Силовой анализ парадоксального механизма с избыточными связями Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

2. Горелов, A.C. Планирование контроля качества продукции на основе экономико-статистических критериев [Текст] / A.C. Горелов [и др. j / Под. науч. ред. В.В. Прейса,— Тула: Изд-во ТулГУ, 2010,— 120 с.

3. Горелов, A.C. Системы отбора и подготовки проб для автоматизированного статистического контроля качества нештучной продукции [Текст] /

A.C. Горелов [и др.] / Под. научн. ред. В.В. Прейса. Тула: Изд-во ТулГУ, 2006,— 104 с.

4. Автоматизация статистического контроля качества пищевой продукции в массовых производствах [Текст] / A.C. Горелов [и др.] / Под ред.

B.В. Прейса,— 2-е изд., перераб. и доп.— Тула: Изд-во ТулГУ, 2011,- 140 с.

УДК531.8:621.01

A.A. Хростицкий, В.А. Терешин

СИЛОВОМ АНАЛИЗ ПАРАДОКСАЛЬНОГО МЕХАНИЗМА С ИЗБЫТОЧНЫМИ СВЯЗЯМИ

В технике находят применение механизмы, содержащие избыточные связи, которые имеют подвижность только в особом положении — это так называемые парадоксальные механизмы [1, с. 222], примерами которых являются: механизм сдвоенного параллелограмма, эллипсограф [3], механизм Беннета, шестизвенный пространственный механизм Брикара [4, с. 40—44] и ряд других.

В монографии [4, с. 130-132] приведено несколько методов выполнения силового расчета механизмов с избыточными связями. Заслуживает внимания метод, который решает задачу силового расчета в два этапа. На первом этапе устраняются избыточные связи, такие, при которых остановка ведущего звена механизма обращает его в ферму. При этом механизм получается статически определимым. На втором этапе определяются реакции отброшенных ранее связей. Для этого методом сил раскрывается статическая неопределимость механизма. Способы, описанные в [4], неприменимы для механизмов, находящихся в особом положении, так как определитель матрицы жесткости упругой статически неопределимой системы, содержащей матрицуЯкоби [2, с. 395], оказывается равным нулю.

В статье предлагается метод силового анализа, основанный на двухэтапном расчете парадоксальных механизмов. С этой целью на первом этапе силового расчета устраняют неосвобожда-ющую избыточную связь и определяют обобщенную движущую силу. На втором этапе выполня-

ют расчет статически неопределимого механизма, в котором движущую силу записывают как реакцию фиктивной упругой связи. Деформацию фиктивной связи, как и деформации остальных упругих элементов, выражают через малые изменения обобщенных координат с помощью уравнений совместности деформаций. Таким образом, система уравнений равновесия, содержащая реакции упругих элементов и обобщенную движущую силу, замыкается. Из полученной замкнутой системы определяют все малые изменения обобщенных координат, по ним находят обобщенную силу и реакции во всех кинематических парах.

В статье силовой анализ выполнен на примере пространственной шестизвенной кинематической mnu ABCDEF{рш. 1), применяемой в установке турбулентного смесителя.

На указанном рисунке q — угол поворота входного звена 1 (обобщенная координата); 9i, ф2, 9з, ф4, ф5 — углы относительного поворота звеньев. Предположим, что на механизм действует одна внешняя сила — сила тяжести G = = const рабочего органа, приложенная в точке S{CS=DS) и направленная противоположно оси _у0, т. е. G = (0, -G, 0) . Полагаем движение механизма достаточно медленным, чтобы пренебречь силами инерции. Массы звеньев считаются пренебрежимо малыми. Механизм содержит одну избыточную связь, его подвижность w = 1 [5]. Такая кинематическая цепь является один раз статически неопределимой, и ее силовой расчет, как указывалось выше, проводится в два этапа.

Рис. 1. Кинематическая схема для первого этапа силового расчета механизма

Этап 1. Расчет статически определимого механизма. Рассмотрим модель пространственного ше-стизвенника с жесткими звеньями. Из структурного исследования данного механизма [6] известно, что в кинематической цепи можно устранить любую одну из присутствующих связей, при этом число степеней подвижности механизма не изменится. Устраняемая таким образом связь называется неосвобождающей [2, с. 21].

Отбросим, например, неосвобождающую связь в шарнире Д направленную вдоль оси х; тогда ЯГх =0. Получим статически определимый механизм. Кинематическая цепь такого механизма позволяет найти неизвестную обобщенную движущую силу (уравновешивающий момент) 0. Для полученного контура АВСБЕГ составим уравнения кинетостатики. Запишем пять уравнений равновесия для ветвей кинематических пар Л, Д С, А Д которые принимают форму уравнений моментов:

МАг{КГуЯгг,С,Мгх,МгуЛ) = ^ ММуЛ^С,М,х,М,у) = 0; МСг{ЯГу,ЯГг,С,МГх,МГу) = 0; м0г(ЯГу,Ягг,Мгх,Мгу) = 0; МЕг(ЯГу,ЯГ2,Мгх,Мгу) = 0-

(1)

■ 0 " ■ 0 "

С,3 = А30 -С = -с

Аз. 0 0

С = (Схз, С>13, С2з)Г в локальной системе координат при переходе из абсолютной системы определяется выражением

(2)

где А()} — матрица направляющих косинусов, определяемая по методике, описанной в [5, с. 173-174].

Система (1) позволяет определить только уравновешивающий момент 0. Реакции в шарнире /"находят из решения статически неопределимой системы на втором этапе. Примем С = 1 Н. Результатом решения системы (1) является график зависимости 0 = (){д) (рис. 2).

Из графика видно, что максимум модуля уравновешивающего момента достигается через каждую половину оборота входного звена.

Проверкой правильности выявления совокупности неосвобождающих связей служит неизменность величины уравновешивающего момента при любой отбрасываемой связи из данной совокупности. При этом уравнения равновесия записываются для ветвей кинематических пар в соответствии с видом и направлением от-

брасываемой связи. Проведя указанную проверку для исследуемого механизма, можно убедиться, что выбранная связь действительно является неосвобождаюгцей.

Полученные на первом этапе значения уравновешивающего момента Q (обобщенной движущей силы) независимо получаются и на втором этапе силового расчета.

Этап 2. Расчет статически неопределимого механизма. Разомкнем контур ABCSDEFb точке S. Получим две кинематические цепи — ABCS и SDEF— с приложенными внешними силами — Л —Л G — в точке размыкания (рис. 3).

Рассмотрим кинематическую цепь ABCS. Согласно принципу возможных перемещений имеем

Q= Ш

5А = 0;

(1)

где 8р = §40); 8&0); 8у(50)

шестимерный столбец вариаций линейных и угловых абсолютных координат звена 3 в точке

-\Т

— шести-

мерный столбец внешнего силового воздействия (торсор) на цепьЛЖ^в точке »У, заданный в проекциях на оси нулевой системы координат;

5' = [ 5 Ах,-; ; 5^,-; 5Аа;.; 5АР;-; 5Ау;. ]1 — стол -

бец вариаций линейных и угловых упругих деформаций в кинематической паре /,(/+1);

Щ = столбец

силового взаимодействия между звеньями / и (/+1), заданный в проекциях на оси /-й системы координат.

Абсолютные обобщенные координаты р звена 3 связаны геометрическими зависимостями с относительными координатами в кинематических парах. Тогда соответствующую вариацию в матричной форме можно записать так:

Sp = I

;=1

dp

Ж

(4)

AS

здесь три (6 хб) -матрицы полных производных по независимым переменным ' определяются выражением

-втМ-

Рис. 2. Величина уравновешивающего момента <2 (Н • м) в зависимости от обобщенной координаты ц

dp dp dp d w

AS L d'\ AS dw AS k\

(5)

AS

и формируют (6 xl 8)-матрицу Якоби для ветви AS; w — столбец

dp dp dp d' d' d'

AS

углов поворота в кинематических парах, зависящих от всех независимых переменных. Подставив выражение (4) в (3), получим

¿8'

/=1

dp

Ж

F + Я

AS

= 0.

(6)

В силу независимости произвольных вариаций 5',- множители при них равны нулю. Тогда из (6) имеем

dp

Ж,

р.

(7)

AS

Получен столбец внутренних реакций кинематической цепи, зависящий от геометрических

Рис. 3. Кинематическая схема для второго этапа силового расчета механизма без избыточной связи

соотношений, характеризуемых матрицей Яко-

ё р

би. Компоненты матрицы Якоби

раци-

где е,-= diag{e;J} :

0 0

0 О е16

— матрица по-

датливостей. Знак «минус» обусловлен тем, что является воздействием /-го упругого элемента на звено (/+1). Подставляя уравнение (7) для кинематической цепиХ5С/)5в (7), получим столбец деформаций

ёр

Р.

(9)

Приращение Ар , соответствующее упругим деформациям и вызывающее линейные и угловые смещения точки определяется аналогично (4):

Ар = Е

ыИ'/

(10)

С учетом выражения (9) запишем

лр=!

;=1

ёр р- ёр

Л5

Л5

3 ёр е,- ёр т '

;=1 Л5 ля

Р.

(Н)

Введя в обозначения приведенную кточке 5по-датливость ЕА5 цепи окончательно полу-

чим в матричном виде

Ар = Ел8Р.

(12)

онально искать из уравнений равновесия, составленных для кинематической цепи от точки ¿до /,(/+1)-й кинематической пары. Пусть к-й элемент столбца внешних воздействий Р равен

единице (рк =1), тогда как остальные элементы

равны нулю: например, к = 2Р = [0; 1; 0; 0; 0; О]] Тогда из (7) столбец реакций окажется численно равен А;-му столбцу блока /матрицы Якоби. Изменяя /с от 1 до 6, можно найти все элементы указанного блока и, таким образом, получить все компоненты матрицы Якоби в виде функций от д.

Найдем теперь реакции Д в статически неопределимом к о 11 ту р с А ВС 30 ЕЕ. Ввиду линейности упругих взаимодействий в кинематических парах упругие деформации определяются в матричной форме как

' = (8)

Формула (12) определяет линейные и угловые смещения звена 3 в точке 5от приложенного в этой же точке внешнего усилия.

Аналогично находится матрица смещений в точке ¿для кинематической цепи ЗБЕЕ: Ар = -

з

где

;=1

ёр

ёр

— приведенная

га

кточке ¿"матрица податливостей цепи ББЕЕ, С — шестимерный столбец внешнего силового воздействия на контур Л ВС $ В ЕЕ в точке 5, заданный в проекциях на оси нулевой системы координат.

Приравняв правые части уравнений совместности деформаций (12) и (13), получим выражение, определяющее внутренние усилия в точке £ контура ЛВСЗВЕЕ:

Р = (Еа з + Ерщ

,ГЕКС. (14)

Подстановкой формул (14) в (7) можно получить выражение для расчета всех внутренних усилий в кинематических парах цепи АВСБ:

~\Т

Я=-

ёр

^С- (15)

Л5

На основе выражений (12) и (13) находят соотношение между внешней силой и деформацией:

С = + Др = С5Др, (16)

где Су — приведенная жесткость кинематической \izm\ABCSDEE. Соотношение (16) может использоваться при динамическом исследовании парадоксального механизма в предположении, что столбец С включает в себя и инерционные силы.

Реакции в кинематических парах цепи ¿ЛЕ/7 записывают аналогично выражению (15), которое с учетом (14) примет вид ~\Т

ёр

/"5

ёр Ж

/"5

с, (3)

где I— единичная (6 хб) -матрица.

R4,R5

/

R2,R3''

R6 i

i

Ri,

Рис. 4. Графики зависимостей реакций в кинематических парах Н (а) и максимального момента М4, Н • м, (б) от обобщенной координаты д

Воспользовавшись приведенной выше методикой и результатами геометрического и кинематического анализов, полученными в работе [5], можно определить реакции в кинематических парах. Пусть внешней силой является сила тяжести, заданная как столбец

С = [0;-1;0;0; 0; о] .По результатам вычислений построены графики зависимостей реакций в кинематических парах от обобщенной координаты q (рис. 4, а) и график максимального изгибающего момента в кинематических парах (рис. 4, б).

Графики наглядно иллюстрируют распределение модулей сил и момента в кинематических парах во время работы исследуемого ше-стизвенника.

В результате исследований парадоксального механизма с избыточными связями предложена

методика силового расчета такого механизма, предполагающая два этапа расчета:

1. Вначале устраняют неосвобождающую избыточную связь и определяют обобщенную движущую силу 0. Этот этап можно самостоятельно использовать в упрощенных расчетах, когда требуется определить только 0.

2. Затем выполняют расчет статически неопределимого механизма. Для этого записывают уравнения совместности деформаций и в соответствии с предложенной методикой определяют реакции и моменты реакций во всех кинематических парах.

Результаты силового анализа, приведенные в настоящей статье, могут быть использованы при инженерных расчетах конструкций, например при расчете несущей способности подшипников, требуемой мощности приводов, а также при динамическом исследовании механизма.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Диментберг, Ф.М. Теория пространственных шарнирных механизмов [Текст] / Ф.М. Диментберг,— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982,— 336 с.

2. Коловский, М.З. Теория механизмов и машин [Текст]: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / М.З. Коловский, А.Н. Евграфов, Ю.А. Семенов, A.B. Слоущ,— М.: Издательский центр «Академия», 2008,— 560 с.

3. Лебедев, В.И. Синтез механизмов с пассивными связями [Текст] / В.И. Лебедев, А.М. Турла-нов // Теория механизмов и машин,— 2003. N° 2,- С. 28-31.

4. Мудров, П.Г. Пространственные механизмы

с вращательными парами [Текст] / П.Г. Мудров,— Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1976,— 264 с.

5. Хростицкий, A.A. Геометрия и кинематика пространственного шестизвенника с избыточными связями [Текст] / A.A. Хростицкий, А.Н. Евграфов, В.А. Терешин // Научно-технические ведомости СПбГПУ,- 2011. N° 2 (123).- С. 170-176.

6. Хростицкий, A.A. Особенности структуры и геометрии пространственного шестизвенного механизма с избыточными связями [Текст] / A.A. Хростицкий, В.А. Терёшин // Современное машиностроение. Наука и образование: Материалы Междунар. науч.-практ. конф,— СПб.: Изд-во Политехи. ун-та, 2011,- С. 399-409.