CC BY
10
Серия «Математика»
2010. Т. 3, № 1. С. 30-35
Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia
УДК 517.983.51
Матричная фундаментальная оператор-функция вырожденного дифференциального оператора высокого порядка в условиях спектральной ограниченности
О. В. Коробова
Иркутский государственный университет
Аннотация. В работе построена матричная фундаментальная оператор-функция для вырожденного дифференциального оператора ^Е5(ы^(Ь) — ЛЛ5(Ь)^. Здесь оператор Л является спектрально ограниченным относительно Е. Получены формулы для обобщенного решения соответствующей задачи Коши.
Ключевые слова: банахово пространство, матричная фундаментальная оператор-функция, спектральная ограниченность
Объектом исследований в работе являются вырожденные системы дифференциальных уравнений N-го порядка вида
где B, A — замкнутые линейные операторы, действующие из банахова пространства Е1 в банахово пространство Е2, D(B) = D(A) = Ei, D(B) С D(A), u(t) — вектор-функция размерности s, каждая компонента которой uv (t) является функцией со значениями в Ei, f (t) — вектор-функция размерности s, имеющая компоненты fv (t) со значениями в Е2, v = 1,...,s, оператор B необратим, R(B) = R(B), под записью Au(t) понимается вектор-функция с компонентами Auv (t), v = 1,..., s, Л — невырожденная квадратная матрица порядка s.
В работах [1-3] была введена конструкция фундаментальной оператор-функции, позволяющая в замкнутом виде строить обобщенные решения различных типов вырожденных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. В работе [4] идеи работ [1-3] были перенесены на системы вырожденных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, для исследования которых была введена матричная фундаментальная оператор-функция. В работе [5] была построена мат-
Bu(N\t) = Л Au(t) + f (t),
(0.1)
ричная фундаментальная оператор-функция для дифференциального оператора, соответствующего системе уравнений (0.1), в фредгольмо-вом случае. В настоящей работе результаты, полученные в [5], распространяются на случай спектрально ограниченных операторов (в этом случае допускаются бесконечными как размерность ядра оператора В, так и длины А-жордановых цепочек).
1. Вспомогательные сведения
10. Приведем некоторые сведения из работ [6, 7], необходимые для изложения соответствующих результатов.
Пусть Е^ Е2 — банаховы пространства, В € £(Е^ Е2) — необратимый оператор, А — замкнутый линейный оператор из Е1 в Е2, ^(А) = Еь
Множество рв(А) = € С : (^В — А)-1 € £(Е2; Е^} называ-
ется В -резольвентным множеством оператора А. Оператор-функции ЕВ (А) = (^В — А)-1В, ¿В (А) = В (^В — А)-1 называются соответственно правой В-резольвентой, левой В-резольвентой оператора А. Оператор А называется спектрально ограниченным относительно оператора В (короче, (В, а)-ограниченным), если 3 а > 0 такое, что € С : |^| > а} С рв(А), т.е. вне круга радиуса а оператор (^В — А) непрерывно обратим. Пусть 7 = (^ € С : |^| = г > а}, тогда пара операторов [6, 7]
Р = /(^В — А)-1В^, Q =
2пг,/
7 7
являются проекторами в Е1 и Е2 соответственно, порождают разложения пространств Е1 и Е2 в прямые суммы Е1 = Е0 ® = кег Р ф 1ш Р
и Е2 = Е0 ф Е2 = кег Q ф 1ш Q. Действия операторов В и А расщепляются, причем А0 : Е0 ^ Е° и В1 : ^ Е2 непрерывно обратимы,
А1 : Е1 ^ Е1 ограничен, QB = ВР, QA = АР [6, 7].
20. Пусть Л — числовая матрица, Л1, Л2,..., Лм — ее характеристические числа. Тогда [8] существует невырожденная матрица Т порядка в такая, что
Л = Т ■ 3 ■ Т-1, (1.1)
где
3 = diag {ЛlEq1 + Я91, Л2Е42 + И92 , • • •, ЛМЕдм + И9М} —
квазидиагональная матрица, ЛiЕ^ + И^ — жорданова клетка порядка qi, г = 1,...,^. Здесь Е^ — единичная матрица порядка ^, И^ — матрица порядка qi, у которой элементы первой "наддиагонали" равны
единице, а все остальные элементы равны нулю, 91 + 92 + • • • + 9^ = в. 3 называется нормальной жордановой формой матрицы Л.
Если все элементарные делители матрицы Л первой степени, то жор-данова форма имеет диагональный вид и в этом случае
Л = Т ■ ^ (Лі, Л2, АЛ- Т-1.
30. Системе уравнений (0.1) соответствует дифференциальный оператор
(в£(м>(і) — ЛА5(і)) .
Здесь ¿(¿) — дельта-функция Дирака, под записью В£(м)(і) будем понимать Е3 В£(м )(і), где Е8, как и выше, единичная матрица порядка
Определение 1. Матричной фундаментальной оператор-функцией Ям(і) для дифференциального оператора ^В£(м)(і) — ЛА£(і)^ на классе К+ (Е2) назовем такую матричную оператор-функцию, для которой выполняются следующие два равенства
(В£(м)(і) — ЛА£(і)) * Ям(і) * им(і) = им(і) Vим(і) Є К+ (Е2), (1.2)
Ям(і) * (В£(м)(і) — ЛА£(і)) * г;м(і) = ^м(і) V(і) Є К+ (Еі). (1.3)
Здесь под им (і) Є К+ (Е2) (или г7м (і) Є К+ (Е1)) понимается вектор-столбец, каждая компонента которого является обобщенной функцией с ограниченным слева носителем со значениями в Е2 (или Е1).
2. Основные результаты
Теорема 1. Пусть в системе (0.1) ёе! Л = 0, оператор А спектрально ограничен относительно оператора В. Тогда дифференциальный оператор ^В£(м)(і) — ЛА£(і)^ имеет на классе К+ (Е2) матричную фундаментальную оператор-функцию вида
Ям (і) = Т5(*) * {См 1 (і), См2 (і), ..., Ом^ (і)} * Т-1^),
здесь Т — невырожденная квадратная матрица порядка в из формулы (1.1), {См 1 (і), См2(і), ..., Смм(¿Л — блочная квадратная квазидиаго-нальная матрица порядка в вида
(См 1 (і) 0 ... 0 \
0 См2(і) ... 0
V 0 0 ... Смм(*)/
диагональные блоки которой См^ (¿) находятся по формуле См^ (¿) = Ед*£м^№ * ^(£м^(¿));
^(£м^ (^)) =
^Ій(і) Ай(і) *£м^(і) (Ай(і) *£м^)(і)2 •• 0 /й(і) Ай(і) *£м* (і) ••
0 0 /й(і) • •
(ай(*) *£м„ (¿))^-Л (ай(*) *£м„ (^-2 (Ай(і) *£м„ (¿))9" 3
0 0
V = 1, • • • , ^ и
/й(і) Ай(і) * £м^ (і)
0 /¿(і)
(і) = им^(і)Еі ^(і) -
і к+1
-А-1(/ - ^)5(мк)(і),
к=0
где
^ (¿) = ¿7 / №5 А 1 Бе^
7
Если дополнительно предположить, что ж — несущественно особая точка операторного пучка (^Е — А)-1, то очевидно
р (А-1Е0^ . .
£м^(¿) = ^(^Е-1») — Е А-1(1 — ^)5(м^>(^),
Й=0 л^
Доказательство. В соответствии с определением матричной фундаментальной оператор-функции для доказательства теоремы проверим справедливость равенств (1.2) и (1.3).
Действительно, VИм(¿) € К+ (Е2)
Ей(м ^і) - ЛАй(і)) * £м (і) * им (і) = (Ей(м ^і) - ЛАй(і)) * Тй(і)*
*{ См 1 (і), См2 (і), • • •, Смм (і)} * Т ^¿) * им (і) = Тй(і) * Т М(і)*
* (ей(м ^) - ЛАй(і)) * Тй(і) * {См 1 (і), См 2 (і), •••, Смм (і)}* *Т-1й(і) * Им (і) = Тй(і) * (Ей(м)(і) - 7Ай(і)) *
*{См 1 (¿), См2(¿), ..., Смм(¿Я * Т М(£) * им(¿),
где 3 — матрица, подобная Л.
Для завершения доказательства осталось проверить, что при всех
V = 1,..., ^
(Е^(м}(£) — (Л*Е,„ + Я,„)А5(*)) * См^(¿) = Е,„¿(¿).
к
В работе [3] было доказано, что
(Ей(м^) - Л^A<^(t)) * (і) = 1й(і),
а
(Ей(м)(і) - Л^A<^(t)) * (і) * ^(і) * (¿))г-
^¿(і) * (і) * ^¿(і) * (і))і-1 = 0,
поэтому
(Ей(м^і) - ЛA¿(і)) * £м(і) = Тй(і) * Т-1й(і) = /¿(і),
что и завершает доказательство формулы (1.2).
Равенство (1.3) доказывается аналогично. □
Следствие 1. Если в условиях теоремы 1 все элементарные делители матрицы Л первой степени, то дифференциальный оператор (Ей(м)(;£) - ЛA<^(Í)) имеет на классе К+ (Е2) матричную фундаментальную оператор-функцию вида
(і) = Тй(і) * {£м 1 (і), £м2(і), • • •, (і)}*Т-1й(і)
Рассмотрим задачу Коши
Еи(м ^і) = ЛAй(í) + / (і),
и(0) = И0, й;(0) = и1, • • •, -1)(0) = Им-1^
В обобщенных функциях [9] эту задачу можно переписать в сверточ-нам виде
^Ей(м)(£) - ЛAй(t)j * и(і) = /(¿)0(і) + Еи0й(м-1)(і) +
+ Еи1й(м-2)(і) +------+ Еим-1 й(і),
где 0(і) — функция Хевисайда.
Справедлива
Теорема 2. Если выполнены условия теоремы 1, то единственное обобщенное решение класса К+ (Е1) рассматриваемой задачи Коши восстанавливается по формуле
Им(і) = (і) * (/(¿Жі) + Ейой(м-1)(і) + Ей1Й(м-2)(і) +
+ ■ ■ ■ + Еим - 1Й(і))-
Замечание 1. Полученные результаты допускают обобщение на случаи секториально и радиально ограниченных операторных пучков.
Список литературы
1. Lyapunov-Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsyn and M. Falaleev. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002. - 548 p.
2. Фалалеев М.В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев // Сиб. мат. журн. - 2000. - Т. 41, № 5. - С. 1167-1182.
3. Фалалеев М.В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в условиях спектральной ограниченности / М. В. Фалалеев, Е. Ю. Гражданцева // Дифференц. уравнения. - 2006. -Т. 42, № 6. - С. 769-774.
4. Фалалеев М.В. Системы дифференциальных уравнений с вырождением в банаховых пространствах / М. В. Фалалеев, О. В. Коробова // Сиб. мат. журн. - 2008. - Т. 49, № 4. - С. 916-927.
5. Коробова О.В. Сингулярные системы дифференциальных уравнений высокого порядка в банаховых пространствах / О.. Коробова // Тез. докл. 3-й междунар. конф., посв. 85-летию чл.-корр. РАН, проф. Л.Д. Кудрявцева. -М.: МФТИ, 2008. - С. 281-282.
6. Sviridyuk G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.. Fedorov. - Utrecht; Boston: VSP, 2003.
7. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов / Г. А. Свиридюк // УМН. - 1994. - Т. 49, № 4. - С. 47-74.
8. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. - М.: Наука, 1966. - 576 с.
9. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике / В. С. Владимиров. - М.: Наука, 1979. - 320 с.
O. V. Korobova
Matrix fundamental operator-function of singular differential operator of high order in terms of the spectral bounded
Abstract. In this paper a matrix fundamental operator-function for a singular differential operator (BS(n^(t) — AA^(t)) is build. Here operator A is spectral bounded relatively B. The formulas for the generalized solution of the corresponding Cauchy problem are got.
Keywords: Banach space, matrix fundamental operator-function, spectral bounded
Коробова Ольга Викторовна, кандидат физико-математических наук, Институт математики, экономики и информатики, Иркутский государственный университет, 664003, Иркутск, ул. К. Маркса, 1 тел.: (3952)242210 ([email protected])
Olga Korobova, Irkutsk State University, 1, K. Marks St., Irkutsk, 664003 Phone: (3952)242210 ([email protected])
