Исследование переходных процессов в линейных электрических цепях с помощью системы компьютерной математики Matlab Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.317

ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ С ПОМОЩЬЮ СИСТЕМЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ MATLAB

Ф.А.Васильева1, О.В.Свеженцева2

Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Предложено использовать для анализа переходных процессов в линейных электрических цепях систему компьютерной математики Matlab. Для электрических цепей высоких порядков обоснована необходимость проведения оценки эффективности численного решения задачи с помощью спектрального радиуса матрицы Якоби для правых частей системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Проведен сравнительный анализ различных решателей системы Matlab, применяемых для решения жестких задач. Ил. 2. Табл. 1. Библиогр. 5 назв.

Ключевые слова: линейные электрические цепи; переходные процессы; системы компьютерной математики; жесткие задачи.

STUDY OF TRANSIENT PROCESSES IN LINEAR ELECTRIC CIRCUITS WITH THE HELP OF THE MATLAB SYSTEM OF COMPUTER MATHEMATICS F.A. Vasilyeva, O.V. Svezhentseva

National Research Irkutsk State Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074.

It is proposed to use the Matlab system of computer mathematics for the analysis of transient processes in linear electric circuits. For the electrical circuits of high order the authors justify the need to assess the efficiency of numerical solution of the problem by means of the spectral radius of the Jacobi matrix for the right parts of the system of ordinary differential equations. A comparative analysis of different solvers of the Matlab sytem, used to solve stiff problems is carried out. 2 figures. 1 table. 5 sources.

Key words: linear electric circuits; transient processes; systems of computer mathematics; stiff problems.

Компьютерное моделирование, проведение вычислительного эксперимента является одним из современных методов изучения различных явлений. Этот метод имеет свои особенности, преимущества и недостатки по сравнению с другими методами изучения сложных технических систем. Для практического применения этого метода нужно иметь представление о компьютерных моделях, численных методах изучения различных объектов познания, достаточно свободно ориентироваться в современных программных продуктах, уметь работать с современными математическими пакетами, различными системами компьютерной математики. К этим пакетам в первую очередь относится такая унифицированная система компьютерной математики, как МаАаЬ. Эта система имеет мощный математический аппарат, позволяющий выполнять символьные вычисления, решать системы алгебраических и дифференциальных уравнений, проводить операции с векторами и матрицами, строить графики функций, писать программы на встроенных языках программирования, пользоваться пакетами математической статистики и оптимизации.

Под переходным (динамическим, нестационарным) процессом или режимом в электрических цепях понимается процесс перехода цепи из одного установившегося состояния (режима) в другое. Переходные процессы возникают при любых изменениях режима

электрической цепи: при подключении и отключении цепи, при изменении нагрузки, при возникновении аварийных режимов (короткое замыкание, обрыв провода и т.д.). Изменения в электрической цепи можно представить в виде тех или иных переключений, называемых в общем случае коммутациями. Физически переходные процессы представляют собой процессы перехода от одного энергетического состояния, соответствующего до- коммутационному режиму, к другому энергетическому состоянию, соответствующему послекоммутационному режиму. В общем случае в электрической цепи переходные процессы могут возникнуть, если в ней имеются индуктивные и емкостные элементы, обладающие способностью накапливать или отдавать энергию магнитного и электрического поля. В момент коммутации, когда начинается переходный процесс, происходит перераспределение энергии между индуктивными, емкостными элементами цепи и внешними источниками энергии, подключенными к цепи. При этом часть энергии безвозвратно преобразуется в другие виды энергий. Анализ переходных процессов производят путем решения дифференциальных уравнений, составленных для исследуемой электрической цепи на основе законов Кирхгофа или метода контурных токов.

Во многих практических задачах анализа переходного процесса получение решения аналитически-

1Васильева Флорида Александровна, доцент, тел.: (3952) 405446. Vasilyeva Florida, Associate Professor, tel.: (3952) 405446.

2Свеженцева Ольга Владимировна, старший преподаватель, тел.: (3952) 405446. Svezhentseva Olga, Senior Lecturer, tel.: (3952) 405446.

ми методами либо невозможно, либо крайне трудоемко, в таких случаях оправдано применение к решению систем дифференциальных уравнений численных методов.

При применении численных методов невозможно получить общее решение системы дифференциальных уравнений, но зато достаточно просто найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, то есть решить задачу Коши. Известно, что частным решением обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка является функция от одного аргумента. В соответствие с этим решение систем дифференциальных уравнений численными методами получается в виде конечной таблицы, содержащей приближенные числовые значения искомых величин для некоторых фиксированных (дискретных моментов времени).

В электротехнике такой подход носит название метода переменных состояний (или метода пространства состояний), он основывается на системе уравнений в матричной форме. Данные уравнения определяются тем, что связывают матрицу первых производных по времени переменных состояний с матрицами самих переменных состояний и внешних воздействий, в качестве которых рассматриваются ЭДС и токи источников.

Определяя переменные состояния, отметим следующие их свойства:

1. В качестве переменных состояния в электрических цепях следует выбирать токи в индуктивно-стях ^ и напряжения на емкостях ис, причем не во

всех индуктивностях и емкостях, а только в независимых, то есть таких, которые определяют общий порядок системы дифференциальных уравнений цепи.

2. Дифференциальные уравнения цепи относительно переменных состояния записываются в канонической форме, то есть представляются решенными относительно первых производных переменных состояния по времени.

3. Число переменных состояния равно порядку системы дифференциальных уравнений исследуемой электрической цепи.

4. Выбор в качестве переменных состояния токов ^ и напряжения ис удобен еще и потому, что

эти величины, согласно законам коммутации, в момент коммутации не изменяются скачком, т.е. одинаковы для моментов времени ^ = 0+ и ^ = 0 .

5. Переменные состояния ^ и ис потому так и

называются, что в каждый момент времени задают энергетическое состояние электрической цепи, так как последнее определяется суммой выражений

и2 си2

- и-- .

2 2

6. Представление уравнений в канонической форме очень удобно для применения к их решению численных методов и как следствие для автоматиза-

ции расчета на основе применения современных пакетов компьютерной математики.

Решение, найденное таким методом, получается в виде таблицы или графика и считается приближенным.

Покажем применение численного метода к решению следующей задачи:

E = 500 B;

R = 150 Ом;

R = 50 Ом;

R = 200 Ом;

R = 150 Ом;

L = 10 мГн;

С = 1 мкФ.

Рис. 1

Проведя соответствующие преобразования, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка, описывающих переходный процесс в данной электрической цепи (сами преобразования не представляют предмет рассмотрения в данной статье):

^ = -15 -103 • и + 6,25 -103 • и + 75 • иг; Ж

^ = -20-103 • и +15-103 • ц +100 • и,;

Ж 23 с>

^ = 5 -103 • и - 8,75 -103 • ц - 25 • и,; Ж

duc dt

= -106 • /2 - 3 -106 • ц - 20 -103 • uc +10'

Теперь к этим уравнениям, чтобы получить задачу Коши, следует добавить независимые и зависимые начальные условия Коши, то есть в нашем случае надо определить \ (0), /2 (0), /3 (0) ис (0):

\ (0) = 2,1875 А;

/2 (0) = 1,25 А;

ц (0) = 0,9375 А;

ис (0) = 250 В.

Следующим этапом расчета переходного процесса в линейных электрических цепях является выбор шага интегрирования, времени окончания переходного процесса, численного метода решения.

Выбор шага интегрирования при расчете переходных процессов в линейных электрических цепях является достаточно сложной задачей анализа, т.к. время протекания переходного процесса очень мало, а значения коэффициентов при неизвестных токах и напряжениях в правых частях системы дифференциальных уравнений относительно велики (эти величины отличаются друг от друга на 7-10 порядков).

При выборе шага интегрирования для расчета переходного процесса в линейных электрических цепях следует руководствоваться соображениями точности и устойчивости решения. В теории расчета переходных процессов в линейных электрических цепях справедливо, что ограничение на шаг интегрирования по устойчивости накладывается наибольшим по модулю корнем характеристического уравнения. Практически приемлемая точность достигается при

h =

50 • P

| max |

если корни характеристического уравнения действительны. Если корни уравнения комплексно-сопряженные, то

* ■ г 1 1 1

h = min <

50 а 20

0 J

где р,2 =«± j-®о.

Практически для линейных электрических цепей сколь угодно больших порядков, переходные процессы в которых описываются системами линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, шаг интегрирования к выбирается как величина обратно пропорциональная следу матрицы коэффициентов:

к = , 1_г

300 • а,, + а, н—а

| 11 22 пп|

Для рассматриваемого примера

1

h = ■

300 • 0 - 20 -103 - 8.75 403 - 20 -103 . = 5.67376Е - 08.

Эффективность численного решения задачи Коши в значительной степени определяется спектром матрицы Якоби системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Сложность задачи можно оценить величиной р T, где р - спектральный радиус

матрицы Якоби, Т — величина интервала интегрирования. При умеренных значениях р T (нежесткие задачи) интегрирование обычно выполняется традиционными явными методами и требует небольших вычислительных затрат. Трудности возникают при больших значениях р T, когда для получения правильного решения бывает необходимо выбирать очень малый шаг интегрирования.

Матрица Якоби для рассматриваемого примера принимает вид

J =

0 -15-103

0 - 20-103

0 5 -103

0 -106

6,25 -103 75

15-103 100

- 8,75 -103 - 25

- 3-106 - 20-103

Собственные значения матрицы Якоби удовлетворяют характеристическому уравнению вида

-М) = 0,

в общем случае это уравнение является алгебраическим уравнением п - го порядка.

Набор собственных значений матрицы / М"М„ называется спектром матрицы Якоби.

Запишем характеристическое уравнение для рассматриваемого примера:

0-2 -15-103

6,25 -103

0 - 20-103-2 15-103

75 100

5-103 - 8,75-103 -2 - 25

-106 -3-106 - 20-103 -2

Найдем собственные значения матрицы Якоби в системе Matlab:

= 0 ■

0 -15000 6250 75

0 -20000 15000 100

0 5000 -8750 -25

0 -1000000 -3000000 -20000 >> eig(A) ans =

0

-5.3395e+003 -2.0000e+004 -2.3411e+004.

Спектральный радиус матрицы Якоби для нашего примера равен

р = \- 2.3411e + 004 = 2.3411e + 004.

В Matlab есть семь функций решателей задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений: ode45, ode23, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb с автоматическим выбором шага. Данный набор методов позволяет решать самые разные задачи, но при этом возникает проблема правильного выбора метода и задания соответствующих исходных данных для каждой функции, приближенно решающей систему обыкновенных дифференциальных уравнений.

Дадим краткую характеристику перечисленным решателям ОДУ в системе Matlab:

Ode45 - одношаговые явные методы Рунге-Кутта 4-го и 5-го порядков. Классический метод, рекомендуемый для начальной пробы решения. Во многих случаях дает хорошие результаты.

Ode23 - одношаговые явные методы Рунге-Кутта 2-го и 4-го порядков. При умеренной жесткости системы ОДУ и низких требованиях к точности решения этот метод может дать выигрыш в скорости.

Ode133 - многошаговый метод Адамса-Башворта-Мултона переменного порядка. Это адап-

тивный метод, который может обеспечивать высокую точность решения.

Ode15s - многошаговый метод переменного порядка (с 1-го по 5-й, по умолчанию 5-й), использующий формулы численного дифференцирования.

Ode23t - метод трапеций с интерполяцией.

Ode23tb - неявный метод Рунге-Кутта в начале решения и метод, использующий формулы обратного дифференцирования 2-го порядка в последующем.

Ode23s - одношаговый метод, использующий модифицированную формулу Розенброка 2-го порядка. Может обеспечивать высокую скорость вычисления при низкой точности.

С точки зрения классификации всех систем ОДУ на жесткие и нежесткие системы все вышеозначенные методы можно условно разделить на методы, применяемые для решения жестких систем, и методы, применяемые для решения нежестких задач. Нежесткие задачи успешно решаются всеми явными методами с переменным шагом, реализованными в системе Matlab. Все жесткие задачи успешно решаются тремя решателями: ode15s, ode23t, ode23tb.

В процессе интегрирования с переменным шагом необходимо, кроме решения в очередной точке, вычислять оценку ошибки, которая используется для управления величиной шага. При неудачном выборе шага производится перерасчет с уменьшением размера шага.

Приведем сравнительный анализ описанных выше методов для решения поставленной задачи.

В общем случае при использовании всех этих методов нужно вначале создать М-файл, в котором с помощью функции описываются правые части заданной системы ОДУ:

function dy=vlm2(t,y)

dy=zeros(4,1);

dy(1)=-15*10A3*y(2)+6.25*10A3*y(3)+75*y(4);

dy(2)=-20*10A3*y(2)+15*10A3*y(3)+100*y(4);

dy(3)=5*10A3*y(2)-8.75*10A3*y(3)-25*y(4);

dy(4)=-10A6*y(2)-3*10A6*y(3)-20*10A3*y(4)+10A7.

После этого в командном окне набирается команда

>> [T,Y]=ode45('vlm2',[0 0.002],[2.1875 1.25 0.9375 250]).

В этой команде идет обращение к стандартной функции ode45, реализующей метод Рунге-Кутта с автоматическим выбором шага интегрирования. Аргументами у этой функции являются:

1. 'vlm2' - имя функции, задающей правые части системы дифференциальных уравнений.

2. Интервал интегрирования, на котором находится решение системы дифференциальных уравнений.

3. Начальные условия Коши для переменных задачи.

В качестве решения получаем таблицу, описывающую изменения переменных задачи во время переходного процесса. Приведем последние 16 строк полученной таблицы:

2.0003e+000 2.0002e+000 2.0002e+000 2.0002e+000 2.0001e+000 2.0001e+000 2.0001e+000 2.0001e+000 2.0001e+000 2.0000e+000 2.0000e+000 2.0000e+000 2.0000e+000 2.0000e+000 2.0000e+000 2.0000e+000

1.9999e+000 1.9999e+000 1.9999e+000 1.9999e+000 2.0000e+000 2.0000e+000 2.0000e+000 2.0000e+000 2.0000e+000 2.0000e+000 2.0000e+000 2.0000e+000 2.0000e+000 2.0000e+000 2.0000e+000 2.0000e+000

3.6513e-004 3.0650e-004 2.5748e-004 2.1631e-004 1.7693e-004 1.4478e-004 1.1873e-004 9.7370e-005 7.7782e-005 6.2253e-005 5.0384e-005 4.0761e-005 3.2381e-005 2.5948e-005 2.1775e-005 1.8221e-005

3.9993e+002 3.9994e+002 3.9995e+002 3.9996e+002 3.9997e+002 3.9997e+002 3.9998e+002 3.9998e+002 3.9999e+002 3.9999e+002 3.9999e+002 3.9999e+002 3.9999e+002 4.0000e+002 4.0000e+002 4.0000e+002

Для исследуемой нами линейной электрической цепи можно найти точное решение задачи. Принужденные значения переменных задачи в конце переходного процесса принимают значения:

h = 2 A;

1Пр '

2 пр

= 2 A; = 0 A;

3пр

иг = 400 В.

с пр

Принужденными значениями называются значения в новом установившемся режиме. Как видно из приведенного фрагмента, для трех переменных задачи найденные приближенные значения совпадают с точными значениями, для 4-й переменной ц абсолютная погрешность не превышает величины 1.8221е-005, что является достаточно хорошим результатом. Данный результат достигается за 79 шагов по методу с^е45.

Продолжительность переходного процесса вычислили экспериментально, проведя вычислительный эксперимент с приведенной моделью: Т = 0.002 евк.

Аналогичные расчеты провели с помощью 6-и оставшихся решателей системы МаАаЬ. Сравнивая результаты, полученные с помощью разных решателей системы МаАаЬ, видим, что в конце переходного процесса вышли на одни и те же принужденные значения для переменных задачи:

h = 2 A, i2 = 2 A, i3 = 0,

uc = 400 B.

Результаты сведем в таблицу.

Для данного тестового примера получили следующий результат: при практически равных значениях абсолютных погрешностей вычислительная трудоемкость решателей отличается друг от друга более чем в два раза. Для решения данной задачи наиболее предпочтительным является решатель обе23, наименее предпочтительным - сde45. Для данной задачи при умеренной жесткости системы нет необходимости применять специальные решатели для жестких систем. Для того чтобы увеличить точность вычислений в методах с автоматическим выбором величины шага,

Сравнительный анализ решателей системы Matlab

Решатель Число итераций Абсолютная погрешность

Ode45 79 1.8221e-005

Ode15s 54 1.7373e-005

Ode23s 46 1.6663e-005

Ode23t 78 1.6913e-005

Ode23 34 1.6962e-005

Ode113 55 1.5783e-005

Ode23tb 55 1.7303e-005

нужно увеличить время Т - продолжительность переходного процесса.

Приведем также решение нашей задачи в среде моделирования Б1ти!1пк (рис. 2).

При осцилографировании результата моделиро-

В заключение следует подчеркнуть, что система компьютерной математики МаАаЬ позволяет достаточно быстро и просто производить расчеты переходных процессов в линейных электрических цепях. При высоких порядках цепи следует производить оценку

Рис. 2. Схема решения задачи в среде Э1тиНпк

вания вышли на те же переменных

^ = 2 A, i2 = 2 A, i3 = 0,

принужденные значения для задачи:

= 400 В. В среде

Б1ти!1пк для решения систем ОДУ используется по умолчанию решатель ode45. Однако в случае необходимости при решении систем ОДУ в среде Б1ти!1пк можно использовать любой из решателей системы МаАаЬ.

эффективности численного решения задачи с помощью спектрального радиуса матрицы Якоби для правых частей системы ОДУ. При больших значениях оценки рТ, что указывает на жесткость решаемой задачи, следует применять специальные решателя системы МаАаЬ ос1е15$, ос1е23^ ос1е23Ш. В более простых случаях хорошие результаты как по времени решения задачи, так и по точности дает такой решатель, как ode23.

Библиографический список

1. Теоретические основы электротехники: учебник / К.С. Демирчян, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровин [и др.]. СПб.: Питер, 2003. 436 с.

2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи: учебник для высших учебных заведений. Изд. 10-е, стереотипное. М.: Гардарики, 2002. 638 с.

3. Кривелев А.В. Основы компьютерной математики с использованием МДИДБ: учебное пособие для вузов. М.: Лекс-Книга, 2005. 496 с.

4. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. М.: Мир, 1999. 685 с.

5. Мэтьюз Д.Т., Финк К.Д. Численные методы. Использование МДПДБ. М.: Вильямс, 2001. 720 с.

УДК 621.311

АНАЛИЗ ТЕЛЕИЗМЕРЕНИЙ НА ОСНОВЕ РАСЧЕТНЫХ КОРРЕКТИРОВОК КОНТРОЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Р.А.Заика1

Институт систем энергетики им. Мелентьева СО РАН, 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 130.

В ИСЭМ СО РАН для решения задачи оценивания состояния ЭЭС традиционно применяется метод контрольных уравнений, на его основе решается также ряд сопутствующих задач. Идея использования линейных комбинаций контрольных уравнений для поиска ошибочных измерений появилась давно, однако только с развитием вычислительной техники и эвристических методов поиска решения стал возможным эффективный анализ дополнительной информации. В статье исследуется возможность априорного обнаружения и коррекции ошибочных телеизмерений на основе анализа невязок контрольных уравнений и их линейных комбинаций. Библиогр. 6 назв.

Ключевые слова: оценивание состояния ЭЭС; достоверизация телеизмерений; метод контрольных уравнений; генетические алгоритмы.

ANALYSIS OF TELEMETRY BASED ON CALCULATED ADJUSTMENTS OF CONTROL EQUATIONS R. A. Zaika

Institute of Power Systems named after L.A. Melentiev SB RAS, 130, Lermontov St., Irkutsk, 664033.

To solve the problem of EPS condition assessment the Melentiev's Instutute of Power systems SB RAS traditionally uses the method of control equations, also a number of related problems are solved on its base. The idea to use linear combinations of control equations for the search of erroneous measurements appeared long ago, but only with the development of computer engineering and heuristic methods to search for solutions, an effective analysis of additional information became possible. The paper studies the possibility of a priori detection and correction of erroneous telemetry based on the analysis of residuals of the control equations and their linear combinations. 6 sources.

Key words: EPS condition assessment; telemetry validation; method of control equations; genetic algorithms.

Введение.Важным фактором, влияющим на качество расчетов, является точность данных, используемых при формировании расчетных моделей [1]. В телеизмерениях (ТИ) параметров режима ЭЭС наряду со случайными погрешностями достаточно часто встречаются грубые ошибки. Методы оценивания состояния (ОС), используемые для расчета текущего режима электроэнергетической системы (ЭЭС) по полученным значениям ТИ, дают, как правило, надежное решение только при отсутствии в них грубых ошибок (плохих данных). Такие ошибки вызывают искажение параметров режима, полученного при ОС, что приводит к принятию неверных решений при оперативном управлении ЭЭС. Поэтому обнаружение грубых ошибок в ТИ и их корректировка является одной из наиболее важных задач комплекса ОС [2,3].

Метод контрольных уравнений. В ИСЭМ СО РАН для решения задачи ОС разработан метод кон-

трольных уравнений (КУ) - уравнений установившегося режима, содержащих только измеряемые параметры [3]. Для обнаружения плохих данных в измерениях вычисляются невязки КУ. Если ТИ, входящие в КУ, не содержат грубых ошибок, то модуль стандартизованной невязки не должен превышать некоторого порогового значения, т.е. для каждого КУ проверяется условие

N < к к (1)

и на основании результатов этой проверки с помощью «логических правил» делается заключение о правильности ТИ, дается возможная корректировка ошибочных ТИ и уточнение некоторых параметров для ОС.

Основным недостатком «логических правил», определяющим их низкую эффективность, является то, что решение о наличии ошибки в каждом ТИ принимается на основе анализа невязок небольшого количества КУ и одной-двух линейных комбинаций (ЛК).

1Заика Роман Александрович, кандидат технических наук, научный сотрудник, тел.: 89148817450, e-mail: zaika@isem sei.irk.ru Zaika Roman, Candidate of technical sciences, Research worker, tel.: 89148817450, e-mail: zaika @ isem sei.irk.ru