Начально-краевые задачи для неклассических уравнений математической теории упругости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958:539.3, 517.983.5 Орлов Сергей Сергеевич,

аспирант, Институт математики, экономики и информатики Иркутского государственного университета, e-mail: [email protected]

НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕКЛАССИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

S.S. Orlov

INITIAL BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR MATHEMATICAL THEORY OF ELASTICITY NON-CLASSICAL EQUATIONS

Аннотация. Рассмотрены задачи Коши -Дирихле для трех линейных уравнений соболевского типа, описывающих процессы в упругих, термоупругих и вязкоупругих средах. Получены достаточные условия существования и единственности классического решения каждой из этих задач, а также явные формулы для восстановления решений. Исходные задачи сведены к начальной задаче для интегро-дифференциального уравнения в банаховых пространствах. Последняя исследована методами теории фундаментальных оператор-функций вырожденных интегро-дифферен-циальных операторов.

Ключевые слова: банахово пространство, жорданов набор, фундаментальная оператор-функция, фредгольмов оператор.

Abstract. Cauchy - Dirichlet problems for three linear Sobolev type equations, describing the processes in elastic, thermoelastic and viscoelastic media, are considered. Sufficient conditions of every problem classical solution existence and uniqueness as well as explicit formulas for its restoration are obtained. Primary problems are reduced to the initial problem for integro-differential equation in Banach spaces. The last problem is studied by the methods fundamental operator-functions of degenerated in-tegro-differential operators theory.

Keywords: Banach space, Jordan set, fundamental operator-function, Fredholm operator.

Введение

Исследование некоторых динамических моделей механики сплошных сред сопряжено с необходимостью решать уравнения в частных производных с особенностью, состоящей в наличии при старшей производной по времени оператора, который при определенных предположениях,

не противоречащих физическому смыслу, является необратимым. Такие уравнения называют уравнениями соболевского типа. Известно, что начально-краевые задачи для них не всегда имеют классические (достаточно гладкие) решения. Таким образом, при исследовании этих нетривиальных математических объектов, прежде всего, актуально выяснение условий, которые гарантировали бы однозначную разрешимость.

В настоящей работе изучается вопрос существования и единственности классических решений задач Коши - Дирихле для трех линейных уравнений в частных производных [1-3], возникающих в математической теории упругости [4]. Рассматриваемые динамические модели сводятся к задаче Коши для интегро-дифференциального уравнения в банаховых пространствах и исследуются в единой для всех операторной постановке.

Постановка задачи

Пусть О - ограниченная область вещественного векторного пространства Rы с границей дО класса Сш, переменная t принимает положительные вещественные значения, т. е. t е R + . В цилиндре

К+ хО = { (I х): tеК+, х еО } рассмотрим интегро-дифференциальное уравнение

д2 _ д _ _ (а - А)—-ы(}, х) - /ЗА—ы^, х) - Аы(^ х) + дt2 дt

+

t

J g(t-t)Au(t, x)dz = f (t, x), (1)

и дифференциальные уравнения

(у - A)—-u(t, x) - A—u(t, x) + dt2 dt

+ A2u(t, x ) = f (t, x ),

(2)

0

д2 _ д _ (Л - А)—-u(t, x) - a(A - Л')—u(t, x) -dt2 dt

- b(A- Л" )u(t, x) = f (t, x). (3)

Здесь a, / , у, Л, Л", Л", a , b - отличные от нуля вещественные параметры, причем Лф Л", ядро g(t): R + ^ R - аналитическая функция. В случае N = 3 и f (t, xx, x2, x3) = 0 уравнение (1) моделирует вязкоупруго-динамическое состояние среды [1], при этом функция u = u(t,xx,x2, x3) определяет смещение, числовые параметры a и / представляют собой нелинейные соотношения между постоянными характеристиками среды, а функция g = g(t) отражает ее реологические

свойства (ползучесть). При N = 2 и f (t,xx,x2) = 0 уравнение (2) описывает поперечные колебания диссипативной пластины с учетом тепловых эффектов [2], где функция u = u(t,x1,x2) задает прогиб пластины, вызванный массовыми силами, а коэффициент у обратно пропорционален квадрату толщины пластины. В случае одной пространственной переменной уравнение (3), называемое уравнением Буссинеска - Лява, моделирует продольные колебания упругого стержня с учетом инерции при изменяющейся во времени внешней нагрузке f = f (t, x) [3], причем функцией u = u(t, x) определяется прогиб стержня, а постоянными Л , Л , Л , a , b - неизменные характеристики процесса.

Для каждого из уравнений (1), (2) и (3) зададим начальные

д _

u(t,xto = uo(x), — ^x)

= ux(x), x eQ (4)

t=o

и однородное граничное

u(^ x)\ xedQ = ^ (t, x) e R+

xdQ

(5)

Редукция к начальной задаче

для интегро-дифференциального уравнения в банаховых пространствах

Пусть Е, Е2 - вещественные банаховы

пространства. Рассмотрим интегро-

дифференциальное уравнение

í

Бы" (С) = Ли' (С) + Лы(С) + |к (С - + / (С) (7)

с начальными условиями

u(0) = u0, u"(0) = щ,

(8)

где В, А, А - замкнутые линейные операторы, действующие из Е1 в Е2, к^) - однопараметри-

ческое семейство класса Сш (Я +) операторов с аналогичными свойствами и областью определения В(к), не зависящей от аргумента t, причем

условия, т. е. поставим задачи Коши - Дирихле. Здесь функции и0(х), и1(х) для уравнений (1) и (3) имеют на множестве О порядок гладкости к + 2, для второго уравнения - к + 4, к е {0} ^N,

причем ио( х )_е0О = и1( х)\_рда= 0.

Цель настоящей работы - исследовать вопрос существования и единственности классических решений начально-краевых задач (1), (4), (5); (2), (4), (5); (3)-(5) и построить эти решения в замкнутом виде. При этом отдельно будут рассмотрены два принципиально разных случая а, у, Л £ ст(А) и а , у , Л е ст(А), где <г(А) - спектр однородной задачи Дирихле вида

Аф( х) = ф(х), Ф(*)|-едО = 0. (6)

В(В) = В(А1) о В(А0) о В(к) = Е1, В(В) с В(А1) о В(А) о В(к), оператор-функция к^) сильно непрерывна на В(к ).

Начально-краевые задачи (1), (4), (5); (2), (4), (5) и (3)-(5) могут быть сведены к задаче Ко-ши (7), (8), если положить

Е -Ь2(О) = {у(х) е Е(О): v(T^_едО = 0}, Е2 - Ь2 (О),

В = а-А, А =РА, А0 = А, к(г) = -g(t)А,

В(В)=в(а )=В(А)=В(к) - н к+2 (О) = = {кх) еЖк+2(О) : г(х^ = 0};

Е - нк+4(О), е - нк (О), В = у-А, А1 = А, А0 = -А2, k(t) = О, В(В)=В(А1) = в(А)=В(к) - Е

Е - Ь2(О), е2 - ь2(О), В = Л-А, А = а(А-Л'), А = Ь(а-Л"), k(t) = О,

В(В) = В(А1) = В(А0) = В(к) -нк+2(О) соответственно, к е {0} ^ N. При этом случаю а , у, Л £ ст(А) отвечает непрерывная обратимость оператора В , а для а , у , Л е ст(А) при указанном выборе Е1 и В(В) в каждой из рассматриваемых задач оператор В является фредгольмовым, т. е. Ж В) = ^(В) и ЖтЫ (В) = ЖтЫ (В*) = и < .

Исследование исходных начально-краевых задач удобно проводить в операторной постановке (7), (8). Этому и посвящен следующий пункт.

0

и

Классическое и обобщенное решения начальной задачи (7), (8): условия существования и единственности, методы построения

Далее выясним условия существования и единственности классического решения задачи Коши (7), (8), под которым понимается функция

u(t) класса C2(R +,E1), обращающая в тождество уравнение (7) и удовлетворяющая начальным условиям (8). Исследования будем проводить с помощью аппарата обобщенных функций (распределений) в банаховых пространствах [5, 6], который имеет общую идеологическую и методологическую основу с классической теорией обобщенных функций Соболева - Шварца [7] и в дальнейшем изложении будет использоваться без дополнительных пояснений.

В обобщенных функциях задача Коши (7), (8) принимает вид сверточного уравнения

L2(S(t)) * U(t) = g(t). (9)

Здесь обобщенная оператор-функция [5, 6]

L (S(t)) = B5" (t) - AS'(t) - AS'(t) - k(t)d(t)

соответствует интегро-дифференциальному оператору уравнения (7), а обобщенная функция g~(t)

класса K"(R +,E2) распределений с ограниченным слева носителем имеет вид

g(t) = f (t)0(t) + (Bui - Au )S(t) + Bu0S"(t).

Решение уравнения (9) в классе K"(R +, E1) (обобщенное решение задачи Коши (7), (8)) задается формулой

u(t) = s(t) * g(t), (10)

где обобщенная оператор-функция s(t) удовлетворяет следующим двум условиям

L2 (S(t)) * s(t) * v(t) = v(t), Vv(t) e K"(R+,E2), s(t) * L2 (S(t)) * w(t) = w(t), Vw(t) e K"(R+,E) и называется фундаментальной оператор-функцией интегро-дифференциального оператора L2(S(t)). Эта конструкция введена М. В. Фалалее-вым в [5, 6] как расширение понятия фундаментального решения (функции влияния) дифференциальных операторов [7] на случай дифференциальных (в том числе и с частными производными [8]), интегральных и интегро-дифференциальных операторов в банаховых пространствах.

Существование решения вида (10) уравнения (9) объясняется существованием свертки обобщенной оператор-функции s(t) с распределением g(t) e K"(R +,E2) [5, 6], а единственность нетрудно показать с использованием второго равенства из определения фундаментальной опера-

тор-функции и свойства ассоциативности бинарной операции * по схеме, изложенной в [7, с. 86].

Введем в рассмотрение оператор-функцию

t

Е(0 = А + а): + | С - s)k. (11)

о

Теорема 1. Пусть оператор В непрерывно обратим, тогда интегро-дифференциальный оператор Ь2(8(1)) имеет на классе К"^ +,Е2) фундаментальную оператор-функцию вида

ех (г) = В Лв(0 * (12 8(1) + Я (г Щ:)), где Я,(1) - резольвента ядра Е (:)В 1 (см. (11)).

Доказательство. В соответствии с определением фундаментальной оператор-функции, требуется проверить два сверточных равенства

Ь2 (8(1)) * е1 (0 = 128(1), е1 С) * Ь2 (8(1)) = 1,8(0. Здесь и далее 11 и 12 - тождественные операторы в пространствах Е1 и Е2 соответственно.

Используя очевидное соотношение Я (0в(^ = Е(0В ~1в({) + Е^)В-Щ) * Я (в) для резольвенты Я1 (1:) , непосредственными вычислениями в первом равенстве получим

Ц2 (8(0) * е (0 = Ц (8(0) * Б~Чв(Г) * (128(0+Ц (00(0) = = (18) - е С )В-в($)) * (18) + Я1(:)0(:)) = = 12 8(1) + Я (0) -

- ^(:)В-1Щ(:) + Е^)В-1Щ(1) * Я (0)) =

= 18) + Я т) - Я ^№) = 128(0, а во втором, с учетом

Я (0) = Е (:)В-0) + Я (Щ) * Е (:)В-1Щ(: ), справедлива цепочка равенств

е1({) * Ь2(8(:)) =

= В Чв^) * (128(0 + Я (0)) * Ь2 (8(ф = = в-Чв^) * (12 8(0 + я ОвО) *

* (128О - Е(ОВв)) * В8"(0 =

=В 'Чв^) * (128с) + я, с в) -

- ф ОВ-вО + Я, (в) * Е ^ )В10(: )))* В 8 " ^) = = В-Чв^) * В8""^) = 1,8(0.

Теорема доказана.

Замечание 1. В развернутом виде решение (10) представляет собой регулярную обобщенную функцию

u(t) = u(t )6(t) =

un +

I

J B 1R (s)Bu0ds

+

+ JB *(I2 + (t - s)R (s))(Bu - A^q )ds +

0

0

t t-s

+ j jB_1(i2 + (t-s-t)R(т))f(s)drds e(t), (12) где введено обозначение lk(p) = £F(к-?)(0)р<<

0 0

где u(t) e C(R +,E1) в случае f (t) eC(R +,E2) удовлетворяет уравнению (7) и начальным данным (8), т. е. является классическим решением задачи Коши (7), (8). Таким образом, справедлива

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и f (t) e C(R +, E2 ) , тогда задача Коши (7), (8) имеет единственное классическое решение, которое задается формулой (12).

Рассмотрению случая необратимого оператора B (вырожденного или сингулярного интегро-дифференциального уравнения (7)) предпошлем некоторые вспомогательные сведения.

Пусть B - фредгольмов оператор, т. е. R(B) = R(B) и dimN(B) = dimN(B*) = n <+ю,

рг }n=l - базис в N(B), {уг }n=1 - базис в N(B*),

{yi }nj=l с El, {zj }=1 с E2 - биортогональные им

системы элементов: р,, у^ = 5j, {zi , Wj) = 5j,

i, j = 1, ..., n .

Введем в рассмотрение проекторы P: Ej ^ N(B), Q: E2 ^ span {zi} ni=1, действия которых задаются формулами

n n n n

P=TP' =z(■,угh, Q=1LQ> =E(^)z,,

¿=1 ¿=1 ¿=1 ¿=1

и ограниченный оператор Г: E2 ^ N(P) n E(B),

n

Г = B-1 = (B + £(■, у,>,) -1, i=1

называемый оператором Треногина - Шмидта [9]. Справедливы следующие равенства:

P =rz!, W, =Г"у1, i = 1, ..., n, rB = I1 - P , Br = 12 - Q . Обобщенной жордановой цепочкой длины pt e N элемента у относительно оператор-функции F(t) (см. (11)) (или короче F(t) -жордановой цепочкой) будем называть конечное множество { р(1) = pt, р(2), ... , p(pi) }с E1 элементов, удовлетворяющих уравнениям

Bp(1) = 0, Bp(j+1) = /j(р), j = 1, ...,pt -1,

которые, в соответствии с альтернативой Фред-гольма [9], разрешимы, если выполнены условия

(/k (P ),Wj) = 0, k = ¡, ..., p,-1, j = 1, ..., n ,

4=1

Вектор р\■/'+1), у = 1, ..., рг -1 принято называть F(t) - присоединенным элементом ] -го порядка элемента р . Условие обрыва жордановой цепочки присоединенных элементов на р -м шаге состоит в том, что не все числа (Iр (р), ^ ^,

у = 1, ..., п, равны нулю. Построив по описанному правилу для каждого базисного элемента рi е М(В) свою обобщенную F^)-жорданову цепочку, получим множество

{ рр\ г =1 ..., п у =1 ..., рг }сЕ1, называемое обобщенным F(t) -жордановым набором оператора В , элементы которого могут быть восстановлены по формулам

P

(j+1) _

= Г/j (у,), i = 1, ..., n, j = 1, ..., p, -1. (13)

F(t) -жорданов набор назовем полным, если

det

(Pt W ф 0.

> lit, j=1, ..., n

В этом случае {w, можно выбрать таким, что

(/Pi (p, ^Wj) = 5,j, ¿,j =1 .., n,

тогда zi = /pi (у,), i = 1, ..., n .

В работах Б. В. Логинова (см., например, статью [10] и библиографию к ней) показано, что, если фредгольмов оператор B имеет полный F(t) -жорданов набор, то существует и полный

F* (t)-жорданов набор оператора B *, который строится по тем же правилам, причем базисы в N(B) и N(B*) можно выбрать так, что элементы P и Wi с одинаковыми номерами имеют обобщенные жордановы цепочки одинаковой длины.

Полным F* (t) -жордановым набором оператора B* называется система элементов у\j) e E2*, i = 1, ..., n, j = 1,...,pi, удовлетворяющих уравнениям

BW = 0, btj = / j (Wi), i = 1, ..., n, j =1 ...,pt - 1, условиям разрешимости

(p, £(Wj^ = 0, ^ j =1, ...,n, k =1, ...,pj -1, и полноты

(p , /pj (Wj)) = 5ij, ¿,j=1, ..., n .

Здесь Ii(у) = ]Г (f1^q)(0))Vjq) . Для восстановле- G(t) * L2(S(t)) = (12S(t) + ^jQ1Ri7Pi\t)ß(t))

q=l

ния присоединенных элементов справедливы формулы

yU+V =г*/*{Wi), 1 = i ...^n, j = 1 ...^pi _ 1, (14)

* (128(1) - Е(I)Т0(:)) * В8"О . (20) Доказательство леммы 1. Последовательно докажем пять этих равенств. Исходя из соотношения

Я С) = .

а из условия полноты Е* ^)-жорданова набора следует, что // = I* ), / = 1,...,п.

Условия разрешимости уравнений для определения Е^)- и Е* ^)-присоединенных элементов, в силу равенств (13) и (14), могут быть записаны в следующем эквивалентном виде:

(#+Ц, ъ) = М+4) = 0, (15)

/, ] = 1,...,п, " = \...,рг -1.

Теорема 3. Пусть фредгольмов оператор В имеет полный обобщенный жорданов набор относительно оператор-функции Е^) (см. (11)), тогда

интегро-дифференциальный оператор Е2(8(1 ))

имеет на классе К'(^,Е2) фундаментальную соответственно. Затем с помощью равенства

(t) = F(t)Г + |F(t _ s)rR2 (s)ds (21)

о

и равенства (14), при к = 1 и к = 2 получим QR(0) = ( • , У® )z,F(0)Г= ( • ,Г*F*(0)у(»)z,

= ( • .Г*/* V))zi = ( • М2))zi

z, =

Q,R'2(0) = ( •, y^z,(F '(0)Г + (F(0)r)2)= = ( • , Г*(р * (0)rf2) + F' * (0)tf>) zi =

= { •, Г*/2 (V,))zi = ( • zi

оператор-функцию вида

e2(t) = U6(t) * (I2S(t) + R2(t)0(t)) * * (I2S(t) + N(t)0(t)) * G(t),

где Г - °перат°р Тртшгана- Шмвдта, R2(t) - доказывается, что QR(k_1)(0) = ( • ,Г* l*{y))z1 резольвента ядра F(^Г, N(t) - резольвента ядра

R^_l) (0) = F {к_Х) (0)Г + F {к_2) (0)ГR2 (0) + + F{к _3 (0)ГК2 (0) +... + F (0)Щк_2) (0), которое можно получить из (21), индукцией по к

f

\

откуда, в силу (14) и yf1 = Г*1' {yi), следует тре-

_ Z QiR<2Pt)(t) , обобщенная оператор-функция буемое равенство (16).

V i=1 У

G(t) задается формулой

Так как (12 — Q)zi = 0, имеют место соотно-

шения

G(t) =

n Pi .

(12 _ Q)S(t) • , rfj))z,Ö( Pi +1—j)(t)

i=1 j=1

\

(12 _ Q)S(t) * N(t)0(t) = O,

n Pi

в которой Q - введенный выше проектор, а эле-

i

(12 _ Q)S(t) •, z^Pi+1—) (t) = O

i=1 j=1

менты j\ i = 1,...,n, j = 1,...,pt, составляют которые в совокупности со свойством идемпо-

полный Е * ^) -жорданов набор оператора В *. Приведем вспомогательную лемму. Лемма 1. Пусть выполнены условия теоремы 3, тогда справедливы следующие равенства:

QM _\0) =

К • к = I,...,P,

I Q:, к = p,;

(16)

Vi Jzi

Qi, к =

(12 _ Q)S(t) * (12S(t) + N(t)ß(t)) * G(t) =

= (12 _ Q)S(t), (17)

(QIR<2Pi\t)0(t) + QtS(t)) * (12S(t) + N(t)d(t)) =

= QAt), (18)

QR2 (t)0(t) * (12Ö(t) + N(t)ß(t)) * G(t) =

тентности проектора 12 _ Q доказывают справедливость равенства (17).

С учетом QiQj = SQ и

n

_ N (t )0(t) = ^ QRРк )(t )0(t) * (12S(t) + N (t )6(t)),

к=1

нетрудно убедиться, что

(QiR2Pi\t)d(t) + QS(t)) * (12S(t) + N(t)d(t)) =

f n \

= QS(t)* zQR^)(t)0(t)+12S(t)

V к=1 У

* (I2S(t) + N (t )0(t)) = = QS(t) * (12S(t) + N(t)0(t) _ N(t)0(t)) = QS(t),

= _QS(t):

(19) т. е. равенство (18) верно.

*

i=1

n

Используя последовательно (16), (18), а затем (15) и легко проверяемые соотношения (12 - О) = 0, = , тождественными

преобразованиями, а именно

0Я2 ^ )0(О * (12д(г)+N (00(0) * О(г) =

= x q,ri(t ж) *5( pi )(t) •

i=1

* (125(t) + N(t)d(t)) *

/pi-1

(pi-1)!

0(t) * G(t) =

p,+1

=x Q' R2pi) (tж)+XR(j-2) (0)5(pi+1-/) (t)

j=2

* (I2 5(t) + N (t )0(t)) *

^ -1

(p, -1)!

0(t) * G(t) =

=x (q,r2 pi )(t)^(t)+Q,5(t)+ i=1

+ X( ■ W^z,5(pi+1-j)(t))*

* (125(t) + N(t)0(t)) *

/pi-1

(p, -1)!

0(t) * G(t) =

n p, .

X Q,5(t) + x( ■ ,v(n)zt5 j=2

( pi +1-j )

(t)

У

,pi-1 np,

(12 -Q)—t—— -X5] ■, Wk'))zl5(pk-p+1-j)(t) (pi 1)! k=1 j=1

j ,

(j - 1)/(t) -< ■ , V z'

Pi / . fj-1 ^

-x ■ w!j'0Tj™*)

:X X( ■ //^(0-( ■ , ^ 5(t) -

= -Q5(t),

V j=

j=2

(j -1)!

У

устанавливаем, что (19) верно.

Справедлива цепочка равенств G(t) * L2(5(t)) =

n p, .

(12 - Q)5(t)-Xx( ■ ,w(j)) z5 i=1 j=1

* (B5(t) - F (t)0(t))*5'(t) = = (B5(t) - (12 - Q)F(t)0(t) -

n p, .

xx( ■ , b*w\j z5 pi+1-/ )(t)+ i=1 j=1

(p,+1-./)

(t)

n p, I \

XX{ ■ , Wp))z,5(pi+1-/)(t) *F(t)0(t))* 5"(t),

+

i=1 j=1

в последнее из которых подставим выражение

dp,+1-/

5( pi+1-/) (t) * F (t ЖО = ^p-^- F (t)0(t) =

= f (pi+1-j) (t)Q(t) + F(pi -j) (0)5(t) + F(pi -j-1) (0)5'(t) +... +

+ F '(0)5( pi -/-1) (t) + F (0)5( pi -j) (t), а затем приведем подобные слагаемые относительно производных 5(t) . В результате этих преобразований, с учетом уравнений для определения F * (t) -присоединенных векторов, получим

G(t) * L2 (5(t)) = (B5(t) - (12 - Q)F(t) +

n P, , . \

+ XX\ ■ , W\ j)) z,F(pi+1-/)(t)0(t))*5"(t) = i=1 j =1

I2

+

= (I25(t) - F (t )Щ0 + QF (0Щ0 +

n p, , 4

XX( ■ , w(j))z,F(pi+1-/ЧОГ0(О)*5 "(t) .

i=1 j=1 Но, в силу (16),

n p, I \ QF(t)г#(0 + xx( ■ , W^(pi+1-j)(t)T6(t) : i=1 j=1

n /

= x q (f (pi )(t)г+r2 (0) f(pi -1) (t)г+

i=1

+ R" (0)F(pi -2) (t )Г +... + R(pi -2) (0)F ' (t)Г +

+ R(2pi-1) (0)F (t )Г + Jr(pi )(t - s) F (s^ds)^)

0

n

-x qir2pi )(t ж) * f (t )гж(о = i=1

=Xq, (r2 pi )(t ж) - r2pi )(t)o(t) * f (ож ))=

= )(tЖ) * ^(О - F(t)) ,

г=1

что и завершает доказательство равенства (20). Лемма 1 доказана. Теперь проведем

Доказательство теоремы 3. Требуется установить равенства

Ь2(д(г))*а2(г) = 12^(0, *2(0 * Ь2т)) = ). Вычисляя первую свертку, получаем

ь^т)) «.£2(0=

= ((12 - 0)5«) - F(t)Г0(t)) * (12^) + Е (t)0(t)) *

* (I25(t) + N (00(0)* О«) =

= ((15(0 - 05(0 * (15(0+ВД0(О))*

* (12 5«) + N (00(0)* О^) = = ((12 - 0)5(0 - О^т))*

* (125(t) + N(г0)) * О«), отсюда, в силу (17) и (19),

n

*

i=1

*

*

i=1

n

*

Я2 (8(1)) * е2 (1) = (12 - Я)5(1) + д8(:) = I23(:). Для доказательства второго равенства воспользуемся соотношением (20) из леммы 1. е2(t) * Ь2(8(: )) = = Тгв(г) * (12 8 (г) + Я (г)в(г)) * * (128(1)+Я2 (:)в(:)) * 0(1) * Ь2 (8(:)) = = пв(г) * (128С)+я (:)в(:)) * (128С)+N (г )в(:)) *

п

* (128С) + £ &ЯР/ )(: Ж(: )) *

1=1

* (128(г) - Е(г)Тв(г)) * В8"(г) = = Т:в(:) * В 8''(г) = 18(:). Теорема 3 доказана.

Замечание 2. В условиях теоремы 3 обобщенное решение задачи Коши (7), (8) имеет вид

п Р/-2Р/ -3-1

Ы(г) = ы(:)в(г) + ££ £с^+1]^(")8и-1)(г), (22)

1=1 ]=1 "=1 где функция ы(г), в предположении

(/(1)МЛ) е СР/-3+чя+ ), / = 1,...,п, ] = 1,...,р,,

принадлежит классу С2 (Я +, Е1), удовлетворяет уравнению (7) и начальным данным

п Р/ -1

ы(0) = ыо + ££сц3+1]^ , /=1 3=1

п Р/

ы' (0) = ы, + ££ с,

/=1 3=1

Здесь числа с3 е Я., / = 1,...,п, 3 = 1,...,Р1, определяются единственным образом по формулам

Р/ - 3+1

с,3] = £ (Л(-3-"+1)(0)М")),

"=1

а функция к(г): Я + ^ Е2 имеет следующий вид:

г

Н(г) = / (г) + Аи + А (и + иг) + { к (г - .?)(и0 +

0

Связь между обобщенным и классическим решениями начальной задачи (7), (8) устанавливается естественным образом. Положим с^ = 0 для

всех / = 1,...,п, 3 = 1,...,Р/, тогда сингулярная составляющая решения (22) зануляется и и(г) = ы(г)в(г) , где ы(г) е С2 (Я +,Е,) совпадает с классическим решением задачи Коши (7), (8). Таким образом, справедлива следующая Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 3 и

(/(1)МЛ) е СР/-3+ЧЯ+ ), / = 1, ..., п, ] = 1,...,Р,, тогда, если

Р/ - 3+1

£ 1рР/-3-"+1\0)М)) = 0, / = 1, ..., п, 3 = 1,Р,,

"=1

то задача Коши (7), (8) имеет единственное классическое решение.

Замечание 3. Полученные в теореме 4 условия описывают множество правых частей уравнения (7) и начальных данных (8), при которых рассматриваемая задача Коши (7), (8) однозначно разрешима в указанном классе функций.

Исследование начально-краевых задач. Введем обозначения. Пусть <(А) = Я - спектр однородной задачи Дирихле (6) для оператора Лапласа, где собственные числа Я/ занумерованы

в порядке убывания с учетом кратности, {фг (х)}+=^ - система собственных функций, ортонормиро-ванная в смысле скалярного произведения пространства Я (О). Как было отмечено выше, случаям а , у , Я ст(А) соответствует непрерывная обратимость операторов в главных частях уравнений (1), (2) и (3). Если же а , у , Яе <у(А) , то эти операторы фредгольмовы и размерности их ядер совпадают с конечными порядками кратности собственных чисел а , у , Я.

Пусть собственные функции фi (х) , Я/ =а соответствуют а е <(А) , т. е. являются базисными элементами ядра оператора В = а - А. В качестве базиса в N (В*) выберем систему функций

(х) = — ф{ (х). Тогда имеет место соотношение

а/

(¡1 (ф, ),м) =| /Аф/ (х)М3 (х)& = 81},

О

которое означает отсутствие присоединенных элементов у фi (х), Я =а, т. е. все Р/ = 1. В аналогичных обозначениях то же самое можно показать для операторов В = у-А и В = Я-А из уравнений (2) и (3) соответственно, выбирая базисные элементы в N (В*) следующим образом:

1 °

(х) = - фг (х) е ИМ(О), Яг =у,

У

1

Мг (х) = — фг (х) е И + (О), Я/ =Я. со

Здесь и далее сС = а(Я-Я'), С = Ъ(Я-Я" ).

В качестве следствий теорем 2 и 4 сформулируем утверждения об однозначной разрешимости рассматриваемых начально-краевых задач.

Теорема 5. Справедливы утверждения: А. Пусть а<£<(А) и /(г, х) еС(Я +,Я2(О)), тогда задача Коши - Дирихле (1), (4), (5) имеет един-

ственное решение класса С2 (К+, Ь 2 (О)), которое определяется формулой

и(1, х) = и0 (х) + tu1 (х) +

+

Х~~ГI I(1 + ^ - 5 - Г)Р' (Т))а' (^ТС1Ф (х) .

1=1 а-Л 0 0 В. Пусть а е сг(А) и

i / (t, х)ф (х )с1х е С1 (Я), Л' = а,

О

тогда, если

| (/(0, х) + а/Зщ (х) + аи0 (х))фф (х= 0, Л = а,

О

то задача Коши - Дирихле (1), (4), (5) имеет единственное решение класса С 2(Я+, Ь 2 (О)), которое определяется формулой

и(^ х) = и0 (х) + tu1 (х) +

+

X II(1 + ^ - 5 - Т)Р, (т))а, Штйяф1 (х) -

{/«, х), ф, (х)} нк (О) е С1(Я+ ), Л, =у , тогда, если

(/(0, х) + щ (х) - у2и0 (х), ф, (х= 0, Л = у , то задача Коши - Дирихле (2), (4), (5) имеет единственное решение класса С2 (Я. +, Нк+4(О)), которое определяется формулой

u(t, х) = и0 (х) + и (х) +

^ t / - 5

+ i i(1 + (t-5-Т)г'(т))Ь,(э^хф,(х)-

Л,*уу Л 0 0 1 '

_ I / (5, х)-у\( х ),ф (х ^^ (х) -

Л=уу 0

-1 X ( и1(х),ф,(х)) Нк (О)ф (х).

Л, =у

Здесь г,«) - резольвента ядра Л

у Л,

(1 -Л),

' а - Л

Л*а 1 0 0

г ( г - 5 Л

XI 1 +|Р(Т^Т с

Ч, (5)^5ф, (х) .

г ^ г - 5 1 +

Л =а0 V 0 Здесь p(t) и pi«) - резольвенты ядер

t „( г

1 1

--+ —

З З

i g (т^т

Л

и

а - Л

/ +1 -i« -т)g(т)<лг

0

функция Ъ{ (t) задается следующим образом: Ъ ^) = (/ (t, х) + Ли (х ) - Л2щ (х ) --л2tul(x), ф, (X ^ Нк (О).

Теорема 7. Справедливы утверждения: А. Пусть Л £ ст(А) и /(^ х) е С(Я +, Ь2(О)), тогда задача Коши - Дирихле (3)-(5) имеет единствен-

соответственно, а функции а (t) и Ч«) задаются ное решение класса С (Я +,ь 2(О)), которое следующим образом:

а (0 = i (/(^ х) + л з (х) + и (х) +иг (х) -

определяется формулой

u(t, х) = и0 (х) + и1 (х) +

-1 g (t - т)(щ (х ) + ти1 (х ))dт))фi (х )сх,

0

Ч, (t) = I (/ (t, х ) + а/ (х ) + и0 (х) + Ш1 (х)

+ Хт^-1 I(1 + (t - 5 - Т)5 (Т))с, (х) . ,=1 Л Л, 0 0

В. Пусть Л е ст(А), причем Л ф Л' и

I/(t,х)ф(х^ е С1 (Я), Л = Л,

О

тогда, если

-1 g(t - т)(щ (х) + ти1 (х)^т))ф1 (х)dx .

0

Теорема 6. Справедливы утверждения:

А. Пусть у £ о-(А) и /(t, х) е С(Я +, Нк (О), тогда

задача Коши - Дирихле (2), (4), (5) имеет един- ,

определяется формулой

I (/ (0, х) + со'щ (х) + со"и0 (х))ф (x)dX = 0, Л, = Л,

О

то задача Коши - Дирихле (3)-(5) имеет единственное решение класса С2 (Я +, Ь 2 (О)), которое

ственное решение класса С2 (Я +,Нк+4(О)), которое определяется формулой

и(^ х) = и0 (х) + и (х) +

u(t, х) = и0 (х) + (х) +

+

+

Ъ~Ч- II (1 + ^ - 5 -т)г, (т))ъ (s~)dтdsфi (х).

1=1 у-Л 0 0

В. Пусть у е ст(А) и

X II (1 + ^ - 5 - Т)5, (Т))С, (5^5ф, (х) -

ЧфЛ , 0 0

1 1 'а я)

IIе ^ 5 (/(5,х) + ^и0(х))ф,(хx)dxdsфi(х) -

, © - -Л=Л 0 О

о

О

г г - 5

-1

zj ui( x ф ( x )dx.ф, ( x ) .

2.

Xi =XQ

Здесь si (t) - резольвента ядра

x-x

(с+с ),

функция c. (t) задается следующим образом:

c (t) = (t, x)x)+

Q

+ co'U0 (x) + (х)]фг (x)dx, a>\ = а(Л - Л'), сг" = аД - Л"), Д. * Л.

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору М. В. Фалалееву за ряд ценных замечаний, касающихся представленных здесь результатов.

Работа выполнена при финансовой поддержке Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы, госконтракт № П696, и гранта для поддержки аспирантов и молодых сотрудников ИГУ, тема № 091-08-04 (приказ № 370 от 24.12.2010).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Cavalcanti M. M., Domingos Cavalcanti V. N., Ferreira J. Existence and Uniform Decay for a Non-Linear Viscoelastic Equation with Strong Damping // Math. Meth Appl. Sci. 2001. Vol. 24. P. 1043-1053._

On Exponential Stability for Von Karman Equations in the Presence of Thermal Effects / E. Bisognin, V. Bisognin, G. Perla Menzala,

E. Zuazua // Math. Meth. Appl. Sci. 1998. Vol. 21. P. 393-416.

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М. : Мир, 1977.

Ляв А. Математическая теория упругости. М.-Л. : ОНТИ НКТП СССР, 1935.

Фалалеев М. В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в банаховых пространствах // Сиб. мат. журн. 2000. Т. 41, № 5. С. 1167-1182. Lyapunov-Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsyn, M. Falaleev. Dordrecht : Kluwer Academic Publishers, 2002.

Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. М. : Наука, 1979. Фалалеев М. В. Фундаментальная оператор-функция вырожденного уравнения теплопроводности в банаховых пространствах // Доклады РАН. 2007. Т. 416, № 6. С. 745-749.

Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М. : Наука, 1969. 10. Логинов Б. В., Русак Ю. Б. Обобщенная жорданова структура в теории ветвления // Прямые и обратные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных и их приложения. Ташкент : ФАН, 1978. С. 133-148.

3.

4.

5.

б.

l.

9.

УДК б58.231

Нижегородов А.И.,

канд. техн. наук, доцент Иркутского государственного технического университета (г. Иркутск),

e-mail: nastromo_irkutsk@mail. ru

МЕТОД ВИБРАЦИОННО-ВОЗДУШНОГО РАЗДЕЛЕНИЯ ВСПУЧЕННОГО ВЕРМИКУЛИТА С ВЫСОКИМ СОДЕРЖАНИЕМ ИНЕРТНОГО МАТЕРИАЛА

A.I. Nigegorodov

METHOD OF VIBRO-AERIAL DIVISION OF VERMICULITE WITH HIGH CONTANT OF INERT MATERIAL

i

а

Аннотация. Предложен метод и агрегат для переработки отходов обогащения вермикули-товой руды с извлечением высококачественного вермикулита. Приведены результаты исследования процесса вибрационно-воздушного разделения компонентов вермикулито-песочной смеси.

Ключевые слова: вермикулит, вибропривод, вибрационно-воздушное разделение, дообога-щение.

Abstract. Method and aggregate for recycling of waste products of vermiculite ore for getting ver-miculite are proposed. Results of research of vibrational separation vermiculite mix components are given.

Keywords: vermiculite, components vibrational separation, waste products.