Сингулярные интегро-дифференциальные уравнения специального вида в банаховых пространствах и их приложения Текст научной статьи по специальности «Математика»



Серия «Математика» 2013. Т. 6, № 4. С. 128—137

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

УДК 517.983.5

Сингулярные интегро-дифференциальные уравнения специального вида в банаховых пространствах и их приложения *

М. В. Фалалеев

Иркутский государственный университет

Аннотация. В работе с помощью теории фундаментальных оператор-функций исследована задача Коши для интегро-дифференциального уравнения специального вида в банаховых пространствах. Построена соответствующая фундаментальная оператор-функция, получены условия совпадения классического и обобщенного решений. Абстрактные результаты проиллюстрированы на примерах начально-краевых задач математической теории вязкоупругости.

Ключевые слова: банахово пространство; обобщенная функция; жорданов набор; фредгольмов оператор; фундаментальная оператор-функция.

Среди современных актуальных математических моделей выделяются модели процессов, при исследовании которых необходимо учитывать их состояние в предыдущий промежуток времени. Таковыми, например, являются колебательные процессы в вязкоупругих средах, описываемые неклассическими начально-краевыми задачами математической физики для интегро-дифференциальных уравнений. С наиболее общих позиций такие задачи можно исследовать путем редукции к вырожденным интегро-дифференциальным уравнениям в банаховых пространствах. Анализируя имеющиеся модели по этому направлению, можно выделить специальный класс, в котором ядро интегральной составляющей уравнения является линейной комбинацией операторных коэффициентов его дифференциальной части. Поэтому в данной заметке

* Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы, госконтракт № 14.В37.21.0365

1. Введение

СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 129 исследуется задача Коши вида

Bu(N)(t) = Au(t)+ Î (a(t - s) A + e(t - s)B)u(s)ds + f (t) (1) J 0

u(0) = uo, u'(0) = ui, ..., u(N-1)(0) = un-i- (2)

Здесь B,A - замкнутые линейные операторы с плотными областями определения, действующие из Ei в E2, Ei, E2 - банаховы пространства, оператор B - фредгольмов, a(t), в (t) - достаточно гладкие числовые функции.

2. Вспомогательные сведения

Далее будем предполагать, что D(B) С D(A), D(A) = D(B) = E\,

R(B) = R(B), dim N(B) = dim N(B*) = n > 1. Введем обозначения: {^i} £ E1 - базис ядра оператора B, {фi} £ E* - базис ядра сопряженного оператора B*,i = 1,...,n, {zi} £ E2, и {y} £ E* -

соответствующие им биортогональные системы элементов, тогда су-

( П \-1

ществует ограниченный Г = IB + = {-,Yi }ziJ £ L(E2,E1) оператор Треногина-Шмидта [1]. Проекторы P и Q, задаваемые формулами

n n

P = Yi , Q = (',фi }Zi,

i=1 i=1

удовлетворяют равенствам [1]:

rB = I - P, Br = I - Q. (3)

Также будем предполагать, что существуют полные А-жорданов набор [1] ^ £ E1 оператора B и А*-жорданов набор ^ £ E* оператора B*, i = 1,...,n,j = 1,...,pi. Соответствующие определения и формулы для присоединенных элементов и можно найти в [1] и [2]. Введем еще один проектор

n Pi

Q = E ) }^(Pi+j i=1 j=1

тогда справедливы следующие операторные равенства [2] Лемма 1.

Q(Ar)fc \l - q1 = 0, k £ N, (4)

АГ

I - я

в -

I - я

А = 0,

(5)

Г

I - я

П Рг

в + ^им*Ф?)}^(Рг+1-3) -1.

г=1 3 = 1

(6)

,N—1

Пусть - резольвента ядра к(£) = * /?(£)#(£), Л(£) -

резольвента ядра (-а(Ь)), тогда выполняются следующие сверточные равенства (первые два из которых доказаны в [2])

Лемма 2.

Ь

м-1

N - 1)!

Ь(к+1)М-1

((Л + 1)ЛГ-1)!1

в(г) * (5(1)+щгщг)) * (ё(м) (ь) - тт) = т

к+1

е(г) * (5(1)+щь)в(ь)) * (5(м )(Ь) - тт) =

Ь

кМ— 1

6(ь) * (5(ь)+ п(г)в(г)) , к > 1,

(кЫ - 1)!

(5(ь) + а(ь)б(ь)) * (б(г) + Ць)О(ь)) = 5(ь), (5(Ь) + а(Ь)6(Ь)) * (5(Ь) + Л(ЬЩЬ)) ^ = (5(Ь) + Л(ЬЩЬ)) к, к > 1,

где под к-ой степенью обобщенной функции понимается ее к-кратная свертка с собой, а нулевая степень обобщенной функции есть 5(Ь).

3. Фундаментальная оператор-функция вырожденного интегро-дифференциального оператора

Теорема 1. Если фредгольмов оператор В имеет полный А-жорданов набор, то интегро-дифференциальный оператор См(5(Ь))= В5(м)(Ь) -А5(Ь) - (а(Ь)А + 0(Ь)В)6(Ь) = (5(м) (Ь) - 0(Ь)в(Ь)) В - (5(Ь) + а(Ь)6(Ь))А имеет на классе К+ (Е2) (обобщенных функций с ограниченным слева носителем) фундаментальную оператор-функцию вида

8м(Ь)= Ым(Ь)6(Ь) I - Я

г=1

Рг 1 \ Pi-k

ЕЕ

к=0 I з=1

(з)\ Рг-к+1-з)

х (5(м) (Ь) - 0(1)6(1)) к * (5(1) + Л(Ь)9(Ь)Л к+1

(7)

п

X

где

Un (t)9(t) = TÜn (t)d(t) =

ГЕ

k=l

t

kN-l

(kN - 1)!

9(t) * ( ô(t) + K(t)d(t)) * (S(t) + a(t)9(t))k-l(Ar)

\k— l

Доказательство. Согласно определения фундаментальной оператор-функции [3], [4] для доказательства теоремы достаточно проверить справедливость следующих двух равенств:

Ln(S(t)) * Sn(t) * u(t) = u(t) для всех u(t) e K+ (E2), (8)

Sn(t) * Ln(S(t)) * v(t) = v(t) для всех v(t) e K+ (El). (9) Действительно, в силу равенства (3) для проектора Q

Ln(S(t)) * Un(t)d(t) [i - Q = (i - Q) (s{n}(t) - ß(t)d(t)) * Ün(t)d(t) i - Q

-(5(г) + а(г)в(г)) * лгйм(г)в(г) I - О

В силу сверточных равенств леммы 2

5(м)(г) -р(г)в(г)^ *йм(г)в(г) = щг) + (5(г) + а(г)в(г)) * лгйы(г)в(г),

поэтому

См (5(1)) *Ш (г) в (г) [I - я (I - О) (у15(г) + (5(г) + а(г)в(г)) * лгиИ(г)в(г)) --(5(г) + а(г)в(г)) * лгйм(г)в(г)] \I - $ I - д] 5(г) - (5(г) + а(г)в(г)) * олг^м(г)в(г) I - д

Но по формуле (4) (см. вспомогательную лемму 1)

QArÙN(t)d(t) I - Q

= 0,

следовательно

Ln(S(t)) * Un(t)d(t) I - Q = I - Q S(t).

Далее прямыми выкладками находим

Ln(S(t)) * [Sn(t) -Un(t)d(t)

I - Q

k

Е

г=1

Р—1 \Pi-k

Е Е ■ ^ 1в

О)\ п,М-к+!-з)

к=0 I о=1

/ \ к+1 / \ к+1 х(5(м)(г) - в(тщ *(ад + лет*)

+Е

г=1

+

Pi-l \ Pi-k

Е Е(-,№)^-к+1-л

к=0 [о=1

х(5(м) (*) - в(М*)) к * (5(1) + а(г)0(г)) * (§(*) + л(*)9(^ к+1

Так как = 0, то по лемме 2 получаем

См(5(г)) *1еК(г)-имШь) I - ф

Е

г=1

Pi-2 I р—к-1

к=0 I о=1

И) \ -р,,„(р—к+1-э)

Е Е {•,№)в<РГ

/ \ к+1 / \ к+1 X (5(м)(г) - в(г)о(г)) * (5 (г) + л(г)0(г)

+

+Е

г=1

Р^1 \Р—к

к=1 \ о=1

Е Е {;№)А№

(з)\ л, Ар—к+1 -О)

или

х(5(м) (г) - в(г)о(г))к * (5(1) + л(г)0(г)к

+ ф 5 (г)

См(5(г)) * [£м(г) -Км(г)о(г) I-ф

Е

г=1

Pi-l I Pi-k

^ 1 Е ( ■ О

к=1 I 0=1

» {Б^-к+2-0 - А^п-к+1-з)

х(5( м)(г) - в(г)в(г))к * (5(г) + л(г)0(г)л к

+ ф 5 (г).

Отсюда в силу определения А-жордановой цепочки [1], [2]

См (5(г)) * Ем (г) -Км (г) о (г)

I - ф

= ф5(г),

X

X

X

X

X

таким образом См(5(1)) *8м(г) = 15(1), т.е. равенство (8) доказано. С другой стороны по лемме 2 и формуле (9) получаем

им (г)в(г)

I - Я

* См(5(1)) =

= г 15(г) + йм(г)в(г) * (5(г) + а(г)в(г))лг) I - Я

Б-

-гйм(г)в(г) * (5(г) + а(г)в(г)) I - Я

л=г

I - Я Б5(г)+

+гим (г) в (г) * (5(г) + а(г)в(г)) лг

I - Я

Б

I - Я

л=

г

I - Я

Б5(г).

Поскольку Б= 0, то по лемме 2 получаем

8м(г) -им(г)в(г)

I - Я

* См(5(г)) =

Е

г=1

Рг 2 \Pi-k-l

Е Е {В^) ^г-к+1-3)

к=0 I 3=2

/ \ к+1 / \ к+1 х(5(м)(г) - в(г)в(г)) * 5(г) + л(г)в(г)

+

г=1

Рг-1 \ Pi-k

е Е(-,лч(3)) ^г-к+1-з) _к=1 { 3 = 1

х (5(м)(г) - в(г)в(г)) * (5(г) + л(г)в(г)

+

п рг

л*„1.и)\,ЛРг+1-3)

£

г=1

+ ЕЕ (-А Ф13') <Р.

г=1 3=1 Рг-1 | Рг-к

5 (г) =

Е{Е(;б¥/+1) - лф3)) ^г-к+1-3) > х

к=1 {3=1

х(5(м) (г) - в(г)в(г))к * (5(г) + л(г)в(г)х к

+

п Рг

+ ЕЕ {;* Ф3+1-3 )5(г)

г=1 3=1

X

X

(j)\ ,M+l-i)

т,

Отсюда по определению Л* — жорданова набора [1] вытекает равенство

п Рг

(е„(г) —ыи(г)в(г) [/ — д])*Смт) = ££(■А*Ф{?)) V?

г=1з=\

из которого по формуле (6) получаем равенство

8м(г) * Смт) =

г

I - Q

n Pi

в + ££ ъ i=i j=i

(j)\,APi+i-j)

5(t) = I5(t),

завершающее доказательство формулы (9) и теоремы в целом.

□

Наиболее простой вид формула (7) для фундаментальной оператор-функции 8м (г) будет иметь при р1 = р2 = ... = рп = 1, а именно:

¿n (t)= Un (t)O(t)

n

I - £ (^i4)

i=l

i=l

В этом случае единственным обобщенным решением задачи Коши (1)— (2) в классе К+ (Е\) обобщенных функций с ограниченным слева носителем является регулярная обобщенная функция вида

U(t) = ¿N(t) * f (t)d(t) + BUN-iS(t) + BUN-25'(t) +

+ ••• + Bui5(N-2)(t) + Buo5(N-l)(t)) . (10)

Прямыми вычислениями находим

u(j j)(t)

t=0

rBuj - Z f(j)(0) + j)(0)f (0) + A(j-2)(0)f'(0) +

i=l

+ • • -+A(0)f(j-l)(0),^(1^= Uj(AUj + f(j)(0) + A(0)f(j-l)(0) +

i=i

+ ••• + А(—)(0)/'(0) + А(—)(0)/(0),ф(1)) ^, з = 0,1,...,М — 1, отсюда в силу линейной независимости системы элементов {^Р} полу-

чаем

n

n

n

Теорема 2. Если в условиях теоремы 1 длины всех А-жордановых цепочек равны 1, то задача Коши (1)-(2) имеет в классе См(г > 0,Ег) единственное решение вида (10) тогда и только тогда, когда выполнены условия

(Лщ + /и )(0) + Л(0)/(—)(0) + ■■■ + Л(—)(0)/'(0)+

+Л(1-1) (0)/(0),41]) =0, э =0,1,...,М — 1, I = 1,...,п. (11)

Замечание 1. Если в условиях теоремы 1 [5(1) = 0, то формула (7) совпадает с основным результатом работы [5], если а(г) = 0, то с результатом работы [2], а если а(г) = (3(1) = 0, то работы [3].

Замечание 2. Результат теоремы 1 допускает обобщение на случаи, когда оператор В нетеров или операторный пучок (В — АА) спектрально, секториально или радиально ограничен [6].

4. Приложения

Исследуем две начально-краевые задачи из теории колебаний в вяз-коупругих средах [7].

Пример 1. Рассмотрим уравнение

г

(А — А) щ — (р — А) и — ! д(г — т)(у — А) и(т, х)йт = /(г, х), (12)

о

где д(г), /(г,х) - заданные функции, и = и(г,х) - искомая функция, х € О С Кт - ограниченная область с бесконечно гладкой границей дО, А - оператор Лапласа, и = и(г, х) определена на цилиндре Я+ х О и удовлетворяет начально-краевым условиям

и

= и0(х), х € О; и

г=о

= 0, г > 0.

(13)

Задача Коши - Дирихле (12)-(13) редуцируется к задаче Коши (1)-(2) если выбрать банаховы пространств Е\ и Е2 как соболевские, т.е.

Ег = { у(х) € Ш%(О) : V

дП

= ^ , Е2 = Ш2(О),

(14)

а операторы А и В определить формулами

В = А — А, А = р — А, А € а (А), р =

(15)

В этом случае

а(1) = т = ^д®,

Л - Ц Л - ц

оператор Б фредгольмов, размерность п ядра оператора Б равна кратности собственного значения Л € &(А) оператора Лапласа, длины всех Л-жордановых цепочек базисных элементов ядра рг € N (Б), г =

1,...,п равны 1, здесь Лрг = Арг, рг = 0, т.е. выполнены все

хедп

условия теоремы 2. Таким образом справедлива следующая

Теорема 3. Пусть для задачи Коши - Дирихле (12)-(13) пространства Е1 и Е2 выбраны как в (14), операторы Л и Б определены как в (15), Л € &(А), тогда задача Коши - Дирихле (12)-(13) однозначно разрешима в классе С 1(г > 0,Е1) тогда и только тогда, когда начально-краевые условия (13) и функция (г, х) удовлетворяют соотношениям

((ц - Л)ио(х) + f (0, х),рг (х)^ = 0, г = 1,...,п.

Пример 2. Рассмотрим уравнение

г

(Л - А) пы-5Апг-(ц - А) п^д(г-т)(ч - А) п(т,х)йт = f (г,х), (16)

0

с начально-краевыми условиями

п

= по(х), пг

г=о

= п1(х), х € О; п

г=о

= 0, г > 0. (17)

хедп

Положим в уравнении (16) 5 = 0, пространства Е1 и Е2 выбраны как в (14), операторы Л и Б как в (15), тогда справедлива

Теорема 4. Пусть для задачи Коши - Дирихле (16)-(17) 5 = 0, пространства Е1 и Е2 и операторы Л и Б выберем как в (14) и (15), Л € &(А), тогда задача Коши - Дирихле (16)-(17) однозначно разрешима в классе С2(г > 0,Е1) тогда и только тогда, когда начально-краевые условия (17) и функция (г, х) удовлетворяют соотношениям

(ц - Л)2п,1(х) + (ц - Л)^(0, х) + (ч - ц)дШ(0, х),рг(х)) = 0, (^(л - Л)по(х) + f (0, х),рг (х)^ = 0, г = 1,...,п.

Список литературы

1. Вайнберг М. М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг, В. А. Треногин. - М. : Наука, 1969. - 528 с.

2. Фалалеев М. В. Интегро-дифференциальные уравнения с фредгольмовым оператором при старшей производной в банаховых пространствах и их приложения / М. В. Фалалеев // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. - 2012. -Т. 5, № 2. - С. 90-102.

3. Фалалеев М. В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в банаховых пространствах / М. В. Фалалеев // Сиб. мат. журн. - 2000. - Т. 41, № 5. - С. 1167-1182.

4. Lyapunov - Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications / N. Sidorov N, B. Loginov B, A. Sinitsyn and M. Falaleev - Dordrecht : Kluwer Academic Publ.,

2002. - 548 p.

5. Фалалеев М. В. Вырожденные интегро-дифференциальные операторы в банаховых пространствах и их приложения / М. В. Фалалеев, С. С. Орлов // Изв. вузов. Математика. - 2011. - № 10. - С. 68-79.

6. Sviridyuk G. A. Linear Sobolev-Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov. - Utrecht- Boston-Koln-Tokyo : VSP,

2003.

7. Cavalcanti M. M. Existence and Uniform Decay for a Non-Linear Viscoelastic Equation with Strong Damping / М. M. Cavalcanti, V. N. Domingos Cavalcanti, J. Ferreira // Math. Meth. Appl. Sci. - 2001. - Vol. 24. - P. 1043-1053.

M. V. Falaleev

Singular integro-differential equations of the special type in Banach spaces and it's applications

Abstract. In this paper Cauchy problem for singular integro- differential equation of the special type in Banach spaces is investigated with help of the theory of fundamental operator-functions. The corresponding fundamental operator-function is constructed, the conditions for equal generalized with classical solution are describet. The abstract results are illustrated by examples of the initial-bounbary problems of the mathematical theory of viscoelasticity.

Keywords: Banach spaces; generalized function; Jordan set; Fredholm operator; fundamental operator-function.

Фалалеев Михаил Валентинович, доктор физико-математических наук, профессор, Институт математики, экономики и информатики, Иркутский государственный университет, 664003, Иркутск, ул. К. Маркса, 1 тел.: (3952)521298, 512285 ([email protected])

Falaleev Mikhail, Irkutsk State University, 1, K. Marks st., Irkutsk, 664003, professor, Phone: (3952)521298, 512285 ([email protected])