 > X

і=1 к=1 ^ 3=1

х (Vм)(і) - д(і)9(і)

- Я б (і) — Яб(і).

Таким образом

См(б(і)) * 8м(і) = (І - Я)(І - Я)б(і) + Яб(і) =

= ((І - Я) - Я + Я + ЯІ б(і) = Іб(і).

С другой стороны

им(і)9(і)(І - Я) * См(б(і)) =

Г

к=1

(кЫ - 1)!

9(і) * (б(і) + П(і)9(і)) (АГ)

(І - Я)Б-

Г

к=1

(кЫ - 1)!

9(і) * ( б(і) + П(і)9(і)) (АГ)к—1(І - СЯ)А =

= Г(І - Я)Бб(і)+

+гЕ

ікм —1

= (кЫ - 1)!

поэтому в силу тождества (17)

9(і) * ( б(і)+П(і)9(і)\ (АГ)к—1(АГ(І - Я)Б - (І - Я) А)

им (і)9(і)(І - Я) * См (б (і)) = Г(І - Я)Бб(і).

Соответственно

Е

і=1

Рі — 1 \ Рі—к

Е I £<■ ^ (б(м)(і) -д(і)9(і)

к=0 [ 3=1

* См (б(і)) =

Е

і=1

{ V- , „ І,(3)), „(Рі — к+1—3){ {б(м )(і) - д(і)9(і) к+1

Рі—2 { Рі—к

£ I £ ( • ,Б'^>)<£

к=0 [ 3=2

к

к

к

к

к

£

і=1

Рі — 1 \ Рі—к І к

І \Т^, „,,.(3))>■(і(м)і - д(іЩі)

ЕI £ { • А'ії' )*

к=0 3=1

£

і=1

Рі — 1 { Рі—к

Е I Е { • ,Б*3 - А *

і,(3)\,ЛРі—к+1—3)

к=1 І 3=1

х (б(м)(і) - д(і)9(і)

п Рі

££{ • ,Аф(3))^

* пІ,(3)\,п(Рі + 1—3)

б(і) =

п Р і

ЕЕ{ ^,А

і=1 3=1

*„и(3)\,п(Рі+1—3)

б(і).

і=1 3=1

Следовательно по формуле (18) получаем

8м(і) *См(б(і)) =

п Р і

* „и(3)\/ЛРі+1—3)

г(і - Я) б + е Е{ •, а * фгм

і=1 3=1

б (і) = Іб(і).

□

В обобщенных функциях задачу Коши (1)—(2) можно переписать в виде

См(5(Ь)) * й(Ь) = ((5мЦь) - д(г)в(г)) В - Л5(Ь)) * й(Ь) = = / (1)в(1) + Вйм-15(1)+Вйм-26'(г) + • • • + Вй\ё(м-2\г)+Вйоё(м-1)(ь),

поэтому единственное решение задачи (1)—(2) в классе К+ (Е\) имеет вид

й(Ь) = 8м(Ь) * /(Ь)О(Ь) + Вйм-\5(Ь) + Вйм-25'(Ь) + + • • • + Вйг5(м-2)(Ь) + Вйо5(м-1)(Ь)) .

Очевидно при р1 = р2 = ... = рп = 1 выражение для фундаментальной оператор-функции имеет наиболее простой вид, а именно,

п

8м(ь) = Ым(ь)в(ь)(1 - 0!) - Е<• ,Ф((1))^<11)5(Ь).

і=1

В этом случае обобщенным решением задачи (1)—(2) является регулярная обобщенная функция вида

п

и(і) = Км(і)9(і)(І - Я) * /(і)9(і) - Е{/(і),'Фі1))Р((1)9(і) +

і=1

X

к

м—1 ^ ікм—1 / \к

+ Е Г Е 9(і) * [б(і) + П(і)9(і)] (АГ)к—1Бим—1—3 (19)

3=0 к=1 ( )!

удовлетворяющая уравнению (1). Прямыми вычислениями находим

п

и(3)(0) = и3 -^2{Аи3 + / , І = 0,1,...,Ы - 1

і=1

откуда в силу линейной независимости системы получаем следу-

ющую

Теорема 2. Если в условиях теоремы 1 длины всех А-жордановых цепочек равны 1, то задача Коши (1)-(2) имеет единственное решение класса См (і > 0,Е1) вида (19) при выполнении соотношений

(Ащ + / (3)(0),ф(1)) =0, і = 1,...,п, І = 0,1,...,Ы - 1.

3. Приложения

Проиллюстрируем применение общих теорем предыдущего пункта к исследованию интегро-дифференциальных уравнений.

Пример 1. Рассмотрим уравнение

(Л — А) Х — Ай(Ь, х) — ! д(Ь — т)(а — А) й(т, х)йт = /(Ь, х), (20)

о

возникающее в теории колебаний пластин [13]. Здесь х € О С Ят -ограниченная область с границей дО класса С^, Ь > 0. Будем искать функцию й = й(Ь, х) определенную на цилиндре Я+ х О и удовлетворяющую начально-краевым условиям

и

= и0(х), х є ІЇ, и

і=0

= 0, і > 0.

(21)

Задача Коши-Дирихле (20)-(21) редуцируется к задаче (1)-(2), если выбрать в качестве банаховых пространств Е1 и Е2, например, соболевские

Е1 = \ у(х € Ш2(О) : V

дП

= 0)} , Е2 = Ш2(Ъ),

(22)

а операторы А и Б определить формулами

Б = А - А, А = А, а = А.

(23)

Если А Є &(А), то оператор В фредгольмов. Обозначим через {рі, і = 1,.. .,п} ортонормированное семейство линейно независимых решений однородной задачи Дирихле для оператора Лапласа

Ар = Ар, р

0,

дП

тогда N (В) = {рг, г = и длины всех Д-жордановых цепочек

равны 1. В соответствии с теоремой 2 получаем следующую

Теорема 3. Пусть для задачи Коши-Дирихле (20)-(21) пространства Е\ и Е2 определены как в (22), операторы А и В как в (23) и X € &(Д), тогда существует единственное решение п(Ь,х) € СХ(Ь > 0,Е\) задачи (20)-(21) если начально-краевые условия (21) удовлетворяют

соотношениям

(Хпо(х) + / (0, х), рг(х)) = 0, г = 1,...,п.

Замечание 1. В случае а = X задача (20)—(21) исследована в работе [5].

Пример 2. (Двухконтурная электрическая цепь.) Рассмотрим вырожденную систему интегро-дифференциальных уравнений, записав ее в векторно-матричной форме:

(24)

где

В

х(0) = х0

( 1 0 1 0 1 \

0 1110 0 0 0 0 0 , А

0 0 0 0 0

\0 0 0 0 0/

( 0 \ 0

/ (і) = У(і)

0 0

( 1 0 0 1 11

1

0

хо =

1 0

1 1

1 0

0 0

0 -1

/ х\о \ Х20 Х30 Х40 \ Х50 )

1

0

0

-1

0

(25)

Такие системы встречаются при изучении электрических цепей [4]. В обозначениях задачи (1)-(2) здесь Е\ = Е2 = Я5, оператор В задается матрицей В, оператор А - матрицей (-Л), функция д(Ь) = -1.

Очевидно B * = BT, A * = AT, dim N (B) = dim N (B *) = 3. Базисы пространств нулей N(B) и N(B ) составим из векторов

Vi = (-1, -1, 1, 0, 0)T, V2 = (о, -1, 0, 1, 0)T, V3 = (-1, о, 0, 0, 1)T,

Фi = -1(0, 0, 2, 1, 1)T, ^2 = 8(0, 0, 2, 1, 5)T, фз = 1(0, 0, 2, 5, 1)T,

тогда (Avi,^j) = Sij, i,j = 1, 2, 3, т.е. длины всех A-жордановых цепочек равны l. Таким образом справедлива

Теорема 4. Если y(t) Є C(t > 0), то задача Коши (24)-(25) для системы уравнений двухконтурной электрической цепи имеет гладкое решение тогда и только тогда, когда выполнены условия

(-AXo + f (0),Фі) =0, г = 1,2,3. (26)

Замечание 2. В развернутом виде условия (26) записываются следующим образом

{xio + Х20 - 2X30 + Х40 + Х50 + 2y(0) = 0, xio - 3X20 - 2X30 + 5X40 + Х50 + 2y(0) = 0,

3xio - Х20 + 2X30 - Х40 - 5x5o - 2y(0) = 0.

Замечание 3. Представленные в данной работе результаты допускают обобщения на случаи нетеровости оператора B (по схеме работы [lO]) и спектральной, секториальной или радиальной ограниченности операторного пучка (B - ЛA) [l6] (по схемам работ [8], [ll], [l2]).

Список литературы

1. Вайнберг М. М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг, В. А. Треногин. - М. : Наука, 1969. - 528 с.

2. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике /

В. С. Владимиров. - М. : Наука, 1979. - 320 с.

3. Логинов Б. В. Обобщенные жордановы структуры в теории ветвления / Б. В. Логинов, Ю. Б. Русак // Прямые и обратные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных и их приложения. - Ташкент : ФАН, 1978. - С. 139-148.

4. Ушаков Е. И. Статическая устойчивость электрических цепей / Е. И. Ушаков.

- Новосибирск : Наука, 1988. - 273 с.

5. Фалалеев М. В. Вырожденные интегро-дифференциальные операторы в банаховых пространствах и их приложения / М. В. Фалалеев, С. С. Орлов // Изв. вузов. Математика. - 2011. - № 10. - С. 68-79.

6. Фалалеев М. В. Интегро-дифференциальные уравнения с вырождением в банаховых пространствах и их приложения в математической теории упругости / М. В. Фалалеев, С. С. Орлов // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. -2011. - Т. 4, № 1. - С. 118-134.

7. Фалалеев М. В. Начально-краевые задачи для интегро-дифференциальных уравнений вязкоупругости / М. В. Фалалеев, С. С. Орлов // Обозрение прикл. и пром. математики. - 2010. - Т. 17, вып. 4. - С. 597-600.

8. Фалалеев М. В. Вырожденные интегро-дифференциальные уравнения специального вида в банаховых пространствах и их приложения / М. В. Фалалеев,

С. С. Орлов // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Мат. моделирование и программирование.

- 2011. - Вып. 7, № 4(211). - С. 100-110.

9. Фалалеев М. В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в банаховых пространствах / М. В. Фалалеев // Сиб. мат. журн. - 2000. - Т. 41, № 5. - С. 1167-1182.

10. Фалалеев М. В. Фундаментальные оператор-функции вырожденных дифференциальных и дифференциально-разностных операторов с нетеровым оператором в главной части в банаховых пространствах / М. В. Фалалеев, Е. Ю. Гражданцева // Сиб. мат. журн. - 2005. - Т. 46, № 6. - С. 1393-1406.

11. Фалалеев М. В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в условиях спектральной ограниченности / М.В. Фалалеев, Е.Ю. Гражданцева // Дифференц. уравнения.- 2006. - Т. 42, № 6.

- С. 769-774.

12. Фалалеев М. В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в условиях секториальности и радиальности /

М. В. Фалалеев // Изв. вузов. Математика. - 2006. - № 10. - С. 68-75.

13. Cavalcanti M. M. Existence and Uniform Decay for a Non-Linear Viscoelastic Equation with Strong Damping / М. M. Cavalcanti, V. N. Domingos Cavalcanti, J. Ferreira // Math. Meth. Appl. Sci. - 2001. - Vol. 24. - P. 1043-1053.

14. Falaleev M. V. The theory of fundamental operator-functions of degenerative

integro-differential operators in Banach spaces / M. V. Falaleev // Proceedings

International Mathematical Conference "50 years of IPPI"(2011). ISBN 978-5901158-15-9. - 6 p.

15. Lyapunov - Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications / N. Sidorov,

B. Loginov, A. Sinitsyn and M. Falaleev. - Dordrecht : Kluwer Academic Publ.,

2002. - 548 p.

16. Sviridyuk G. A. Linear Sobolev-Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov. - Utrecht ; Boston ;Koln ;Tokyo : VSP, 2003.

M. V. Falaleev

Integro-differential equations with Fredholm operator by the derivative of the higest order in Banach spaces and it’s applications

Abstract. In this paper the Cauchy problem for integro-differential equation in Banach spaces with Fredholm operator in main part is investigated by the methods of the theory of fundamental operator-functions. The fundamental operator-function is constructed, and constructiv formula for the generalized solution in the class of distributions with left-bounded support is obtained. The conditions for the coincidence of classical and generalized solutions are described. The abstract results are illustrated by examples of the Cauchy problem for a system of integro-differential equations of two-contour circuit and the Cauchy-Dirichlet problem of the mathematical theory of viscoelasticity.

Keywords: Banach spaces, generalized function, Jordan set, Fredholm operator, fundamental operator-function

Фалалеев Михаил Валентинович, доктор физико-математических наук, профессор, Институт математики,экономики и информатики, Иркутский государственный университет, 664003, Иркутск, ул. К. Маркса,

1 тел.: (3952)521296, 521277 ([email protected])

Falaleev Mikhail, Irkutsk State University, 1, K. Marks St., Irkutsk, 664003, professor, Phone: (3952)521296, 521277 ([email protected])