Синергетический подход к моделированию сложных динамических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Секция синергетических технологий управления и моделирования

УДК 681.32

П.Г. Кравченко

СИНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К МОДЕЛИРОВАНИЮ СЛОЖНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Основной целью моделирования системы во временной области является исследование её поведения в различных динамических режимах. При этом исследуется динамическая модель системы, записанная в виде системы дифференциально -алгебраических уравнений, как правило, нелинейных. В тех случаях, когда есть возможность сразу записать модель динамической системы в виде системы дифференциальных уравнений в форме Коши, задача сводится к тривиальному численному интегрированию. В более сложных случаях, когда система фактически представляет собой набор связанных статических и динамических элементов, задача моделирования существенно усложняется. На сегодняшний день можно выделить 2 основных направления в моделировании таких систем:

♦ представление элементов в виде моделей вход-выход, когда в каждом соединении четко определено направление течения энергии и информации;

♦ построение моделей элементов в физических координатах на терминалах и описание модели всей системы с учетом взаимодействия элементов.

Первый способ наилучшим образом зарекомендовал себя для линейных систем, когда система задается в виде структурной схемы, а модель элементов записывается в виде передаточных функций [1]. Более сложные его реализации используют модели элементов в виде статических соотношений и в виде систем дифференциальных уравнений в форме Коши. Основным недостатком этого подхода является жесткая направленность потоков энергии и информации в такой системе, что автоматически накладывает ограничение на область исследуемых систем. Например, таким подходом достаточно сложно промоделировать энергосистему, в которой мощность источников энергии соизмерима с мощностью нагрузки.

Второй способ, на наш взгляд, является более предпочтительным при исследовании сложных взаимодействующих систем. Основная схема модели системы представляется в виде математически эквивалентной электрической схемы, координатами которой являются потенциальная и потоковая составляющие обобщенного вектора состояния.

В качестве метода решения используются, как правило, вариации метода узловых потенциалов [2]. К общему недостатку всех этих методов можно отнести их формальное представление в матричном виде, что, при больших схемах, приводит к огромным, слабо заполненным, матрицам. Плюс ко всему, запись модели в виде

неявно выраженной системы дифференциально-алгебраических уравнений приводит к весьма сложной процедуре интегрирования.

Как уже многократно указывалось в работах, посвященных синергетической теории управления [3], размерность фазового пространства динамической системы меняется в зависимости от режима движения. Следовательно, для исследования асимптотического поведения системы имеет смысл использовать метод моделирования, адаптирующийся к динамическим свойствам системы. Что же касается сложных синергетически управляемых систем, модели которых меняют свой порядок в известные моменты времени (при попадании на сформированные аттракторы), в представление системы имеет смысл ввести информационные связи, определяющие порядок динамических элементов (слои моделей [4]) в зависимости от уровня положения изображающей точки системы на многообразиях. Представляется логичным разбить процедуру моделирования на два этапа:

♦ приведение модели системы к виду, оптимальному для интегрирования;

♦ непосредственное интегрирование.

В функции первого этапа входят:

♦ выбор моделей элементов в соответствии с указанным в информационной структуре слоем;

♦ построение модели системы на основе уравнений компонентов и информации об их соединении;

♦ приведение дифференциальных уравнений модели к форме Коши;

♦ разделение дифференциальной и статической составляющих модели.

Такая процедура позволяет, фактически, синтезировать алгоритм интегрирования системы.

Зададим вектор состояния объекта в виде состояний его обобщенных терминалов [я; О] и внутренних переменных £ . Тогда элемент можно формально записать в следующем виде:

ния элемента.

Такая форма представления модели позволяет описать любой детерминированный объект. В случае, когда объект описывается многослойной моделью, все параметры (1) будут изменяться в зависимости от слоя модели, определяемого информационной компонентой системы % . В случае, когда описывается регулирующий элемент системы, его модель дополняется информационной компонентой

определяющей слой и параметры моделей регулируемых элементов.

На основании формальных представлений моделей элементов и первого закона Кирхгофа для обобщенных потоковых переменных можно составить модель системы:

(1)

где X = [я; 0;£] - вектор состояния элемента в обобщенных переменных; Т -вектор постоянных времени; ^ (х) - функции, связывающие переменные состоя-

(2)

Ая = 0;

(3)

где A - матрица инциденций.

Для удобства последующих операций запишем первое уравнение системы (3) в виде, аналогичном второму, внеся нули в матрицу постоянных времени и определив соответствующие функции линейными комбинациями. Полученная модель системы примет следующий вид:

Td X + F(x) = 0, (4)

dt

где T - матрица постоянных времени, f(x) - функциональный вектор.

Начнем операцию приведения системы \eqref{modm} к виду, удобному для моделирования.

Исключение избыточных потоковых переменных. Для всех узлов, имеющих две подключенных ветви (последовательное подключение), введем новую

потоковую переменную qjd], переобозначив

Ча = qjd], q,2 = qjd], (5)

где /1 и /2 - индексы последовательно соединенных ветвей. Скорректируем модель (4), а именно:

♦ скорректируем с учетом (5) вектор состояния X ,

♦ исключим из системы уравнения вида 0 = 0, которые получатся после подстановки (5) в уравнения, полученные согласно первому закону Кирхгофа.

В результате получим модель системы относительно нового вектора состоя-v[1]

ния X , компонентами которого являются внутренние переменные элементов, потенциальные переменные и потоковые переменные с учетом исключений (5)

T d X[1] + F[1] (x[1] )= 0. (6)

dt

Исключение множественных вхождений производных в уравнения. Для

того чтобы численно интегрировать модель, потребуем чтобы производные переменных состояния входили только в одно уравнение. Этого можно добиться простейшим линейным преобразованием модели (6) - сложением строк.

Формально эту процедуру можно описать так: для всех столбцов матрицы T, в которых более 1-го ненулевого элемента, провести операцию сложения строк с целью исключить все ненулевые элементы, кроме одного. На этом этапе

вектор состояния системы остается неизменным (X[2] = X[1]), изменяются матрица T[2] и вектор F[2] (x[2] ) .

После проведенного преобразования алгоритмическое представление вектора F[2] меняет свою структуру. Если на предыдущих этапах компоненты вектора содержали функции f моделей элементов и линейные комбинации потоковых переменных системы, то теперь вектор содержит и линейные комбинации функций f .

Приведение дифференциальных уравнений системы к форме Коши. После проведенных преобразований в дифференциальных уравнениях системы могут остаться уравнения вида

Z?ß, +Zf; = О- (7)

Такая ситуация может возникнуть для ветвей, у которых дифференциальной переменной является разность потенциалов. Избежим разности производных путем введения переменных

Q'1 = !>, Q. (»)

Тогда соответствующая строка примет вид

]+S f = о , (9)

а модель дополнится уравнением (8).

После проведения этого этапа преобразований вектор состояния системы

X[3] дополняется переменными (8), соответственно изменяются матрица T[3] и

Т?[3]

вектор г .

В результате проведенных преобразований модель системы будет фактически состоять из двух систем уравнений - дифференциальной, записанной в форме Коши, и алгебраической.

Полученная система достаточно проста для моделирования и позволяет использовать различные методы интегрирования дифференциальных уравнений и решения нелинейных систем алгебраических уравнений.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Теория автоматического управления / Под ред. А.А. Воронова. М.: ВШ, 1986.

2. И. Влах, К. Синхгал. Машинные методы анализа и проектирования электронных схем. М.: Радио и связь, 1988.

3. Современная прикладная теория управления / Под ред. А.А. Колесникова. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000.

4. А.А. Колесников, Г.Е. Веселов. Синергетический принцип иерархизации и аналитический синтез регуляторов взаимосвязанных электромеханических систем // Известия ТРТУ, 2001. №5. С.80-99.

УДК 681.511.4

А.Ю. Бороненко

ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ДИНАМИКИ ПРОЦЕССОВ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ

По своему содержанию проблема ликвидации экстремальных режимов в непродуктивно функционирующих рыночных системах принадлежит к классу динамических задач управления. Необходимо в экономической системе за счет организации целенаправленно синтезированных макроэкономических регуляторов организовать такой переходной режим, который выводил бы систему в состояния продуктивного функционирования, принадлежащие траекториям экономического роста. Но целенаправленный математический синтез макроэкономических регуляторов предполагает знание динамических свойств управляемых процессов во всем диапазоне пространства состояний от начальных условий до желаемого установившегося режима в виде их динамических моделей.