Задача Коши для сингулярной системы уравнений теплопроводности с фредгольмовым оператором при производной по времени в банаховых пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Серия «Математика»

2012. Т. 5, № 2. С. 46-54

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

УДК 517.983.51

Задача Коши для сингулярной системы уравнений теплопроводности с фредгольмовым оператором при производной по времени в банаховых пространствах *

О. В. Сластная

Иркутский государственный университет

Аннотация. В работе построена матричная фундаментальная оператор-функция для вырожденного оператора теплопроводности с фредгольмовым оператором при производной по времени. Получены формулы для обобщенного решения соответствующей задачи Коши.

Ключевые слова: вырожденный оператор теплопроводности; матричная фундаментальная оператор-функция; фредгольмов оператор.

В данной работе рассматривается система уравнений теплопроводности вида

Здесь В, А — замкнутые линейные операторы, действующие из банахова пространства Е1 в банахово пространство Е2, О (В) = О (А) = Е1,

О (В) С О(А), и(Ь,х) — вектор-функция размерности в, каждая компонента которой ии(Ь,х) является функцией со значениями в Е1, f (Ь,х) —

* Работа выполнена при финансовой поддержке Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг., госконтракт №П696.

1. Введение

= ЛААи(і, х) + /(і, х)

(1.1)

с начальным условием

п(і,х)\і=о = ио(х).

(1.2)

вектор-функция размерности в, имеющая компоненты /(Ь,х) со значениями в Е2, V = 1,...,в, оператор В необратим, К(В) = К(В), под записью ААи(Ь,х) понимается вектор-функция с компонентами ААии (Ь,х),

V = 1,...,в, Л — невырожденная квадратная матрица порядка в.

В работах [7,8,12] исследовались различные типы вырожденных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, для построения обобщенных решений которых использовался подход, разработанный на кафедре математического анализа ИМЭИ ИГУ М. В. Фалале-евым. Основным инструментом этого подхода является фундаментальная оператор-функция [7,8,12], соответствующая сингулярному дифференциальному оператору и позволяющая получить обобщенное решение в виде свертки фундаментальной оператор-функции с правой частью уравнения — свободной функцией. Знание фундаментальной оператор-функции позволяет записать в замкнутой форме обобщенное решение, принадлежащее классу распределений с ограниченным слева носителем, а также определить условия существования непрерывного решения задачи, избегая непосредственного его построения.

В работах [5,6,9] идеи работ [7,8,12] были перенесены на системы вырожденных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, для исследования которых была введена матричная фундаментальная оператор-функция. Были построены матричные фундаментальные оператор-функции для ряда дифференциальных операторов в случае фредгольмовости, нетеровости оператора В, спектральной, секториаль-ной и радиальной ограниченности оператора А относительно В.

В настоящей работе результаты, полученные в [10,11] для вырожденного уравнения теплопроводности, распространяются на сингулярные системы уравнений теплопроводности.

2. Вспомогательные сведения

1. Ж^ордановы наборы фредгольмовых операторов. Пусть оператор B фредгольмов, т.е. dim N(B) = dim N(B*) = n, R(B) = R(B), {<£i, i = 1,...,n} — базис в N(B), {фі, i = 1,...,n} — базис

в N (B*), {^і Є E*, i = 1,..., n}, {zi Є E2, i = 1,...,n} — соответствующие биортогональные системы [1], т.е. {tp^^jj) = {zi,^j^) = ;

i,j = 1,...,n.

n

Введем оператор B = B + ^ {■, Yi)zi.

i=i

Тогда по обобщенной лемме Шмидта [1] оператор Г = B-1 существует и ограничен. Оператор Г называется оператором Треногина -Шмидта для фредгольмова оператора B.

Пусть выполнено условие

Л) оператор В имеет полный А-жорданов набор [1] {р(к\ г = 1,...,п,

к = 1,...,Рг}, т.е. существуют элементы ^>(1) = рг, е Е1, г =

1,...,п, к = 2,...,рг, удовлетворяющие соотношениям

Вр1 = 0, Вр^ = Ар(к-1\ г = 1,...,п, к = 2,...,рг,

причем

ёе!

(А^.Ь)

= 0. і. і = 1,...,п;

элементы строятся следующим образом:

^(к) = (тА)к-1^і. <^1} = (ТА)р\п). і = 1.... .п. к = 2..... рі.

Из условия А) следует, что существует полный А* -жорданов набор оператора В*, т. е. существуют такие элементы = фі, є Е*, і = 1..... п. к = 2..... рі. что справедливы соотношения

В*ф(1) = 0. В *4к) = А*4к-1\ і = 1..... п. к = 2..... Рі.

причем

ёе!

(рі. А*ф{р)) =0. і .і = 1..... п;

I (к) (к)

элементы щ строятся аналогично элементам рі , а именно:

ф(к) = (Г А )к-^= (Г А ^Р, г = 1,..., п, к = 2,..., рг.

2. Сведения из теории матриц. Пусть Л — числовая матрица, Х1, Х2,..., — ее характеристические числа. Тогда [3] существует

невырожденная матрица Т порядка в такая, что

',(1)

Ы

Л = Т •З • т-1.

(2.1)

где

З = ^ {ЛіЕ(ді) + Н(ді). Л2Е(д2) + Н(ъ). .... \цЕ(я^ + Н(^^ -

квазидиагональная матрица, ЛіЕ(сіі') + Н(сіі') — жорданова клетка порядка qi, і = 1.. ...^, вида

Лі Е(ді) + Н(ді) =

/Лі 1 0

0 Лі 1

0 0 \ 0 0

Лі 1

0 Лі

Здесь Е— единичная матрица порядка Цг, Н («О — матрица порядка Цг, у которой элементы первой «наддиагонали» равны единице, а все остальные элементы равны нулю, Ц1 + д2 + ... + = в. ■] называется

нормальной жордановой формой матрицы Л.

Если все элементарные делители матрицы Л первой степени, то жор-данова форма имеет диагональный вид и в этом случае

Л = Т ■ diag {Аь \2, ..., А.,} ■ Т—.

3. Понятие матричной фундаментальной оператор-функции. В обобщенных функциях [2] задачу Коши (1.1)—(1.2) можно записать как систему сверточных уравнений относительно и(Ь,х)

(В5'(Ь) ■ 5(х) — ЛА5(Ь) ■ А5(х)) * и(Ь, х) = /(Ь, х)в(Ь) + Ви0(х)5(Ь),

где в(Ь) — функция Хевисайда [2], 5(Ь,х) — дельта-функция Дирака, под записью В5'(Ь) ■ 5(х) будем понимать Е(з')В5'(Ь) ■ 5(х), где Е(в) — единичная матрица порядка в.

Определение. Матричной фундаментальной оператор-функцией Е^(Ь,х) для вырожденного оператора теплопроводности (В5'(Ь) ■ 5(х) — ЛА5(Ь) ■ А5(х)) назовем такую матричную оператор-функцию, для которой выполняются следующие два равенства

(В5'(Ь) ■ 5(х) — ЛА5(Ь) ■ А5(х)) * Ем(Ь,х) * и(Ь,х) = и(Ь,х) (2.2)

V и(Ь,х) е К1 (Ем+1,Е2)

и

Ем(Ь,х) * (В5'(Ь) ■ 5(х) — ЛА5(Ь) ■ А5(х)) * у(Ь,х) = у(Ь,х) (2.3)

V ЩЬ,х) е К'(Км+1,Е1).

Здесь под и(Ь,х) е К'(Км+1,Е2) (или у(х) е К1(Ям+1,Е1)) понимается вектор-столбец, каждая компонента которого является обобщенной функцией с ограниченным слева носителем со значениями в Е2 (или Е1).

Если известна матричная фундаментальная оператор-функция Ем(Ь,х) оператора теплопроводности (В5'(Ь) ■ 5(х) — ЛА5(Ь) ■ А5(х)) и существует свертка и(Ь,х) = Ем(Ь,х) * д(Ь,х), то и(Ь,х) является единственным решением уравнения

(В5'(Ь) ■ 5(х) — ЛА5(Ь) ■ А5(х)) * и(Ь, х) = д(Ь, х)

в классе тех обобщенных функций, для которых существует свертка с Ем (Ь,х). _

Действительно, если и1(Ь,х) другое решение, тогда

й!1(Ь,х) = 15(Ь,х) * и1 (Ь,х) = = Ем(Ь,х) * (В5'(Ь) ■ 5(х) — ЛА5(Ь) ■ А5(х)) * И1(Ь,х) = = Ем(Ь,х) * д(Ь,х) = и(Ь,х).

О. В. СЛАСТНАЯ

3. Основные результаты

Рассмотрим вырожденный оператор теплопроводности

(B5'(t) ■ S(x) — AA5(t) ■ A5(x))

с непрерывно обратимым оператором A, причем отдельно рассмотрим случаи четного и нечетного количества пространственных переменных.

Теорема 1. Пусть в системе (1.1) det Л = О, оператор A непрерывно обратим, оператор B фредгольмов, выполнено условие А) и существует пара констант K > О и C > О таких, что

max (\\e-a(Ar)-1 у, \\e-a(r*A*)-11|) < Ke-aC, Va > О.

Тогда вырожденный оператор теплопроводности (B5' (t) ■ 5(x) — ЛAS(t) ■ AS(x)) имеет на классе K'(R+ ® R2N, E2) матричную фундаментальную оператор-функцию вида

E2N (t,x) = T5(t,x) * {e2n (t,x), eIn (t,x), ..., EN (t,x)} * T-l5(t,x).

Здесь T — невырожденная квадратная матрица порядка s из формулы (2.1), {E\n(t,x), E%n(t,x), ..., E2,n(t,x)} — блочная квадратная квазидиагональная матрица порядка s вида

f e2n (t,x) о

О E2n (t,x)

\ 0 0

диагональные блоки которой E%n(t,x) являются верхнетреугольными квадратными матрицами порядка qV вида E^n (t,x) = E(qv'^S^N (t,x) *

*u(S2n (t,x)),

u(S^n (t,x))= (3.2)

(IS(t,x) AS(t)AS(x) *£%n(t,x) ■■■ (AS(t)AS(x) *£%N(t,x))qv-l^

0 I5(t,x) ■■■ (A5(t)A5(x) *S2n(t,x))qv-2

E2N (t,x)

(3.l)

О

О

IS(t,x) J

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 51 здесь V = 1,. и

ат — площадь поверхности единичной сферы в Ет.

Доказательство. В соответствии с определением матричной фундаментальной оператор-функции для доказательства достаточно проверить справедливость равенств (2.2) и (2.3).

Действительно, V й(Ь,х) € К'(Я+ ® К2М, Е2)

(Б6'(Ь) ■ 6(х) — ЛЛ6(Ь) ■ А5(х)) * Е2и(Ь, х) * й(Ь, х) =

= (Б5'(Ь) ■ 5(х) — ЛЛ5(Ь) ■ А6(х)) * Т5(Ь,х)*

*{Е2м (Ь,х), Е2м (Ь,х), ..., Е%м (Ь,х)} * Т-1(Ь,х) * и(Ь,х) =

= Т5(Ь,х) * Т-16(Ь,х) * (Б5'(Ь) ■ 5(х) — ЛЛ5(Ь) ■ А5(х)) * Т5(Ь,х)* *{Еш (Ь,х), Е2м (Ь,х), ..., Е%м (Ь,х)} * Т-15(Ь,х) * й(г,х) =

= Т5(г,х) * (Б5'(г) ■ 5(х) — 1Л5(г) ■ А5(х)) *

*{Е\м (Ь,х), Е2м (Ь,х), ..., Е%м (Ь,х)} * Т-15(Ь,х) * и(Ь,х),

где 1 — матрица подобная Л, т.е. 1 = Т-1 ■Л ■Т.

Для завершения доказательства осталось проверить, что при всех

V = 1,...,у

(В5'(Ь) ■ 5(х) — Е^) + НЬ*))Л5(Ь) ■ А5(х)^ * Еи2И(Ь,х) = Е(д")5(Ь,х).

Согласно работам [10,11]

(Б5'(Ь) ■ 6(х) — ХиЛ6(Ь) ■ А5(х)) *£2и(Ь,х) = Т6(Ь,х).

г=1 ]=1

Так как

(Б6'(Ь) ■ 6(х) — ХиЛ6(Ь) ■ А6(х)) * £^м(Ь,х)*

* (Л5(Ь) ■ А5(х) * (Ь,х))г — Л5(Ь) ■ А6(х)*

*£^и(Ь,х) * (Л6(Ь) ■ А5(х) * 822м(Ь,х))г-1 = 0,

то

(Б5'(£) ■ 5(х) — ЛА5(£) ■ А5(х)) * Е2^^, х) * и(£, х) = Т5(Ь,х) * 15(Ь, х) * Т-15(Ь, х) * й(Ь, х) =

= 15(£,х) * й(£,х) = й(£,х),

что и завершает доказательство равенства (2.2).

Равенство (2.3) доказывается аналогично.

□

Если оператор А позитивен [4], т.е. V £ > 0 оператор Н + А непрерывно обратим, причем

и результат теоремы 1 можно распространить на операторы теплопроводности с нечетным количеством пространственных переменных. Справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и оператор АГ позитивен. Тогда вырожденный оператор теплопроводности (Б5/(і) ■ 5(х) — ЛА5(і) ■ А5(х)) имеет на классе К/(Е+ ® К2М+1,Е2] матричную фундаментальную оператор-функцию вида

Здесь Т — невырожденная квадратная матрица порядка в из фор-

ратная квазидиагональная матрица порядка в вида (3.1), диагональные блоки которой Е%м+і(і,х) находятся по формуле

|| (ІІ + А)

і

то существуют ограниченные операторы

Е2м+і(і,х) = Т5(і,х)*

*{E2N+1(і,X), ^+1(і,х)> ■■■’ Е2М+1(і,х)} * Т-1Ь(і,х)-

мулы (2.1), {Е^+]_(і,х), Е^+]_(і,х), ..., Е^+1(і, х)} — блочная квад-

Еш+і(і,х) = Е(9и)Еш+і(і,х) * и(8^+і(і,х)),

где ш(8^+і

(і,х)) имеет вид (3.2) и

і=і і=і

к-1 ^(рі-к+і-3)\ (ут(х)*)к+і ^ 5{к)(і) .

Следствие 1. Если в условиях теоремы 1 (или 2) все элементарные делители матрицы Л первой степени, то матричная фундаментальная оператор-функция вырожденного оператора теплопроводности (Б51(Ь) ■ 5(х) — ЛА5(Ь) ■ А5(х)) имеет на классе К'(К + ® Ем, Е) вид

Ем(Ъ,х) = Т5(Ь,х) * {ЕN(Ь,х), Е%(Ь,х), Е3М(Ь,х)}*Т-15(Ь,х).

Следствие 2. Если выполнены условия теоремы 1 (или 2), то единственное обобщенное решение задачи Коши (1.1)-(1.2) в классе К'(Я+ ® Ям, Е1) записывается следующим образом

и(£,х) = Ем(Ь,х) * (Ь,х)в({) + Би0(х)5(£)). (3.3)

Если теперь в обобщенном решении (3.3) выделить регулярную и сингулярную составляющие, потребовать обращения в нуль последней и удовлетворения регулярной составляющей начальному условию (1.2), то полученные условия будут описывать совокупность начальных данных щ(х) и правых частей f (Ь,х), при которых задача Коши (1.1)—(1.2) однозначно разрешима в классе непрерывных функций, остающаяся при этом регулярная составляющая будет являться искомым непрерывным решением.

Список литературы

1. Вайнберг М. М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг, В. А. Треногин. - М. : Наука, 1969. - 528 с.

2. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике / В. С. Владимиров. - М. : Наука, 1979. - 320 с.

3. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. - М. : Наука, 1966. - 576 с.

4. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций/ М. А. Красносельский, П. П. Забрейко, Е. И. Пустыльник, П. Е. Соболевский. -М. : Наука, 1966. - 499 с.

5. Коробова (Сластная) О.В. Сингулярные системы дифференциальных уравнений с нетеровым оператором при производной в банаховых пространствах / О. В. Коробова (Сластная) // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. —

2007. - Т. 1. - С. 132-140.

6. Коробова (Сластная) О. В. Задача Коши для сингулярной системы дифференциально-разностных уравнений в банаховых пространствах / О. В. Коробова (Сластная)// Интеллектуальные и материальные ресурсы Сибири : материалы регион. науч.-практ. конф. - Иркутск : Изд-во БГУЭП, 2008. - С. 28-32.

7. Фалалеев М. В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в банаховых пространствах / М. В. Фалалеев // Сиб. мат. журн. - 2000. - Т. 41, № 5. - С. 1167-1182.

8. Фалалеев М. В. Фундаментальные оператор-функции вырожденных дифференциальных и дифференциально-разностных операторов с нетеровым оператором в главной части в банаховых пространствах / М. В. Фалалеев, Е. Ю. Гражданцева // Сиб. мат. журн. - 2005. - Т. 46, № 6. - С. 1393-1406.

9. Фалалеев М. В. Системы дифференциальных уравнений с вырождением в банаховых пространствах / М. В. Фалалеев, О. В. Коробова (Сластная) // Сиб. мат. журн. - 2008. - Т. 49, № 4. - С. 916-927.

10. Фалалеев М. В. Задача Коши для вырожденного уравнения теплопроводно-

сти в банаховых пространствах / М. В. Фалалеев // Дифференц. уравнения. -

2008. - Т. 44, № 8. - С. 1120-1130.

11. Фалалеев М. В. Фундаментальная оператор-функция вырожденного уравне-

ния теплопроводности в банаховых пространствах / М. В. Фалалеев // Докл. РАН. - 2007. - Т. 416, № 6. - С. 745-749.

12. Lyapunov - Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsyn and M. Falaleev. - Dordrecht : Kluwer Academic Publishers, 2002. - 548 p.

O. V. Slastnaya

The Cauchy problem for singular systems of heat equations with Fredholm operator of time-derivative in Banach spaces

Abstract. In this paper matrix fundamental operator-function for singular heat operator with Fredholm operator of time-derivative is built. The formula for the generalized solution of the corresponding Cauchy problem are got.

Keywords: singular heat operator; matrix fundamental operator-function; Fredholm operator

Сластная Ольга Викторовна, кандидат физико-математических наук, Институт математики, экономики и информатики, Иркутский государственный университет, 664003, Иркутск, ул. К. Маркса, 1 тел.: (3952)242210 ([email protected])

Olga Slastnaya, Irkutsk State University, 1, K. Marks St., Irkutsk, 664003 Phone: (3952)242210 ([email protected])