Применение метода переменных состояния для описания фрагментов смесеприготовительного агрегата Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЛИТЕРАТУРА

1. Заявка 2001110354, МІЖ7 С 13 I) 3/02. Способ определения качества известкового молока / В. А. Лосева, И.С. Наумченко. А.А. Ефремов. - Положит, рега. ФИПС о выдаче пат. РФ от 13.05.2002 г.

2. Инструкция по химико-техническому контролю и учету сахарного производства / Киев: ВНИИСП, 1983. - 476 с.

3. Кучменко Т.А., Аристов И.В., Десятое Д.Б. Применение методов планированиямногофакгорныхэкспери.ментов в аналитической химии: Учебное пособие. - Воронеж: ВГТА. 1999.-99с.

Кафедра технологии сахаристых веществ Кафедра процессов и аппаратов химических ипшцевых производств

Поступ та 18.06.02 г.

621.92.517

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ФРАГМЕНТОВ СМЕСЕПРИГОТОВИТЕЛЬНОГО АГРЕГАТА

Б.А. ФЕДОСЕНКОВ, Е В. АНТИПОВ, ДЛ. ПОЗДНЯКОВ

Кемеровский технологический институт пищ свой пром ышя енност и

Математическая модель динамики процессов, протекающих в кибернетических системах, к которым относится смесеприготовительный агрегат (СМИА), на общем уровне записывается в виде системы дифференциальных уравнений, являющейся в общем случае нелинейной. Данная система уравнений представляет собой исходную базу для разработки структурных и топологических моделей, представляемых соответственно блочными структурными схемами (СС) или сигнальными графами, для описания которых используется аппарат передаточных функций (ПФ). По существу, методы расчета переходных процессов, протекающих в динамической системе, являются методами решения систем дифференциальных уравнений. В связи с этим следует заметить, что ПФ и СС разных уровней - это формы представления систем дифференциальных уравнений.

Технологический процесс смесеприготовления на основе сыпучих материалов как объект управления характеризуется целым рядом входных и выходных переменных. К первым, например, относятся материальные потоки, поступающие от блока дозирующих устройств (ДУ), режимные параметры дозаторов, от которых зависит структура этих потоков, динамика подачи материалов от дозаторов к смесительному устройству и т. д. К выходным управляемым переменным относятся показатели качества результирующей смеси, а также большое число режимно-конструктивных и расхо-довых параметров в разных точках смесительного устройства (в каналах прямой и обратной подачи материала).

В качестве выходных переменных могут использоваться как реальные, поддающиеся измерению, физические переменные, так и абстрактные, не поддающиеся измерению переменные, например производные (скорости, ускорения, импульсы и т. д.) от наблюдаемых выходных переменных. На такой основе любой скалярный динамический элемент, описываемый дифференциальным уравнением /7-го порядка (при п > 1),

может рассматриваться как многомерный (векторный).

В данной работе излагается способ расчета выходных координат векторной (многомерной) системы как ее реакций на произвольный вектор возмущающих входных воздействий методом переменных состояния (ПС) системы.

При описании элементов, входящих в состав структуры СМПА, были использованы линейные дифференциальные уравнения первого порядка, записанные в нормальной форме Коши:

dx.it) ^ а

-X", -мо ЬХЛ/ '‘’'А'*

У=1 ‘ 1

где хд/) - ПС агрегата или его фрагментов; ./ = 1,п; и^) - входные сигналы системы смесеприготовления, представляющие собойвесо-вые расходы материалов, действующих на входе системы или ес элементов; ; = 1,/л; ад и Ьр - коэффициенты, являющиеся функциями параметров отдельных узлов смесительного агрегата.

Уравнения вида (1) являются уравнениями состояния СМПА.

Переменные состояния х//), взятые в минимальной по их количеству совокупности, полностью характеризуют переходные процессы, протекающие в анализируемой смесеприготовительной системе, и позволяют выразить сигналы у,(0, снимаемые на выходе смесительного аппарата, с помощью линейных алгебраических уравнений типа:

п т

у к (о=Xе# (о+XX' • и>

>1 ,=1

где сц и с!ц - коэффициенты, функционально зависящие от технических параме7ров агрегата; к = 1, г.

Уравнения (2) являются уравнениями выхода СМПА.

Таким образом, если состояние смесеприготовительной системы, которое описывается совокупностью сигналов XI(0, хг(0, , х„{{), характеризующих

расходы вещества (материальные потоки) или концентрации в различных точках СМПА, известно в некоторый начальный момент времени /0, а входные сигналы Щ(О, ЫО, •• •, ит{0> представляющие собой материальные воздействия в виде фиктивных или реально дейст-

вующих потоковых сигналов, определенным образом заданы на временном интервале /0 < ^ < А, то, решая систему уравнений (1). всегда можно найти состояние исследуемого агрегата в момент времени Ь, следовательно, можно найти и значения выходных сигналов У\{Ь), Уг{к), ■■■ , уХ.и) путем решения системы уравнений (2). Таким образом, по совокупности ПС х]Ц)

можно судить о распределении материальных потоков по структурным элементам смесительного агрегата и определять требуемые по условиям исследования выходные воздействия, формируемые системой или ее элементами. Перейдем к векторно-матричной форме записи выражений (1) и (2). Для этого совокупность ПС анализируемой системы смесеприготовления представим в виде и-мерного вектора состояния СМПА:

*і(0

х2(0

Ху (О

ХЛ(\

х(ґ) = S ■ х(?) + C-u(f);

y(0 = YS -х(0 +YC-u(0,

(5)

х(0 =

(3)

Таким же образом будем записывать т-мерный вектор управления и (г) и г-мерный вектор наблюдения у(7). Тогда соответственно

и(/) =

И;(0 у, (/)'

u2(t) У lit)

«,■( О , у (0 = л (О

11т( О >v(0

(4)

В качестве /и-мерного вектора управления и (О можно применять либо набор записанных как временные функции сигналов, действующих на выходах участвующих в технологическом процессе дозирующих устройств, либо совокупный сигнал расхода материала, поступающего с выхода блока дозаторов на вход питающего устройства. В свою очередь, г-мерный вектор наблюдения у(0 представляет собой совокупность выходных сигналов, характеризующих потоки материала (концентрации) в тех или иных узловых точках смесительной системы. Если по технологическому регламенту требуется оценить расход (концентрацию) только на выходе конечного элемента (например, смесительного аппарата), то размерность вектора наблюдения г = 1.

Используя введенные обозначения (3) и(4), уравнения (1) и (2) можно записать в следующей вектор-но-матричной форме:

где S, С, YS, YC - соответственно матрицы состояния, управления, наблюдения по состоянию и наблюдения по управлению СМПА, элементы которых функционально зависят от режимно-конструктивных параметров смесительного агрегата; dim S = \пхп]; dim С~

= jпхш]; dim YS : [гхи]; dim YC' ~ [гхш].

Таким образом, полная математическая модель линейной векторной (многомерной) динамической системы и-го порядка состоит из двух векторно-матричных уравнений - дифференциального уравнения состояния 1 -го порядка (в нормальной форме Коши) и алгебраического уравнения выхода (наблюдения). Вектор ПС х(0, изменяясь во времени в гиперпространсгве R„ состояния системы, образует в нем гиперповерхность состояния. Помимо ПС, на выходе фиксируется вектор выходных координат у(0 (или иначе - вектор наблюдения), а на входе действует вектор управляющих воздействий и(/). Блок-схема структурной реализации математической модели, представленной в пространстве состояний, приведена на рис. 1 (ВПС - вектор ПС; ВППС - вектор производных ПС; р л - интегратор).

Рис, 1

Выражения (5) являются векгорно-матричной моделью (ВММ) общего вида, с помощью которой описывается динамическая система, в которой сформировано более одного входа и более одного выхода. Кроме этого, в представленной работе рассмотрены частные ВММ, которые имеют только один выход, так как зачастую при анализе функционирования смесительного агрегата требуется оценить параметры материального потока, отбираемого только на конечном элементе СМПА, например, из смесительного устройства. Посредством таких моделей описываются системы, имеющие один вход и один выход (будем называть такие ВММ квазискалярными), и системы, у которых несколько входов и один выход (назовем такие ВММ скалярными по наблюдению). Следует также заметить, что согласно определению квазискалярные ВММ являются частной реализацией скалярных ВММ по наблюдению.

Если смесительный агрегат, представлен на структурном уровне в виде системы, в которой сформирован один входной и(/) и один выходной у(0 сигналы, то уравнения (5) могут быть представлены в виде квази-ска лярной ВММ:

І х(ґ) = Б ■ х(ґ) + с • и(1);

' х0) + О,

(6)

Л :, I Л >чкш(ос!^ Х

МО А .Лч - -1. • ЯП{0,:. О:

(8)

где

і 1'

Ат с = [их!]; у» = Я/;>« уя = [их 1];

а смеситель - в виде ПФ:

і.

. ч _

х(/) = 8 • х(() + с ■ и(0 ; Р(0 = У81' • х(/ ) + уст - и (О:

(7)

где

: сіип у в = [пх 1 ]; ус =

; сііт ус — [/?2 х I) .

Модель (7) используется в том случае, когда в блоке входящих в состав СМПА дозирующих устройств описывается изменение расхода (концентрации) на выходе каждого из дозаторов отдельно.

Рассмотрим процедуру получения в пространстве состояний модели упрощенного СМПА, состоящего из двух ДУ спирального и шнекового типов и смесительного устройства в виде двухъемкостного статического объекта (рис. 2).

■ І!.. /________________

Т

. У(‘>

т;2^2 + їі5 + і

Рис. 2

Сигналы, формируемые дозаторами, заданы в виде следующих временных зависимостей: у..~. ...,

(9)

у* - вектор, транспонированный по отношению к вектору ув; ус -скалярный коэффициент.

Модель, записанная в виде уравнений (6), применяется в том случае, когда из реальных потоковых сигналов, производимых входящими в состав СМПА дозирующими устройствами, формируется одинарный входной сигнал либо посредством суммирования временных функций дозирования, описывающих изменение расхода (концентрации) на выходе каждого из дозаторов. либо посредством скаляризации исходной многовходовой системы.

В том случае, когда в процессе исследований требуется рассматривать систему, которая имеет один выходной 1’(0> но два и более входных и,{() сигналов, уравнения (5) могут быть представлены в виде ВММ скалярной по наблюдению:

где Л-,Ту Тг, - постоянные коэффициенты -параметры структурных фрагментов, входящих в состав СМПА; у.(!), ы2(г)-- сигналы, формируемые блоком ДУ ;>’(г)- реакция смесительного аппарата на суммарное воздействие входных управляющих потоковых сигналов Ы\{() и

СМПА интерпретируется как многовходовая система, причем входные воздействия (8) формируются отдельно каждым из двух дозаторов, включенных в состав блока ДУ. Таким образом, система имеет два входа и один выход, следовательно, для ее описания воспользуемся ВММ скалярной по наблюдению (7). Заметим, что характеристический полином ПФ смесителя имеет 2-й порядок, следовательно, вектор ПС составляют потоковый сигнал на выходе из смесителя и его производная, а именно:

■ .м: ■' >ї ,■ і і

или '■

І», (0=>(0; *2 (о=>{/)•

(Ю)

Выбор вектора ПС зависит от необходимых координат, формирующих пространство состояний. В рассмотренной задаче в этот вектор вошел сигнал, действующий на выходе смесительного устройства, а также первая производная этого сигнала. Необходимо отметить, что может существовать и другой вектор ПС, с помощью которых полностью описывается динамика системы. Однако любые два вектора ПС однозначно связаны между собой, поэтому решение векторно-матричного уравнения относительно одних и тех же реальных сигналов, действующих на выходе или внутри СМПА, инвариантно к выбору ПС.

Исходя из (9) и (10), сформируем систем}7 дифференциальных уравнений, записанных в нормальной форме Коши:

тг

Жакже запишем уравнение выхода СМПА: И. 0 хч/!.

(И)

(12)

Таким образом, переходя к векторно-матричной форме модели, объединив б одной записи (11) и (12), получаем следующую ВММ:

х(0 =5 •х(0+1с-и(/'||И чУ(/)^У8Т -Х(0,

где а г I

Г о и..1. .А. 0 0 Г" к" [:' , , «іСО

;С = А т А. т ;у^-1 ии,тя- ; Ш)1

Г,1 Т; _ Г2 Тг -2 г , 11.

Следовательно, итоговая модель примет вид [А (О = *2(О;

■ х2 (О = -™х, (С)-Ь-х2 (О +и, (О +^ 1,2 (О; ,у{ 0=*,(0.

В данной работе была получена расчетная модель блока дозаторов, состоящая из трех дозаторов порционного типа, а также спирального и шнекового до зато-оов(рис_2).

ПДУ (3)

СДУ

У-

. .-П

*■: ШДУ

' її'

У

.V

НО

_/с = 1,лс =3

№ (0=4г + Х1 ^-со:5

2/:я

5

•* л

.

і ■

что в области изображений по Лапласу запишется следующим образом:

я/

(13)

где А о, А к, Вк - коэффициенты Фурье-разложения сигнала порционного дозирования; <о^- рабочая частота дозатора.

Дозирующий сигнал (13) замещается структурной схемой (упрощенно представлена нарис. 4) и описывается системой дифференциальных уравнений

4*1 (О _ Л

сіі 2

и (О;

(I й.(г) г (й/(г)

- +Р|у2(о=^,

аі~ т

Л~у. (Од сіг

В качестве примера рассмотрим модель ДУ, предназначенного для формирования порционного потока материала. Процесс формирования доз материала на выходе из дозатора порционного типа был описан с помощью Фурье-разложения 10-го порядка, которое во временной области представлено функцией

Л2

сігуЛі^

Лг

ії2У20(і)

- + 4т^(0 = Л

СІІ

+ 4®й Уз (О = 2В, и(1);

А~.Уо і(0

ТІ0йі^_у2і (/ ) =ЮВі0ш(#м(/),

которая в пространстве состоянии примет

, X (0 = ~«(0;

Д,(0 = ^/+1(0

-Т,м . (О = “(('? -1)® 4 )2 О ) + Іі(($У

иь (і) = х7 (ОнЗХ2; (/),/ = 4,12;

яюе I - нормированный индекс переменной состояния; q - переопределенный номер полнойгармоники.

с -

0 0 0 О О 1

0 -Ц о

о о о о о о

Следует отметить, что такого рода модели по сравнению со структурно-топологическими имеют, кроме преимуществ, и некоторые недостатки: во-первых, для описания модели используется аппарат дифференциальных уравнений, порядок которых определяется порядком модели, что связано с определенными трудно-

'А‘Р V

0 і :

1 ; ув = 0

0 і

1 0

стями на уровне проведения расчетов; во-вторых, по данной модели невозможно определять частотные характеристики в их привычной форме, что создает некоторые неудобства при анализе; в-третьих, имеет место существенная чувствительность модели к конфигурации рассчитываемого агрегата - введение в схему новых конструктивно-технологических дополнений обязывает перестраивать модель полностью.

Несомненным достоинством данной модели является то, что за один акт моделирования можно рассчитать практически все сигналы, тогда как используя структурно-топологические подходы, приходится производить расчеты многократно, каждый раз внося изменения в базовую модель. Также необходимо отметить оперативность векторной модели СМПА при пе-реконфигурировании блока ДУ, что может иметь место при переходе на иную рецептуру смесевой композиции, при замене дозатора одного типа устройством другого типа и т. п. В данном случае изменяется только вектор входных воздействий, а не сама модель.

Чтобы использовать преимущества структурного и топологического подходов, векторная модель подвергалась процедуре скаляризации, в ходе которой ДУ из блока дозаторов представлялись в виде передаточных функций, рассчитанных таким образом, чтобы при одновременной подаче на их вход типового воздействия в виде единичной импульсной функции на выходах появлялись сигналы, соответствующие реальным.

Анализ полученных в ходе исследования моделей показывает, что ВММ с векторным входом (скалярная по наблюдению) имеет более компактную форму записи, требует меньшего времени на свое формирование и меньших технических ресурсов на числе иную реализацию расчетов. Кроме того, векторная организация дозирующих воздействий позволяет без внесения существенных изменений в базовую модель очень гибко формировать сигналы общего дозирования, являющиеся частными комбинациями исходных сигналов, а также изменять тип дозирующего оборудования. К примеру, если в рассмотренном выше СМПА с двумя базовыми дозаторами одно из ДУ, допустим спиральный дозатор г/](0, отключено и требуетсянайти отклик смесителя только на сигнал, формируемый дозатором порционного типа, записанный в виде некоторой временной функции м3(/), необходимо и достаточно переписать вектор входных воздействий следующим образом:

4(0 =

0

м,(0

при этом все остальные векторы и матрицы остаются без изменений. В свою очередь, квазискалярная модель, включающая информацию о формировании потоковых сигналов в блоке дозирующих устройств, позволяет отслеживать флуктуации этих потоков параллельно (в течение одной процедуры расчета) выходному сигналу, отбираемому на выходе смесительного устройства. Однако порядок системы векторно-матричных уравнений при этом существенно увеличивается, особенно в тех случаях, когда хотя бы один из дозаторов- порционный, выраженный в виде Фуръе-раз-ложения. Кроме того, количественное и качественное изменение номенклатуры входящих в СМПА дозирующих устройств влечет необходимость разработки новой модели, имеющей мало общего с базовой. При этом изменяются коэффициенты матриц, составляющих модель; возможно также ощутимое увеличение их размерностей, что происходит, к примеру, в случае описанной выше замены шнекового дозатора порционным.

На основании изложенного, в качестве рабочей модели СМПА была принята и реализована скалярная по наблюдению ВММ, т. е. модель с векторным входом. Кроме того, были сформированы ВММ для отдельных фрагментов СМПА (устройства, входящие в блок дозаторов, транспортно-формирующийузел, смесительное у стройство, внешний рецикл-канал).

Применение векторно-матричного математического аппарата для описания технологических процессов в СМПА иво входящих в его со став отдельных устройствах упрощает не только запись уравнений динамики, но и ихрешение. Возможность представления динамических процессов через состояние системы, которому соответствует точка в евклидовом пространстве, позволяет получать решения во временной области в виде траекторий движения этой точки. В этом случае исследование кибернетической системы можно вести с помощью решения уравнений числовыми методами на цифровых вычислительных машинах.

Дтя численной реализации расчетов использовался персональный компьютер 1ВМ-совместимого типа; в качестве базового программного обеспечения были приняты универсальные интегрированные пакеты: МаШсас!, Марк V, Ма&етаИса, МаЛЬаЬ.

Кафедра процессов и аппаратов пищевых производств Кафедра автоматизации производственных процессов и АСУ

Поступила 25.11.02 г.